遲 杰，張隆源，張夢(mèng)飛

（中國(guó)石油大學(xué) 勝利學(xué)院 a.基礎(chǔ)科學(xué)學(xué)院；b.機(jī)械與控制工程學(xué)院，山東 東營(yíng)257061）

在最近的幾十年中，數(shù)學(xué)模型已成為決定油氣田分析，維護(hù)和開發(fā)決策的主要工具?；谟嘘P(guān)沉積物的具體特征來(lái)尋找石油油水、油氣兩相傳質(zhì)傳熱等問(wèn)題的解決方案，可以長(zhǎng)期預(yù)測(cè)石油產(chǎn)量，并評(píng)估維持油藏壓力的措施和其他提高采油率的措施的有效性[1,2]。黃志江等[3]研究油水兩相流在顆粒多孔介質(zhì)中的流動(dòng)阻力特性, 建立了顆粒填充多孔介質(zhì)通道中油水流動(dòng)過(guò)程的計(jì)算模型。宋紅偉等[4]對(duì)低流量水平井油水兩相分層流速度場(chǎng)進(jìn)行數(shù)值模擬取得很好的應(yīng)用效果。譚剛等[5]討論了油水兩相流壓降和持水率與滑移的影響因素, 并對(duì)今后的發(fā)展和下一步的研究方向提出了建議。劉靜等[6]低滲透二維兩相流的數(shù)值模擬，進(jìn)一步豐富了變流體物性水驅(qū)滲流數(shù)學(xué)模型。徐冰[7]綜合考慮裂縫內(nèi)法向滲透壓力、裂縫滲透系數(shù)的相互作用和巖體中滲透壓力、滲流體積力、巖體滲透系數(shù)的相互作用，建立了壓裂滲濾強(qiáng)化采油條件下流固耦合裂縫擴(kuò)展三維數(shù)學(xué)模型。劉焯[8]創(chuàng)新地利用核磁共振測(cè)試,研究了壓力梯度、注入倍數(shù)、滲透率、反向驅(qū)替這四個(gè)因素對(duì)微觀油水賦存狀況的影響。王建忠等[9]通過(guò)改善低滲透油藏的滲透率或者降低油水界面張力將是減小壓力波動(dòng)、利于生產(chǎn)的有效措施。

盡管如此，使用流體動(dòng)力學(xué)模型的實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)模型的功能遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足解決與現(xiàn)場(chǎng)開發(fā)相關(guān)的重要生產(chǎn)問(wèn)題時(shí)出現(xiàn)的需求[10]。特別是適用于復(fù)雜的非常規(guī)領(lǐng)域中開發(fā)過(guò)程進(jìn)行建模。迫切需要解決的問(wèn)題是構(gòu)建用于計(jì)算粘性油田（尤其是水平井附近）的開發(fā)參數(shù)的計(jì)算模型。本文通過(guò)在自然半固定坐標(biāo)系下建立動(dòng)態(tài)計(jì)算網(wǎng)格的計(jì)算域離散化方法，嘗試用半固定的自然網(wǎng)格計(jì)算兩相傳質(zhì)的問(wèn)題，并給出了所確定形狀的流中相流量的解析表達(dá)式。以期該對(duì)水平井平行井系統(tǒng)的各種模型開發(fā)和應(yīng)用提供參考。

1 方法論

用于計(jì)算油水混合物的非平穩(wěn)滲流的方程組包括：

相連續(xù)性方程式（1）：

廣義達(dá)西方程式（2）：

油水混合物內(nèi)部能量平衡方程式（3）：

式中 div：散度公式；grad：梯度公式；τ：時(shí)間，s；參數(shù) i 油時(shí)取值 1，水時(shí)取值 2；m：孔隙率；Si：第 i 相的飽和度真密度；k0：絕對(duì)相滲透率；fi：相對(duì)相滲透率；μi：動(dòng)態(tài)粘度；ρU=（ρ1с1+ρ2с2）是混合物的比內(nèi)能熱傳導(dǎo)（λ）引起的熱通量矢量。式（1-3）中，未知量為速度壓力（P），溫度（T），和飽和度（S）i。對(duì)于方程組（1-3），參數(shù)在 τ=0 時(shí)的初始分布設(shè)置流動(dòng)區(qū)域以及該區(qū)域邊界上的條件。

