李冬冬,張立強,楊 樂

(上海工程技術大學 機械與汽車工程學院，上海 201620)

1 問題的提出

現(xiàn)代加工領域對高精度高速加工的要求越來越高，速度控制是技術的核心。在數(shù)控加工過程中，為了保證加工的精度，需要考慮拐角運動帶來的系統(tǒng)沖擊、共振等問題[1]。針對這些問題，有專家提出樣條曲線插補技術，例如：特殊B樣條(Pythagorean Hodographs, PH)曲線、非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Spline, NURBS)曲線等[2-3]。樣條曲線插補技術能夠實現(xiàn)加工路徑拐角處的平滑轉接，提高加工效率，但不能有效地解決拐角處振動。在機床振動問題上，杜金鋒等[4]提出跳度約束加速度曲線，并證實該曲線能有效地減小機床的振動、提高加工的質量。但通過平滑加速度來減小振動，不能直接得出頻譜，加速度頻譜能直接反應加工過程刀具振動幅度。Chen等[5]提出有限脈沖響應(Finite Impulse Response, FIR)濾波能產生加速頻譜，并且能減小刀具振動;文獻[6-7]認為FIR濾波是一種有效的在線插值技術，其應用僅限于簡單的軌跡點對點，如果連續(xù)移動，如直線或圓形段等屬于連續(xù)插入的，由于進給方向的突然變化和濾波器的動態(tài)特性，會產生較大的插補輪廓誤差。FIR濾波在連續(xù)的短線段中會產生不可控的輪廓誤差，從而影響工件表面質量和加工效率，因此，在高速加工過程中，精確控制拐角輪廓誤差是提高加工質量重要的技術。

本文提出一種新的刀具軌跡的生成方法，每個路徑的每個段NC(numerical control)代碼采用定時輸入脈沖表示，利用FIR濾波器對速度、加速度進行3次濾波，可以生成高階平滑的速度和加速度。通過控制重疊時間，實現(xiàn)平滑轉接和控制拐角輪廓誤差。最后，將本文所提算法與傳統(tǒng)的點對點插補算法實驗進行對比分析，驗證了基于FIR濾波的拐角輪廓誤差精確插補算法研究的有效性。本文所提算法方案如圖1所示。

2 基于FIR濾波的高階參考軌跡生成

2.1 生成高階參考軌跡

通過FIR濾波器，可以生成“梯形速度”或“梯形加速度”[8]，利用該方法對參考軌跡進行研究，本章介紹利用FIR濾波器生成高階參考軌跡的基本方法[9]。

利用拉普拉斯定義了一個一階FIR濾波器傳遞函數(shù)：

(1)

式中：Ti為時間長度(通常對于組成鏈的每個過濾器是不同的);1/s和e-sTi為濾波器的參數(shù)

將式(1)進行反拉普拉斯變化可得：

(2)

濾波利用輸入信號v(t)與定義的FIR濾波器傳遞函數(shù)進行卷積來實現(xiàn)。卷積是一種積分運算，它可以用來描述線性時不變系統(tǒng)的輸入和輸出的關系(即輸出可以通過輸入和一個表征系統(tǒng)特性的函

數(shù)進行卷積運算得到)，利用卷積計算得出濾波后的速度信號：

v′(t)=v(t)×m(t)

[u(t-τ)-u(t-T1-τ)]dτ

(3)

首先，考慮生成單軸運動軌跡，如圖2所示為直線段長度為L基于FIR的生成位移圖。如圖3所示為L在進給軸最大速度Vm形成矩形脈沖圖像，時間為Tv=L/Vm，利用FIR對矩形速度脈沖進行濾波，一次濾波指原始脈沖信號與傳遞函數(shù)進行一次卷積，二次濾波指在生成一次信號脈沖基礎上在進行一次卷積，三次濾波就是原始信號與傳遞函數(shù)進行3次連續(xù)卷積生成脈沖信號，通過積分速度可以得到位移曲線，微分可以得到加速曲線、躍度曲線。

v′為濾波后的速度；Vm為進給軸能達到的最大速度。T1為進行第一次濾波的濾波器的時間長度，T2為進行第二次濾波的濾波器的時間長度，T3為進行第三次濾波的濾波器的時間長度，Tv為進給軸加工時間，Td為濾波器總的延遲時間;t為絕對時間;L為直線段的長度;h為加速度脈沖信號大小;a′為濾波后的加速度;a′(jw)為濾波后頻域的加速度。

