呂 純 張培林 李 兵 吳定海 張云強

(1.陸軍工程大學(xué)石家莊校區(qū) 河北石家莊 050003；2.汕頭大學(xué)工學(xué)院 廣東汕頭 515063)

眾所周知，人腦具有的重要功能之一是聯(lián)想記憶，以此為基礎(chǔ)，人類進行源源不斷的思維和創(chuàng)新。隨著計算機的誕生和發(fā)展，人們致力于研究將人腦的部分功能在計算機上進行模擬和應(yīng)用。RITTER等于1990年提出了形態(tài)學(xué)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(Morphological Neural Network,MNN)并于1998年進一步實現(xiàn)了形態(tài)學(xué)聯(lián)想記憶(Morphological Associative Memories,MAM)[1-5]。MAM的理論基礎(chǔ)是形態(tài)運算，比傳統(tǒng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有顯著的優(yōu)越性：相應(yīng)的形態(tài)感知器只需一步即可穩(wěn)定從而不需要考慮收斂問題，計算所需時間少，易應(yīng)用于硬件。但MAM也存在顯著缺點，即無法對相關(guān)對象進行模糊性解釋，從而在需要記憶模糊規(guī)則時便會面臨一定的問題[6-10]。最近一段時間，很多學(xué)者熱衷于研究模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，有學(xué)者以模糊規(guī)則、模糊算子和模糊關(guān)系值等為基礎(chǔ)，提出了模糊形態(tài)學(xué)聯(lián)想記憶網(wǎng)絡(luò)(Fuzzy Morphological Associative Memories,FMAM)。FMAM具有能夠進行模糊性解釋、完全回憶和無限存儲等優(yōu)點[11-15]。然而，F(xiàn)MAM不能自適應(yīng)選擇結(jié)構(gòu)元素的形狀和大小，在對樣本進行分類時存在錯分問題，影響最終的分類精度。

本文作者以量子的疊加、坍塌性質(zhì)為基礎(chǔ)，提出了量子模糊形態(tài)學(xué)聯(lián)想記憶網(wǎng)絡(luò)(Quantum Fuzzy Morphological Associative Memories,QFMAM)，用量子位系統(tǒng)構(gòu)造結(jié)構(gòu)元素，量子位概率代表相應(yīng)的隸屬度，獲取具有自適應(yīng)特性的結(jié)構(gòu)元素，避免了FMAM不能自適應(yīng)選擇結(jié)構(gòu)元素而導(dǎo)致的分類錯誤，QFMAM的分類精度明顯提高。

1 形態(tài)學(xué)聯(lián)想記憶(MAM)基本原理

MAM是建立在格代數(shù)結(jié)構(gòu)(R,∨,∧,+)上，依賴取大(∨)、取小(∧)邏輯運算和相關(guān)數(shù)學(xué)運算來實現(xiàn)聯(lián)想記憶功能的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[16]。MAM包括記憶和聯(lián)想2個階段。

1.1 記憶階段

(1)

(2)

其中，

(3)

1.2 聯(lián)想階段

(4)

同理，

(5)

2 模糊形態(tài)學(xué)聯(lián)想記憶網(wǎng)絡(luò)

MAM建立在格代數(shù)結(jié)構(gòu)(R,∨,∧,+)上，并且(R,∨,∧,+)和(R≥0,∨,∧,·)同構(gòu)，用R+(R+=(0,))替換R≥0便可得到FMAM的運算格代數(shù)(R+,∨,∧,·)。

(xid·ydj)

(6)

其中，i=1,2,3，......，n,j=1,2,3，......，m。

(xid·ydj)

(7)

其中，i=1,2,3，......，n,j=1,2,3,......,m。

(8)

(9)

(10)

矩陣Huv中的元素可由下式得出：

(11)

由對偶性原理可以得出矩陣u和v之間的另一個連接權(quán)矩陣Kuv表達式如下所示：

(12)

(13)

E≤Huv≤Kuv≤F

(14)

(15)

3 量子模糊形態(tài)學(xué)聯(lián)想記憶網(wǎng)絡(luò)

3.1 量子位系統(tǒng)

在單量子位系統(tǒng)中，一個量子位就是一個二維Hilbert空間[17-18]，它的基向量是一對標準正交基{|0>,|1>}，單量子位系統(tǒng)可表示為

|χ>=α|0>+β|1>

(16)