2 問(wèn)題描述

本文考察了“注入井-儲(chǔ)層-生產(chǎn)井”系統(tǒng)，水平注入和生產(chǎn)井系統(tǒng)在油田作業(yè)期間發(fā)生的準(zhǔn)三維等溫非平穩(wěn)過(guò)程。涉及上述系統(tǒng)相關(guān)問(wèn)題的假設(shè)見圖1。

圖1 中，H：儲(chǔ)層厚度；LZ：井的水平段的長(zhǎng)度；ΔZ：沿 Z 軸的模型細(xì)胞的尺寸；W：水；O+W：水-油混合物。

圖1 平行水平井系統(tǒng)準(zhǔn)三維問(wèn)題示意圖Fig.1 Schematic diagram of quasi three dimensional problems of parallel horizontal well system

三維問(wèn)題簡(jiǎn)化為3 個(gè)相互關(guān)聯(lián)的組合：（1）在注入井水平段中改變壓力，水（蒸汽）流量和溫度（在解決熱問(wèn)題的情況下）的準(zhǔn)一維問(wèn)題；（2）Nx二維兩相在垂直層滲透問(wèn)題ΔZi=LZ/NZ；（3）油水的壓力，溫度和流量變化的準(zhǔn)一維問(wèn)題。在井的水平部分注水（在此階段，我們只能解決兩相滲流問(wèn)題）。油水混合物沿Z 軸在生產(chǎn)井的水平段中流動(dòng)0≤Z≤LZ；熱水或其他冷卻劑沿Z 軸流動(dòng)；而Z 從Z 取值范圍[0, LZ]，假設(shè)滲透率沿Z 軸的投影（Wz）比Wx 和Wy 小得多，因此，式（4）成立。

考慮時(shí)間為參數(shù)已知分布的準(zhǔn)平穩(wěn)近似：tn和隨時(shí)間Δt 的某些外部影響，時(shí)間tn+1=tn+Δt，其中n=1，N。在實(shí)踐中使用的開發(fā)系統(tǒng)（圖1）通過(guò)解決以下3 個(gè)問(wèn)題來(lái)描述：注入井水平段系統(tǒng)-地層-生產(chǎn)井水平段系統(tǒng)中傳熱和傳質(zhì)的三維非平穩(wěn)問(wèn)題。旨在改進(jìn)用于計(jì)算流體力學(xué)參數(shù)的方法，假定已知滲流區(qū)域內(nèi)的溫度場(chǎng)。

3 模型設(shè)計(jì)

在第2 節(jié)的假設(shè)基礎(chǔ)上，在儲(chǔ)層區(qū)域和井橫截面中形成計(jì)算網(wǎng)格。提出了解決問(wèn)題的迭代方法。

3.1 模型數(shù)據(jù)設(shè)置

幾何尺寸：注射井直徑（di）和生產(chǎn)井直徑（dp）；井水平段之間的距離（Lx）；井水平段有效長(zhǎng)度(LZ)；

初始油藏參數(shù)分布 孔隙度（m）、絕對(duì)相滲透率（Ko）和相對(duì)相滲透率（fo, w（Sw））、水或油飽和度（So=1-Sw）、初始時(shí)刻油藏的壓力（P0）和溫度（t0）；

注入井（Pi）和生產(chǎn)井（Pp）初始?jí)毫Γ⑷刖某跏紲囟龋═i）和速率（Go, w）；

計(jì)算參數(shù) 時(shí)間步長(zhǎng)（Δt），斷面數(shù)（Nz），流線和等勢(shì)面數(shù)，流量迭代時(shí)的誤差（ξG）。

3.2 模型計(jì)算

注產(chǎn)井水平段沿長(zhǎng)度0≤x≤Pi, p（x,t）和溫度Ti（x,t）的初始分布；壓力分布由動(dòng)量平衡方程表示，可用式（5）表達(dá)：

確定流線的初始位置：等勢(shì)面在平面上Zi=const為定義常量，控制量形成于線的交點(diǎn)。因此，使用自然坐標(biāo)系其中，考慮到研究對(duì)象的幾何形狀（圖1）和邊界影響，以源和匯的疊加形式呈現(xiàn)，li對(duì)應(yīng)等勢(shì)線φi和流線ψj計(jì)算過(guò)程中確定，式（6）：

