張海萍， 劉 揚(yáng)， 鄧 揚(yáng)， 馮東明

(1. 湖南工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 株洲 412007； 2. 長(zhǎng)沙理工大學(xué) 土木工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410114；3. 北京建筑大學(xué) 土木與交通工程學(xué)院，北京 100044； 4. 紐約威丁格運(yùn)輸管理局，紐約 10027)

近年來，隨著大跨度橋梁健康監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的迅速發(fā)展[1-2]，使得橋梁結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)應(yīng)變數(shù)據(jù)得到了大量的積累[3]。研究人員基于橋梁健康監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)開展正交異性板主梁細(xì)節(jié)疲勞耐久性研究[4]。

Liu等[5]提出了基于應(yīng)變數(shù)據(jù)的疲勞可靠度功能函數(shù)的建模方法。Deng等[6]探討了基于應(yīng)變監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的鋼箱梁焊接細(xì)節(jié)點(diǎn)疲勞可靠度功能函數(shù)變量的概率模型及其取值。疲勞可靠度功能函數(shù)主要由疲勞強(qiáng)度變量和疲勞效應(yīng)變量?jī)煞N不同性質(zhì)的變量組成。對(duì)于疲勞強(qiáng)度變量，可參考美國(guó)和英國(guó)的鋼結(jié)構(gòu)疲勞規(guī)范(AASHTO規(guī)范[7]和BS5400規(guī)范[8])。對(duì)于疲勞效應(yīng)變量，則是依據(jù)實(shí)測(cè)應(yīng)變數(shù)據(jù)構(gòu)建概率模型。實(shí)測(cè)應(yīng)變數(shù)據(jù)包含了所有外界荷載對(duì)橋梁的擾動(dòng)，涵蓋了隨機(jī)干擾、溫度和車輛荷載信息等。為剔除無用干擾數(shù)據(jù)，需要對(duì)獲取的數(shù)據(jù)信號(hào)進(jìn)行分離?，F(xiàn)有的研究工作中，一般假設(shè)疲勞效應(yīng)變量相互獨(dú)立，缺少對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)深入挖掘和探討。Liu等[9]分別從不同角度論述了溫度對(duì)疲勞應(yīng)力大小和循環(huán)次數(shù)的影響。疲勞應(yīng)力與循環(huán)次數(shù)存在一定的相關(guān)性，在疲勞可靠度計(jì)算過程中不可忽視。

在工程學(xué)中，直接建立相關(guān)性變量的多維聯(lián)合概率模型有一定難度。難點(diǎn)在于變量之間的相關(guān)性結(jié)構(gòu)難以明確以及多重積分求解復(fù)雜。線性相關(guān)系數(shù)(皮爾遜系數(shù)、斯皮爾曼系數(shù)等)和非線性相關(guān)函數(shù)(指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等)用于表征變量之間的確定性相關(guān)性結(jié)構(gòu)，難以描述實(shí)際工程變量的時(shí)變和模糊特性。提出一種能夠適用于工程疲勞可靠性研究領(lǐng)域多元聯(lián)合概率分布建模的簡(jiǎn)易方法顯得十分重要。Copula理論將復(fù)雜多維變量的聯(lián)合分布建模分解成各變量邊緣分布建模和Copula函數(shù)的選擇及其參數(shù)的評(píng)估。近幾年，Copula函數(shù)在土木工程領(lǐng)域也有了初步的發(fā)展，如Tang等[10]采用Gaussian Copula函數(shù)建立樁基荷載-位移曲線參數(shù)的聯(lián)合分布函數(shù)，還討論了5類典型Copula函數(shù)構(gòu)建地震位移極值和殘余位移值的相關(guān)性模型。考慮變量相關(guān)性疲勞可靠性評(píng)估的本質(zhì)問題歸結(jié)于如何在有限的信息條件下構(gòu)建相關(guān)性變量的聯(lián)合分布模型。Copula函數(shù)相比較傳統(tǒng)聯(lián)合分布建模方法具有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，變量之間相關(guān)結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確解析是選擇最優(yōu)Copula函數(shù)的關(guān)鍵所在。

綜上所述，本文引入Copula函數(shù)建立鋼箱梁正交異性板焊接細(xì)節(jié)的疲勞可靠性聯(lián)合概率密度功能函數(shù)。討論5類Copula函數(shù)的性質(zhì)以及其適用范圍。從根本上解決了多維聯(lián)合概率分布函數(shù)建模和可靠度指標(biāo)的計(jì)算的問題。

