任浩杰，何法江，陳志雄

（上海工程技術(shù)大學(xué) 航空運(yùn)輸學(xué)院，上海 201620）

0 引 言

接觸問題是指兩物體之間由較小的接觸面?zhèn)鬟f作用力，普遍存在于工程應(yīng)用中，如：過盈裝配、傳動齒輪和連桿齒形配合等［1］。航空發(fā)動機(jī)榫連接結(jié)構(gòu)就是典型的接觸工作條件下的結(jié)構(gòu)，被廣泛應(yīng)用在發(fā)動機(jī)風(fēng)扇、壓氣機(jī)等部件的葉盤之間。研究表明，榫頭和榫槽在接觸面上的相互作用復(fù)雜，局部存在較大的接觸應(yīng)力，容易導(dǎo)致?lián)p傷發(fā)生破壞，需要計(jì)算接觸應(yīng)力，確定其危險(xiǎn)區(qū)域［2－3］。但是接觸問題是一種復(fù)雜的邊界條件非線性問題，存在各種因素影響，工程應(yīng)用中很難通過解析獲得接觸應(yīng)力。目前主要采用有限元法求解復(fù)雜接觸問題，有限元法將一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)分解為大量的小單元，通過對這些相互作用的單元進(jìn)行求解，去逼近無限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。當(dāng)前國內(nèi)對榫連接結(jié)構(gòu)的數(shù)值計(jì)算集中在沿接觸面的應(yīng)力平均值，對高應(yīng)力梯度區(qū)域分析較少且精度偏低，不能精準(zhǔn)確定危險(xiǎn)失效區(qū)域［4］。然而，直接提高精度會導(dǎo)致有限元計(jì)算消耗大量的時(shí)間與資源，因此需要確定合適建模方式，使之能夠高效、高質(zhì)量求解，并且要嚴(yán)格保證計(jì)算收斂，才能得到準(zhǔn)確的接觸應(yīng)力分布，進(jìn)而確定危險(xiǎn)失效區(qū)域。

本文首先從典型的赫茲接觸問題著手，對比有限元解和解析解，以此確定接觸問題的有限元法分析流程；其次，對壓氣機(jī)燕尾榫連接結(jié)構(gòu)的接觸問題進(jìn)行分析，探究網(wǎng)格密度對接觸應(yīng)力求解精度的影響，確定危險(xiǎn)失效區(qū)域，及進(jìn)一步分析接觸應(yīng)力的影響因素。

1 赫茲接觸問題

由于接觸問題的非線性，通常采用有限元法進(jìn)行求解，但在處理和計(jì)算中存在計(jì)算量過大、收斂困難和精度控制難等問題［5］。赫茲接觸理論是接觸應(yīng)力分析的基礎(chǔ)，可以通過有限元法對典型的赫茲接觸問題進(jìn)行求解，對比理論解析解，判斷有限元分析結(jié)果是否合理，并以此確定采用有限元法求解接觸問題的流程［6］。以兩半徑為50 mm、寬100 mm、泊松比0.3、彈性模量200 GPa 的平行圓柱體的接觸為例，假設(shè)載荷20 KN，分別基于赫茲公式和ANSYS軟件計(jì)算接觸半寬及最大接觸應(yīng)力。算例的接觸形式及應(yīng)力分布，如圖1 所示。根據(jù)赫茲接觸中兩個(gè)圓柱體的接觸應(yīng)力計(jì)算公式可以推導(dǎo)接觸半寬a公式（1）和最大接觸應(yīng)力σHmax公式（2）。

圖1 接觸形式及應(yīng)力分布Fig.1 Contact pattern and stress distribution

由式（1）和式（2）計(jì)算得到a＝0.240 7 mm，σHmax＝528.992 3 MPa。考慮到模型的對稱性，對模型進(jìn)行簡化，取模型的對稱部分進(jìn)行有限元仿真分析如圖2 所示，得到有限元解a＝0.247 3 mm，σHmax＝528.37 MPa，與根據(jù)赫茲接觸理論所得的解析解吻合。

圖2 兩圓柱體接觸的有限元模型Fig.2 Finite element model of contact between two cylinders

算例中接觸區(qū)域網(wǎng)格尺寸設(shè)置為0.01 mm。然而，在后續(xù)的零部件有限元分析中過小的網(wǎng)格尺寸會導(dǎo)致計(jì)算量巨大，因此需要確定合適的網(wǎng)格尺寸范圍。本文以接觸半寬為參照，接觸部分網(wǎng)格尺寸／接觸半寬（d／a）設(shè)置為0.02、0.05、0.1、0.2、0.5、1、2、3、4、5，得到10 種密度的網(wǎng)格模型，如圖3 所示，求解得到最大接觸應(yīng)力隨網(wǎng)格密度的變化，如圖4所示。結(jié)果表明要得到可靠的最大接觸應(yīng)力，d／a應(yīng)在0.5 以下。

