杜瑞鋒，李麗珍，申 鋼，韓淑芳，但 敏

（1.內(nèi)蒙古建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程與測(cè)繪學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010070；2.內(nèi)蒙古交通設(shè)計(jì)研究院有限責(zé)任公司，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010011）

1 引言

巖石的彈性模量是線彈性力學(xué)、塑性力學(xué)、斷裂力學(xué)以及損傷力學(xué)等研究領(lǐng)域中基本研究參量之一。如基于等效應(yīng)變假說(shuō)的經(jīng)典損傷定義中的彈性模量法，就是以材料損傷前后彈性模量變化來(lái)定義和度量損傷程度的方法[1，2]。巖石的動(dòng)、靜彈性模量在巖石力學(xué)、地質(zhì)力學(xué)、地質(zhì)勘探與油氣田開(kāi)發(fā)等多種工程技術(shù)領(lǐng)域均有重要的意義[3]。

巖石或巖體的動(dòng)彈性模量是用于動(dòng)荷載作用下的指標(biāo)，實(shí)踐中有多種評(píng)價(jià)方法，如可采用測(cè)定聲波波速的方法來(lái)確定動(dòng)彈性模量，在波速與動(dòng)彈性模量之間建立函數(shù)關(guān)系[4，5]；采用動(dòng)三軸試驗(yàn)來(lái)確定低應(yīng)變率下的動(dòng)彈性模量，亦可采用霍普金森桿試驗(yàn)獲得中高應(yīng)變率下的動(dòng)彈性模量[5]。

在室內(nèi)單軸循環(huán)加卸載試驗(yàn)中，劉建鋒等[6]對(duì)鹽巖進(jìn)行損傷變量研究中利用低周循環(huán)加卸載方法分析了鹽巖的損傷彈性模量，能更好的反映具有顯著時(shí)間效應(yīng)變形的鹽巖的損傷特性；楊春和等[7]在單軸循環(huán)加卸載試驗(yàn)中討論了加載段和卸載段變形模量的區(qū)別，并指出通過(guò)卸載變形參數(shù)能更好地表現(xiàn)巖鹽的變形特征。以上文獻(xiàn)中，雖然開(kāi)展的試驗(yàn)研究目的有所不同，但其對(duì)彈性模量的研究是值得借鑒的。

巖石動(dòng)三軸試驗(yàn)用于評(píng)價(jià)巖石的動(dòng)參數(shù)指標(biāo)，如動(dòng)彈性模量、動(dòng)泊松比、阻尼比或阻尼系數(shù)等，為相關(guān)的動(dòng)應(yīng)力環(huán)境下巖體工程提供計(jì)算指標(biāo)。因此，動(dòng)參數(shù)的準(zhǔn)確性將關(guān)系到工程結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性等。諸多的學(xué)者進(jìn)行了多方面的探索研究。孫承帥[8]針對(duì)深部巖體彈性模量研究，采用了遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等分析方法，結(jié)合損傷本構(gòu)模型對(duì)巖體的彈性模量進(jìn)行了反演分析，從而獲得了損傷巖體彈性模量的分布規(guī)律。

在爆破地震波作用下巖質(zhì)邊坡穩(wěn)定性等研究中，利用MTS 815巖石試驗(yàn)機(jī)開(kāi)展了砂巖的動(dòng)三軸試驗(yàn)。試驗(yàn)中動(dòng)應(yīng)力幅值取為對(duì)應(yīng)圍壓的常規(guī)三軸試驗(yàn)峰值點(diǎn)的300%～60%，動(dòng)應(yīng)力頻率有3類(lèi)，即0.5 Hz、1 Hz、3Hz；施加的4種不同的圍壓，即0 MPa、2 MPa、4 MPa、6MPa。在試驗(yàn)結(jié)果處理中，結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)，對(duì)動(dòng)彈性模量的各種定義方法進(jìn)行了綜合研究，并提出了相應(yīng)的改進(jìn)方法和觀點(diǎn)。

2 動(dòng)彈性模量定義

通常，巖石動(dòng)三軸試驗(yàn)中，嚴(yán)格意義上講，動(dòng)彈性模量的定義應(yīng)采用切線模量，但限于巖石本構(gòu)關(guān)系的復(fù)雜性和試驗(yàn)機(jī)采樣點(diǎn)的有限數(shù)量，實(shí)際中只能采用割線模量替代切線模量[9～11]，如圖1所示，即常取最大值與最小值之間的割線模量替代切線模量，所得的動(dòng)彈性模量是一種平均的動(dòng)彈性模量。從數(shù)學(xué)角度講，采用割線模量替代切線模量，不僅是一種古老的數(shù)學(xué)思想，而且在現(xiàn)代的數(shù)值計(jì)算中也是數(shù)值微分、數(shù)值逼近等的基本的數(shù)值計(jì)算手段[12，13]。