1 基于實(shí)測(cè)應(yīng)變數(shù)據(jù)可靠度功能函數(shù)

1.1 可靠性功能函數(shù)

工程結(jié)構(gòu)為滿足使用要求，材料的抗力R在服役期需大于結(jié)構(gòu)所受的荷載效應(yīng)S。當(dāng)兩者相等時(shí)，表明結(jié)構(gòu)處于安全與危險(xiǎn)的臨界狀態(tài)。表達(dá)式為

g(X)=R-S=0

(1)

式中：g(X)為結(jié)構(gòu)的臨界狀態(tài)方程；X={X1,X2,…,Xn}為變量矩陣，包含所有的抗力和荷載變量?；诂F(xiàn)有疲勞規(guī)范和Miner線性準(zhǔn)則，可將材料的疲勞可靠性功能函數(shù)表達(dá)式(1)改寫為

(2)

式中：A為正交異性板焊接細(xì)節(jié)疲勞強(qiáng)度系數(shù)；B為疲勞強(qiáng)度曲線的指數(shù)參數(shù)； 在歐洲規(guī)范中取值為3； Δ為疲勞線性累計(jì)損傷的臨界破壞值；e為應(yīng)變傳感器的測(cè)量誤差變量，陳永高等的研究給出了應(yīng)變傳感器的誤差變量的取值，e的均值和變異系數(shù)分別取1.0和0.3； 參數(shù)Seq為疲勞等效應(yīng)力幅值； 參數(shù)Nm為橋梁服役m年內(nèi)結(jié)構(gòu)受等效應(yīng)力幅Seq的作用大小。等效應(yīng)力幅和循環(huán)次數(shù)的表達(dá)式分別為

(3)

(4)

式中：Si為第i個(gè)監(jiān)測(cè)應(yīng)力幅值大??；ni為應(yīng)力循環(huán)大小為Si的循環(huán)次數(shù)；α為年交通增長(zhǎng)率；Tm為橋梁的服役年限。依據(jù)式(2)～式(4)可得疲勞可靠度功能函數(shù)表達(dá)式

(5)

基于應(yīng)變監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的細(xì)節(jié)疲勞可靠度功能函數(shù)相對(duì)簡(jiǎn)單，疲勞應(yīng)變數(shù)據(jù)可以直接監(jiān)測(cè)，疲勞壽命評(píng)估結(jié)果更為可靠。式(5)中除疲勞應(yīng)力和荷載循環(huán)次數(shù)兩類變量，其他變量的分布類型和參數(shù)取值如表1所示。表1中疲勞損傷指標(biāo)、疲勞強(qiáng)度系數(shù)和傳感器誤差均為對(duì)應(yīng)文獻(xiàn)的研究學(xué)者通過試驗(yàn)得到實(shí)測(cè)樣本數(shù)據(jù)，并通過實(shí)測(cè)樣本數(shù)據(jù)概率分布特征擬合得到最優(yōu)理論模型。

表1 疲勞可靠性功能函數(shù)參數(shù)表Tab.1 Parameters in fatigue reliability limit equation

1.2 疲勞可靠度指標(biāo)

可靠度指標(biāo)是可靠性評(píng)估結(jié)果的量化，其計(jì)算表達(dá)式為

β=Φ-1(1-Pf)

(6)

式中：Φ-1為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的反函數(shù)；Pf為材料的疲勞失效概率。

材料的失效概率可定義為Pf=P(g(X)<0)?；诮?jīng)典概率理論的基本原理，聯(lián)合概率密度功能函數(shù)的失效概率表達(dá)式為

(7)

式中：gxn(x1,x2,…,xn)為函數(shù)gx1(x1),gx2(x2), …,gxn(xn)的聯(lián)合概率密度函數(shù)。

2 Copula函數(shù)

2.1 Copula函數(shù)的基本原理

以往對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)疲勞研究文獻(xiàn)通常假設(shè)認(rèn)為式(7)中各變量之間相互獨(dú)立，則可以將表達(dá)式(7)簡(jiǎn)化為

(8)

基于各參數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，分別建立各參數(shù)的獨(dú)立概率密度函數(shù)模型。

Sklar[15]提出了Copula函數(shù)模型，Sklar認(rèn)為任意兩個(gè)具有相關(guān)性的概率函數(shù)可以用一種連接函數(shù)進(jìn)行表述，其表達(dá)式為

G(x1,x2)=C(G1(x1),G2(x2),θ)

