姜博龍

（中國(guó)鐵路設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司 城市軌道交通數(shù)字化建設(shè)與測(cè)評(píng)技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，天津300308）

在城市軌道交通快速發(fā)展、城市土地利用集約化的雙重背景下，城市軌道交通線(xiàn)位逐步逼近甚至下穿既有或規(guī)劃建筑物敏感點(diǎn)，造成了一定的負(fù)面影響和經(jīng)濟(jì)損失，亟需采取防治措施。當(dāng)線(xiàn)路開(kāi)通運(yùn)營(yíng)無(wú)法更換減振軌道、既有建筑物無(wú)法搬遷或加裝隔振支座的情況下，傳播路徑控制具有一定的必要性，對(duì)其展開(kāi)研究具有重要意義。其中，排樁作為一種典型的隔振屏障，被認(rèn)為在低頻隔振中有潛在優(yōu)勢(shì)[1]。與此同時(shí)，受凝聚態(tài)物理及聲子晶體的啟發(fā)，周期結(jié)構(gòu)的帶隙特性[2]被引入到隔振排樁的研究中。所謂帶隙，是指存在于無(wú)限尺寸的周期結(jié)構(gòu)中、具有抑制某個(gè)頻段內(nèi)的波傳播的特性[3]。帶隙特性引入一方面改善了城市軌道交通隔振排樁設(shè)計(jì)缺乏理論指導(dǎo)的現(xiàn)狀，另一方面，通過(guò)周期結(jié)構(gòu)或材料的人為設(shè)計(jì)來(lái)調(diào)節(jié)帶隙的帶寬和分布，可更具針對(duì)性地阻隔目標(biāo)頻段振動(dòng)，具有良好的應(yīng)用前景。

周期性隔振樁帶隙特性的研究才剛剛起步，目前還是以理論研究為主。黃建坤[3]以圓截面排樁為例，針對(duì)周期常數(shù)、土體彈性模量和樁半徑等各類(lèi)因素對(duì)圓截面排樁帶隙起止頻率、帶寬的影響展開(kāi)研究，并獲得其規(guī)律；劉心男等[4]針對(duì)采用平面應(yīng)變模型求解無(wú)限周期排樁帶隙問(wèn)題中樁長(zhǎng)無(wú)限長(zhǎng)的假設(shè)，建立了三維有限元模型，討論三維模型與二維模型計(jì)算結(jié)果的差異，發(fā)現(xiàn)隨著樁長(zhǎng)的增加，二者的結(jié)果差異逐步減小，這也說(shuō)明了在有限周期和有限樁長(zhǎng)條件下，帶隙范圍內(nèi)的振動(dòng)可有效衰減，可實(shí)現(xiàn)相當(dāng)?shù)母粽裥Ч黄雅d波等[5]提出了一種全新方法，用于獲取二維周期樁隔振系統(tǒng)的面波頻散曲線(xiàn)；此外，甘瑩瑩[6]針對(duì)復(fù)阻尼周期排樁的減振性能展開(kāi)研究，孟慶娟等[7]針對(duì)飽和土條件下隔振排樁的衰減特性展開(kāi)研究。文獻(xiàn)[8]利用原理性試驗(yàn)獲得了周期結(jié)構(gòu)帶隙理論指導(dǎo)下設(shè)計(jì)排樁的振動(dòng)傳輸衰減規(guī)律，并與帶隙計(jì)算結(jié)果對(duì)比，吻合情況良好，驗(yàn)證了該理論的正確性；姜博龍等[9-10]建立了隧道-地層-隔振周期排樁耦合的三維有限元數(shù)值模型，獲得了計(jì)算帶隙范圍內(nèi)隔振排樁的衰減效果，驗(yàn)證了周期結(jié)構(gòu)帶隙理論指導(dǎo)下設(shè)計(jì)排樁隔離軌道交通環(huán)境振動(dòng)的可行性和有效性；提出了基于帶隙性能評(píng)價(jià)函數(shù)的選型方法，為隔振周期排樁選型和設(shè)計(jì)提供依據(jù)，提高了選型設(shè)計(jì)效率。此外，Kattis、馮桂帥等[11-12]研究了隔離樁截面形狀對(duì)隔振效果的影響，Takemiya 等[13]研究了蜂窩形波阻塊（WIB）的隔振效果，而這些構(gòu)型因素對(duì)于帶隙特性的影響尚不明確。為進(jìn)一步豐富該問(wèn)題的研究，本文提出了帶隙特性豐富的三種周期性隔振樁，并對(duì)帶隙特性的構(gòu)型影響因素展開(kāi)研究，為該類(lèi)型排樁應(yīng)用及設(shè)計(jì)選型提供理論依據(jù)。本文研究的帶隙特性全部為首階完全帶隙，其在隔振應(yīng)用中有重要意義。