為了加深對(duì)割線模量和切線模量的理解，取一段1/2圓弧為例，如圖2（a）所示，取其切線斜率和割線斜率進(jìn)行對(duì)比認(rèn)識(shí)；由圖2（b）可以看出，各點(diǎn)的割線斜率值在一定范圍內(nèi)大于其切線斜率，隨著橫坐標(biāo)值的增大，割線斜率值能近似地接近切線斜率。這是在巖石動(dòng)三軸試驗(yàn)中可以用割線斜率替代切線斜率的基本原理。

圖1 彈性模量與割線模量定義示意圖

圖2 彈性模量與割線模量定義示意圖

2.1 通常的動(dòng)彈性模量定義

關(guān)于動(dòng)彈性模量定義式，常見(jiàn)的有兩類(lèi)，在文獻(xiàn)[14]中將動(dòng)彈性模量定義為式（1），如圖3（a）所示；而以[15]、[16]、[17]為代表的文獻(xiàn)將動(dòng)彈性模量定義為式（2），如圖3（b）所示，習(xí)慣上稱(chēng)為滯回環(huán)的平均斜率。形式上不同的式（1）、式（2），其實(shí)本質(zhì)上是相同的，只需將圖3（a）中滯回圈點(diǎn)O’坐標(biāo)平移至原點(diǎn)O，兩式具有相同的表達(dá)式，完全是等價(jià)的。

2.2 平均動(dòng)彈性模量定義及改進(jìn)1

圖3 其他文獻(xiàn)中動(dòng)彈性模量定義

隨著對(duì)動(dòng)三軸試驗(yàn)研究的深入，學(xué)者們對(duì)動(dòng)彈性模量有了更深入的思考，采取了改進(jìn)措施。在文獻(xiàn)[18]中，如圖4所示，利用了滯回圈的起點(diǎn)、終點(diǎn)之間呈現(xiàn)非閉合特點(diǎn)，將彈性模量定義為式（3）。

圖4 動(dòng)應(yīng)力-動(dòng)軸向應(yīng)變滯回圈

如前所述，在認(rèn)識(shí)動(dòng)彈性模量定義中所涉及切線模量和割線模量的基礎(chǔ)上，不難看出，文獻(xiàn)[18]中采用的動(dòng)彈性模量定義，不符合“以割線模量替代切線模量”的基本原理，式（3）中的定義，不夠成一種割線模量的定義。在此，稍作改進(jìn)，使之能符合割線模量的定義，如式（4），本文中稱(chēng)之為改進(jìn)1。

2.3 基于回歸分析的動(dòng)彈性模量定義改進(jìn)2

圖5 對(duì)動(dòng)彈性模量定義的改進(jìn)2

圖6 對(duì)動(dòng)彈性模量定義的改進(jìn)3

本研究對(duì)泥質(zhì)砂巖的動(dòng)三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理過(guò)程中，結(jié)合上面的動(dòng)彈性模量的定義，認(rèn)為其主要的弊端在于沒(méi)有將所有數(shù)據(jù)利用，只是利用了最大、最小應(yīng)力點(diǎn)數(shù)據(jù)。因此，對(duì)于動(dòng)應(yīng)力-應(yīng)變組成的滯回圈圖形，假定其點(diǎn)與點(diǎn)之間為線性函數(shù)發(fā)展規(guī)律，將滯回圈的質(zhì)心坐標(biāo)計(jì)算出來(lái)，如圖5所示；然后將質(zhì)心、最大及最小應(yīng)力點(diǎn)共3點(diǎn)結(jié)合起來(lái)分析。在最小二乘法基礎(chǔ)上進(jìn)行線性回歸，得到回歸直線，其斜率就可定義為動(dòng)彈性模量。求質(zhì)心的過(guò)程將所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)考慮了，然后再通過(guò)與最大、最小應(yīng)力點(diǎn)的擬合過(guò)程，可獲得了動(dòng)彈性模量，本方法稱(chēng)為改進(jìn)2。