(9)

式中：C(·)為Copula函數(shù)；θ為函數(shù)G1(x1)和G2(x2)的相關(guān)性參數(shù)。

Nelsen[16]將Sklar理論進(jìn)一步推廣至n維變量，則式(9)可以擴(kuò)展為

G(x1,x2,…,xn)=
C(Gx1(x1),Gx2(x2),…,Gxn(xn),θ)

(10)

對(duì)式(10)求導(dǎo)函數(shù)，則聯(lián)合概率密度功能函數(shù)表達(dá)式為

g(x1,x2,…,xn)=

(11)

式中，gx(xi)為Gi(xi)的概率密度函數(shù)。為簡(jiǎn)化功能函數(shù)表達(dá)式，將函數(shù)Gxi(xi)用Ui來表示。連接函數(shù)C(·)具有以下幾點(diǎn)性質(zhì)： ①連接函數(shù)C(·)的值域范圍在[0,1]； ②連接函數(shù)C(·)對(duì)所有變量均為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)； ③當(dāng)連接函數(shù)的各隨機(jī)變量u1,u2,…,un相互獨(dú)立，則連接函數(shù)C(u1,u2,…,un)=u1u2,…,un。

2.2 幾類Copula函數(shù)族的對(duì)比討論

當(dāng)兩變量之間同時(shí)受不同的環(huán)境因素干擾時(shí)，兩變量之間往往呈現(xiàn)出非線性相關(guān)性，需要用非線性連接功能函數(shù)來建立聯(lián)合概率密度功能函數(shù)。本文引入最常用的5組Coupla函數(shù)，分別為：Gaussian Copula,t-Copula, Gumbel Copula, Frank Copula, 和Clayton Copula。Gaussian Copula的概率密度函數(shù)呈現(xiàn)出幾何對(duì)稱性。在概率分布函數(shù)的中部表現(xiàn)出較強(qiáng)的相關(guān)性，在函數(shù)的上尾和下尾部表現(xiàn)出較強(qiáng)的獨(dú)立性。Gaussian Copula函數(shù)廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)和水文研究領(lǐng)域[17]。對(duì)于t-Copula函數(shù)，函數(shù)模型的上尾和下尾具有比Gaussian Copula函數(shù)更強(qiáng)地獨(dú)立性。t-Copula適用于建立極值函數(shù)模型之間的聯(lián)合概率密度函數(shù)。Gumbel Copula, Frank Copula 和 Clayton Copula三者均屬于Archimedean Copulas族函數(shù)，三者具有相似的性質(zhì)。Gumbel Copula函數(shù)的幾何概率密度分布不具備幾何對(duì)稱的性質(zhì)，該函數(shù)在上尾部分變量之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性，在下尾部分變量之間具有較強(qiáng)的獨(dú)立性。Clayton Copula概率密度函數(shù)的性質(zhì)正好與Gumbel Copula函數(shù)相反，即在上尾部分變量具有較強(qiáng)的獨(dú)立性，而在下尾部分變量具有較強(qiáng)的相關(guān)性。Frank Copula函數(shù)密度分布具有幾何對(duì)稱的特征，上尾和下尾具有較強(qiáng)的獨(dú)立性，但相比Gaussian Copula函數(shù)較弱。表2列出了5類Copula函數(shù)的概率密度和概率函數(shù)表達(dá)式。

表2 5類Copulas的概率和概率密度函數(shù)Tab.2 CDF and PDF expressions offive types of Copulas

2.3 最優(yōu)Copula判別準(zhǔn)則

兩變量之間的相關(guān)性關(guān)系往往比較復(fù)雜，不能簡(jiǎn)單的用一種線性關(guān)系或非線性關(guān)系定義。各類型的Copula函數(shù)都具有本身的優(yōu)勢(shì)。需要在常用Copula函數(shù)中找到最優(yōu)的模型來確定最終的聯(lián)合概率密度函數(shù)。Akaike信息判別準(zhǔn)則作為最常用的最優(yōu)模型的選擇準(zhǔn)則，其判別表達(dá)式[18]為

VAIC=-2ln(c)+2a

(12)

式中： ln(c)為估計(jì)值的對(duì)數(shù)；a為相關(guān)性參數(shù)總數(shù)。當(dāng)VAIC值達(dá)到最小時(shí)，該參數(shù)所對(duì)應(yīng)的Copula模型最優(yōu)。