1 周期排樁頻散計(jì)算的平面波展開(kāi)法

平面波展開(kāi)法[2]可用于求解周期排樁帶隙特性，其基本假設(shè)包括無(wú)限周期假設(shè)和無(wú)限樁長(zhǎng)假設(shè)，此時(shí)振動(dòng)在排樁-土層中的傳播可視為平面應(yīng)變問(wèn)題，并解耦為平面內(nèi)問(wèn)題和出平面問(wèn)題。不失一般性，波動(dòng)方程可表示為式（1）的形式：

式中：ρ 為密度；λ 和μ 為拉梅常數(shù)；u 為位移矢量；uj表示位移分量。

其中：

由于排樁的周期性排列，密度ρ和拉梅常數(shù)λ和μ可按照傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為

式中：G1為倒格矢；r為位置矢量。

其中：

f=ρ(r)，λ(r)或μ(r)

r=(x,y,z)

根據(jù)Bloch-Floquet理論，位移解可展開(kāi)為

式中：K為波矢；G2為倒格矢；ω為角頻率；u(r,t)為位移矢量。

把方程（2）和方程（3）代入方程(1)，可得到本征方程：

其中：

對(duì)于散射型排樁，傅里葉系數(shù)可表示為

其中：

式中：η 為單個(gè)基本單元中樁的占比；P(G1)為結(jié)構(gòu)函數(shù)；S 為典型單元面積；J1為第一類(lèi)第1 階貝塞爾函數(shù)。

使波矢K 掃掠第一不可約Brillouin 區(qū)[2]即得到排樁-土體體系的頻散曲線(xiàn)和帶隙。該方法的正確性和有效性已經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證[14]。

2 蜂窩截面隔振樁構(gòu)型影響因素研究

蜂窩截面隔振樁首階完全帶隙主要受填充率和周期常數(shù)兩個(gè)構(gòu)型因素影響。本節(jié)以六角晶格排列形式為例，如圖1（a）所示，簡(jiǎn)化的基本單元和計(jì)算用到的六角晶格第一不可約Brillouin區(qū)分別見(jiàn)圖1（b）和圖1（c），其中A為散射體（蜂窩截面樁），B為基體（土體），計(jì)算所采用的參數(shù)如下：土體密度1 900 kg/m3，彈性模量65 MPa，泊松比0.35；混凝土排樁密度2 300 kg/m3，彈性模量30 000 MPa，泊松比0.18。本節(jié)計(jì)算蜂窩截面隔振樁所采用的幾何參數(shù)如表1所示。

開(kāi)展頻散關(guān)系計(jì)算，并畫(huà)出頻散曲線(xiàn)獲得其帶隙分布。研究其幾何構(gòu)型，包括周期常數(shù)和填充率，對(duì)其平面內(nèi)和平面外首階完全帶隙的起始頻率、截止頻率和帶寬的影響規(guī)律。其中填充率η可表示為η=基本單元中散射體所占面積/基本單元面積，在本例中，η=(b/a)2。

圖2給出了平面內(nèi)和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對(duì)應(yīng)的帶寬隨周期常數(shù)變化的規(guī)律，其中陰影部分表示帶寬，余同。

