陳 強(qiáng)，蔣春容

(南京工程學(xué)院電力工程學(xué)院，南京 211167)

0 引言

與傳統(tǒng)電磁電機(jī)相比，超聲波電機(jī)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、定位精度高、低速大推力、無(wú)減速齒輪直驅(qū)負(fù)載、噪聲小、摩擦式自鎖等優(yōu)點(diǎn)[1-2]。直線超聲波電機(jī)除了超聲波電機(jī)的共同特點(diǎn)外，還具有無(wú)需絲桿機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)換直接輸出直線運(yùn)動(dòng)推力的特性[3-4]。建立數(shù)學(xué)模型精確地反映超聲波電機(jī)的運(yùn)行特性，對(duì)于指導(dǎo)電機(jī)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化、新型樣機(jī)制作和控制具有重要的意義。目前，超聲波電機(jī)的模型研究主要是等效電路模型法[5-6]和理論分析法[7-8]。等效電路模型為近似等效模型,主要為超聲波電機(jī)的驅(qū)動(dòng)控制提供模型基礎(chǔ)，電機(jī)設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面不具優(yōu)勢(shì)。理論分析法主要是有限元法和動(dòng)力學(xué)模型，有限元法運(yùn)算量太大需要較長(zhǎng)的時(shí)間進(jìn)行運(yùn)算，動(dòng)力學(xué)模型可通過(guò)數(shù)學(xué)模型直接得到電機(jī)的輸入輸出特性。

本文利用Hamilton能量變分原理對(duì)一款大推力圓柱定子直線超聲波電機(jī)定子進(jìn)行建模，推導(dǎo)出電機(jī)定子的機(jī)電能量系統(tǒng)。通過(guò)對(duì)能量的變分，導(dǎo)出電機(jī)定子的運(yùn)動(dòng)方程，建立圓柱定子超聲波電機(jī)的定子機(jī)電能量轉(zhuǎn)換模型，對(duì)已建立的理論模型進(jìn)行仿真,并對(duì)樣機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。

1 圓柱定子直線超聲波電機(jī)機(jī)理

圓柱定子結(jié)構(gòu)如圖1所示。采用蘭杰文振子，八階彎曲振動(dòng)和三階縱向振動(dòng)復(fù)合的振動(dòng)模態(tài)，定子上安裝兩驅(qū)動(dòng)足交替驅(qū)動(dòng)動(dòng)子作直線運(yùn)動(dòng)。對(duì)縱向振動(dòng)和彎曲振動(dòng)陶瓷片施加頻率相同、相位差90°的激勵(lì)電源，產(chǎn)生相位差為90°的兩種振動(dòng)模態(tài)，使定子驅(qū)動(dòng)足接觸面質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生橢圓運(yùn)動(dòng)，從而推動(dòng)動(dòng)子滑行。壓電陶瓷片分四組，每組兩片，從每組陶瓷片中間引出電極接激勵(lì)電源，陶瓷片與定子匹配塊接觸面接地?？v振壓電陶瓷片為縱向極化，反向極化疊在一起；每片彎振壓電陶瓷均分成兩部分，且極化方向相反。

(a) 定子結(jié)構(gòu)圖

(b) 壓電陶瓷片的結(jié)構(gòu)和極化方向圖1 定子結(jié)構(gòu)

圖2為定子振型，V為縱向振動(dòng)速度，Vb為彎曲振動(dòng)速度，T為縱振產(chǎn)生的縱向壓力，電機(jī)定子固定預(yù)緊點(diǎn)位于兩種振動(dòng)模態(tài)的共同節(jié)面處。

圖2 定子振型

2 定子的Hamilton方程

壓電振子是微小振動(dòng)，可線性疊加，由Hamilton能量變分原理可得圓柱定子縱振和彎振的變分方程[9-10]：

(1)

(2)

式中，Lz=Tz-Uz+Ez,Lw=Tw-Uw+Ew，Tz、Uz和Ez分別為定子縱振下的動(dòng)能、勢(shì)能和壓電陶瓷電場(chǎng)能，Tw、Uw和Ew分別為定子彎振下的動(dòng)能、勢(shì)能和壓電陶瓷電場(chǎng)能，δWez為縱振下外部施加的電能，δWew為彎振下外部施加的電能。

3 定子縱振模態(tài)下建模

縱向振動(dòng)，應(yīng)變應(yīng)力矢量矩陣可以縮減為：

(3)

金屬?gòu)椥泽w的勁度常數(shù)矩陣縮減為3×3的矩陣[12]：

cs z= {cs33}

(4)

式中，cs33=EYs/(1-μs2)，EYs為金屬?gòu)椥泽w的彈性模量，μs為金屬?gòu)椥泽w的泊松比。

縱向激勵(lì)電壓在壓電陶瓷上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為：

Ez=Nφz(z)·Vz/tp=Nez·Vz

(5)

