盧燕霞

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一.高考相關(guān)試題強(qiáng)調(diào)綜合性，綜合考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合、特殊與一般等思想方法，突出考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力，考查形式靈活多樣.一般的解法是設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)或者曲線(xiàn)方程，通過(guò)題設(shè)條件列出滿(mǎn)足條件的方程或方程組，解方程（組）求解.但這類(lèi)解法往往計(jì)算繁瑣，且計(jì)算過(guò)程中可能需要一定的技巧.這可能是導(dǎo)致解析幾何問(wèn)題的求解過(guò)程中“對(duì)而不全”現(xiàn)象普遍存在的主要原因.其實(shí)解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題，如果我們能深入挖掘題目中圖形或曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，借助平面幾何的相關(guān)知識(shí)和技巧，對(duì)題目所給的幾何條件準(zhǔn)確代數(shù)化（坐標(biāo)化），往往能達(dá)到化難為易、化繁為筒、事半功倍的效果.下面擬以2018年全國(guó)Ⅱ卷第12題為引例，談?wù)勥@類(lèi)試題的解題思路和方法，供復(fù)習(xí)教學(xué)參考.

1利用三角形的性質(zhì)求橢圓的離心率

離心率是反映圓錐曲線(xiàn)本質(zhì)屬性的一個(gè)量，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).一般有兩種題型：求離心率的值、求離心率的取值范圍.解答的基本思路是求出橢圓或雙曲線(xiàn)的長(zhǎng)軸和焦距之間的比值，借助平面幾何知識(shí)，我們往往可以回避設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線(xiàn)方程、求點(diǎn)的坐標(biāo)等繁瑣步驟，從而快速求解.

解析方法1充分發(fā)揮平面幾何的作用，利用輔助線(xiàn)的優(yōu)勢(shì)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，從而構(gòu)造一個(gè)斜邊長(zhǎng)為2c且有一個(gè)內(nèi)角為60°的直角三角形，再利用等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)解題，由題意可得橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖1所示，

方法2先求出兩條直線(xiàn)PF與PF的方程，再求出兩條直線(xiàn)交點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后把P的坐標(biāo)代入直線(xiàn)PA的方程即可，這個(gè)方法涉及到求兩條直線(xiàn)方程和它們的交點(diǎn)坐標(biāo)，需要假設(shè)適當(dāng)?shù)膮?shù)，顯然計(jì)算過(guò)程是非常繁瑣復(fù)雜的，耗時(shí)耗力，而且面臨算不下去的風(fēng)險(xiǎn)，一般不提倡.

評(píng)析這是一道中檔題，考查橢圓的離心率，建議要依題構(gòu)圖，運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)，尋求適當(dāng)幾何關(guān)系是巧解此題的關(guān)鍵.方法1充分挖掘題目中圖形蘊(yùn)含的幾何性質(zhì)，利用平面幾何中等腰三角形的知識(shí)，結(jié)合直線(xiàn)斜率的幾何意義得出a與c的比例，從而快速得解，具有一定的技巧性.方法2是通性通法，需要設(shè)出適當(dāng)參數(shù)，找出幾何關(guān)系，而幾何關(guān)系又有多種選擇，但是過(guò)程都較繁瑣.

2利用圓的相關(guān)性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)

圓是平面幾何和解析幾何中最重要的內(nèi)容之一，圓既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)太圖形，其中蘊(yùn)藏著諸多位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，它有許多重要幾何性質(zhì)，涉及的知識(shí)點(diǎn)主要有圓中切割線(xiàn)定理、圓冪定理、垂徑定理等.對(duì)于解析幾何中有關(guān)圓的問(wèn)題，若能充分利用圓的幾何性質(zhì)，將會(huì)使得解題思路簡(jiǎn)明，解法簡(jiǎn)潔，不僅免去解析幾何繁雜的運(yùn)算，還能充分感受到平面幾何的魅力.