吳建強

(安徽理工大學(xué)力學(xué)與光電物理學(xué)院，安徽 淮南 232001)

夾層結(jié)構(gòu)由于具有良好的隔聲隔熱和吸收沖擊能力、強度高、剛度大等優(yōu)點，已廣泛應(yīng)用于航空航天、海事、交通、土建等工程領(lǐng)域。但針對夾層結(jié)構(gòu)的理論研究，目前主要有Reissner理論、Hoff理論。Reissner理論將約束層看作薄膜，只能承受面內(nèi)力，不能承受彎曲，因而夾心層內(nèi)部產(chǎn)生彎曲應(yīng)力；Hoff理論雖然把約束層看成了普通的薄板，考慮了彎曲變形的影響，但只考慮了橫向剪力。文獻[6]認為夾層結(jié)構(gòu)橫向應(yīng)變沿厚度成拋物線變化；文獻[7-8]基于高階理論得到夾層板的自由振動的解析解；文獻[9]分析了經(jīng)典復(fù)合材料夾層板自由振動特性；文獻[10-13]等的研究通過假定所有軸向、彎曲由上下層承受，中間層僅承受橫向荷載；文獻[14]分析了功能梯度夾層梁振動方程，沒有考慮橫向壓縮產(chǎn)生的影響；文獻[15]研究了軟芯夾層梁橫向剪切力應(yīng)力公式，公式推導(dǎo)過程中引入了平面假設(shè)；文獻[16]假定夾層結(jié)構(gòu)橫向應(yīng)變沿厚度方向呈拋物線分布，發(fā)展了一種計算復(fù)合材料板的變形理論解。文獻[17] 將夾層結(jié)構(gòu)的上下層視為薄膜，忽略其抗彎剛度，同時認為中間夾層只承受橫向剪力作用，分析了夾層結(jié)構(gòu)的相應(yīng)問題。文獻[18]將夾層結(jié)構(gòu)上下層視為薄板，中間層仍只考慮橫向剪力，進一步對夾層結(jié)構(gòu)進行了研究。

在已有的研究文獻中，計算夾層結(jié)構(gòu)時都在不同程度上引入了平面假設(shè)或者忽略了中間夾層的橫向可壓縮性，當(dāng)用這些理論來求解短、粗或軟夾層梁時誤差大。本文將發(fā)展一種新型梁單元，摒棄平面假設(shè)，同時考慮橫向可壓縮性，給出了物理方程、幾何方程的詳細推導(dǎo)過程，利用最小勢能原理得到平衡方程，與經(jīng)典歐拉梁理論解和有限元結(jié)果進行對比分析，為軟夾層橫向位移計算提供一種參考。

1 新夾層梁基本理論

1.1 基本假設(shè)

對由上約束層、夾心層和下約束層組成的三夾層梁，假設(shè)如下：

1)兩約束層為歐拉梁；

2)各層有獨立的橫向和軸向位移，夾心層橫向和軸向位移在厚度方向上二次變化；

3)層間無相對滑動；

4)考慮中間夾層正應(yīng)力，正應(yīng)變，剪應(yīng)力，剪應(yīng)變。

1.2 位移場

(1)

式中：

a

、

b

、

c

、

a

′、

b

′、

c

′為常數(shù)，

e

=(

t

+

t

)

/

2，

e

=(

t

+

t

)

/

2。

圖1 夾層梁示意圖

圖2 兩結(jié)點16自由度夾層梁單元

由層間無相對滑動假設(shè)，有

(2)

將公式(2)代入公式(1)得

(3)

(4)

夾心層位移表示為

(5)

1.3 幾何方程

由公式(1)及公式(5)得夾層梁各層應(yīng)變-位移關(guān)系。

上約束層

(6)

下約束層

(7)

夾心層

(8)

式中：(·),表示變量(·)對

x

求一階導(dǎo)數(shù)，

ε

1、

ε

、

ε

1、

ε

3、

γ

1、

γ

3、

ε

2、

ε

2和

γ

2分別是上下約束層和夾心層的軸向、橫向應(yīng)變和剪切應(yīng)變。

1.4 本構(gòu)關(guān)系

夾層梁第

k

層粱的本構(gòu)關(guān)系為{

σ

()}=[

C

()]{

ε

()}

(9)