2.4 相依性度量

為量化兩變量之間的相關(guān)性程度，需要對(duì)兩變量進(jìn)行相關(guān)性度量。最常用的線性相關(guān)性度量方法有Pearson系數(shù)相關(guān)性度量法。其表達(dá)式[19]為

r(u1,u2)=

(13)

式中：Fu1(u1) 和Fu2(u2)分別為變量U1和U2的秩；E(Fu1(u1))和E(Fu2(u2))分別為Fu1(u1) 和Fu2(u2)的均值；σFu1(u1)和σFu2(u2)分別為Fu1(u1) 和Fu2(u2)的標(biāo)準(zhǔn)差。

3 基于Copula函數(shù)的疲勞可靠指標(biāo)評(píng)估法

應(yīng)用Copula函數(shù)建立疲勞可靠度聯(lián)合概率密度功能函數(shù)，對(duì)服役橋梁進(jìn)行疲勞可靠度評(píng)估可分為以下6個(gè)步驟：

步驟1推導(dǎo)疲勞可靠度功能函數(shù)，確定極限狀態(tài)方程中變量的類型和數(shù)量?？傮w而言，疲勞可靠度功能函數(shù)中變量分為疲勞抗力變量R和疲勞效應(yīng)變量S。

步驟2討論各變量之間具有相關(guān)性的可能性。對(duì)存在相關(guān)性可能的變量組，統(tǒng)計(jì)變量組的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。采用相關(guān)性度量法確定變量組的相關(guān)性系數(shù)。

步驟3選擇幾類Copula函數(shù)分別構(gòu)建具有相關(guān)性變量組的聯(lián)合概率密度函數(shù)表達(dá)式。并采用極大似然法估計(jì)聯(lián)合概率密度函數(shù)的參數(shù)。

步驟4采用AIC判別準(zhǔn)則確定最優(yōu)Copula函數(shù)表達(dá)式。

步驟5基于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，構(gòu)建變量的邊緣概率模型和聯(lián)合概率模型。

步驟6計(jì)算聯(lián)合密度函數(shù)的失效概率，并求解疲勞可靠度指標(biāo)。

圖1為基于應(yīng)變監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)考慮變量之間的相關(guān)性的橋梁疲勞可靠度計(jì)算流程圖。

圖1 細(xì)節(jié)疲勞可靠度指標(biāo)評(píng)估流程圖Fig.1 Flowchart of details fatigue reliability assessment

4 工程實(shí)例

4.1 南溪長(zhǎng)江大橋應(yīng)變與溫度監(jiān)測(cè)系統(tǒng)

南溪長(zhǎng)江大橋懸索橋作為中國(guó)西南地區(qū)最大主跨的懸索橋，是宜賓到瀘州高速路上跨越長(zhǎng)江的控制性工程大橋，其主跨跨徑為820 m(見圖2)。為討論環(huán)境溫度對(duì)應(yīng)變數(shù)據(jù)的影響，在懸索橋的跨中設(shè)置溫度傳感器，監(jiān)測(cè)該地區(qū)環(huán)境溫度的變化。傳感器采樣頻率為5 Hz。在行車道兩車輪加載位置所對(duì)應(yīng)的U肋-頂板焊接點(diǎn)和U肋-U肋對(duì)接點(diǎn)分別埋設(shè)振弦式應(yīng)變傳感器，傳感器編號(hào)分別為B0-SG-01、B0-SG-02、B0-SG-03和B0-SG-04，采樣的頻率為50 Hz(見圖3)。

圖2 南溪長(zhǎng)江大橋立面圖Fig.2 Nanxi Yangtze River suspension bridge

圖3 溫度與應(yīng)變傳感器布置截面圖(cm)Fig.3 Layout of strain and temperature sensors in cross section of steel box girder (cm)

4.2 實(shí)測(cè)應(yīng)變數(shù)據(jù)處理

應(yīng)變傳感器所接受到的信號(hào)包含了橋梁結(jié)構(gòu)遭受所有外界荷載作用的信息。主要包括車輛荷載、環(huán)境溫度荷載和信號(hào)干擾(對(duì)于地震荷載等小概率性偶然荷載，本文忽略不計(jì))。應(yīng)變傳感器采集的原始信號(hào)包含了對(duì)疲勞壽命評(píng)估計(jì)算有干擾的信號(hào)。需要采取一定的手段將干擾信息分離出來。由于車輛荷載、溫度荷載和干擾荷載信號(hào)三者的頻率具有明顯的區(qū)別，可以采用小波技術(shù)分離三種不同頻率的信號(hào)。小波分離技術(shù)的基本原理認(rèn)為任何一種采集信號(hào)波是由最基本的母波疊加而成。小波技術(shù)則是采用最簡(jiǎn)單的母波信號(hào)對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行拆解和重構(gòu)[20]。本文選用的小波函數(shù)為Daubechies小波。將溫度信號(hào)與其他信號(hào)進(jìn)行分離。

