許梅容

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》將“數(shù)據(jù)分析”作為高中數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中培養(yǎng)學(xué)生所必備的六個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一，而初中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)與準(zhǔn)備，這就必然地引發(fā)了初中數(shù)學(xué)中，統(tǒng)計(jì)要考什么、怎么考的思考，筆者借助教材課題學(xué)習(xí)內(nèi)容挖掘其中的統(tǒng)計(jì)思想，嘗試編制統(tǒng)計(jì)試題，并對(duì)其進(jìn)行拓展變式，期待能夠引起更多的討論，助力命題研究.

1命題過程

1.1試題展示

（10分）調(diào)查作業(yè)：數(shù)學(xué)老師安排九年1班的同學(xué)通過小組合作對(duì)本校九年級(jí)二十個(gè)班級(jí)1000位同學(xué)的中考體育球類三選一自選項(xiàng)目情況進(jìn)行調(diào)查了解，同學(xué)們分成以小軍、小紅、小亮、小英為小組長的四個(gè)小組各自將抽樣收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，繪制成以下四種情況的統(tǒng)計(jì)表：

根據(jù)以上材料回答下列問題：

（1）這4組同學(xué)所繪制的統(tǒng)計(jì)表中，哪一組同學(xué)抽樣調(diào)查的數(shù)據(jù)能較好地反映出該校學(xué)生自選球類情況，并簡要說明其他同學(xué)抽樣調(diào)查的不足之處.

（2）你能用學(xué)過的統(tǒng)計(jì)圖來表示全校同學(xué)自選球類的情況嗎？

（3）結(jié)合你所畫的統(tǒng)計(jì)圖，你可以對(duì)學(xué)校的球類教學(xué)工作提出什么建議嗎？

1.2試題背景

試題的背景材料為義務(wù)教育教科書人教版八年級(jí)下冊(cè)20.3課題學(xué)習(xí)《體質(zhì)健康測(cè)試中的數(shù)據(jù)分析》.請(qǐng)同學(xué)們分組合作完成下面的調(diào)查活動(dòng).

收集完成近兩年你校七年級(jí)部分學(xué)生的《體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)登記表》，分析登記表中的數(shù)據(jù)，對(duì)你校七年級(jí)學(xué)生的體質(zhì)健康情況進(jìn)行評(píng)定，提出增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康的建議.

教材提供一個(gè)調(diào)查樣例，從收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、撰寫調(diào)查報(bào)告、交流這6個(gè)環(huán)節(jié)為學(xué)生展示課題學(xué)習(xí)流程，要求學(xué)生寫出活動(dòng)總結(jié)，介紹本小組的調(diào)查過程，展示調(diào)查結(jié)果，交流通過數(shù)據(jù)處理尋找規(guī)律、得出結(jié)論的感受.課題學(xué)習(xí)過程展示了初中階段學(xué)生養(yǎng)成數(shù)據(jù)分析觀念的做法.沿著課題學(xué)習(xí)的思路，筆者嘗試設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的題目，挖掘課題內(nèi)涵，促進(jìn)學(xué)習(xí)研究的深度融合.

1.3試題設(shè)計(jì)

為了解總體的情況，我們經(jīng)常從總體中抽取樣本，通過對(duì)樣本數(shù)據(jù)的處理，獲得一些結(jié)論，然后再利用這些結(jié)論對(duì)總體進(jìn)行估計(jì)，這就是用樣本估計(jì)總體，它是統(tǒng)計(jì)的基本思想.有的學(xué)生隨意抽取樣本，導(dǎo)致得到的數(shù)據(jù)失去應(yīng)有的作用，獲取了一些失真的、無效的數(shù)據(jù).

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》關(guān)于統(tǒng)計(jì)課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)“樹立數(shù)據(jù)分析觀念、掌握必要的收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、描述數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)的方法”，試題考查目標(biāo)定位于準(zhǔn)確掌握抽樣的方法、科學(xué)整理數(shù)據(jù)、規(guī)范描述數(shù)據(jù)、準(zhǔn)確分析數(shù)據(jù)、合理推測(cè)結(jié)論，落實(shí)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查.

相關(guān)調(diào)查涉及14項(xiàng)體育活動(dòng)，以球類項(xiàng)目為例開展抽樣調(diào)查，收集整理描述分析數(shù)據(jù)，目的是考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析意識(shí)，一方面可以檢驗(yàn)課題學(xué)習(xí)水平，另一方面落實(shí)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查，圍繞自選球類項(xiàng)目的調(diào)查流程，以樣本估計(jì)整體的細(xì)節(jié)處理，集中趨勢(shì)的說明分析，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)據(jù)分析解決實(shí)際問題.