其中，[

C

()]為彈性常數(shù)矩陣。

1.5 系統(tǒng)應(yīng)變能

夾層梁應(yīng)變能為

(10)

式中：

V

、

V

、

V

分別是上約束層、夾心層和下約束層應(yīng)變能，

b

為梁寬度。

2 有限元的實現(xiàn)

2.1 單元位移模式

單元的自由度如圖2所示。小變形情況下，上下約束層位移設(shè)為

(11)

設(shè)夾心層位移函數(shù)為

(12)

將兩端點的位移分量和坐標(biāo)代入公式(11)、(12)，可得待定系數(shù)，從而得到各層中面位移和任意點位移場分別為

(13)

(14)

(15)

ξ

=

x/l

,

l

是單元長度。

2.2 單元平衡方程和剛度矩陣

單元應(yīng)變能為

{

q

}[

K

]{

q

}

/

2

(16)

單元外力勢能為

W

=-{

q

}{

F

}

(17)

其中：{

F

}表示外力列陣。

故單元總勢能為

(18)

由最小勢能原理，得單元平衡方程

{

F

}=[

K

]{

q

}

(19)

3 數(shù)值驗證

3.1 與解析解比較

長為

l

的懸臂梁，在自由端受集中力

F

作用，由材料力學(xué)知識有，懸臂梁在自由端受集中力的撓曲線為

式中：

x

為所求截面到固定端的距離，mm；

b

為梁的寬度，mm；

h

為梁的厚度,mm。夾層梁長度為2 000mm,寬度為50mm,總厚度為100mm,約束層厚度100(1-

r

)/2，夾層厚度為

r

,%。模型

I

為經(jīng)典歐拉梁，約束層和夾心層材料相同，其彈性模量為72GPa,泊松比為0.3，材料密度為2.7×10t/mm。表1給出了

r

=10%、30%、50%、80%、100%，

F

=2 000N時自由端撓度對比情況。從中可以看出，對于不同厚度的夾心層，本文方法的結(jié)果與經(jīng)典歐拉梁的理解論相差非常小，相對誤差都在0.02%以內(nèi)，驗證了本文方法的合理性。

表1 模型(Ⅰ)的本文方法與解析解的結(jié)果比較

圖3對比了夾層厚度為80%時梁內(nèi)各點位移對比情況，經(jīng)典歐拉梁各層在同一橫截面上的位移相同，而本文方法的每一層是有其獨立橫向位移的，得到的每一層的橫向位移是不同的(見端部局部放大圖)，力作用在上約束層時，上約束層的橫向位移值最大，下約束層的最小。

圖3 模型(Ⅰ)r=80%本文與歐拉梁結(jié)果對比圖

3.2 與有限元結(jié)果比較

經(jīng)典歐拉梁沒有考慮梁的泊松效應(yīng)和橫向可壓縮性，當(dāng)兩者對梁的影響較大時，采用經(jīng)典歐拉梁理論來求解是不精確的，對夾層梁特別是夾心層和約束層的材料參數(shù)差異較大，即夾心層較軟時，經(jīng)典歐拉梁模型求解的誤差更大。目前，針對該問題多用有限元法分析，有限元法能準(zhǔn)確求解夾層梁問題，為了驗證本文方法的正確性，有限元法和本文法所取梁的參數(shù)如下：梁的長度為2 000mm,寬度為50mm,總厚度為100mm，約束層彈性模量為72GPa,泊松比為0.3，材料密度為2.7×10t/mm；夾心層材料彈性模量為10MPa，泊松比為0.49，材料密度為1.3×10t/mm，

r

=80%。計算模型(Ⅱ)取圖4兩種邊界情況，圖4(a)是懸臂梁模型，在自由端的上約束層作用集中力

F

=100N；圖4(b)是兩端固定模型，在夾層梁的中間位置作用集中力

F

=100N，圖4(c)給出了三維有限元模型。其對比結(jié)果如表2、圖5和圖6所示。

從表2可以看出，對懸臂夾層梁，本文方法得到的結(jié)果跟三維有限元結(jié)果一致，上約束層、夾心層和下約束層的自由端的最大撓度值與三維有限元結(jié)果相比，誤差很小，分別為0.05%、0.03%和0.03%，說明該理論是正確的。