由圖2可知，無(wú)論是平面內(nèi)還是平面外，在填充率不變的情況下，首階完全帶隙的起、止頻率和帶寬都隨著周期常數(shù)的變大而降低，且平面外的帶寬比平面內(nèi)帶寬更大。因此，若設(shè)計(jì)帶隙需具有較寬的帶寬，則需要縮小周期常數(shù)；若設(shè)計(jì)帶隙需要出現(xiàn)在較低頻段，則需要增大周期常數(shù)。

圖1 蜂窩截面隔振樁平面構(gòu)型示意圖

表1 蜂窩截面隔振樁構(gòu)型影響因素計(jì)算工況

圖2 周期常數(shù)對(duì)蜂窩截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖3 填充率對(duì)蜂窩截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖3給出了平面內(nèi)和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對(duì)應(yīng)的帶寬隨填充率變化的規(guī)律。由圖可知，無(wú)論是平面內(nèi)還是平面外，在周期常數(shù)一定的情況下，首階完全帶隙的起、止頻率以及對(duì)應(yīng)的帶寬都隨著填充率的降低而減小，起始頻率隨填充率增加而變大的速度較緩慢，截止頻率和帶寬在填充率達(dá)到50%以上時(shí)，隨填充率增加速度變快；同樣平面外帶隙寬度較平面內(nèi)更大。從這里可以看出，通過(guò)增大蜂窩樁的截面尺寸可有效增加其填充率，對(duì)獲得低頻且具有較寬的首階完全帶隙具有良好的效果。

3 正交截面隔振樁構(gòu)型影響因素研究

對(duì)正交截面隔振樁進(jìn)行研究，排樁截面形式是正交十字型，以正方晶格排列形式為例，如圖4（a）所示，簡(jiǎn)化的基本單元和正方晶格第一不可約Brillouin區(qū)分別見(jiàn)圖4（b）和圖4（c），其中A為散射體（正交截面樁），B 為基體（土體），材料類(lèi)型和參數(shù)同蜂窩截面隔振樁，圖4（c）中字母X、M、Γ為第一不可約Brillouin區(qū)頂點(diǎn)，余同。由圖4（b）不難看出，正交截面隔振樁具有m、n兩個(gè)控制尺寸，幾何參數(shù)更加豐富。本節(jié)計(jì)算正交截面隔振樁所采用的幾何參數(shù)參見(jiàn)表2。

根據(jù)上述幾何參數(shù)和材料參數(shù)，對(duì)以正方晶格排列的正交截面隔振樁結(jié)構(gòu)進(jìn)行頻散關(guān)系計(jì)算，并畫(huà)出頻散曲線(xiàn)獲得其帶隙分布情況。研究其幾何構(gòu)型，包括周期常數(shù)、填充率和控制參數(shù)m、n，對(duì)其平面內(nèi)和平面外首階完全帶隙的起、止頻率和帶寬的影響規(guī)律。其中填充率η可表示為η=基本單元中散射體面積/基本單元面積，在本例中，η=(2mn-m2)/a2。

圖4 正交截面隔振樁平面構(gòu)型示意圖

表2 正交截面隔振樁構(gòu)型影響因素計(jì)算工況

圖5給出了平面內(nèi)和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對(duì)應(yīng)的帶寬隨周期常數(shù)變化的規(guī)律?？梢钥闯?，無(wú)論是平面內(nèi)還是平面外，在填充率不變的情況下，首階完全帶隙的起、止頻率和帶寬都隨著周期常數(shù)的變大而降低，且平面外的帶寬比平面內(nèi)帶寬更大，這與蜂窩截面隔振樁規(guī)律相一致。

圖6給出了平面內(nèi)和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對(duì)應(yīng)的帶寬隨填充率變化的規(guī)律?？梢钥闯鰺o(wú)論是平面內(nèi)還是平面外，在周期常數(shù)不變的情況下，首階完全帶隙的起、止頻率和帶寬隨著填充率的變化波動(dòng)十分大。在低填充率和高填充率兩個(gè)極端值附近出現(xiàn)了較寬的帶隙分布，且平面外帶隙在這兩種填充率附近分布頻段也較低，平面內(nèi)首階完全帶隙不具備明顯規(guī)律，從這里可以看出，由填充率作為變量來(lái)研究正交截面隔振樁帶隙是不合理的，因此，要進(jìn)一步研究其首階完全帶隙隨著幾何控制參數(shù)m、n的變化規(guī)律。