試題初稿是對(duì)城區(qū)兩所學(xué)校學(xué)生的球類成績進(jìn)行抽樣調(diào)查，題目如下：

為準(zhǔn)備體育中考，了解學(xué)生的球類成績情況，對(duì)城區(qū)兩所中學(xué)的八年級(jí)男生進(jìn)行了抽樣調(diào)查，過程如下：

收集數(shù)據(jù)：從這兩所中學(xué)的八年級(jí)各隨機(jī)抽取20名學(xué)生，進(jìn)行球類項(xiàng)目測(cè)試，測(cè)試成績?nèi)缦拢?/p>

甲校：86 74 81 75 76 87 70 75 100 78 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77

乙校：93 80 73 81 88 70 81 81 72 73 81 78 94 82 83 80 77 70 83 40

整理、描述數(shù)據(jù)：按如下分?jǐn)?shù)段整理，描述兩組樣本數(shù)據(jù)，請(qǐng)補(bǔ)充完整：

分析數(shù)據(jù) 請(qǐng)結(jié)合上表，選擇一所學(xué)校畫出它的頻數(shù)直方圖;

得出結(jié)論 通過直方圖，可以推斷出_____________________________________;理由為：__________________________________________.

試題設(shè)計(jì)經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析過程，考慮城區(qū)兩所學(xué)校抽取20名學(xué)生成績作為樣本不具廣泛性和代表性，命題立意不夠嚴(yán)謹(jǐn)，于是把試題設(shè)計(jì)為一所學(xué)校的籃球、足球、排球三種球類自選項(xiàng)目的相關(guān)問題并進(jìn)行拓展，通過學(xué)生熟悉的中考體育活動(dòng)，經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析過程，考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)據(jù)分析的方法解決生產(chǎn)、生活中簡單的統(tǒng)計(jì)問題.

1.4試題解答

（1）（4分）小英同學(xué)的抽樣調(diào)查反映出該校學(xué)生自選球類情況，小軍小紅的樣本沒有來自所有班級(jí)，且只抽取50名，樣本數(shù)過少，不具廣泛性，小亮的樣本只針對(duì)男生沒有收集女生的球類自選情況，這三者數(shù)據(jù)不具代表性.（判斷說明各2分）

（2）（4分）給出圖1或圖2.

（3）結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖只要有合理的建議即可，比如學(xué)校準(zhǔn)備藍(lán)球、足球、排球三類球的個(gè)數(shù)比例約為5：3：2，或者估計(jì)全校九年級(jí)有一半的學(xué)生自選藍(lán)球項(xiàng)目，各班自選球類比例不同，可以適當(dāng)考慮采用走班形式集中開展相應(yīng)球類活動(dòng)等建議.

2評(píng)析拓展

2.1評(píng)析

試題結(jié)合教材課題內(nèi)容，用中考體育需要考查學(xué)生的自選球類項(xiàng)目作為試題背景，以統(tǒng)計(jì)思想為視角，考查學(xué)生會(huì)不會(huì)想到進(jìn)行數(shù)據(jù)分析需要收集、整理、描述、分析、推測(cè)的五步驟，能不能做到正確的收集、科學(xué)的整理、規(guī)范的描述、準(zhǔn)確的分析、合理的推測(cè)結(jié)論，以開放性的形式讓學(xué)生作答，符合學(xué)生的認(rèn)知，讓不同的學(xué)生呈現(xiàn)出不同的答題水平，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生運(yùn)用統(tǒng)計(jì)知識(shí)與方法的自覺性、熟練性和準(zhǔn)確性的考查，展示學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，體現(xiàn)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的命題立意，符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的要求.

2.2拓展

全校自選球類問題可以延伸至測(cè)試的成績情況的拓展，也可以從統(tǒng)計(jì)圖表信息的解讀進(jìn)行拓展，還可以由個(gè)體成績集中趨勢(shì)的分析進(jìn)行拓展.

拓展1某校組織全體九年級(jí)學(xué)生進(jìn)行一次球類項(xiàng)目測(cè)試，小明對(duì)九年1班全體學(xué)生的測(cè)試成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制作了以下不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：

（1）求九年1班的學(xué)生人數(shù);

（2）寫出頻數(shù)分布表中的a，b的值;

（3）全年段共1000名學(xué)生參加本次測(cè)試，若規(guī)定80分以上（含80分）為優(yōu)秀，估計(jì)該年段本次測(cè)試成績達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù);

（4）小明通過年段查閱發(fā)現(xiàn)本次測(cè)試成績達(dá)到優(yōu)秀的有720人，請(qǐng)你用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)簡要說明實(shí)際優(yōu)秀人數(shù)與估計(jì)人數(shù)出現(xiàn)較大偏差的原因.

（4）因?yàn)橹怀椴榫拍?班的測(cè)試成績，對(duì)于全校來講不具有代表性，而抽查的樣本容量只有50名學(xué)生，對(duì)全校1000名學(xué)生來講不具廣泛性.

