柔性機(jī)械臂非線(xiàn)性干擾觀測(cè)器的高階滑?？刂?/h1>
2021-03-01 00:39:52史欣怡
組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù) 2021年2期
周 晟，李 解，高 琳，史欣怡
(武警士官學(xué)校基層后勤管理系，杭州 310000)
0 引言
目前，機(jī)器人技術(shù)不斷更新，為有效提高機(jī)器人工作效率，降低機(jī)器人工作時(shí)的能量損耗，將柔性連桿材料運(yùn)用于機(jī)械臂的研制中[1]。對(duì)比于傳統(tǒng)的剛性材料所制成的機(jī)器人，柔性材料及柔性結(jié)構(gòu)具有低能耗、高負(fù)載、高響應(yīng)、便于電機(jī)直接操作、等多項(xiàng)優(yōu)點(diǎn)。對(duì)系統(tǒng)所構(gòu)成的n個(gè)連桿所構(gòu)成的機(jī)械臂系統(tǒng)，在重復(fù)考慮其柔性因素的條件下，通過(guò)設(shè)定2n個(gè)廣義坐標(biāo)完成對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的研究，由此可知，柔性機(jī)械臂是一個(gè)剛?cè)狁詈蠗l件下的非線(xiàn)性系統(tǒng)，系統(tǒng)階次變高對(duì)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)產(chǎn)生極大的挑戰(zhàn)。
在實(shí)際情況中，由于環(huán)境、資金、傳感器安裝等多種因素干擾，存在部分狀態(tài)量難以獲得，因此，為完成對(duì)柔性機(jī)械臂的操控任務(wù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械臂的精準(zhǔn)控制，將狀態(tài)觀測(cè)器引入系統(tǒng)[2]。文獻(xiàn)[3]將具有主從結(jié)構(gòu)的觀測(cè)器引入系統(tǒng)，提高系統(tǒng)的工作準(zhǔn)確性并且在一定情況具有控制器性能，完善整個(gè)系統(tǒng)的工作能力。文獻(xiàn)[4]運(yùn)用滑?？刂品椒ń档腿嵝詸C(jī)械臂高非線(xiàn)性、高耦合和時(shí)變參量系統(tǒng)的控制難度，將滑模控制理論運(yùn)用到相應(yīng)控制模型中，提高整體控制的精準(zhǔn)度。
在過(guò)去多數(shù)滑?？刂葡到y(tǒng)的構(gòu)造及觀測(cè)中，其研究都基于一個(gè)限制條件，即設(shè)定系統(tǒng)的所有狀態(tài)量為可觀測(cè)狀態(tài)，本文為提高控制精度降低對(duì)獲取觀測(cè)量的成本及傳感器數(shù)目，將非線(xiàn)性觀測(cè)器引入系統(tǒng)，考慮建模和測(cè)量的不確定性，負(fù)載變化及非線(xiàn)性摩擦阻尼干擾等多線(xiàn)影響，運(yùn)用高階滑模的控制方法，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確測(cè)控，提高控的制整體準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性。
1 模型建立
應(yīng)用假設(shè)模態(tài)法(一種廣義坐標(biāo)近似法，采用有限個(gè)假設(shè)模態(tài)振動(dòng)的線(xiàn)性和來(lái)近似描述彈性體振動(dòng))建立平面多連桿柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型[5]。如圖1所示。
圖1 柔性機(jī)械臂連桿示意圖
柔性臂桿i的彈性撓曲度表達(dá)式如下：
(1)
其中，yi(xi,t)代表連桿i的彈性擾曲度，φij(xi)代表連桿i的第j個(gè)模態(tài)函數(shù)，Δij(xi)代表連桿i的第j個(gè)模態(tài)的廣義彈性坐標(biāo)(i=1,2,…n，j=1,2,…m)。
(2)
Δi(t)=[δi1,δi2,δi3…δim]
(3)
考慮連桿邊界條件：
yi(0,t)=0yi′(0,t) = 0
(4)
平面多連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程表述構(gòu)建[6]：
(5)
(6)
式中阻尼矩陣中的元素：
(7)
將式(6)代入式(5)可得：
(8)
(9)
式中，d∈R2×1，設(shè)為參數(shù)不確定性及外部干擾數(shù)值綜合，
(10)
(11)