進行單軸一次濾波會出現(xiàn)如圖4所示的3種情況。如圖4a所示，在Tv>T1下產生形成梯形速度脈沖；如圖4b所示，在Tv=T1下產生的三角形速度脈沖；如圖4c所示，Tv

利用卷積可以推導濾波后的參考運動軌跡的解析式[10],本文主要討論Tv>T1情況，利用式(3)得到濾波后v′為：

(4)

將式(4)微分得到的加速度:

(5)

在精密加工運動系統(tǒng)中，躍度[11]和加速度控制有利于生成平滑運動，如圖3所示。利用濾波器時間常數(shù)為T1和T2，進行兩次FIR濾波，生成躍度和加速度。如圖5所示，在進行兩次濾波時，共有3中不同情況，分別為Tv>T1+T2、Tv=T1+T2和TvT1+T2而且T1>T2；如圖5b所示，Tv=T1+T2情況下，加速度圖像時間Tv數(shù)值在減??；如圖5c所示，在Tv

在Tv>T1>T2情況下，利用式(3)得出兩次濾波的速度:

(6)

通過式(6)微分得到加速度:

(7)

利用濾波鏈能生成光滑的速度曲線，進行3次濾波會出現(xiàn)3中不同情況，分別為Tv>T1+T2+T3、Tv=T1+T2+T3和TvT1+T2+T3而且T1>T2+T3；如圖6b所示，在Tv=T1+T2+T3約束條件下，加速度圖像時間Tv數(shù)值在減少；如圖6c所示，在Tv

在Tv>T1+T2+T3且T1>T2+T3情況下，利用式(3)得出速度解析式為：

v′=

(8)

通過對式(8)微分得到加速度：

(9)

1.2 加速度頻譜生成

FIR濾波器的結構能有效控制刀具軌跡生成的頻譜，過濾后的加速度可以控制由驅動器所產生力或者力矩，在運動學系統(tǒng)中能有效地減少振動。對于矩形脈沖速度輸入，加速度信號由一組由Tv隔開的脈沖組成(如圖2)，加速度為：

(10)

令式(10)與FIR濾波器鏈卷積，得到加速度的頻譜鏈中FIR濾波器的頻率響應[12]取值為：

a′(jw)=hM1(jw)M2(jw)M3(jw)…Mn(jw)。

(11)

單個FIR濾波器根據式(1)計算：

(12)

加速度頻譜為正弦函數(shù)乘積[13]

(13)

利用上述特性可以選擇濾波器的參數(shù)，從而抑制進給驅動系統(tǒng)或伺服系統(tǒng)本身的輕阻尼結構頻率，對濾波器延時進行調整，使其與FIR濾波器的一個波紋匹配為:

(14)

1.3 控制連續(xù)拐角輪廓誤差的插補算法

在高速加工中，連續(xù)的進給脈沖可以產生不間斷的運動，利用FIR濾波進行插值不可避免地會產生延遲。本文提出一種算法，不需要等到濾波器延遲時間完成，通過對延遲時間的調整，可以精確控制拐角的輪廓誤差。首先，定義重疊時間Tn取值為：

0≤Tn≤Td。

(15)