對(duì)2018年5月1日傳感器B0-SG-01的采集數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(見圖4(a))，并采用Daubechies小波對(duì)原始數(shù)據(jù)從3～10級(jí)進(jìn)行逐步分離，可知當(dāng)分離等級(jí)到達(dá)5級(jí)時(shí)，可以將車輛荷載信號(hào)、環(huán)境溫度荷載信息以及外界其他干擾信號(hào)分離開來。將環(huán)境溫度荷載信號(hào)與外界干擾信號(hào)組合后去除。得到有效的車輛荷載信號(hào)。由圖4(b)可知，環(huán)境溫度作用下，結(jié)構(gòu)的應(yīng)力變化呈現(xiàn)出正弦函數(shù)的變化圖形。車輛荷載效應(yīng)信號(hào)的形式為脈沖式(見圖4(c))。需要說明的是，圖4(c)中分別在時(shí)間節(jié)點(diǎn)8 h，12 h和22 h附近出現(xiàn)應(yīng)變“突變”均由超限軸重引起。

圖4 傳感器BO-SG-01器應(yīng)變監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)Fig.4 Time-history curve of strain of sensor BO-SG-01

4.3 變量相關(guān)性討論

疲勞可靠度極限狀態(tài)方程中的變量組包括：疲勞臨界失效值Δ，疲勞強(qiáng)度系數(shù)A，傳感器測(cè)量誤差e，等效應(yīng)力幅Seq和等效應(yīng)力幅循環(huán)次數(shù)Nd。討論和分析變量之間的相關(guān)性是計(jì)算可靠度指標(biāo)的前提。

(1) 獨(dú)立變量

對(duì)于變量Δ，一般認(rèn)為對(duì)于理想的材料當(dāng)損傷累計(jì)達(dá)到1時(shí)發(fā)生疲勞失效。而在實(shí)際工程中，材料本身具有一定的差異，如在運(yùn)輸過程的造成的碰撞缺口、焊接缺陷以及材料的初始裂紋均會(huì)影響材料的最終的疲勞壽命。變量Δ的概率取值與材料的制作工藝以及施工工藝有著密切聯(lián)系，而與疲勞極限狀態(tài)方程中的其他變量沒有實(shí)質(zhì)的關(guān)聯(lián)，可以認(rèn)為變量Δ與方程中其他變量相互獨(dú)立。

對(duì)于變量A，材料的疲勞強(qiáng)度系數(shù)為材料的固有特征參數(shù)。構(gòu)成材料的元素的種類、各元素在材料中所占的比例、材料的試驗(yàn)幾何尺寸決定了該類型材料的疲勞強(qiáng)度系數(shù)的取值。由此可知，變量A與極限狀態(tài)方程中其他的變量沒有相關(guān)性。

對(duì)于變量e，主要受傳感器本身的構(gòu)造、工程人員對(duì)傳感器的參數(shù)設(shè)置、以及外界的侵蝕介質(zhì)對(duì)傳感器的影響。一般認(rèn)為傳感器的測(cè)量誤差與疲勞失效功能函數(shù)中的其他變量無直接的關(guān)聯(lián)性?？梢詫⑵湟曌鳛楠?dú)立變量。

(2) 相關(guān)變量

假設(shè)在一個(gè)方程中，有兩個(gè)及兩個(gè)以上的變量受同一外界參數(shù)影響，則可以認(rèn)為受影響的變量之間存在相關(guān)性。Liu等的研究認(rèn)為環(huán)境溫度對(duì)鋼箱梁正交異性板焊接細(xì)節(jié)的應(yīng)力大小和循環(huán)次數(shù)較大的影響。由此可以推測(cè)應(yīng)變(應(yīng)力)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)通過雨流計(jì)數(shù)后細(xì)節(jié)點(diǎn)的等效應(yīng)力幅Seq和應(yīng)力幅循環(huán)次數(shù)Nd存在一定相關(guān)性。