假設(shè)2：雙連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)所受外部干擾及一階導(dǎo)數(shù)有界。
(12)
正常數(shù)w，r分別為外部干擾和一階導(dǎo)數(shù)的上界。
將式(8)變形可得：
(13)
定義狀態(tài)變量如下：
(14)
得到平面多連桿柔性機(jī)械臂的狀態(tài)空間：
(15)
(16)
(17)
2 非線(xiàn)性狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)
定義如下變量：
ζ1=Δ，ζ2=Δ
(18)
將公式(5)改寫(xiě)為如下形式：
(19)
定義狀態(tài)變量xn如下：
(20)
式(20)中，狀態(tài)變量ζ1及ζ2為不可測(cè)參數(shù)，選取非線(xiàn)性觀測(cè)器進(jìn)行數(shù)值估計(jì)[7-8]。
引入非線(xiàn)性觀測(cè)器將柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程改寫(xiě)為如下形式：
(21)
(22)
定義非線(xiàn)性觀測(cè)器觀測(cè)誤差ζe如下：
(23)
式(23)中：
式中，矩陣Aζ為Hurwtiz矩陣，矩陣Bζ的模非常小。
3 控制器設(shè)計(jì)
由相應(yīng)等式(5)可知，柔性機(jī)械臂系統(tǒng)自身耦合度高、非線(xiàn)性強(qiáng)的多輸入多輸成系統(tǒng)。文中依據(jù)圖2所示，采用非線(xiàn)性干擾觀測(cè)器同時(shí)運(yùn)用高階滑膜控制，降低系統(tǒng)整體振動(dòng)情況，二者配合情況下降低干擾的影響，使得系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性[9-11]。
圖2 控制系統(tǒng)框圖
定義相應(yīng)滑模面如下：
σ=x1-x1d
(24)
對(duì)式(24)滑模面求解二階導(dǎo)數(shù)得：
(25)
為降低系統(tǒng)抖振提高機(jī)械臂運(yùn)行準(zhǔn)確性，對(duì)式(24)進(jìn)行二階求導(dǎo)得：
(26)
(27)
(28)
(29)
式中，w(t)∈R2×1，是待設(shè)計(jì)函數(shù)，其一般形式為：
(30)
(31)
式中，j=2,3，α4=1，α3=α，α為介于0～1之間待設(shè)計(jì)的參數(shù)。
在實(shí)際系統(tǒng)中，外部干擾不可避免，因此需要設(shè)計(jì)補(bǔ)償器對(duì)外界干擾進(jìn)行相應(yīng)補(bǔ)償，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。對(duì)式(28)設(shè)計(jì)如下積分滑模面：
(32)
wd(t)=-βs-γsign(s)
(33)
式中，β=diag(b,b)為正定對(duì)角矩陣，
(34)
控制器作用下，有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)穩(wěn)定。
求導(dǎo)得：
將式子代入得：
式中，?>0，可知所示系統(tǒng)將在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，實(shí)現(xiàn)控制作用。
4 數(shù)值仿真
設(shè)定柔性機(jī)械臂連桿基本參數(shù)：
m1=1 kg,m1=1.2 kg,L1=0.2 m,L2=0.3 m,
E1I1=10 N·m·rad-1,E1I1=5 N·m·rad-1,
J1=0.25 kg·m2,J2=0.025 kg·m2
所設(shè)計(jì)控制器給定參數(shù)如下：
λ1=diag(5.5,5.5)，
λ2=diag(2.5,2.5)，α=0.7，k1=0.5，
k2=1.5，k3=2，β=diag(0.5,0.5)，
λ=diag(0.05,0.05)
設(shè)定系統(tǒng)初始信號(hào)：x=(θ10,θ20)
設(shè)定系統(tǒng)期望信號(hào)：y=(15sin5t,10cos5t)
根據(jù)上述基本參數(shù)可得：
圖3 假設(shè)模態(tài)信號(hào)
圖4 控制器輸出
由圖4可知，初始時(shí)刻0 s～6 s時(shí)間段內(nèi)，在干擾因素影響下，振動(dòng)幅度較大，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性不高。在初始時(shí)刻6 s之后，控制器輸出趨于平緩，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)趨于一致。采用非線(xiàn)性干擾觀測(cè)器同時(shí)運(yùn)用高階滑膜控制，有效的削弱系統(tǒng)抖振，并且對(duì)外部干擾存在一定抑制，利于高精度工業(yè)生產(chǎn)，具有一定實(shí)際意義。