圖3 不同網(wǎng)格密度的有限元模型Fig.3 Finite element models with different mesh densities

圖4 最大接觸應(yīng)力隨網(wǎng)格密度變化Fig.4 Maximum contact stress varies with mesh density

2 燕尾榫連接結(jié)構(gòu)的有限元分析

在明確了有限元法求解接觸問題的流程和難點(diǎn)后，對某型號航空發(fā)動機(jī)燕尾榫連接結(jié)構(gòu)進(jìn)行了有限元分析。

2.1 結(jié)構(gòu)模型及材料

燕尾榫連接結(jié)構(gòu)模型如圖5 所示，榫槽和榫頭材料均為TC11，化學(xué)成分為Ti 基，常溫下機(jī)械性能為：σ－1＝540 MPa，σb＝1 130 MPa，σs＝866 MPa，E＝120 GPa，μ＝0.33；TC11 鈦合金材料拉伸的應(yīng)力—應(yīng)變曲線，如圖6 所示［7］。

圖5 燕尾榫連接結(jié)構(gòu)模型Fig.5 Dovetail joint structure model

圖6 TC11 拉伸的應(yīng)力—應(yīng)變曲線Fig.6 Stress－strain curve of TC11 tension

2.2 有限元計(jì)算

接觸區(qū)域的應(yīng)力應(yīng)變非常復(fù)雜，為了更準(zhǔn)確分析接觸應(yīng)力，本文在有限元模型的接觸區(qū)域細(xì)化網(wǎng)格，遠(yuǎn)離接觸區(qū)域網(wǎng)格設(shè)置較粗糙，以減少計(jì)算量如圖7 所示。根據(jù)燕尾榫連接結(jié)構(gòu)的實(shí)際工況設(shè)置載荷和約束，輪盤上施加15 KN 均布拉力模擬周向力，在榫頭上端面施加10 KN 均布拉力模擬葉片產(chǎn)生的離心力，輪盤施加位移約束，摩擦系數(shù)0.5［8］。初始狀態(tài)下接觸面間距為0，接觸力為0。計(jì)算結(jié)果表明，接觸區(qū)域存在高應(yīng)力梯度，該工況下接觸應(yīng)力最大值位于接觸區(qū)域下邊緣點(diǎn)，如圖8、圖9 所示。

圖7 燕尾榫連接結(jié)構(gòu)有限元模型Fig.7 Finite element model of dovetail joint structure

圖8 應(yīng)力分布云圖Fig.8 Stress distribution nephogram

圖9 接觸區(qū)域應(yīng)力分布Fig.9 Stress distribution in the contact area

2.3 計(jì)算結(jié)果的收斂性分析

根據(jù)計(jì)算結(jié)果已初步確定接觸區(qū)域下邊緣存在高應(yīng)力梯度，且網(wǎng)格密度對有限元解產(chǎn)生影響。為保證所得到的有限元解有效，對接觸區(qū)域下邊緣依次分別細(xì)化為0.048 mm、0.024 mm、0.012 mm、0.008 mm、0.004 mm。求解得到不同網(wǎng)格密度下應(yīng)力最大值，并計(jì)算各種應(yīng)力最大值之間的誤差，并根據(jù)公式（3）判斷結(jié)果得收斂性［9］。即相鄰兩次模型的解誤差在5%內(nèi)即可認(rèn)為收斂，不必再繼續(xù)細(xì)化網(wǎng)格。各種應(yīng)力最大值隨網(wǎng)格密度的變化趨勢如圖10 所示，可以看出最大等效Mises 應(yīng)力隨網(wǎng)格加密而明顯增大，但到一定尺寸后變化趨勢減小；切向應(yīng)力σxx、法向應(yīng)力σyy以及剪切應(yīng)力τxy同等效Mises應(yīng)力變化趨勢相同。不同模型計(jì)算誤差分析結(jié)果見表1，表明隨著網(wǎng)格密度的增大，最大應(yīng)力值隨之增大，計(jì)算結(jié)果逐漸收斂。網(wǎng)格1 同網(wǎng)格2 以及網(wǎng)格2 同網(wǎng)格3 的計(jì)算結(jié)果相差較大，且都超過5%，表明該網(wǎng)格密度下的計(jì)算結(jié)果沒有收斂。網(wǎng)格3 和網(wǎng)格4 的計(jì)算結(jié)果相差4.3%，表明網(wǎng)格3 的計(jì)算結(jié)果已經(jīng)達(dá)到網(wǎng)格收斂性要求。力分即若要得到準(zhǔn)確的接觸應(yīng)布，求解模型的網(wǎng)格密度需大于或等于網(wǎng)格3。

圖10 應(yīng)力最大值隨網(wǎng)格密度的變化趨勢Fig.10 Trend of maximum stress with grid density

表1 不同尺寸網(wǎng)格模型計(jì)算誤差分析Tab.1 Calculation error analysis of mesh models of different sizes