為進(jìn)一步驗(yàn)證該推論，將環(huán)境溫度、等效應(yīng)力幅與應(yīng)力循環(huán)次數(shù)三組數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析。本文取既有橋梁結(jié)構(gòu)在2018年1月1日—2018年7月30日期間的環(huán)境溫度、U肋細(xì)節(jié)應(yīng)力和應(yīng)力循環(huán)次數(shù)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行討論分析。圖5對(duì)比了環(huán)境溫度、日等效應(yīng)力幅和應(yīng)力循環(huán)次數(shù)三個(gè)變量從2018年1月份到7月份(春-夏)的時(shí)間序列。環(huán)境溫度在局部范圍內(nèi)出現(xiàn)一定震蕩。日等效應(yīng)力幅值在1月份的平均等效應(yīng)力為7.2 MPa，而在7月份的日等效應(yīng)力幅均值達(dá)到了14.2 MPa。整體而言，日等效應(yīng)力幅隨溫度的升高而變大。日應(yīng)力循環(huán)次數(shù)隨時(shí)間的變化呈現(xiàn)出一定的增長(zhǎng)。1月份的日應(yīng)力幅次數(shù)均值為1 052次，明顯小于7月份的均值數(shù)(1 931次)。試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了推論的正確性。對(duì)于U肋-U肋對(duì)接細(xì)節(jié)，1月份和7月份的等效應(yīng)力幅均日等效應(yīng)力幅分別為7.0 MPa和8.8 MPa，相對(duì)第一類細(xì)節(jié)變化要小。

圖5 兩類細(xì)節(jié)點(diǎn)環(huán)境溫度、日等效應(yīng)力幅和應(yīng)力循環(huán)次數(shù)時(shí)間序列對(duì)比圖Fig.5 Comparisons of T, Seq, and Nd time-history curves for two details

整體而言，日溫度極大值和極小值呈現(xiàn)上升的趨勢(shì)。對(duì)于焊接細(xì)節(jié)點(diǎn)的日等效應(yīng)力幅值與環(huán)境溫度局部的震蕩呈現(xiàn)出協(xié)同性。

4.4 Copula聯(lián)合概率密度函數(shù)建模

(1) 邊緣概率密度函數(shù)

在構(gòu)建聯(lián)合概率密度之前，首先要得到邊緣概率密度函數(shù)模型。對(duì)于獨(dú)立變量Δ，A和e的邊緣概率分類型與參數(shù)在表3中已列出，不再贅述。分別選用三類最常用的概率模型(正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布)對(duì)統(tǒng)計(jì)變量進(jìn)行描述。圖6(a)和圖6(b)分別對(duì)比兩類細(xì)節(jié)點(diǎn)等效應(yīng)力幅值實(shí)測(cè)概率密度分布和三類概率模型的對(duì)比圖。三類擬合模型的精度均滿足要求，其中正態(tài)分布擬合精度達(dá)到了96%，在三類模型中最高。圖7(a)和圖7(b)則為日應(yīng)力循環(huán)次數(shù)的實(shí)測(cè)概率分布和擬合模型對(duì)比圖。在三類擬合模型中，正態(tài)分布模型擬合精度最高。表4給出兩類細(xì)節(jié)點(diǎn)日等效應(yīng)力幅和應(yīng)力循環(huán)次數(shù)的三類擬合模型的參數(shù)取值。

表3 Seq和Nd概率模型的參數(shù)模型Tab.3 Parameters of probability distribution models for Seq and Nd

圖6 兩類細(xì)節(jié)點(diǎn)的Seq概率模型擬合圖Fig.6 Comparisons with Seq PDFs of two details

圖7 兩類細(xì)節(jié)點(diǎn)的Nd概率模型擬合圖Fig.7 Comparisons with Nd PDFs of two details

(2) 最優(yōu)Copula函數(shù)選取

最優(yōu)Copula函數(shù)的選擇分為以下兩個(gè)步驟：

步驟1基于實(shí)測(cè)應(yīng)力幅值大小與應(yīng)力循環(huán)次數(shù)的時(shí)間序列，采用極大似然估計(jì)法估算5類常用的Copula函數(shù)參數(shù)θ。極大似然估計(jì)通過對(duì)Copula邊緣概率密度函數(shù)求對(duì)數(shù)，并計(jì)算極值，表達(dá)式為

(14)

(15)