式中，Vz={Vzmaxsinωt}，Vzmax為縱向激勵(lì)電壓幅值；Nφz(z)為縱向電勢(shì)的形函數(shù)矩陣，只與電極z方向的值有關(guān)。根據(jù)圖1中的電極設(shè)置，電勢(shì)的形函數(shù)矩陣的分量：Nφz(z)=1，其中l(wèi)2-2

3.1 定子縱振模態(tài)下動(dòng)能

定子縱振瞬時(shí)幅值矢量為：

U1=Nz·U1z

(6)

式中，Nz={cos(3πz/l)}，U1z={ξBcos(ωt+π/2)}t，ξB為縱振幅值。電機(jī)定子縱振下的動(dòng)能為：

(7)

3.2 定子縱振模態(tài)下勢(shì)能

定子勢(shì)能由金屬?gòu)椥泽w和壓電陶瓷兩部分組成，定子縱振模態(tài)下勢(shì)能為：

(8)

式中，Sz和Tz為縱振下應(yīng)變矢量和應(yīng)力矢量，Sz=Nzs·U1z，Nzs=?Nz/?z。由第二類壓電方程，可得：

(9)

3.3 縱振壓電振子電場(chǎng)能

縱振壓電陶瓷的電場(chǎng)能：

(10)

3.4 縱向激勵(lì)外部施加的電能

縱向激勵(lì)外部施加電能的變分：

(11)

式中，qz為縱向激勵(lì)施加在電極上的電荷矢量。

3.5 縱振仿真模型

Vz僅對(duì)縱振壓電陶瓷片作用，超聲波電機(jī)定子的縱振能量為：

(12)

電機(jī)定子縱振能量的變分為：

(13)

將式(11)和式(13)代入將式(1)，根據(jù)δU1zt與δVz為兩個(gè)相互獨(dú)立的變分，得到電機(jī)定子縱振仿真模型為：

(14)

實(shí)際電機(jī)定子振動(dòng)系統(tǒng)會(huì)有阻尼存在，對(duì)式(14)添加阻尼項(xiàng)Cz，得到電機(jī)定子縱振的振動(dòng)方程：

(15)

4 定子彎振模態(tài)下建模

彎振可忽略振動(dòng)引起的縱向變形，振動(dòng)后定子橫截面仍為圓形，如圖3所示，θ為橫截面變形前后夾角：

(16)

式中，ξA為彎振幅值，α→0，tanα≈α，可得：

α=sin(9πz/l)(9πξA)/(2l)

(17)

圖3 定子彎曲振動(dòng)示意圖

由于圓柱定子軸對(duì)稱性和定子橫截面保持為圓形，彎振應(yīng)變應(yīng)力矢量矩陣可以縮減為：

(18)

(19)

式中，U2={u,v}t，u、v分別為定子各點(diǎn)在x、z方向的位移。彎曲激勵(lì)電壓在壓電陶瓷上電勢(shì)為：

φw=Nφw(z)·Vw

(20)

式中，Vw={Vwmaxsinωt}，Vwmax為激勵(lì)電壓幅值；Nφw(z)為彎振電勢(shì)的形函數(shù)矩陣。根據(jù)圖1中的電極的設(shè)置，電勢(shì)的形函數(shù)矩陣的分量為：

(21)

彎振激勵(lì)電壓在壓電陶瓷上產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為：

Ew=New·Vw

(22)

式中，New=Nφw(z)/tp。

4.1 定子彎振模態(tài)下動(dòng)能

定子各點(diǎn)在x、z方向的位移分別為：

u(x,z)=-ξAcosωtcos(9πz/l)+x·sinθcosωt≈

-ξAcos(9πz/l)·cosωt

(23)

v(x,z)=xcosθcosωt≈9πξAxsin(9πz/l)cosωt/l

(24)

則可得：

U2=Nw·U2w

(25)

將式(25)代入式(19)得：

Sw=Nws·U2w

(26)

電機(jī)定子彎振下的動(dòng)能：

(27)

4.2 定子彎振模態(tài)下勢(shì)能

定子勢(shì)能由金屬?gòu)椥泽w和壓電陶瓷兩部分組成，定子彎振模態(tài)下勢(shì)能為：

(28)

4.3 彎振壓電振子電場(chǎng)能

彎振壓電陶瓷的電場(chǎng)能為：

(29)

4.4 彎曲激勵(lì)外部施加的電能

外部施加電能的變分：

(30)

式中，qw為彎曲激勵(lì)施加在電極上的電荷矢量。

4.5 彎振仿真模型

Vw僅對(duì)彎曲振動(dòng)壓電陶瓷片作用，超聲波電機(jī)定子的彎振能量為：

(31)

參照縱振仿真模型求取，彎振仿真模型為：

(32)

對(duì)式(32)添加阻尼項(xiàng)Cw，得到電機(jī)定子的彎振振動(dòng)方程：

(33)

(34)

阻尼系數(shù)為：

c1=ηc0

(35)

