琚長江,楊根科,陳玉旺

(1.上海交通大學 自動化系，上海 200240;2.上海交通大學 寧波人工智能研究院,浙江 寧波 315000;3.上海電器科學研究所(集團)有限公司，上海 200063;4.曼徹斯特大學 商學院,英國 曼徹斯特 M15 6PB)

0 引言

高速高精度加工一直是現(xiàn)代計算機數(shù)控系統(tǒng)(CNC)中亟待解決的問題，控制驅動器要實現(xiàn)柔性加減速控制，需要考慮系統(tǒng)控制量、狀態(tài)量約束以及性能指標。受加工刀具、執(zhí)行器、伺服驅動器等慣性和飽和特性的限制[1-4]，刀具的速度、加速度、加加速度(或急動度)等的變化有約束[5-7]。由于精度和實時性的要求,控制器通過脈沖頻率或脈沖電壓，實現(xiàn)輸出曲線或曲面,在高速進給時脈沖頻率受限[8-9]。需要通過優(yōu)化刀具進給軌跡，使系統(tǒng)在約束允許的范圍內(nèi)實現(xiàn)性能優(yōu)化?，F(xiàn)有文獻中運動控制的柔性研究可分3類：

(1)單軸進給柔性加減速控制研究 如設定速度軌跡為拋物線、梯形或S型或指數(shù)型等。文獻[5]將S-型速度曲線整理為17個情形；文獻[7]研究五段S-型速度控制曲線計算方法；文獻[9]結合前瞻技術和7段式S型速度規(guī)劃方法，可實時規(guī)劃出滿足伺服約束的平滑進給速度。文獻[3]和文獻[8]采用三次多項式加減速模型實現(xiàn)加速度的連續(xù)過渡;文獻[6]指定急動度為正弦函數(shù)，這些指數(shù)型方法都可以解析給出優(yōu)化參數(shù)。

(2)多軸聯(lián)動的高級光滑度插補研究類 通過設計高級柔性軌跡，隱含滿足機械柔性約束。文獻[1]將分段S-型速度規(guī)劃參數(shù)以及段間過渡速度作為決策變量并通過粒子群算法獲得約束滿意解，文獻[5，7，10]采用非統(tǒng)一有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Splines, NURBS)曲線插補，文獻[9]采用2條3次Bézier曲線對線性刀路進行轉接光順。

(3)在速度軌跡規(guī)劃中引入優(yōu)化指標 以時間最短為優(yōu)化目標，文獻[1]采用粒子群算法高效獲得全曲線速度參數(shù);文獻[10]引入基于最壞情況曲率法的啟發(fā)算法;文獻[2]和文獻[4]以建立最短時間控制模型規(guī)劃速度軌跡，通過離散化將時間最優(yōu)速度規(guī)劃轉化為一個靜態(tài)最優(yōu)化問題;文獻[2]針對加速度邊界約束導致的非線性，采用序列二次規(guī)劃法解決有急動度約束的速度規(guī)劃模型，并采用偽速度常量近似代替速度變量給出近似算法;文獻[4]考慮了力矩和輪廓誤差等約束條件，采用序列凸優(yōu)化法將速度規(guī)劃非線性規(guī)劃求解分解為一系列凸優(yōu)化問題，使算法效率由指數(shù)時間降為多項式時間。

綜上所述，現(xiàn)有算法多數(shù)是滿足精度要求和實時性要求的加減速控制策略，一些研究隱含最短時間目標。由于物理系統(tǒng)慣性或機械沖擊的約束，很難直接對加速度實現(xiàn)Bangbang切換控制。而通過加加速度或稱急動度參量描述運動控制時，隱含了對加速度的連續(xù)控制，或者說急動度可描述驅動機械力的連續(xù)改變。連續(xù)力變化可使用光滑跟蹤曲線[6]，或使用急動度為分段常數(shù)的五段S型或七段S型速度柔性控制曲線[5]，采用急動度或更高級導數(shù)變量，可方便地描述高速銜接問題。

本文以路徑參數(shù)的S-型速度規(guī)劃為研究對象，以建立最小燃料最優(yōu)控制模型為基礎，量化分析S-型運動控制質量，并給出最優(yōu)控制量的非線性規(guī)劃模型與算法。最小燃料模型可更寬泛地兼顧控制柔性、速度、精度和關聯(lián)能耗的性能指標等。

1 單軸S-型速度軌跡的最優(yōu)性分析及最優(yōu)規(guī)劃

不失一般性，線位移s、速度v、加速度a和急動度j表達運動變量時，有

(1)

急動度在五段或七段Bangbang控制下，位移、速度和加速度軌跡如圖1所示，其中速度v曲線簡稱S-型速度控制曲線[5]。完整的S-型速度控制曲線分為速度增(S型)、速度保持和速度減(S型鏡像)。