5 結(jié)論
本文構(gòu)建多連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，在控制系統(tǒng)中構(gòu)建非線(xiàn)性干擾觀測(cè)器，充分探究基于參數(shù)不確定性與外部負(fù)載干擾等因素產(chǎn)生的控制影響，基于高階滑?？刂破髟O(shè)計(jì)，賦予整個(gè)系統(tǒng)較優(yōu)的抗干擾能力，展現(xiàn)對(duì)柔性機(jī)械臂的精準(zhǔn)控制作業(yè)。分析系統(tǒng)的案例仿真驗(yàn)證了本次設(shè)計(jì)方法的準(zhǔn)確性，對(duì)后續(xù)機(jī)械臂的控制研究奠定基礎(chǔ)。
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在實(shí)際情況中，由于環(huán)境、資金、傳感器安裝等多種因素干擾，存在部分狀態(tài)量難以獲得，因此，為完成對(duì)柔性機(jī)械臂的操控任務(wù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)械臂的精準(zhǔn)控制，將狀態(tài)觀測(cè)器引入系統(tǒng)[2]。文獻(xiàn)[3]將具有主從結(jié)構(gòu)的觀測(cè)器引入系統(tǒng)，提高系統(tǒng)的工作準(zhǔn)確性并且在一定情況具有控制器性能，完善整個(gè)系統(tǒng)的工作能力。文獻(xiàn)[4]運(yùn)用滑?？刂品椒ń档腿嵝詸C(jī)械臂高非線(xiàn)性、高耦合和時(shí)變參量系統(tǒng)的控制難度，將滑模控制理論運(yùn)用到相應(yīng)控制模型中，提高整體控制的精準(zhǔn)度。
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1 模型建立
應(yīng)用假設(shè)模態(tài)法(一種廣義坐標(biāo)近似法，采用有限個(gè)假設(shè)模態(tài)振動(dòng)的線(xiàn)性和來(lái)近似描述彈性體振動(dòng))建立平面多連桿柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型[5]。如圖1所示。
圖1 柔性機(jī)械臂連桿示意圖
柔性臂桿i的彈性撓曲度表達(dá)式如下：
(1)
其中，yi(xi,t)代表連桿i的彈性擾曲度，φij(xi)代表連桿i的第j個(gè)模態(tài)函數(shù)，Δij(xi)代表連桿i的第j個(gè)模態(tài)的廣義彈性坐標(biāo)(i=1,2,…n，j=1,2,…m)。
(2)
Δi(t)=[δi1,δi2,δi3…δim]
(3)
考慮連桿邊界條件：
yi(0,t)=0yi′(0,t) = 0
(4)
平面多連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程表述構(gòu)建[6]：
(5)
(6)
式中阻尼矩陣中的元素：
(7)
將式(6)代入式(5)可得：
(8)
(9)
式中，d∈R2×1，設(shè)為參數(shù)不確定性及外部干擾數(shù)值綜合，
(10)
(11)
假設(shè)2：雙連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)所受外部干擾及一階導(dǎo)數(shù)有界。
(12)
正常數(shù)w，r分別為外部干擾和一階導(dǎo)數(shù)的上界。
將式(8)變形可得：
(13)
定義狀態(tài)變量如下：
(14)
得到平面多連桿柔性機(jī)械臂的狀態(tài)空間：
(15)
(16)
(17)
2 非線(xiàn)性狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)
定義如下變量：
ζ1=Δ，ζ2=Δ
(18)
將公式(5)改寫(xiě)為如下形式：
(19)
定義狀態(tài)變量xn如下：
(20)
式(20)中，狀態(tài)變量ζ1及ζ2為不可測(cè)參數(shù)，選取非線(xiàn)性觀測(cè)器進(jìn)行數(shù)值估計(jì)[7-8]。
引入非線(xiàn)性觀測(cè)器將柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)方程改寫(xiě)為如下形式：
(21)
(22)
定義非線(xiàn)性觀測(cè)器觀測(cè)誤差ζe如下：