式中，η為阻尼比。本文所研究電機(jī)，縱振阻尼比為η0， 彎振阻尼比為η1。

5 仿真與實(shí)驗(yàn)分析

利用Matlab/Simulink建模仿真，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)：定子長(zhǎng)度l為282 mm，定子中間匹配塊橫截面外半徑R1為10 mm，定子中間匹配塊橫截面內(nèi)半徑R2為3.25 mm，壓電陶瓷的厚度tp為2 mm，壓電陶瓷橫截面外半徑r1為10 mm，壓電陶瓷橫截面內(nèi)半徑r2為4 mm，l1為129 mm，l2為137 mm，定子金屬?gòu)椥泽w材料的密度ρs為2780 kg/m3，定子金屬?gòu)椥泽w材料的楊氏模量EYS為7.3×1010N/m2，定子金屬?gòu)椥泽w材料的泊松比μs為0.31，壓電陶瓷材料的密度ρp為7500 kg/m3，阻尼比η0和η1均為0.2%。

施加電壓值為400 V，振幅隨頻率變化如圖4所示, 圖4a為縱向振動(dòng)振幅隨頻率變化曲線，圖4b為彎曲振動(dòng)振幅隨頻率變化曲線。當(dāng)激勵(lì)電壓頻率為諧振頻率時(shí)振幅最大，越接近諧振頻率點(diǎn)振幅越大。從圖中可知29.8 kHz最接近縱向振動(dòng)諧振頻率，30.6 kHz最接近彎曲振動(dòng)諧振頻率。

(a) 縱向振動(dòng) (b) 彎曲振動(dòng)圖4 定子振幅和頻率關(guān)系

起動(dòng)過(guò)程中，電機(jī)定子振幅變化曲線如圖5所示，激勵(lì)電壓幅值為400 V。當(dāng)加上激勵(lì)電壓之后，電機(jī)定子的振幅需要從0升至穩(wěn)定值。電機(jī)定子并不是瞬間達(dá)到工作的最大值，而是在起動(dòng)過(guò)程中，電機(jī)定子的振幅從零振蕩升至穩(wěn)定值，當(dāng)激勵(lì)電壓頻率越接近諧振頻率則振蕩越小，激勵(lì)電壓頻率等于諧振頻率時(shí)起動(dòng)過(guò)程沒(méi)有振蕩。

(a) 激勵(lì)電壓頻率為29.8 kHz (b) 激勵(lì)電壓頻率為30 kHz

(c) 激勵(lì)電壓頻率為30.2 kHz (d) 激勵(lì)電壓頻率為30.4 kHz

(e) 激勵(lì)電壓頻率為30.6 kHz圖5 起動(dòng)過(guò)程中電機(jī)定子振動(dòng)振幅

圖6為實(shí)驗(yàn)樣機(jī)，圖7為樣機(jī)驅(qū)動(dòng)電壓和動(dòng)子速度曲線，定子預(yù)壓力為30 N，驅(qū)動(dòng)電壓頻率為25.2 kHz，驅(qū)動(dòng)電壓和動(dòng)子速度成正比，工作頻率誤差主要是電機(jī)加工導(dǎo)致[3]。由圖7可見，驅(qū)動(dòng)電壓和動(dòng)子速度近似成正比，驅(qū)動(dòng)電壓越大，動(dòng)子速度越大，這主要是由于驅(qū)動(dòng)電壓增大時(shí)，定子的振幅隨之增大，從而使定子對(duì)動(dòng)子的驅(qū)動(dòng)速度變大導(dǎo)致的。

圖6 實(shí)驗(yàn)樣機(jī) 圖7 電機(jī)速度-驅(qū)動(dòng)電壓曲線

6 結(jié)論

本文利用Hamilton能量變分原理建立了圓柱定子直線超聲波電機(jī)定子的機(jī)電能量轉(zhuǎn)換模型，并利用Matlab/Simulink對(duì)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行了求解，對(duì)定子的振動(dòng)性能進(jìn)行了仿真分析。分析結(jié)果表明：當(dāng)激勵(lì)電壓頻率為諧振頻率時(shí)振幅最大，越接近諧振頻率點(diǎn)振幅越大；在起動(dòng)過(guò)程中，電機(jī)定子的振幅從零振蕩升至穩(wěn)定值，當(dāng)激勵(lì)電壓頻率越接近諧振頻率則振蕩越小，激勵(lì)電壓頻率等于諧振頻率時(shí)起動(dòng)過(guò)程沒(méi)有振蕩。制作了樣機(jī)，對(duì)樣機(jī)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明

驅(qū)動(dòng)電壓和動(dòng)子速度近似成正比。本文建立的機(jī)電能量轉(zhuǎn)換模型較為精確地給出了電機(jī)定子的機(jī)電耦合特性，對(duì)電機(jī)設(shè)計(jì)以及電機(jī)控制有一定的指導(dǎo)意義。