(a)懸臂夾層梁 (b) 兩端固支夾層梁 (c)三維有限元模型圖4 模型(II)計算模型

表2 懸臂梁模型最大撓度對比

(a)軸向位移

(b)橫向位移

(c)上約束層橫向位移

(d)夾心層橫向位移

(e)下約束層橫向位移圖5 模型(II)懸臂夾層梁計算結(jié)果

圖5分別對比了模型(II)懸臂梁與本文方法橫向位移和軸向位移情況，圖5(a)～圖5(b)分別對比了軸向位移和橫向位移，本文得出的結(jié)果跟三維有限元結(jié)果一致，橫向力

F

作用下，夾心層的材料相對較軟、 剛度較小， 夾心層端部區(qū)域為明顯受壓狀態(tài)， 因此上約束層的橫向位移會比下約束層的橫向位移要大，大概在梁長度93%～100%之間即

F

作用端點附近三層的變形差別相對較大。圖5(c)～圖5(e)對比了各層橫向位移變化情況，在93%～99.5%區(qū)間上，上約束層的橫向位移最大，夾心層次之，下約束層最小，表現(xiàn)為夾心層受壓；在99.5%～100%區(qū)間上約束層的橫向位移最大，下約束層次之，夾心層最小，表現(xiàn)為夾心層幾何中心線以上的夾心層部分受壓，中心線以下的夾心層受拉；夾心層在受壓狀態(tài)下，自由端端部是沒有約束的，所以端部前緣的夾心層會向軸向正方向運動，從圖5可以看出，本文方法得出的結(jié)果與有限元結(jié)果相比，誤差都很小。

(a)軸向位移

(b)橫向位移

(c)上約束層橫向位移

(d)夾心層橫向位移

(e)下約束層橫向位移圖6 模型(II)兩端固定夾層梁計算結(jié)果

圖6(a)～圖6(b)對比了兩端固定夾層梁有限元法和本文方法在軸向位移和橫向位移的情況； 從圖6(a)可以看出， 兩端固支夾層梁在橫向集中力作用下， 力

F

作用點附近的夾心層是處于被壓縮狀態(tài)，力作用點處壓縮量最大，此處的夾心層會以作用點為中心向兩邊移動； 從圖6(b)得出， 中間層較軟， 作用點附近區(qū)域會呈現(xiàn)明顯受壓狀態(tài)，因此上約束層的橫向位移會比下約束層的橫向位移要大；
圖6(c)～圖6(e)分別對比了上約束層、 夾心層和下約束層橫向位移，在距離力

F

的作用點0～100mm之間三層的橫向位移差別相對較大，在力作用點處，三層的橫向位移均達到最大值， 分別為1.882 5mm、 1.861 9mm和1.848 2mm。

由圖5和圖6可看出，對于夾心層相對約束層較軟的梁，因剪切作用和泊松效應(yīng)所產(chǎn)生的影響是存在的，夾層梁的上約束層受壓，下約束層受拉，上下約束層的軸向變形基本呈反對稱趨勢。通過對比，用本文方法計算夾心層較軟的夾層梁模型并跟三維有限元方法的結(jié)果比較，結(jié)果表明本文方法克服了經(jīng)典方法的不足，能準(zhǔn)確地體現(xiàn)夾層梁在精力作用下，截面變形后不再是一個平面，橫向方向是可壓縮的。

4 結(jié)論

本文給出了一種用于夾層梁結(jié)構(gòu)計算的梁單元。該模型摒棄了平截面假定以及變形過程中厚度保持不變的假設(shè)，算例驗證了本文方法的正確性。同時，該思想也可進一步發(fā)展用于具有多夾層的夾層梁、板和殼。

本文僅驗證了模型的靜力學(xué)響應(yīng)的正確性，對實際工程問題而言僅僅考慮靜力學(xué)問題是不夠的，實際結(jié)構(gòu)中常作用有動載荷，下一步將對結(jié)構(gòu)的振動特性和動力學(xué)響應(yīng)問題進行研究，以確定結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性和承載能力，為改善結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能提供重要依據(jù)。