2.4 接觸區(qū)域網(wǎng)格的優(yōu)化

通過上文的分析計(jì)算，已經(jīng)確定在榫連接接觸區(qū)域下邊緣存在高應(yīng)力梯度，計(jì)算結(jié)果的精度受網(wǎng)格密度影響大。高密度網(wǎng)格模型直接導(dǎo)致計(jì)算量大幅度增加，需要對接觸區(qū)域的網(wǎng)格進(jìn)行優(yōu)化。由于高應(yīng)力梯度區(qū)域只存在于接觸區(qū)域下邊緣，因此只對接觸區(qū)域下邊緣進(jìn)行網(wǎng)格加密。改進(jìn)后結(jié)果相差不大，但是計(jì)算時(shí)間明顯減少，對于后續(xù)處理更復(fù)雜的接觸結(jié)構(gòu)具有很大幫助。

3 接觸應(yīng)力影響因素的進(jìn)一步分析

3.1 載荷對接觸應(yīng)力的影響

發(fā)動機(jī)在實(shí)際工作運(yùn)轉(zhuǎn)中存在多種工況，與之對應(yīng)的榫連接結(jié)構(gòu)也存在著不同的工況。不同載荷下的接觸應(yīng)力也會產(chǎn)生變化，為了分析不同工況下接觸應(yīng)力的變化，取10 KN、11 KN、13 KN、15 KN 4種工況載荷，接觸面初始間距為0，摩擦系數(shù)取0.5，建立相同的模型進(jìn)行分析。4 種工況下，接觸應(yīng)力都存在明顯的峰值，最大接觸應(yīng)力值接近且都位于接觸下邊緣區(qū)，最大值所在區(qū)域相差不大。4 種工況下接觸應(yīng)力的分布和變化趨勢一致，如圖11 所示，接觸應(yīng)力隨載荷增大而增大，沿接觸面長度急劇增大達(dá)到峰值，隨后急劇減小最后趨近穩(wěn)定，4 種載荷下危險(xiǎn)失效區(qū)域一致。

圖11 不同工況下接觸應(yīng)力分布圖Fig.11 Contact stress distribution under different working conditions

3.2 摩擦系數(shù)對接觸應(yīng)力的影響

摩擦系數(shù)也是影響接觸應(yīng)力的重要因素之一。為分析摩擦系數(shù)對接觸應(yīng)力的影響，在接觸面設(shè)置不同摩擦系數(shù)的模型進(jìn)行數(shù)值分析。鈦合金材料在常溫時(shí)摩擦系數(shù)一般在0.5 左右，因此摩擦系數(shù)取0.2、0.4、0.5、0.6、0.8，采用相同網(wǎng)格密度的模型，載荷為10 KN，初始狀態(tài)接觸間距為0。5 種不同的接觸面摩擦系數(shù)下，接觸應(yīng)力的分布及變化趨勢一致，如圖12 所示，隨著摩擦系數(shù)增大，接觸面上接觸應(yīng)力反而減小，同時(shí)越靠近接觸邊緣，摩擦系數(shù)的影響越明顯；隨著摩擦系數(shù)的改變，最大接觸應(yīng)力出現(xiàn)區(qū)域變化不大，危險(xiǎn)失效區(qū)域依舊在接觸面下邊緣。

圖12 不同摩擦系數(shù)下接觸應(yīng)力分布圖Fig.12 Contact stress distribution under different friction coefficients

4 結(jié)束語

本文對赫茲接觸問題進(jìn)行了有限元分析，明確了有限元分析接觸問題的流程和難點(diǎn)，結(jié)果表明網(wǎng)格密度影響數(shù)值求解精度。要得到可靠結(jié)果，網(wǎng)格尺寸和接觸半寬之比應(yīng)在0.5 以下。對航空發(fā)動機(jī)燕尾榫連接結(jié)構(gòu)接觸應(yīng)力進(jìn)行分析，著重探究了網(wǎng)格密度對計(jì)算結(jié)果收斂性的影響及載荷和摩擦系數(shù)對接觸應(yīng)力的影響，得出結(jié)論：在燕尾榫連接結(jié)構(gòu)接觸面存在較高的應(yīng)力梯度；常規(guī)的網(wǎng)格密度在高應(yīng)力梯度求解結(jié)果的精度不夠，需要優(yōu)化高應(yīng)力梯度位置網(wǎng)格；最大接觸應(yīng)力點(diǎn)位于接觸區(qū)域下邊緣，接觸區(qū)域下邊緣為危險(xiǎn)失效區(qū)域；隨著載荷和接觸面摩擦系數(shù)的變化，接觸應(yīng)力分布趨勢不變，數(shù)值隨載荷增大而增大，隨摩擦系數(shù)增大而減小。上述的高應(yīng)力梯度區(qū)域的網(wǎng)格優(yōu)化、網(wǎng)格收斂性的分析，對有限元法接觸分析建模、平衡計(jì)算精度和計(jì)算量具有參考意義；榫槽在接觸區(qū)域下邊緣位置存在危險(xiǎn)，對榫連接結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和應(yīng)用具有實(shí)際意義。