圖7給出了平面內(nèi)和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對(duì)應(yīng)的帶寬隨控制參數(shù)m變化的規(guī)律。當(dāng)周期常數(shù)一定時(shí)，平面內(nèi)，隨著m/a增大（由于a不變，即m增大），起始頻率變化不大，截止頻率和帶寬先增大后減小，當(dāng)m/a達(dá)到0.8附近時(shí)截止頻率和帶寬最大；平面外，隨著m/a增大，起始頻率、截止頻率先減小后增大，帶寬先增大后減小，起、止頻率在m/a=0.8 附近達(dá)到最小值，帶寬在此處達(dá)到最大值。

圖8給出了平面內(nèi)和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對(duì)應(yīng)的帶寬隨控制參數(shù)n變化的規(guī)律。當(dāng)周期常數(shù)一定時(shí)，平面內(nèi)，隨著n/a增大（由于a不變，即n增大），起、止頻率和帶寬都增大，且當(dāng)n/a超過(guò)0.85時(shí)增速變大；平面外，隨著n/a增大，起始頻率、截止頻率減小，帶寬增大，但是變化幅度均不如平面內(nèi)大。

上述分析再次印證了當(dāng)周期常數(shù)和晶格類(lèi)型確定時(shí)，填充率受到兩個(gè)控制參數(shù)m、n共同影響，因此，僅僅從填充率來(lái)探尋正交截面隔振樁的首階完全帶隙分布規(guī)律是不合理的。

4 X截面隔振樁構(gòu)型影響因素研究

本節(jié)對(duì)X截面隔振樁進(jìn)行研究，X截面隔振樁排布形式如圖9（a）所示，晶格類(lèi)型選取六角晶格，圖9（b）、圖9（c）為簡(jiǎn)化的基本單元和六角晶格第一不可約Brillouin區(qū)，其中A為散射體（排樁），B為基體（土體）。從圖9（b）中不難看出，相比于正交截面隔振樁，X截面隔振樁又增加了一個(gè)幾何參數(shù)，夾角α，因此，具有更加復(fù)雜的調(diào)節(jié)規(guī)律。本節(jié)計(jì)算所采用的幾何參數(shù)參見(jiàn)表3，材料參數(shù)同蜂窩截面隔振樁。

圖5 周期常數(shù)對(duì)正交截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖6 填充率對(duì)正交截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖7 參數(shù)m對(duì)正交截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖8 參數(shù)n對(duì)正交截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖9 X截面隔振樁平面構(gòu)型示意圖

根據(jù)上述幾何參數(shù)和材料參數(shù)對(duì)以六角晶格排列的X截面隔振樁結(jié)構(gòu)進(jìn)行頻散關(guān)系計(jì)算并畫(huà)出頻散曲線(xiàn)獲得其帶隙分布情況，來(lái)研究其幾何構(gòu)型，包括周期常數(shù)、填充率和控制參數(shù)p、q、α，對(duì)其平面內(nèi)和平面外首階完全帶隙的起、止頻率和帶寬的影響效果進(jìn)行分析，具體見(jiàn)圖10。在本例中，填充率η可由式（6）計(jì)算得到。

圖10給出了平面內(nèi)和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對(duì)應(yīng)的帶寬隨周期常數(shù)變化的規(guī)律。由圖可知，無(wú)論是平面內(nèi)還是平面外，在填充率不變的情況下，首階完全帶隙的起、止頻率和帶寬都隨著周期常數(shù)的變大而降低，且平面外的帶寬比平面內(nèi)帶寬更大，這與蜂窩截面隔振樁和正交截面隔振樁的規(guī)律相一致。