1.1 單軸運動的兩個最優(yōu)控制模型

本文以位移、速度和加速度為狀態(tài)變量x=(x1,x2,x3)τ=(s,v,a)τ，以急動度為控制量u=j,研究S-型速度控制曲線在最優(yōu)控制模型下的量化與評價。最短時間優(yōu)化模型為[2]

(2)

s.t

x(tf)=xf;

其中：xL/xU分別為狀態(tài)變量下/上限；-J-/J+為急動度控制量的下/上限。特別注意到，速度非負的約束也隱含了軸的轉動方向確定后，終點位置變量總大于初始點位置變量。

給定運動軌跡終止時間tf，本文重點研究終止時間確定的最小燃料最優(yōu)控制模型，即

(3)

s.t.

x(tf)=xf，tf為定值;

1.2 兩個最優(yōu)控制模型最優(yōu)解是S-型速度軌跡

(1)最短時間控制模型的定性分析

狀態(tài)空間的維數(shù)n=3，式(2)是急動度為{J+，-J-}的Bangbang控制，且Bangbang控制至多切換n-1=2次。由于軸旋轉方向確定后，速度是非負的，故急動度切換由+J+到-J-，再從-J-切換到J+，一般應是{J+，-J-，J+}三段。然而，由于速度狀態(tài)變量的上界約束，加速度先增加后減少，直到加速度為零，加速度為零時速度達到最大峰值?？紤]到時間最短的目標，這個速度峰值一般是速度上限值，且維持最高速度運行一段時間，再繼續(xù)減速度直到終端目標。故由于速度上限約束，原三段Bangbang控制修改為五段急動度控制{J+，-J-，0，-J-，J+}，即圖1a中的軌跡。其中，前兩個時段屬于速度加速調節(jié),然后速度保持，最后兩個時段屬于速度減速鎮(zhèn)定共5個時段，加速度的過渡是連續(xù)的。

(2)最少燃料控制模型的定性分析

考慮最小燃料指標的要求，對應最短時間控制中的{J+，-J-}速度加速調節(jié)Bangbang過程，最小燃料控制模型的速度加速調節(jié)段，急動度控制量是{J+，0，-J-}的Bangbang控制，即速度加速調節(jié)過程是加速度增、加速度保持和加速度減的最優(yōu)控制過程，如圖1b所示。

速度保持過程是以最高速度最快到達減速點，急動度和加速度皆為0過程。同理，速度減速鎮(zhèn)定過程是急動度控制量為-J-，0，J+}的Bangbang控制。

綜上，急動度控制量為{J+，0，-J-，0，-J-，0，J+}七段過程，如圖1b中軌跡。七段的S-曲線加速度未達上限的特例如圖1a中五段情形。

(4)

1.3 S-型速度軌跡的最小燃料控制模型的最優(yōu)規(guī)劃解

參照圖1b設定七段節(jié)點坐標，可將五段急動度切換點x2拆分為x2-和x2+，其間恒加速度保持時間記為T12。同理x5-和x5+拆分為x5加速度保持時間記為T45，則七段S-型速度規(guī)劃軌跡為x1{T1}x2-{T12}x2+{T2}x3{T3}x4{T4}x5-{T45}x5+{T5}x6，對應七段急動度控制為時間決策變量{T1，T12，T2，T3，T4，T45，T5}。七段S-型速度規(guī)劃前三段屬于加速調節(jié)過程，第四段保持過程和后三段屬于減速鎮(zhèn)定過程。

每段終點坐標都是前置{Ti}的函數(shù)，即xi=Fi(x1,T1,…,Ti-1),因此式(3)可寫為

J-T2+J-T4+J+T5。

s.t.

xi=Fi(x1,T1,…,Ti-1),

i=1,2-,2+3,4,5-,5+,6;

T1+T12+T2+T3+T4+T45+T5=tf-t0,

給定tf,

x1=x0,x6=xf;

xL≤xi≤xU,

(5)

考慮到機械結構的剛性，完整的七段S-型速度軌跡，從啟動到保持段、從保持段到結束段的起始和終點的加速度應設定為0。即本文假定：

(6)

(2)速度保持過程分析 此段加速度為0，以設定最高速度最快到達減速點，即

(3)減速鎮(zhèn)定過程分析 同理減速過程是減加速度{-J-，0，J+}Bangbang控制,包含[x4,x5-]加速度從零遞減時段T4,[x5-,x5+]加速度保持時段T45，[x5+,x6]加速度從負恢復到零時段T5。參考式(4)和式(6)計算得到x5-,x5+,x6的坐標，可知減加速度和速度下降約束為：

(4)最優(yōu)控制量Ti的非線性規(guī)劃模型 綜合上述分析，最小燃料控制模型等價于非線性規(guī)劃問題：

s.t.

