胡佳明， 朱曉錦， 方昱斌， 高志遠(yuǎn)， 苗中華

(上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院，上海 200072)

由于壓電作動(dòng)器具有結(jié)構(gòu)剛度高，響應(yīng)速度快等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于能量收集[1]、振動(dòng)抑制[2]、精密系統(tǒng)控制等[3]場(chǎng)合。但壓電材料本身包含的遲滯效應(yīng)常常限制了壓電作動(dòng)器的控制精度[4]，例如在高精度的控制臺(tái)中，遲滯效應(yīng)可帶來(lái)高達(dá)10%～15%的控制誤差[5]。

遲滯效應(yīng)為一種帶有局部記憶特性的非線性環(huán)節(jié)。為了描述遲滯效應(yīng)，學(xué)者們提出了眾多的壓電堆數(shù)學(xué)模型，這其中就包括了Bouc-Wen模型[6-8]。由于Bouc-Wen易于進(jìn)行遲滯補(bǔ)償因此被廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域[9]。例如：文獻(xiàn)[10]探討了針對(duì)Bouc-Wen模型的前饋加PI反饋補(bǔ)償控制。文獻(xiàn)[11]結(jié)合逆Bouc-Wen模型和PID控制實(shí)現(xiàn)了壓電堆APA120S的跟蹤控制。文獻(xiàn)[12]研究了多自由度壓電堆掃描平臺(tái)的控制，其中采用了多維的逆Bouc-Wen模型。

然而，Bouc-Wen模型中的不確定因素使得逆遲滯模型在工程實(shí)踐中受到限制。為了解決這一問(wèn)題，基于遲滯觀測(cè)器的補(bǔ)償系統(tǒng)設(shè)計(jì)成為壓電控制領(lǐng)域一大熱點(diǎn)問(wèn)題。文獻(xiàn)[13]將遲滯現(xiàn)象視為有界擾動(dòng)，設(shè)計(jì)了擾動(dòng)觀測(cè)器；文獻(xiàn)[14]提出了一種卡爾曼濾波觀測(cè)器；類(lèi)Luenberger觀測(cè)器研究可見(jiàn)文獻(xiàn)[15-17]。

對(duì)于壓電控制器的設(shè)計(jì)問(wèn)題，前饋控制器和反饋控制器都有學(xué)者進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[18]采用了一種自適應(yīng)滑模控制器；Li等設(shè)計(jì)了PID滑?？刂破?，并應(yīng)用在多維操作平臺(tái)中；Royson等則采用了PID控制。文獻(xiàn)[19]使用了多通道FULMS算法對(duì)壓電機(jī)敏柔性梁進(jìn)行了主動(dòng)振動(dòng)控制。文獻(xiàn)[20]研究了非對(duì)稱(chēng)Bouc-Wen模型的辨識(shí)與前饋補(bǔ)償；文獻(xiàn)[21]通過(guò)運(yùn)用高增益觀測(cè)器克服了壓電材料中的遲滯特性，并提出了一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)控制器。

為提升跟蹤控制精度，本文建立了一套基于遲滯補(bǔ)償?shù)膲弘姸炎赃m應(yīng)控制系統(tǒng)。其中包括了一個(gè)類(lèi)Luenberger觀測(cè)器和反步滑?？刂破鳌Ｐ掠^測(cè)器的設(shè)計(jì)基于滑?？刂评碚摵途€性矩陣不等式(linear matrix inequality，LMI)技術(shù)設(shè)計(jì)，相比于上述已有的研究，新設(shè)計(jì)的觀測(cè)器魯棒性更強(qiáng)。具體表現(xiàn)在：通過(guò)矩陣不等式縮放的方式消除掉了模型中不確定因素帶來(lái)的影響；基于H∞引理保證了遲滯觀測(cè)器在系統(tǒng)受到外界擾動(dòng)時(shí)的魯棒性。其次，考慮到觀測(cè)器在遲滯補(bǔ)償過(guò)程中的誤差，本文設(shè)計(jì)了一種基于反步滑模控制理論的跟蹤控制器，新設(shè)計(jì)的控制器可以有效提升壓電堆的控制精度，具有一定的魯棒性。最后，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的控制性能。

1 引言壓電堆模型

當(dāng)在壓電陶瓷的表面施加電壓時(shí)，由于電場(chǎng)的作用，會(huì)造成壓電元件內(nèi)部正負(fù)電荷中心的相對(duì)位移，從而導(dǎo)致壓電元件產(chǎn)生形變。利用這一現(xiàn)象，工程中常利用壓電陶瓷制成作動(dòng)裝置。然而由于壓電陶瓷的極限應(yīng)變很小，如果要獲得較大的形變，常采用多片壓電陶瓷制成堆疊形式，即壓電堆。

