孫堅(jiān)棟，蘇燁，李泉，蔡鈞宇

(1.杭州意能電力技術(shù)有限公司，浙江 杭州 310014；2.高彈性電網(wǎng)浙江省工程研究中心，浙江 杭州 310014；3.國網(wǎng)浙江省電力有限公司電力科學(xué)研究院，浙江 杭州 310014)

0 引 言

模型預(yù)測控制(model predictive control，MPC)簡稱預(yù)測控制，是20世紀(jì)70年代后從工業(yè)領(lǐng)域發(fā)展起來的一種先進(jìn)控制技術(shù)[1]1。根據(jù)模型形式不同，預(yù)測控制分為動態(tài)矩陣控制、模型算法控制和廣義預(yù)測控制等類型[2]。MPC對模型精度要求低，魯棒性好，適應(yīng)復(fù)雜工業(yè)過程，因而得到了廣泛應(yīng)用[3-5]。

火電機(jī)組的重要控制回路，如協(xié)調(diào)控制、汽溫控制等，一般具有大遲延和大慣性特性，采用傳統(tǒng)PID控制無法獲得滿意的控制品質(zhì)[6]。而動態(tài)矩陣控制(dynamic matrix control, DMC)則適用于這一類被控對象，可獲得比PID控制更好的性能，因此在火電機(jī)組應(yīng)用中逐漸增多[7-8]。

本文提出了一種用于DMC控制的誤差權(quán)矩陣取值優(yōu)化方法，與目前常用的誤差權(quán)矩陣取值方法相比，可在不影響控制性能的前提下，減少滾動優(yōu)化計(jì)算量。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究了適用于非最小相位對象的誤差權(quán)矩陣取值優(yōu)化方法。

1 DMC控制

1.1 數(shù)學(xué)模型

DMC控制利用被控對象的單位階躍響應(yīng)序列構(gòu)成模型向量a=[a1,...,aN]，根據(jù)模型向量a預(yù)測未來輸出值,ai=a(iTs)。式中：ai為單位階躍響應(yīng)采樣值;Ts為采樣周期;N為建模時(shí)域。DMC控制包括模型預(yù)測、滾動優(yōu)化和反饋校正三部分。

在滾動優(yōu)化時(shí)，通過性能函數(shù)在預(yù)測時(shí)域內(nèi)取得最優(yōu)值，計(jì)算得到未來控制量增量。性能函數(shù)一般表示為：

(1)

將式(1)以矩陣形式表示，有：

(2)

(3)

(4)

(5)

1.2 參數(shù)整定

在DMC控制中，采樣周期、建模時(shí)域、模型向量和動態(tài)矩陣由被控對象的動態(tài)特性決定，當(dāng)模型穩(wěn)定時(shí)不需要調(diào)整。預(yù)測時(shí)域、誤差權(quán)矩陣和反饋校正向量等對性能有重要影響，如誤差權(quán)矩陣影響穩(wěn)定性、快速性和魯棒性，反饋校正向量影響魯棒性和抗干擾性。預(yù)測控制理論發(fā)展已有40多年歷史，但在參數(shù)整定方面仍有改進(jìn)空間。

2 問題描述

一些重要電廠控制回路具有大遲延和大慣性特性，可用一階慣性加純遲延模型表示，即：

(6)

式中：T為慣性時(shí)間常數(shù)；τ為純遲延時(shí)間；K為增益；s為拉普拉斯算子。

對于具有非最小相位或純遲延特性的對象，為使反向段或時(shí)滯段的加權(quán)誤差平方和為0，誤差權(quán)矩陣系數(shù)通常取值為[1]76：

(7)

對于非最小相位對象，qi按上式取值是合理的，但對于純遲延對象，并非如此。

以主蒸汽溫度控制對象為例，分析誤差權(quán)矩陣取值不同對控制品質(zhì)的影響，設(shè)傳遞函數(shù)為:

(8)

利用MATLAB實(shí)現(xiàn)MPC1和MPC2兩個(gè)DMC控制器，取相同采樣周期Ts=1s、預(yù)測時(shí)域P=150、控制時(shí)域M=12以及控制權(quán)矩陣R。誤差權(quán)矩陣不同，MPC1的誤差權(quán)矩陣按式(7)取值，MPC2的誤差權(quán)矩陣按單位對角陣取值。

不存在模型失配時(shí)，在t=0時(shí)，令主蒸汽溫度設(shè)定值產(chǎn)生5 ℃階躍變化，在上述DMC控制器作用下，系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖1所示。MPC1和MPC2對應(yīng)的曲線完全重合，說明MPC1、MPC2誤差權(quán)矩陣不同不影響控制性能。

圖1 不同誤差權(quán)矩陣對應(yīng)的響應(yīng)曲線

模型失配時(shí)，設(shè)被控對象模型如式(8)所示，DMC控制器采用以下模型。

(9)

如圖2所示，MPC1、MPC2對應(yīng)的響應(yīng)曲線仍舊重合，進(jìn)一步說明誤差權(quán)矩陣不同不影響系統(tǒng)控制性能。

圖2 模型失配時(shí)不同誤差權(quán)矩陣對應(yīng)的響應(yīng)曲線

雖然對系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響是完全一致的，但從滾動優(yōu)化角度考慮，采用單位對角陣可使計(jì)算速度更快。當(dāng)Q為單位對角陣時(shí)，式(5)簡化為:

(10)

與式(5)相比，式(10)的計(jì)算量明顯減少。

3 理論分析及仿真

3.1 理論分析

理論1：針對含純遲延環(huán)節(jié)的被控對象，有MPC1和MPC2兩個(gè)DMC控制器，其可調(diào)參數(shù)除誤差權(quán)矩陣外皆相同，若MPC1的誤差權(quán)矩陣按式(7)取值，MPC2的誤差權(quán)矩陣按單位對角陣取值，則這兩個(gè)控制器等價(jià)。

證明：如果MPC1、MPC2確定的控制量增量相同，則定理必成立，故只需證明每次滾動優(yōu)化的控制增量向量ΔuM(k)相同即可。

將遲延時(shí)間τ除以采樣時(shí)間Ts并取整，記作d=[τ/Ts]，d表示遲延周期數(shù)。由于遲延特性，向量a前d項(xiàng)數(shù)值為0，動態(tài)矩陣A前d行元素也為0，將A分塊。

(11)

式中:H為A中非零元素構(gòu)成的子矩陣。

設(shè)MPC1的誤差權(quán)矩陣Q1按式(7)取值，MPC2的誤差權(quán)矩陣按單位對角陣取值。將Q1分塊，得到以下分塊矩陣。

(12)

式中:有0d×d、0d×(P-d)和0(P-d)×d為零矩陣；I(P-d)×(P-d)為單位對角陣。

將分塊后的A和Q1代入式(5)，有:

(13)

式(13)可轉(zhuǎn)換為:

(ATQ1A+R)-1ATQ1=(HTH+R)-1[0HT]

(14)

對于MPC2控制器，將Q2和分塊后的A代入式(5)，有:

(15)

式(15)也可轉(zhuǎn)換為式(14)，即有:

(ATQ1A+R)-1ATQ1=(ATQ2A+R)-1ATQ2

(16)

由式(16)可知，MPC1、MPC2滾動優(yōu)化確定的控制增量向量相等，故MPC1與MPC2等價(jià)。

根據(jù)定理1和式(10)，當(dāng)DMC控制算法用于含純遲延環(huán)節(jié)的對象時(shí)，誤差權(quán)矩陣采用單位對角陣更合理，可以減小滾動優(yōu)化計(jì)算量。

理論2：對于純遲延或非最小相位對象，有MPC1和MPC3兩個(gè)DMC控制器，其可調(diào)參數(shù)除誤差權(quán)矩陣和優(yōu)化區(qū)間外皆相同，若MPC1的誤差權(quán)矩陣Q1按式(7)取值，滾動優(yōu)化區(qū)間覆蓋整個(gè)預(yù)測時(shí)域，MPC3的誤差權(quán)矩陣Q3為單位對角陣，滾動優(yōu)化區(qū)間為[d+1,…,P]，不包含預(yù)測時(shí)域的反向段與時(shí)滯段，那么MPC1與MPC3等價(jià)。

證明：MPC3的優(yōu)化區(qū)間為[d+1,…,k+P]，性能函數(shù)可表示為:

(17)

(18)

(19)

因Q3為單位對角陣，式(19)可簡化為:

(20)

根據(jù)理論1，對于MPC1的控制增量式(5)，將式(14)代入，得到：

(21)

按子塊相乘后，式(21)化為式(20)，即MPC1和MPC3的控制增量相等，證得MPC1與MPC3等價(jià)。

3.2 仿真

理論1在前一節(jié)已得到驗(yàn)證，本節(jié)僅驗(yàn)證理論2。設(shè)非最小相位加純遲延對象的模型為：

(22)

利用MATLAB實(shí)現(xiàn)MPC1和MPC3兩個(gè)DMC控制器，取相同Ts=1 s、P=150、M=30和對角線上各元素均為200的控制權(quán)矩陣R，但誤差權(quán)矩陣和優(yōu)化區(qū)間分別按理論2的兩種方式取值，其中反向段與時(shí)滯段之和為 80。

對于不存在模型失配和存在模型失配兩種情形，在t=0時(shí)，使設(shè)定值產(chǎn)生幅值為1的階躍變化，在這兩個(gè)控制器作用下，系統(tǒng)閉環(huán)響應(yīng)曲線如圖3和圖4所示。MPC1和MPC3對應(yīng)的曲線完全重合，驗(yàn)證了理論2的正確性。

圖3 不同誤差權(quán)矩陣對應(yīng)的非最小相位對象響應(yīng)曲線

圖4 模型失配時(shí)不同誤差權(quán)矩陣對應(yīng)的非最小相位對象響應(yīng)曲線

4 結(jié)束語

對于含純遲延環(huán)節(jié)被控對象的DMC控制器，采用單位對角陣為誤差權(quán)矩陣，可以在不影響控制性能前提下，減少滾動優(yōu)化計(jì)算量。更進(jìn)一步，針對包含非最小相位或遲延特性被控對象，提出了一種誤差權(quán)矩陣和滾動優(yōu)化區(qū)間取值方法，可使?jié)L動優(yōu)化計(jì)算量降低。在MATLAB環(huán)境中，仿真運(yùn)行結(jié)果表明方法有效。