2.4 基于回歸分析的動(dòng)彈性模量定義改進(jìn)3

由動(dòng)彈性模量的定義式（1）可知，只利用了最大應(yīng)力、最小應(yīng)力點(diǎn)來(lái)定義動(dòng)彈性模量，其余各點(diǎn)沒(méi)有被利用；由滯回圈分布特點(diǎn)可知，加載段試驗(yàn)點(diǎn)、卸載段試驗(yàn)點(diǎn)分布在最大、最小應(yīng)力點(diǎn)的連線兩側(cè)。因此，基于一種直觀的認(rèn)識(shí)，進(jìn)行了將所用的試驗(yàn)點(diǎn)擬合成一條直線的嘗試。由基于最小二乘法的回歸擬合原理可知，該直線應(yīng)在加載段與卸載段之間，該直線的斜率可作為滯回圈的一種平均割線模量，基本原理如圖6所示，本文稱(chēng)為動(dòng)彈性模量的改進(jìn)定3。在此改進(jìn)方法中，所有數(shù)據(jù)點(diǎn)被利用的程度是均等的。

3 動(dòng)彈性模量定義及改進(jìn)方法對(duì)比

結(jié)合上述的認(rèn)識(shí)和分析，以泥質(zhì)砂巖為研究對(duì)象，在MTS 815巖石試驗(yàn)機(jī)上開(kāi)展了50次循環(huán)的動(dòng)三軸試驗(yàn)，應(yīng)用MATLAB編制了專(zhuān)用的計(jì)算動(dòng)彈性模量程序，將通常定義的動(dòng)彈性模量及各種改進(jìn)方法繪制在同一坐標(biāo)下對(duì)比分析，如圖7所示。

圖7 泥質(zhì)砂巖動(dòng)彈性模量的不同定義方法比較

文獻(xiàn)[18]提出的改進(jìn)定義，變化幅度較大；而本文提出的3種改進(jìn)方法中的結(jié)果，比較接近于通常定義的動(dòng)彈性模量結(jié)果。在文獻(xiàn)[18]基礎(chǔ)上改進(jìn)的方法1所得的動(dòng)彈性模量值大于通常定義的結(jié)果；而本文方法2與通常定義基本重合，說(shuō)明引入質(zhì)心后回歸擬合的方法對(duì)動(dòng)彈性模量影響很小，或者說(shuō)質(zhì)心就在最大、最小應(yīng)力點(diǎn)之間的連線上。

與通常定義相比，本文方法3則表現(xiàn)出明顯的區(qū)別，整個(gè)循環(huán)中動(dòng)彈性模量變化比較平緩，總體趨勢(shì)能與通常定義的一致；還能消除動(dòng)彈性模量之間過(guò)大的波動(dòng)，這在圖7（a）、（b）、（c）之間均有體現(xiàn)，以圖7（c）中更為明顯。這是改進(jìn)方法3中最突出的特點(diǎn)。

從力學(xué)角度上看，本次動(dòng)三軸試驗(yàn)為等幅應(yīng)力循環(huán)，導(dǎo)致動(dòng)彈性模量突然增加或連續(xù)增加的原因初步可解釋為巖石硬化現(xiàn)象，而動(dòng)彈性模量的突然降低可解釋為巖樣內(nèi)部裂縫的大面積擴(kuò)展或連通，而動(dòng)彈性模量應(yīng)該反應(yīng)出這種變化。從圖7中看出，本文方法3反應(yīng)出的變化程度最小，圖7（b）中可以看出，本文方法3表現(xiàn)的較為平緩，整個(gè)曲線在前段高于通常定義的方法、在后段則低于通常定義的方法，顯示出良好的適用性。

4 結(jié)語(yǔ)

①結(jié)合有關(guān)文獻(xiàn)中對(duì)動(dòng)彈性模量的定義，本文對(duì)其定義進(jìn)行了改進(jìn)處理，充分利用了所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，克服了只利用最大、最小應(yīng)力點(diǎn)定義動(dòng)彈性模量的不足之處；本文所提的改進(jìn)方法操作簡(jiǎn)單，易于在計(jì)算機(jī)程序中實(shí)現(xiàn)。

②本文所提的3種改進(jìn)方法，可為相關(guān)的研究提供參考和借鑒，但從科學(xué)研究的嚴(yán)謹(jǐn)性方面考慮，尚缺少足夠的理論分析和更多的案例證明，有待于進(jìn)一步的試驗(yàn)驗(yàn)證和工程實(shí)踐檢驗(yàn)。