Bouc-Wen模型是由Bouc提出并由Wen改進(jìn)的一種用于描述壓電堆特性的數(shù)學(xué)模型，它的數(shù)學(xué)模型可以被表達(dá)為

(1)

式中：x(t)為壓電堆的輸出位移；h(t)為壓電材料帶來(lái)的遲滯輸出；m為壓電堆的質(zhì)量，kg；b為阻尼系數(shù)，N·s/m；k為剛度，N/m；d為壓電系數(shù),m/V；u(t)為壓輸入到壓電堆的電壓；α，β和γ為描述遲滯環(huán)的形狀；η(t)∈L2[0,T)為外界擾動(dòng)；為了方便分析，式(1)可以被重寫(xiě)為

(2a)

v(t)=H[u(t)]=du(t)-h(t)

(2b)

圖1 Bouc-Wen模型的結(jié)構(gòu)Fig.1 The constitution of Bouc-Wen model

圖中，M(s)為由式(2a)描述的二階線性系統(tǒng)。為了避免歧義，至此定義y(t)=x1(t)為壓電堆的輸出。

2 遲滯觀測(cè)器設(shè)計(jì)

由圖1可知，壓電堆作動(dòng)器可以表示為一個(gè)遲滯環(huán)節(jié)串聯(lián)一個(gè)二階線性系統(tǒng)。為了對(duì)遲滯現(xiàn)象進(jìn)行補(bǔ)償，本文基于滑?？刂评碚撘约癏∞引理設(shè)計(jì)一個(gè)類(lèi)Luenberger遲滯觀測(cè)器。基于觀測(cè)器的遲滯補(bǔ)償系統(tǒng)框架如圖2所示。

圖2 基于觀測(cè)器的補(bǔ)償系統(tǒng)框架圖Fig.2 The framework of the observer-compensation system

為了便于分析和設(shè)計(jì)遲滯觀測(cè)器，壓電堆模型式(2)可以被改寫(xiě)為

(3)

本文所設(shè)計(jì)的遲滯觀測(cè)器表達(dá)式為

(4)

引理1[22]對(duì)于任意矩陣M∈Rb×c，W∈Rb×c，Z∈Ra×c， 若rank(M)=c，且滿足矩陣方程

MW=Z

則可得M的通解為

M=ZW++U[Ib-WW+]

式中：U為給定的維數(shù)適當(dāng)?shù)娜我饩仃?；W+為矩陣W的廣義逆矩陣。

(5)

則根據(jù)引理1，觀測(cè)器中參數(shù)矩陣T，N的通解可以被表示為

式中，S為維數(shù)適當(dāng)且可給定的矩陣參數(shù)。

(6)

根據(jù)表達(dá)式(4)、式(6)可以得到eo(t)的動(dòng)態(tài)方程為

(7)

式中，P和Qd為正定且對(duì)稱(chēng)的矩陣。

引理2對(duì)任意維數(shù)適當(dāng)?shù)木仃嘪，Y有

XTY+YTX≤?-1XTNX+?YTN-1Y

式中：N為對(duì)稱(chēng)且正定矩陣；?為正常數(shù)。

定理1對(duì)于遲滯觀測(cè)器式(4)，若存在正常數(shù)λ，ε；對(duì)稱(chēng)且正定矩陣Po，Qo滿足

(8)

則觀測(cè)器式(4)可以漸進(jìn)地觀測(cè)出壓電堆的遲滯輸出。

證明考慮如下的Lyapunov函數(shù)

(9)

對(duì)式(9)兩端求導(dǎo)可得

(10)

根據(jù)引理2可得

(11)

則根據(jù)式(8)可以得到

(12)

顯然有

(13)

注1定理1中的式(8)可以被改寫(xiě)為線性矩陣不等式形式。定義矩陣轉(zhuǎn)換J=PoL，則式(8)可被重寫(xiě)為

(14)

3 反步控制器設(shè)計(jì)

為實(shí)現(xiàn)壓電堆的跟蹤控制，本文通過(guò)運(yùn)用反步滑?？刂评碚?，設(shè)計(jì)了一個(gè)基于遲滯補(bǔ)償系統(tǒng)的魯棒控制器。具體的控制框圖如圖3所示。

圖3 壓電堆控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 The framework of piezoelectric stack control system