式(6a),(6b),(6c)成立;

T1+T12+T2+T3+T4+T45+T5=tf-t0。

(6)

其中等式約束為：

(6a)

J+T1=J-T2,J-T4=J+T5,

(6b)

不等式約束為：

Ti≥0,?i=1,12,2,3,4,45,5。

(6c)

(5)非線性規(guī)劃模型求解分析 根據(jù)假設(5)，七段S-型軌跡的分段終點的加速度為零，模型更對稱。

最小燃料控制問題的最優(yōu)參數(shù)解是滿足式(6)的最小的T1+T5，確定可行的T12、T45和T3。對于完整的S-型速度軌跡，時間決策參數(shù)的主要貢獻不同：T1為調整加速度增加過程，T5為調整負加速度絕對值減少的過程；T12主要是調整速度增加過程;T45為調整速度減少的過程；T3主要是調整位移增加的過程。求解非線性規(guī)劃模型式(6),采用上述對稱的參數(shù)進行啟發(fā)式搜索[1]，可得到S-型速度軌跡共有17種[5]。作為特例，完整五段S-型速度軌跡可以通過解析獲得。

(6)非線性規(guī)劃模型的一個對稱特例

(7)

4T1+2T12+T3=tf-t0;

Ti>0

1.4 S-型速度軌跡的最短時間控制模型及最優(yōu)解

最短時間最優(yōu)控制問題的最優(yōu)指標minJ(U)以最快速度到達終止值，等價于施加最大可能的加速時間，因此式(2)可寫為

s.t.式(6a),(6b),(6c)成立。

(8)

最短時間問題的最優(yōu)參數(shù)解是滿足式(6)的最大的T1，從而確定T5，再確定T12和T45以及選取可行的T3。

具體求解過程討論：

此時可達到加速度和速度邊界的S-型期望軌跡，可推導出解析最優(yōu)解。

無須達到最高加速度或速度邊界，即可達終值?？稍O計單參數(shù)尋優(yōu)算法獲得解。注意最小燃料最優(yōu)控制特例問題式(7)的最優(yōu)指標為min{T1}，而最短時間控制問題式(8)的指標為max{T1}，且為最小燃料控制模型的一個極端最優(yōu)解。

2 多軸S-型速度軌跡的最優(yōu)規(guī)劃模型

2.1 基于路徑參數(shù)的S-型速度軌跡的最優(yōu)規(guī)劃模型

(9)

(10)

s.t.

式(6a),(6b),(6c)成立;

T1+T12+T2+T3+T4+T45+T5=tf-t0;

ti對應參數(shù)期望軌跡節(jié)點

pi=p(ti),i∈{1,2-,2+,3,4,5-,5+，6}。

(10)

2.2 光滑速度規(guī)劃的分段方法

在高速加工時，如果刀具的進給方向發(fā)生突變而進給速度沒有及時降低，就會引起過切。因此，需要柔性加速度控制預先獲得待加工零件輪廓進給方向的突變點，并通過該突變點最佳進給速度等控制信息。控制進給速度算法是常用的插補控制，通過速度敏感點判斷，分段規(guī)劃進給速度。

(1)速度敏感點判別

速度敏感點應定義為曲線的曲率極大值點處并且該插補點的曲率值大于一個設定閾值。參數(shù)化曲線的曲率計算公式可以獲得曲率值。采用NURBS曲線參數(shù)化表述，允許最大弦高誤差ER、插補周期T和進給速度vF,則曲率估計

(2)S-型速度曲線分段規(guī)劃

經(jīng)曲率算法找出分段點,將整個曲線分段,每個分段設計S-型速度軌跡。記曲率躍變點為曲率極大值點且大于閾值kthr，躍變點集C為

曲線軌跡按照躍變點集可分割為分段曲線:[p[i-1],p[i]],記p[0]=ps,p[|C|+1]=pe。分段后按照S-型速度規(guī)劃預規(guī)劃設計，第i段狀態(tài)的起始態(tài)和終態(tài)為：

i=1,…,|C|,|C|+1。

2.3 S-型速度規(guī)劃的評價方法

包括七段S-型速度規(guī)劃的多數(shù)速度規(guī)劃研究是啟發(fā)式的，比如算法的高速控制目標對應最短時間測度指標：

基于最小燃料控制模型，對于相同加工時間或終端時間的規(guī)劃方案，最小燃料模型給出一個基于急動度描述的最小燃料測度：

或等價的指標：

另外本文提出控制能耗評價指標，雖然七段S-型速度規(guī)劃的控制量是按急動度描述控制規(guī)律，但實際的控制量仍然是力或扭矩。假如沿xi軸運動摩擦系數(shù)σi，則軸xi在七段S-型速度規(guī)劃中的運動能耗為：