圖11給出了平面內(nèi)和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對(duì)應(yīng)的帶寬隨填充率變化的規(guī)律。平面內(nèi)，首階完全帶隙整體隨著填充率增大而增大，但是在25%～30%之間出現(xiàn)了一個(gè)明顯的突變，起止頻率突然變大、帶寬突然變小，這個(gè)規(guī)律在平面外首階完全帶隙變化規(guī)律也有所體現(xiàn)，這主要是因?yàn)橹芷诔?shù)一定時(shí)，填充率大小同時(shí)受到控制尺寸p、q、α三個(gè)參數(shù)的影響，且起、止頻率對(duì)于三個(gè)參數(shù)變化的敏感性差異較大，因此，單獨(dú)討論填充率對(duì)帶隙分布的影響是不合理的，下面將分別討論帶隙分布隨參數(shù)p、q、α單獨(dú)變化規(guī)律。

表3 X截面隔振樁構(gòu)型影響因素計(jì)算工況

圖10 周期常數(shù)對(duì)X截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖11 填充率對(duì)X截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖12給出了平面內(nèi)和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對(duì)應(yīng)的帶寬隨控制參數(shù)p變化的規(guī)律。當(dāng)周期常數(shù)一定時(shí)，平面內(nèi)，隨著p/a增大（由于a不變，即p增大），起始頻率、截止頻率和帶寬都增大，變化幅度不大；平面外，隨著p/a增大，起始頻率略增加，變化幅度不大，截止頻率和帶寬增幅較大。

圖13給出了平面內(nèi)和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對(duì)應(yīng)的帶寬隨控制參數(shù)q變化的規(guī)律。當(dāng)周期常數(shù)一定時(shí)，平面內(nèi)，隨著q/a增大（由于a不變，即q增大），起始頻率、截止頻率都增大，且當(dāng)q/a超過(guò)0.55 時(shí)增速變大，帶寬變化幅度不大；平面外，隨著q/a增大，起始頻率、截止頻率和帶寬都增大，但是變化幅度不大。

圖12 參數(shù)p對(duì)X截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖13 參數(shù)q對(duì)X截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖14 夾角α對(duì)X截面隔振樁首階完全帶隙的影響

圖14給出了平面內(nèi)和平面外首階完全帶隙的起、止頻率以及對(duì)應(yīng)的帶寬隨控制參數(shù)夾角α變化的規(guī)律。平面內(nèi)，當(dāng)夾角超過(guò)75°時(shí)帶隙起止頻率變大，但對(duì)帶寬影響不大；平面外，夾角達(dá)到75°以上時(shí)，帶寬急劇下降?？梢?jiàn)夾角對(duì)平面內(nèi)帶隙起、止頻率影響較大，對(duì)平面外帶寬影響較大。

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了三種全新構(gòu)型的排樁形式，包括蜂窩截面隔振樁、正交截面隔振樁和X截面隔振樁，并根據(jù)帶隙分析理論對(duì)三種排樁進(jìn)行了頻散計(jì)算，掌握了其帶隙分布特征，揭示了幾何構(gòu)型因素對(duì)帶隙分布及變化的影響規(guī)律。研究發(fā)現(xiàn)：

（1）隨著周期常數(shù)的增加，三種排樁的平面內(nèi)和平面外首階帶隙的起始頻率、截止頻率、帶寬都呈下降趨勢(shì)，且平面外的帶寬比平面內(nèi)帶寬更大；

（2）隨著填充率的增加，蜂窩截面隔振樁平面內(nèi)、外首階完全帶隙的截止頻率和帶寬都呈上升趨勢(shì)，且在填充率達(dá)到50%以上時(shí)上升變快，起始頻率增幅較平緩；

（3）填充率變化對(duì)正交截面隔振樁和X截面隔振樁平面內(nèi)、外首階帶隙分布影響規(guī)律不明顯；

（4）正交截面隔振樁和X截面隔振樁的幾何控制尺寸更復(fù)雜、帶隙調(diào)節(jié)能力更豐富。