圖中q(t)為遲滯補(bǔ)償機(jī)構(gòu)的輸出。對(duì)照?qǐng)D3，壓電堆中遲滯環(huán)節(jié)的輸出可表示為v(t)=dq(t)-h(t)。待設(shè)計(jì)的控制器輸出為u(t)，補(bǔ)償機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)目的為通過(guò)串聯(lián)抵消遲滯環(huán)節(jié)H[·]的影響，使得v(t)跟蹤u(t)。由此，控制器的控制輸出可到達(dá)二階線性系統(tǒng)M(s)。根據(jù)式(2a)，此時(shí)有

(15)

定理2如果存在反步滑?？刂破魅缦?，則系統(tǒng)(15)可跟隨參考信號(hào)r(t)

(16)

證明考慮如下的Lyapunov函數(shù)

(17)

對(duì)式(17)兩端求導(dǎo)可得

(18)

根據(jù)虛擬控制輸入的定義可以得到

(19)

因此有

(20)

定義Lyapunov函數(shù)

(21)

對(duì)式(21)兩端求導(dǎo)可得

(22)

將式(16)代入式(22)可得到

(23)

定義

(24)

可得到

(25)

4 仿真及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

首先將進(jìn)行仿真驗(yàn)證，壓電堆的參數(shù)如表1所示。

表1 壓電堆參數(shù)(1)Tab.1 Parameters of piezoelectric stack(1)

設(shè)外部擾動(dòng)為η(t)=0.5sin(30t) μm，參考輸入r(t)=sin(3.14t) μm。

根據(jù)注1，通過(guò)求解得到系數(shù)矩陣T和N分別為

基于定理1，通過(guò)求解線性矩陣不等式(14)得到觀測(cè)器中的參數(shù)矩陣

圖4 壓電堆控制效果(仿真)Fig.4 Control performance of the piezoelectric stack (simulation)

其中PID控制器的參數(shù)設(shè)定為P=10，I=5，D=0。由圖4可知，所設(shè)計(jì)的基于遲滯補(bǔ)償?shù)姆床交？刂破骶哂懈玫聂敯粜?，跟蹤誤差較小。

下面進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)基于MATLAB中的xPC實(shí)時(shí)系統(tǒng)和實(shí)際控制平臺(tái)，其原理圖如圖5所示。

圖5 壓電堆控制系統(tǒng)Fig.5 Schematic diagram of the piezoelectric stack control system

其中，信號(hào)采集卡采用NI公司的PCI-6289，位移傳感器采用E509.C1, XMT?，信號(hào)調(diào)理器E09.C1, XMT?，壓電堆型號(hào)為PSt 150/7/7/20。系統(tǒng)的實(shí)物圖如圖6所示。

圖6 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)實(shí)物圖Fig.6 Piezoelectric stack control system

采用遺傳算法對(duì)壓電堆進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)[24]，辨識(shí)結(jié)果如表2所示。

表2 壓電堆參數(shù)(2)Tab.2 Parameters of piezoelectric stack(2)

指定參考信號(hào)r(t)=3sin(10πt)+3 μm。對(duì)于觀測(cè)器式(4)，通過(guò)求解得到系數(shù)矩陣T和N分別為

基于定理1，通過(guò)求解線性矩陣不等式(14)得到觀測(cè)器中的參數(shù)矩陣

圖7 壓電堆控制效果(實(shí)驗(yàn))Fig.7 Control performance of the piezoelectric stack (experiment)

如圖7所示，壓電堆輸出在0.4 s左右穩(wěn)定并跟蹤參考輸入，且控制效果良好。

5 結(jié) 論

由于壓電堆具有響應(yīng)速度快、能量密度高等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于各種精密控制平臺(tái)的作動(dòng)器件，但壓電材料自身帶有的遲滯特性嚴(yán)重影響了壓電作動(dòng)器控制精度。為了補(bǔ)償遲滯效應(yīng)帶來(lái)的負(fù)面影響，提升壓電堆的控制效果，本文首先基于滑?？刂评碚撘约癓MI技術(shù)設(shè)計(jì)了一個(gè)類(lèi)Luenberger遲滯觀測(cè)器。觀測(cè)器在設(shè)計(jì)過(guò)程中考慮到了模型中的不確定因素以及外界擾動(dòng)的影響，并通過(guò)Lyapunov定理證明了其具有H∞性能；其次，基于反步滑?？刂评碚撛O(shè)計(jì)了一個(gè)基于遲滯補(bǔ)償?shù)母櫩刂破?，設(shè)計(jì)過(guò)程中考慮到了觀測(cè)器的補(bǔ)償誤差，具有一定的魯棒性；最后通過(guò)仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出的壓電堆補(bǔ)償控制方法的有效性。