(11)

根據(jù)七段S-型速度規(guī)劃計算式(6b)，則式(11)為決策變量Ti的四次方函數(shù)。

按照躍變點集C和對應分段[p[i-1],p[i]]分段S-型速度規(guī)劃，設總加工時間為T，則n個軸在一個S-型速度規(guī)劃周期內(nèi)的運動能耗為各軸能耗總和：

σig)|vi(t)|dt。

3 仿真分析

表1 在單軸運動情形最小燃料模型案例

另外論文提出控制能耗評價指標，假如式(11)中忽略勻速運動中的能量消耗，則七段S-型速度規(guī)劃控制的運動能耗為：

關于雙軸運動分析參數(shù)如表2所示，期望的加工曲線如圖4所示。這里的參數(shù)曲線由y1=cos(x)-1,x=[0:Δt:2pi],y2=1-cos(x),x=[2*pi: -Δt:0]定義。

表2 雙軸軸運動仿真參數(shù)

根據(jù)3.2節(jié)關于速度敏感點的分析[2]，關鍵拐點(0,0),(pi,-2),(2×pi,0),(pi,2)是曲率局部最大的點。在(pi,-2)和(pi,2)曲率極大值都為1。在(0,0)和(2×pi,0)這兩個點處分段參數(shù)曲線的導數(shù)不存在，曲率無定義，但參數(shù)曲線在該兩點附近的曲率的左右極限值存在為1，當然是最彎曲的極限點。另外，在4個點x軸或者y軸的運動恰好需要反向，在反向點速度和加速度都應該為0。因此，圖4實際分為4段，且每一段平緩過渡的起始和終止點的速度和加速度都為0。

表3 雙軸運動中長距離x軸的最小燃料模型及最優(yōu)解

參數(shù)方程x軸參數(shù)為路徑參數(shù)。按照x長軸設計最優(yōu)控制，如最短時間控制和最小燃料優(yōu)化模型控制。如表3所示為給定優(yōu)化參數(shù)的優(yōu)化解，最短時間控制僅為最小燃料模型的一個極端可行解。基于最小燃料模型，可以設計更多冗余度的優(yōu)化控制。如圖5所示為依據(jù)給定終止時間Tf=2.9 s的情形，在速度、加速度和急動度約束下，設計的x軸最優(yōu)七段控制軌跡。如圖6所示為y軸跟隨控制的最優(yōu)規(guī)劃和控制軌跡,自上而下分別為急動度、加速度、速度和位移軌跡。

最優(yōu)規(guī)劃是在實數(shù)意義下獲得的，由于頻率約束及最小步進長度的限制，實際步進應取最小步進的整數(shù)倍。在仿真中，通過延長加速段恒加速度段T12到最小步進的上限，而選取減速段中恒加速度段T45為最小步進的下限，最小步進周期為0.01 s，該例中S-型速度規(guī)劃下的位移誤差小于3×10-5。

按照曲線參數(shù)的急動度描述控制策略，實際控制是兩個軸的力或扭矩。本例中曲線參數(shù)與長距離軸x軸一致，故x軸速度峰值唯一。由圖6c可知,y軸的速度也恰好分為先加速段然后減速段，忽略運動摩擦消耗等，故

如圖7所示為表3不同終止時間的最優(yōu)解的能耗E=Ex+Ey(m=1)。

4 結束語

本文研究了系統(tǒng)要實現(xiàn)S型加減速控制算法的最優(yōu)參數(shù)設計問題。在考慮系統(tǒng)控制量約束和狀態(tài)量約束下，基于路徑參數(shù)給出了S型加減速控制最小燃料最優(yōu)控制模型。依據(jù)路徑參數(shù)S型速度軌跡結構化特點，給出了S型加減速控制最優(yōu)參數(shù)的非線性規(guī)劃模型與計算方法，包含最短時間S型期望軌跡的計算和五段式S型速度軌跡的計算。給出了多軸聯(lián)動系統(tǒng)要實現(xiàn)速度插補跟隨算法。本文提出的S型速度期望軌跡優(yōu)化的最小燃料模型比時間最短模型具有更寬泛的應用可行性，可作為現(xiàn)有柔性控制方案的評價依據(jù)。對應曲線參數(shù)S型期望速度軌跡優(yōu)化，引入了實際力或力矩控制的能量消耗評價指標。通過仿真測試說明了上述速度優(yōu)化規(guī)劃方法的有效性。本文引入S型軌跡的端點加速度為零的假設，模型更對稱。最短時間控制問題和五段S型速度軌跡規(guī)劃子問題的完整軌跡都可以解析計算。但是由于七段S型速度規(guī)劃的最小燃料模型等價的非線性規(guī)劃問題的約束是多元多項式，其最優(yōu)解的實時計算方法等還有待深入研究。