本題考查學(xué)生能否讀懂頻數(shù)分布表、扇形統(tǒng)計(jì)圖中所蘊(yùn)含的信息，并求出相關(guān)量，能否用樣本估計(jì)總體的信息，從圖形獲取信息再結(jié)合信息分析結(jié)論是統(tǒng)計(jì)教學(xué)的重要考查目標(biāo)，

拓展2某校組織九年級(jí)全體學(xué)生共1000人進(jìn)行一次球類項(xiàng)目測(cè)試，測(cè)完隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，制作了如下頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖，請(qǐng)根據(jù)圖表提供的信息，解答下列問題：

本題考查學(xué)生能否讀懂頻數(shù)分布表、頻數(shù)直方圖中的信息，能夠結(jié)合中位數(shù)概念分析它所在的區(qū)間，能夠利用樣本估計(jì)總體來計(jì)算相關(guān)量，要求學(xué)生在已整理的數(shù)據(jù)中尋找可以解決問題的有關(guān)數(shù)據(jù)也是統(tǒng)計(jì)教學(xué)的考查目標(biāo).

拓展3小華準(zhǔn)備在藍(lán)球和足球中選取成績穩(wěn)定的一個(gè)項(xiàng)目參加體育中考，下表是隨機(jī)抽取小華同學(xué)兩種球類的15次測(cè)驗(yàn)成績（單位：分）

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，你認(rèn)為小華應(yīng)該選擇哪種球類參加體育中考？請(qǐng)說明你的理由.

解答答案不唯一，理由能支持說明結(jié)論即可.

方案1藍(lán)球的成績更穩(wěn)定，因此應(yīng)該自選藍(lán)球參加體育中考.

小華的兩種球類隨機(jī)抽取的15次成績分別組成一個(gè)樣本，樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別是

方案2應(yīng)該選足球參加體育中考.因?yàn)樵?5次的測(cè)試成績中藍(lán)球的中位數(shù)是74，足球的中位數(shù)是75，說明足球測(cè)試的15次成績中有一半都在75分以上，比藍(lán)球好，所以應(yīng)該自選足球.

方案3應(yīng)該選足球參加體育中考.藍(lán)球成績的眾數(shù)是74，足球成績的眾數(shù)是76，從眾數(shù)的比較來看，足球成績的眾數(shù)高于藍(lán)球，所以自選足球.

本題考查學(xué)生能否清楚中位數(shù)、眾數(shù)、方差等統(tǒng)計(jì)量對(duì)刻畫數(shù)據(jù)特征的量在數(shù)據(jù)分析中的作用，利用測(cè)試成績組成的一個(gè)樣本，分析樣本數(shù)據(jù)中的方差、中位數(shù)、眾數(shù)，提出合理建議，從而解決問題.這是統(tǒng)計(jì)學(xué)對(duì)結(jié)果的判斷考查：同樣的數(shù)據(jù)可以根據(jù)自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結(jié)果.

3命題反思

統(tǒng)計(jì)的核心是數(shù)據(jù)分析，數(shù)據(jù)分析觀念涵蓋三層含義：經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析的過程，體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵信息;掌握數(shù)據(jù)分析的基本方法，根據(jù)問題背景選擇合適的方法;通過數(shù)據(jù)分析感受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性.

圍繞這三層含義開展命題研究，有“經(jīng)歷數(shù)據(jù)分析過程”的收集、整理、分析、推斷的過程設(shè)計(jì)，也有“體會(huì)數(shù)據(jù)隨機(jī)”所設(shè)置的驗(yàn)證類、推斷類、運(yùn)用頻率估計(jì)概率類的試題設(shè)計(jì)、還有“根據(jù)問題選擇合適的方法”的統(tǒng)計(jì)學(xué)判斷原則的命題設(shè)計(jì).

據(jù)此審視《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)“統(tǒng)計(jì)”課程的學(xué)習(xí)要求，應(yīng)該認(rèn)為，系統(tǒng)研究初中統(tǒng)計(jì)試題的命制，可以指導(dǎo)日常教學(xué)，拓寬學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)應(yīng)用意識(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念.

本文的試題命制實(shí)踐同時(shí)表明，數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)的評(píng)價(jià)必然要求必須以統(tǒng)計(jì)知識(shí)為載體，以數(shù)據(jù)分析為依托，以學(xué)生“會(huì)不會(huì)想到，能不能做到”為關(guān)注點(diǎn)，注重統(tǒng)計(jì)本質(zhì)的考查，突出核心素養(yǎng)的命題立意.

（本文系2017年福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目（基礎(chǔ)教育研究專項(xiàng)）《基于核心素養(yǎng)下的數(shù)據(jù)分析類試題命題策略研究》的研究成果，課題立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：J2170406（福建教育學(xué)院資助））