從水平井中的準(zhǔn)一維流體運(yùn)動(dòng)方程組中沿長(zhǎng)度0≤x≤L 的速度、壓力、飽和度、溫度的變化。沿氣流的壓力分布可表示為式（7）：

從式（7）中可以確定混合物氣流流速l'=Lj，其中Lj是當(dāng)前流長(zhǎng)度。令可得式（8）：

在考慮到（8）和（9）的情況下，沿水流的相速度分布 l 如式（10），式（11）：

油水流量在 l=L 與區(qū)域 F（L）部分時(shí)，如式（12）方程組所示：

在時(shí)間tn+1時(shí)第i 相的飽和度等于：

在自然坐標(biāo)系中，利用式（6）中找到的控制量，通過(guò)類比考慮流線的形狀，可確定水流和相流的初始?jí)毫Ψ植肌２捎脛?dòng)態(tài)自然半固定坐標(biāo)系來(lái)劃分空間。滲透流量參數(shù)的不斷變化，對(duì)流線進(jìn)行細(xì)化。按照上述步驟反復(fù)進(jìn)行，直到獲得式（14）收斂條件。

其中k 為迭代次數(shù)，ξG為迭代過(guò)程中對(duì)各層流的允許誤差根據(jù)上述步驟重復(fù)計(jì)算時(shí)間間隔其中 Nt為時(shí)間步數(shù)。

4 案例分析與數(shù)值模擬

使用某地區(qū)的真實(shí)數(shù)據(jù)以進(jìn)行仿真分析，根據(jù)數(shù)字隨機(jī)孔網(wǎng)絡(luò)建模的結(jié)果設(shè)置了相對(duì)相滲透率函數(shù)，表1 匯總了用于計(jì)算的初始數(shù)據(jù)。

表1 初始數(shù)據(jù)設(shè)定Tab.1 Initial data setting

第一階段，計(jì)算出各種模式的田間開發(fā)技術(shù)指標(biāo)。

不同壓力條件下，產(chǎn)油產(chǎn)水量隨時(shí)間變化見圖2。在不同ΔP 條件下，產(chǎn)油產(chǎn)水量都呈上升趨勢(shì)。在ΔP=80atm 時(shí)，累計(jì)產(chǎn)油量最高。

圖2 不同壓力條件下產(chǎn)油產(chǎn)水量時(shí)間變化Fig.2 Time variation of oil and water production under different pressure conditions

用不同的初始地層溫度進(jìn)行了一系列等溫計(jì)算（圖3）。初始地層溫度為20、60 和80℃，在這一系列實(shí)驗(yàn)中，影響結(jié)果的關(guān)鍵因素是流體粘度，表面張力和相對(duì)滲透率圖的變化的依賴性[11,12]。從儲(chǔ)層流體樣品中獲得了動(dòng)態(tài)粘度和表面張力的依賴關(guān)系，并通過(guò)模型證明了相對(duì)滲透率圖中的變化規(guī)律。

圖3 不同初始溫度等溫曲線Fig.3 Isothermal curves of different initial temperatures

圖4 本文模型與商用模型結(jié)果比較Fig.4 Comparison of the results of the model and commercial model

應(yīng)用多相系統(tǒng)主題力學(xué)的基本規(guī)律，結(jié)合現(xiàn)代物理、數(shù)學(xué)模型和數(shù)值方法進(jìn)行求解，提供了研究的可靠性。用商業(yè)水動(dòng)力模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，證實(shí)了所獲得的結(jié)果（圖4）。

5 結(jié)語(yǔ)

基于自然半固定坐標(biāo)系中動(dòng)態(tài)計(jì)算網(wǎng)格的構(gòu)建，開發(fā)了一種用于稀疏化確定滲流兩相混合物，并將其實(shí)現(xiàn)為可編程模型，平行水平井系統(tǒng)準(zhǔn)三維非平穩(wěn)等溫運(yùn)行模型。以某高粘度油田為例，利用平行水平井系統(tǒng)對(duì)各種開發(fā)模式進(jìn)行了計(jì)算參數(shù)研究。所提出的計(jì)算方法及其軟件實(shí)現(xiàn)是對(duì)傳熱和傳質(zhì)過(guò)程進(jìn)行進(jìn)一步建模的基礎(chǔ)，為從本領(lǐng)域理論研究和數(shù)值模擬提供借鑒。