步驟2分別計(jì)算Gaussian Copula,t-Copula, Gumbel Copula, Frank Copula和Clayton Copula的AIC判別值。表4列出了5類Copula函數(shù)的參數(shù)表及AIC判別值。通過對(duì)比可知，正交異性板兩類細(xì)節(jié)點(diǎn)的Gaussian Copula函數(shù)的VAIC的計(jì)算值相對(duì)其他4類最小。本文取Gaussian Copula函數(shù)作為最優(yōu)的一種連接模型。為了驗(yàn)證Gaussian Copula函數(shù)模型的精準(zhǔn)性，在Gaussian Copula函數(shù)模型中抽取1 000個(gè)樣本點(diǎn)與實(shí)測(cè)樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比論證。由圖8可知，實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)在概率分布中部呈現(xiàn)出較強(qiáng)的相關(guān)性，且兩組樣本數(shù)據(jù)概率分布形態(tài)分布特征相似。

圖8 兩類細(xì)節(jié)點(diǎn)的實(shí)測(cè)樣本與模擬樣本點(diǎn)對(duì)比圖Fig.8 Scatter plots of measured data and simulated data

表4 Copula函數(shù)參數(shù)估計(jì)值和AIC判別值Tab.4 The copula function parameters estimated value and AIC discriminant value

由表2可得到最優(yōu)Copula函數(shù)的表達(dá)式為

C(u1,u2;θ)=

(16)

式中：u1和u2分別為變量Seq和Nd的邊緣概率分布模型；θ為Copula函數(shù)的參數(shù)值。采用極大似然估計(jì)法計(jì)算得到兩類細(xì)節(jié)點(diǎn)Seq和Nd的參數(shù)值分別為0.79 和 0.38。圖9列出了兩類聯(lián)合概率密度分布函數(shù)分布圖。

圖9 兩類細(xì)節(jié)點(diǎn)的聯(lián)合概率密度分布圖Fig.9 Joint PDFs for details 1 and 2

5 討 論

5.1 變量相關(guān)性對(duì)可靠度指標(biāo)的影響

采用重要抽樣法計(jì)算考慮與不考慮變量相關(guān)性兩種情形下正交異性板焊接細(xì)節(jié)點(diǎn)的疲勞可靠度指標(biāo)。圖10(a)對(duì)比了兩種情形下細(xì)節(jié)點(diǎn)1的疲勞可靠性指標(biāo)隨服役年限的變化情況?？紤]變量Nd和Seq相關(guān)性的可靠度指標(biāo)明顯小于不考慮變量相關(guān)性的可靠性指標(biāo)。橋梁結(jié)構(gòu)服役100年時(shí)，考慮與不考慮變量相關(guān)性的可靠度指標(biāo)值分別5.3和6.9，兩者之間相差約1.3倍。

圖10(b)對(duì)比了考慮與不考慮變量相關(guān)性下，細(xì)節(jié)點(diǎn)2的時(shí)變可靠度指標(biāo)的變化曲線。由圖10(b)可知，兩類情況下可靠性指標(biāo)曲線間距較小。橋梁結(jié)構(gòu)服役100年時(shí)，考慮與不考慮變量相關(guān)性的可靠度指標(biāo)值僅相差1.03倍。表明考慮和不考慮變量的相關(guān)性，對(duì)細(xì)節(jié)2的可靠性指標(biāo)影響較小。

圖10 兩類細(xì)節(jié)點(diǎn)疲勞可靠度指標(biāo)時(shí)變曲線Fig.10 The fatigue reliability index time-varying curves for two types of details points

在設(shè)計(jì)基準(zhǔn)期100年內(nèi)，兩類細(xì)節(jié)的疲勞可靠度指標(biāo)均大于目標(biāo)可靠度指標(biāo)2。說明在不考慮交通增長(zhǎng)率的情形下，結(jié)構(gòu)在設(shè)計(jì)期內(nèi)具有足夠的安全儲(chǔ)備。

5.2 Copula函數(shù)對(duì)可靠度指標(biāo)的影響

圖11對(duì)比了Gaussian Copula,t-Copula, Gumbel Copula, Frank Copula和Clayton Copula函數(shù)構(gòu)建的聯(lián)合概率密度函數(shù)下細(xì)節(jié)1的可靠度指標(biāo)的時(shí)變曲線。由圖11可知，在5類可靠度指標(biāo)時(shí)變曲線中，Clayton Copula函數(shù)構(gòu)建的聯(lián)合概率密度函數(shù)模型，可靠度指標(biāo)要大于其他4類Copula函數(shù)構(gòu)建的聯(lián)合概率密度函數(shù)。Gumbel Copula函數(shù)模型的可靠性指標(biāo)時(shí)變曲線最小。橋梁服役100年時(shí)，Clayton Copula函數(shù)模型和Gumbel Copula函數(shù)模型的可靠度指標(biāo)分別為5.9和3.8。