式中：α、β分別稱為|0>、|1>狀態(tài)的概率幅;|α|2、|β|2為2個狀態(tài)出現(xiàn)的概率，并且滿足|α|2+|β|2=1。

在多量子位系統(tǒng)(假設(shè)共有p位)中，第a個量子位狀態(tài)可表示為|χa>=αa|0>+βa|1>,a=1,2,......,p，那么該多量子位系統(tǒng)整體可由p個量子位狀態(tài)的張量積形式構(gòu)造出來：

(17)

其中，|b>、wb分別表示第b個量子基態(tài)和其相應(yīng)的概率幅，系統(tǒng)共有2p個基態(tài)。

3.2 量子模糊結(jié)構(gòu)元素

傳統(tǒng)模糊結(jié)構(gòu)元素e經(jīng)過歸一化處理變換為g，定義點(i,g)的隸屬度為

λg(i,j)=[e(i,j)-Gmin]/(Gmax-Gmin)

(18)

其中，i≤m,j≤n,[m,n]=size(e);Gmax、Gmin分別是e灰度值的最大值、最小值。

(19)

由式(17)可得量子模糊結(jié)構(gòu)元素的展開式為

gq(x,y)=|χ1>?|χ2>?......?|χp>=

(20)

3.3 量子模糊形態(tài)學(xué)聯(lián)想記憶網(wǎng)絡(luò)

QFMAM分類算法的基礎(chǔ)是二分類，下面先介紹一下二分類的QFMAM訓(xùn)練算法。

(21)

(22)

其中，u,k∈Mn，i=1,2,......,n。

(1)執(zhí)行初始化，令K=u，A1=Φ；

(23)

(24)

(25)

(26)

(7)假如上一步得出的半空間Lj≠Φ(j=1,2,......,2n)，則計算相應(yīng)的超盒：

(27)

通過上述訓(xùn)練過程可見，算法第一次收斂后得到了容納全部第一類樣本的超盒群A1，互換兩類樣本標簽重新運行算法直至再次收斂后可得到容納全部第二類樣本的超盒群A2。

在實際分類應(yīng)用中，樣本類別往往多于兩類，這就需要將二分類算法進一步擴展成多類分類算法。如果u中共有W類訓(xùn)練樣本，這些樣本可以表示為Kw(w=1,2,......,W)，QFMAM進行多類分類的結(jié)果是分別構(gòu)造只容納某一類全部樣本的超盒群Aw(w=1,2,......,W)，即Aw中只有全部第w類樣本。執(zhí)行QFMAM訓(xùn)練過程時，將之前的步驟(1)替換為設(shè)定A1=Φ，K1=Kw(w=1,2,......,W)，K2={Ki,i=1,2,......,W,且i≠w}，運行算法至收斂便構(gòu)造出只容納第w類全部樣本的超盒群，依次改變w的取值，重復(fù)執(zhí)行訓(xùn)練算法W次，便可將W個超盒群Aw全部構(gòu)造出來。

(28)

(29)

(30)

(31)

其中,u為輸入向量;q為輸入層與隱層節(jié)點之間的連接向量。一個樣本u隸屬于某個超盒群[cj,dj](j=1,2,......,n)的可能性可由公式(32)計算

(32)

進行測試過程中，每當輸入一個測試樣本u時，先利用量子模糊結(jié)構(gòu)元素和形態(tài)模糊聯(lián)想記憶對樣本進行處理,從而降低可能存在的無用干擾信息對分類精度的影響，處理后的樣本記為v。然后，將v依次代入式(33)計算得到的fw值即為測試樣本隸屬于訓(xùn)練過程構(gòu)造的各超盒群的可能性。

(33)

其中，w=1,2,......,W，找出所有fw中的最大值，其對應(yīng)的w即為測試樣本的類別。

4 仿真和實驗數(shù)據(jù)分類結(jié)果分析

為了檢驗文中所提QFMAM的實際分類效果，分別利用QFMAM、FMAM、支持向量機(SVM)和樸素貝葉斯分類器(NBC)對MatLab中的Simple Classes數(shù)據(jù)集以及齒輪箱實驗數(shù)據(jù)進行分析，通過各自的訓(xùn)練時間(ttrain)、測試時間(ttest)、訓(xùn)練樣本分類精度(Atrain)和測試樣本分類精度(Atest)比較4種方法的優(yōu)劣。

4.1 Simple Classes數(shù)據(jù)集

Simple Classes數(shù)據(jù)集總共包含1 000個4種類型的數(shù)據(jù)：第一類243個，第二類247個，第三類233個，第四類277個。選取500個數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本：第一類數(shù)據(jù)122個，第二類124個，第三類116個，第四類138個。剩余的500個數(shù)據(jù)構(gòu)成測試樣本。利用QFMAM、FMAM、SVM和NBC對數(shù)據(jù)集進行分析時各自的訓(xùn)練時間(ttrain)、測試時間(ttest)、訓(xùn)練樣本分類精度(Atrain)和測試樣本分類精度(Atest)如表1所示。