如果Tn=0，重疊時間等于濾波器的延遲時間Td，如圖7a所示，產生點對點(P2P)運動；如圖7b所示，當Tn=Td/2時，在延遲時間未完成時進行插值，進給的方向發(fā)生改變；如圖7c所示，當Tn=Td時，在連續(xù)的脈沖之間不存在延遲時間，進給方向變化比較提前，因此產生較大的輪廓誤差。如圖7和圖8所示，開始點W1時間為Tv，當重疊時間Tn>0時，在第一段W0W1段進給軸速度未減速到零時第二段W1W2段刀具進給就開始。第一段加工全過程時間為t=Tv+Td，而第二段開始時間為t=Tv+Td-Tn,當Tn>0時X軸的速度變化圖像最大偏離節(jié)點發(fā)生的平分線在t=Tv+Td-Tk/2，由此最大輪廓誤差產生的時間在t=Tv+Td-Tk/2，利用該方法來確定拐角輪廓誤差。

拐角開始和結束與最大進給速度的關系如下：

(16)

式中：Vsx表示X軸的進入拐角轉接點的速度;Vsy表示Y軸進入拐角轉接點的速度;Vex表 示X軸的離開拐角轉接點的速度;Vey表示Y離開拐角轉接點的速度;α表示進入拐角與水平方向夾角;β表示兩線段之間的夾角;λ表示離開拐角轉接點與水平方向的夾角。

根據式(8)得出輪廓誤差

ε=

(17)

通過對式(16)變形可得：

(18)

利用FIR濾波器能夠實現(xiàn)精確控制拐角的輪廓誤差，有效減小拐角的振動，該算法的流程圖如圖9所示。

2 仿真分析

為了驗證基于FIR濾波的拐角輪廓誤差精確插補算法的有效性，對連續(xù)的拐角刀具路徑的速度和加速度進行實驗分析，通過與傳統(tǒng)的點對點插補算法進行對比，驗證本文所提算法的有效性。

實驗設備如圖10所示，設備進行X-Y方向的平面運動，X和Y軸的位置的反饋帶寬設置為30 Hz，伺服系統(tǒng)的閉環(huán)采樣時間為0.1 ms，能實現(xiàn)良好的位置同步和路徑跟蹤。設置FIR的時間的常量為T1=20 ms，T2=15 ms和T3=10 ms,設置刀具最大進給速度為100 mm/s,拐角的最大制造誤差為25 μm。

實驗的刀具路徑如圖11所示，為刀具整體路徑與局部放大路徑，刀具整體路徑為字母M的輪廓，刀具路徑總長為 231.1 mm，共26個拐角，局部放大的是角度為118.62°。如圖12所示為本文所提算法與點對點算法速度、加速度曲線對比圖，基于FIR濾波的拐角輪廓誤差精確插補算法的整個加工時間為4.28 s，而點對點插補算法需要4.67 s才能完成，本文所提算法的加速度可以達到G1連續(xù)，而點對點加速度在轉角不連續(xù)。如圖13所示為經過離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transformation, DFT)的加速度頻譜，從圖13中可以看到在點對點X軸和Y軸分別在20.1 Hz和31.6 Hz有劇烈變化，然而基于FIR濾波的拐角輪廓誤差精確插補算法在整個過程沒有劇烈的波動，如表1實驗結果分析說明本文提出算法能有效減小振動。在加工時間和振動方面，采用本文算法比傳統(tǒng)點對點算法加工時間減少0.39 s,拐角的振動明顯減小， 如表1所示實驗結果分析說明了本文算法的有效性。

表1 實驗結果分析

3 結束語

本文進行基于FIR濾波控制連續(xù)拐角輪廓誤差的插補算法研究，通過對速度和加速度脈沖信號進行3次濾波，得到高階參考軌跡和加速度頻譜，利用重疊時間，控制拐角輪廓誤差。最后,將本文算法與傳統(tǒng)點對點插補算法實驗進行對比分析，發(fā)現(xiàn)基于FIR濾波控制連續(xù)拐角輪廓誤差的插補算法加工時間相比傳統(tǒng)點對點插補算法減少8.4%，加工效率得到提高。通過傅里葉變換后頻譜對比，本文提出的算法在拐角的振動變化較小，在加工過程中，能有效減小刀具振動，提高加工質量。 下一步，將針對短線段與曲線之間的輪廓誤差、曲線與曲線之間的輪廓誤差開展研究。