圖11 5類Copula函數(shù)模型的可靠度指標(biāo)時(shí)變曲線Fig.11 Fatigue reliability time-varying curves by five types copulas

Clayton Copula函數(shù)模型在概率分布的上尾部分的相關(guān)性相對(duì)較強(qiáng)，導(dǎo)致樣本較小的數(shù)據(jù)具有較強(qiáng)的相關(guān)性，可靠度指標(biāo)計(jì)算值較大。Gumbel Copula函數(shù)模型在下尾部分相關(guān)性較強(qiáng)。樣本較大值數(shù)據(jù)相關(guān)性較強(qiáng)，致使疲勞荷載效應(yīng)較大，可靠度指標(biāo)小。對(duì)于Gaussian Copula,t-Copula和Frank Copula模型在概率分布函數(shù)的中部相關(guān)性較強(qiáng)，可靠度指標(biāo)值在前兩類Copula函數(shù)的可靠度指標(biāo)之間。

5.3 交通增長(zhǎng)率對(duì)可靠度指標(biāo)的影響

交通增長(zhǎng)率α作為影響結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)的另一變量，需要進(jìn)行討論分析。分別選取為0%，3%和5%作為交通增長(zhǎng)率α的取值，計(jì)算兩類細(xì)節(jié)的時(shí)變可靠性指標(biāo)。由圖12(a)可知，當(dāng)α分別等于3%和5%時(shí)，細(xì)節(jié)點(diǎn)1的可靠度指標(biāo)在服役年限為94.6年和67.1年時(shí)間節(jié)點(diǎn)等于目標(biāo)可靠度指標(biāo)。考慮交通增長(zhǎng)率因素的前提下，結(jié)構(gòu)在細(xì)節(jié)點(diǎn)1服役期內(nèi)存在較大的安全隱患。由圖12(b)可知，對(duì)于細(xì)節(jié)點(diǎn)2，疲勞可靠度指標(biāo)明顯要高于細(xì)節(jié)點(diǎn)1。當(dāng)交通增長(zhǎng)率為α=5% 時(shí)，當(dāng)橋梁結(jié)構(gòu)服役年限為81.9時(shí)，細(xì)節(jié)點(diǎn)2的疲勞可靠性指標(biāo)等于目標(biāo)可靠度指標(biāo)，需要對(duì)該類細(xì)節(jié)進(jìn)行維修加固來增加結(jié)構(gòu)的安全儲(chǔ)備。

圖12 不同交通增長(zhǎng)率細(xì)節(jié)疲勞可靠度指標(biāo)時(shí)變曲線Fig.12 Comparisons of fatigue reliability index time-variant curves with difference traffic growth rates

6 結(jié) 論

基于實(shí)測(cè)應(yīng)變數(shù)據(jù)和Copula函數(shù)，提出了一種考慮變量Nd和Seq相關(guān)性的可靠性評(píng)估方法。并將該方法應(yīng)用于我國(guó)西南地區(qū)最大主跨的南溪長(zhǎng)江大橋懸索橋主梁正交異性鋼箱梁的疲勞可靠性評(píng)估中。并得到以下結(jié)論：

(1) 橋梁結(jié)構(gòu)服役100年時(shí)，對(duì)于U肋-頂板細(xì)節(jié)，考慮與不考慮變量相關(guān)性的可靠度指標(biāo)值分別5.3和6.9，兩者之間相差約1.3倍，假定疲勞極限狀態(tài)方程中各變量相互獨(dú)立值得商榷。

(2) 討論了5類Copula函數(shù)分別建立聯(lián)合概率密度函數(shù)時(shí)，細(xì)節(jié)點(diǎn)疲勞可靠度指標(biāo)的時(shí)變曲線，可知Clayton Copula函數(shù)和Gumbel Copula函數(shù)所對(duì)應(yīng)的疲勞可靠度指標(biāo)分別最大和最小。

(3) 考慮交通增長(zhǎng)率為3%和5%時(shí)，細(xì)節(jié)點(diǎn)1的疲勞可靠度指標(biāo)分別在服役年限為94.6年和67.1年到達(dá)目標(biāo)可靠度指標(biāo)。需嚴(yán)格控制交通增長(zhǎng)率。