根據(jù)表1可知，對于Simple Classes數(shù)據(jù)集，QFMAM的訓(xùn)練時間與FMAM相差不大，比SVM、NBC的訓(xùn)練時間要小得多，表明QFMAM訓(xùn)練效率很高；并且只有QFMAM的訓(xùn)練樣本分類精度達到100%，表明QFMAM的學(xué)習(xí)能力很強。最終測試樣本的分類精度也是QFMAM最高，達到了98.8%，其次是FMAM，為91%，說明形態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)比其他分類器具有明顯優(yōu)勢，QFMAM比傳統(tǒng)形態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)性能更好。

表1 Simple Classes數(shù)據(jù)集分類結(jié)果

4.2 齒輪箱實驗數(shù)據(jù)

齒輪箱實驗信號通過搭建的二級傳動齒輪箱實驗臺架采集，齒輪箱實驗臺架主要組成部分為基座、可調(diào)速電機、二級傳動齒輪箱、阻尼器、聯(lián)軸器、信號采集分析系統(tǒng)，如圖1所示。

圖1 齒輪箱實驗臺架

實驗時分別在齒輪箱中間軸和輸出軸齒輪的齒面、齒根處制作凹槽模擬齒面磨損、齒根裂紋，并在軸承座上方箱蓋處安裝振動加速度傳感器，共采集到5種類型的振動信號：正常、中間軸齒輪齒面磨損，中間軸齒輪齒根裂紋，輸出軸齒輪齒面磨損，輸出軸齒輪齒根裂紋。每種類型信號各采集20個樣本，總共有100個樣本。進行分類時，每種類型信號各隨機選取10個樣本作為訓(xùn)練樣本，剩余的10個為測試樣本。分別利用QFMAM、FMAM、SVM和NBC對齒輪箱信號樣本進行分析并得到各自的訓(xùn)練時間(ttrain)、測試時間(ttest)、訓(xùn)練樣本分類精度(Atrain)和測試樣本分類精度(Atest)，為使測試結(jié)果盡可能準確，重復(fù)隨機選取訓(xùn)練樣本30次得到30組測試結(jié)果，然后取平均值作為最終測試結(jié)果，如表2所示。

根據(jù)表2可知，對于齒輪箱信號分類，QFMAM的測試樣本分類精度最高，為99.2%，且比其他3種分類器具有明顯優(yōu)勢。QFMAM與FMAM訓(xùn)練時間相當，比SVM和NBC的訓(xùn)練時間小了2個數(shù)量級，雖然QFMAM與FMAM在測試階段的時間比SVM和NBC稍高，但2個階段的總時間仍遠小于SVM和NBC。QFMAM與FMAM的訓(xùn)練樣本分類精度都為100%，表明形態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)能力很強。綜合考慮各項指標，QFMAM是4種分類器中性能最佳的。

表2 齒輪箱信號分類結(jié)果

5 結(jié)論

(1)分析了形態(tài)學(xué)聯(lián)想記憶和模糊形態(tài)學(xué)聯(lián)想記憶網(wǎng)絡(luò)的基本原理，發(fā)現(xiàn)模糊形態(tài)學(xué)聯(lián)想記憶網(wǎng)絡(luò)不能自適應(yīng)選擇結(jié)構(gòu)元素的形狀和大小，在對樣本進行分類時存在錯分問題，影響最終的分類精度。

(2)以量子的疊加、坍塌性質(zhì)為基礎(chǔ)，提出了量子模糊形態(tài)學(xué)聯(lián)想記憶網(wǎng)絡(luò)，用量子位系統(tǒng)構(gòu)造結(jié)構(gòu)元素，量子位概率代表相應(yīng)的隸屬度，獲取具有自適應(yīng)特性的結(jié)構(gòu)元素，在分類前先對樣本進行處理從而降低無用干擾信息對分類精度的影響，提高了樣本分類精度。

(3)通過仿真數(shù)據(jù)和齒輪箱臺架實驗信號檢驗了提出的QFMAM性能，并利用FMAM、SVM、NBC 3種分類器作對比，證明提出的QFMAM訓(xùn)練效率高、學(xué)習(xí)能力強、分類精度高，適合于推廣應(yīng)用。