閆 莎

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

種群生態(tài)學(xué)是生態(tài)學(xué)的一個(gè)重要分支，在生態(tài)系統(tǒng)中，捕食者-食餌模型的穩(wěn)定性是大家廣泛關(guān)注的問(wèn)題[1-5]。文獻(xiàn)[6]對(duì)于兩種群食物鏈模型

(1)

的常微分方程組形式，即空間分布均勻的情況做了研究。這里P1、P2分別表示捕食者、食餌種群的密度，h是P1的消化系數(shù)，C1是P1的捕食率，B1是P1的轉(zhuǎn)化率，D是P1的死亡率，r和k分別是P2的內(nèi)稟增長(zhǎng)率和環(huán)境容納量。

式(1)僅僅反映了該種群模型常微分方程的情形P1與P2的密度僅依賴于時(shí)間的變化而變化,但是在現(xiàn)實(shí)的生態(tài)圈中,生物種群在其生存區(qū)域內(nèi)具有遷移的本能,考慮到空間位置對(duì)種群密度的影響,對(duì)式(1)加入擴(kuò)散項(xiàng),主要研究式(1)對(duì)應(yīng)的弱耦合反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)解的整體性態(tài)。

(2)

(3)

本文借鑒文獻(xiàn)[7]的方法，主要討論式(1)對(duì)應(yīng)的弱耦合反應(yīng)擴(kuò)散模型，即式(3)解的整體性態(tài)。

(4)

1 模型解的一致有界性

由文獻(xiàn)[8]易知,?T>0,使得式(3)在[0,T]上存在唯一解。

證明設(shè)(u,v)是式(3)在初值u(x,0)=u0≥0及v(x,0)=v0≥0時(shí)的解,由文獻(xiàn)[9]中的比較原理易知,當(dāng)(x,t)∈Ω×[0,T)時(shí),(u,v)≥0。

對(duì)式(3)的第二個(gè)方程應(yīng)用比較原理得

v(x,t)≤M1≡max{‖v(0)‖L∞(Ω),1}，

令Z=u+v,則

所以

由文獻(xiàn)[10]可知,存在依賴于‖u0‖∞和‖v0‖∞及式(3)系數(shù)的正常數(shù)M,使得

‖Z(x,t)‖L∞(Ω)≤M，

2 模型非負(fù)平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性

定理2 (a) 式(3)的平凡平衡點(diǎn)E0無(wú)條件不穩(wěn)定；

(c) 式(3)的正平衡點(diǎn)E*無(wú)條件不穩(wěn)定。

(a) 令D=diag(d1,d2),L=DΔ+Fu(E0)=DΔ+{aij},其中E0為平凡平衡點(diǎn)，式(3)在E0處的線性化矩陣為

J(E0)的特征方程為φ(λ)=(λ-1)(λ+m)=0。因?yàn)棣?λ)=0有正根λ1=1,所以式(3)的平凡平衡點(diǎn)E0是無(wú)條件不穩(wěn)定的。

(b) 令D=diag(d1,d2),L=DΔ+Fu(E1)=DΔ+{aij},其中E1=(0,1),式(3)在E1處的線性化矩陣為

(c) 令D=diag(d1,d2),L=DΔ+Fu(E*)=DΔ+{aij},其中E*為正平衡點(diǎn),式(3)在E*處的線性化矩陣為

J(E*)的特征方程為

φ(λ)=λ2+Aλ+B=0,

其中A=-(a11+a22),B=a11a22-a12a21。

經(jīng)初等計(jì)算可得

要使φ(λ)的兩個(gè)根λ1、λ2的實(shí)部均為負(fù),由文獻(xiàn)[11]可得,必有Δ1>0,Δ2>0，即a11<0,a22<0,又a11<0等價(jià)于

(5)

3 模型半平凡平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性

由于式(3)的平凡平衡點(diǎn)E0(0,0)及正平衡點(diǎn)E*均是無(wú)條件不穩(wěn)定的,因此,下面只討論式(3)的半平凡平衡點(diǎn)E1=(0,1)的全局漸近穩(wěn)定性。

引進(jìn)如下結(jié)論：

設(shè)(u,v)是式(3)唯一的正解,由定理1和文獻(xiàn)[13]中的定理A2知,?t0>0,當(dāng)t≥t0時(shí)有

(6)

(7)

其中α∈(0,1),C是不依賴于t的正常數(shù)。

定理3 當(dāng)a

證明定義Lyapunov函數(shù)

設(shè)(u,v)是式(3)的解,則(u,v)在任意正時(shí)刻為正。當(dāng)t>0時(shí),有

由式(6)、(7)及定理1可得,式(3)的解有界,式(3)中u、v-1的導(dǎo)數(shù)均有界,結(jié)合引理1得

(8)

由u,v≤C有

仍由式(6)、(7)知g′(t)在[t0,+∞)(t0>0)有界。由引理1知,當(dāng)t→+∞時(shí)g(t)→0,即

由Poincare不等式得

(9)

由式(8)、(9)得

(10)

(11)

當(dāng)t=tm,由式(3)的第二個(gè)等式得

(12)

結(jié)合式(8)、(11)、(12)得

(13)

由式(6)、(7)知,存在子列{tm}、非負(fù)函數(shù)wi∈C2(Ω),使得

由式(8)、(13)得w1=0,w2=1，即有

(14)

(15)

由式(14)、(15)以及E1的局部漸近穩(wěn)定性得到,當(dāng)a