(23)
式(23)中：
式中，矩陣Aζ為Hurwtiz矩陣，矩陣Bζ的模非常小。
3 控制器設(shè)計(jì)
由相應(yīng)等式(5)可知，柔性機(jī)械臂系統(tǒng)自身耦合度高、非線(xiàn)性強(qiáng)的多輸入多輸成系統(tǒng)。文中依據(jù)圖2所示，采用非線(xiàn)性干擾觀測(cè)器同時(shí)運(yùn)用高階滑膜控制，降低系統(tǒng)整體振動(dòng)情況，二者配合情況下降低干擾的影響，使得系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性[9-11]。
圖2 控制系統(tǒng)框圖
定義相應(yīng)滑模面如下：
σ=x1-x1d
(24)
對(duì)式(24)滑模面求解二階導(dǎo)數(shù)得：
(25)
為降低系統(tǒng)抖振提高機(jī)械臂運(yùn)行準(zhǔn)確性，對(duì)式(24)進(jìn)行二階求導(dǎo)得：
(26)
(27)
(28)
(29)
式中，w(t)∈R2×1，是待設(shè)計(jì)函數(shù)，其一般形式為：
(30)
(31)
式中，j=2,3，α4=1，α3=α，α為介于0～1之間待設(shè)計(jì)的參數(shù)。
在實(shí)際系統(tǒng)中，外部干擾不可避免，因此需要設(shè)計(jì)補(bǔ)償器對(duì)外界干擾進(jìn)行相應(yīng)補(bǔ)償，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。對(duì)式(28)設(shè)計(jì)如下積分滑模面：
(32)
wd(t)=-βs-γsign(s)
(33)
式中，β=diag(b,b)為正定對(duì)角矩陣，
(34)
控制器作用下，有限時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)穩(wěn)定。
求導(dǎo)得：
將式子代入得：
式中，?>0，可知所示系統(tǒng)將在有限時(shí)間內(nèi)穩(wěn)定，實(shí)現(xiàn)控制作用。
4 數(shù)值仿真
設(shè)定柔性機(jī)械臂連桿基本參數(shù)：
m1=1 kg,m1=1.2 kg,L1=0.2 m,L2=0.3 m,
E1I1=10 N·m·rad-1,E1I1=5 N·m·rad-1,
J1=0.25 kg·m2,J2=0.025 kg·m2
所設(shè)計(jì)控制器給定參數(shù)如下：
λ1=diag(5.5,5.5)，
λ2=diag(2.5,2.5)，α=0.7，k1=0.5，
k2=1.5，k3=2，β=diag(0.5,0.5)，
λ=diag(0.05,0.05)
設(shè)定系統(tǒng)初始信號(hào)：x=(θ10,θ20)
設(shè)定系統(tǒng)期望信號(hào)：y=(15sin5t,10cos5t)
根據(jù)上述基本參數(shù)可得：
圖3 假設(shè)模態(tài)信號(hào)
圖4 控制器輸出
由圖4可知，初始時(shí)刻0 s～6 s時(shí)間段內(nèi)，在干擾因素影響下，振動(dòng)幅度較大，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性不高。在初始時(shí)刻6 s之后，控制器輸出趨于平緩，機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)趨于一致。采用非線(xiàn)性干擾觀測(cè)器同時(shí)運(yùn)用高階滑膜控制，有效的削弱系統(tǒng)抖振，并且對(duì)外部干擾存在一定抑制，利于高精度工業(yè)生產(chǎn)，具有一定實(shí)際意義。
5 結(jié)論
本文構(gòu)建多連桿柔性機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，在控制系統(tǒng)中構(gòu)建非線(xiàn)性干擾觀測(cè)器，充分探究基于參數(shù)不確定性與外部負(fù)載干擾等因素產(chǎn)生的控制影響，基于高階滑?？刂破髟O(shè)計(jì)，賦予整個(gè)系統(tǒng)較優(yōu)的抗干擾能力，展現(xiàn)對(duì)柔性機(jī)械臂的精準(zhǔn)控制作業(yè)。分析系統(tǒng)的案例仿真驗(yàn)證了本次設(shè)計(jì)方法的準(zhǔn)確性，對(duì)后續(xù)機(jī)械臂的控制研究奠定基礎(chǔ)。
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機(jī)械工程師(2015年10期)2015-02-02 01:14:36
