劉 田，張 毅，余 湋，夏 斌，王 瀚，高 航

(1.中國西南電子技術研究所,成都 610036;2.上海交通大學 電子工程系 上海 200240)

0 引 言

天基物聯(lián)網利用天基信息傳感設備，把世界上地面網絡不能連接的物品與國際物聯(lián)網/專用網絡連接起來，實現對物品的智能化識別、定位、跟蹤監(jiān)控和管理，實現物與物、人與物、人與人之間“無處不在，無時不通”的通信。

在天基物聯(lián)網覆蓋的小區(qū)遠遠大于地面小區(qū)的前提下，一方面會面臨更嚴峻的時頻資源受限，同時接入用戶受限的問題格外嚴重。因此，相較于正交接入方案，非正交多址技術由于可以在相同的資源上接入更多的用戶，近年來受到了廣泛關注[1-2]。作為基于碼域復用的非正交多址接入(Non-orthogonal Multiple Access，NOMA)技術，多載波低密度序列(Multi-carrier Low-density Signature,MC-LDS)技術在解決海量連接的問題方面提供了思路。在MC-LDS系統(tǒng)中，利用發(fā)射機處精心設計的低密度序列(Low Density Signature,LDS)矩陣，已編碼的比特信息在多個子載波資源上進行擴頻[2]。在接收機處，稀疏因子圖上的消息傳遞算法(Message Passing Algorithm，MPA)或置信度傳播(Belief Propagation,BP)算法以迭代的方式為MC-LDS 系統(tǒng)實現近乎最佳的多用戶檢測(Multiuser detection，MUD)[2]。

得益于發(fā)送端的資源復用和接收機的非線性檢測算法，MC-LDS 系統(tǒng)可實現更高的吞吐量和更多的連接數量。但是，在實際系統(tǒng)中，多用戶共用資源引入的多用戶干擾是一個嚴重的問題，對傳輸可靠性造成了極大的影響。在通信系統(tǒng)中，信道編碼作為一種抵抗信道干擾噪聲的技術。因此，將MUD 和前向糾錯(Forward Error Correction，FEC)碼結合起來設計是解決多用戶干擾問題的一種可行途徑。

低密度奇偶校驗碼(Low Density Parity Check Codes，LDPC)是一類稀疏的FEC，其性能接近香農容量[3]。LDPC碼的解碼利用基于稀疏校驗矩陣的BP算法來實現，該矩陣可以用一個稀疏因子圖等效表示[3]。與傳統(tǒng)的串行接收機先進行MUD再進行LDPC譯碼不同，聯(lián)合檢測譯碼接收機基于聯(lián)合稀疏因子圖上的MPA[4]，該聯(lián)合稀疏因子圖可以將MC-LDS技術的因子圖和LDPC碼的稀疏因子圖結合在一起。聯(lián)合檢測譯碼接收機在每次迭代中完全交互MC-LDS與LDPC的檢測軟信息和解碼信息，顯示出比分別單獨譯碼的方案具有更好的性能。

然而，在目前關于LDPC 碼和MC-LDS矩陣構造問題的相關研究中，MC-LDS和LDPC 的構造通常分開進行研究，得到的結果在聯(lián)合編碼調制系統(tǒng)中往往不是最優(yōu)的[5-7]。在這些方法中，代表因子圖中短環(huán)長度的圍長是特別重要的設計參數，因為當周長較小時，系統(tǒng)的誤碼性能會變差。但是，MC-LDS 技術與LDPC 碼的聯(lián)合稀疏因子圖不僅具有MC-LDS 部分和LDPC 部分的各個環(huán)，而且在兩個部分之間有交叉的環(huán)，這使得較短的環(huán)在MC-LDS與LDPC 碼的聯(lián)合稀疏因子圖更容易出現。因此，如何在MC-LDS 技術與LDPC碼的聯(lián)合稀疏因子圖中找出所有可能的短環(huán)情況并優(yōu)化得到沒有較小短環(huán)的稀疏因子圖的問題也需要解決。

因此，本文基于聯(lián)合稀疏因子圖的度分布，提出了一種改進的漸進邊長增長方法來構造特定的聯(lián)合稀疏因子圖。與單獨構造MC-LDS或LDPC 的稀疏因子圖不同，聯(lián)合稀疏因子圖中有三種不同的節(jié)點可以完成軟信息的交互，導致在聯(lián)合稀疏因子圖中有三種可能的短環(huán)情況。因此，在改進的漸進邊長增長方法中，通過聯(lián)合構造MC-LDS和LDPC 共同組成的聯(lián)合稀疏因子圖，最終獲得性能良好的沒有短環(huán)的聯(lián)合稀疏因子圖。

1 LDPC編碼MC-LDS調制系統(tǒng)

1.1 系統(tǒng)模型

如圖1所示，考慮一個有K個用戶和N個資源的上行多用戶通信系統(tǒng)。此時，系統(tǒng)的過載率為β=K/N。假設每個用戶都只有一個發(fā)射天線，同時接收端也只配置一根接收天線。

圖1 上行LDPC編碼MC-LDS調制系統(tǒng)

(1)

式中：將rk,n=Aksk,n定義為第k個用戶的第m個符號在第n個資源上的擴頻增益，同時wm,n～CN(0,N0)表示加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise,AWGN)。

1.2 聯(lián)合稀疏因子圖表示

基于MPA 方案，MC-LDS的檢測和LDPC 的譯碼可以用如圖2所示的聯(lián)合稀疏因子圖表示。

圖2 LDPC與MC-LDS的聯(lián)合稀疏因子圖表示

圖2中有三種節(jié)點，即功能節(jié)點(Function Nodes，FNs)、聯(lián)合變量節(jié)點(Joint Variable Nodes，JVNs)與校驗節(jié)點(Parity-check Nodes，PNs)。其中，JVNs在LDPC碼因子圖中變量節(jié)點對應為每一個比特，而在MC-LDS因子圖中變量節(jié)點對應為每一個用戶。具體地，對于LDS而言，高階調制后通過低密度擴頻序列來映射資源塊，低密度擴頻序列組成的MC-LDS因子圖和LDPC的因子圖共同組成聯(lián)合因子圖，因子圖中的變量節(jié)點就是JVNs。 FNs 和PNs 分別表示MC-LDS矩陣S和LDPC校驗矩陣Hk的行，而JVNs 表示這些矩陣的列。這些節(jié)點之間的連接關系通過S和Hk中的非零值來確定，而且將S中的非零值用1代替就可以獲得MC-LDS矩陣的指示矩陣F，利用指示矩陣可以更加直觀表明系統(tǒng)的資源占用情況。圖2對應的指示矩陣表示為

(2)

在稀疏因子圖中，連接到節(jié)點的邊數稱為節(jié)點的度。不規(guī)則LDPC 碼的度分布由一對生成函數表示[8]:

(3)

式中：λi表示度為i的LDPC 碼變量節(jié)點連接的邊數在LDPC因子圖中的總邊數中占的比例,dv,LDPC表示LDPC碼變量節(jié)點的度的最大值，ρi表示度為i的LDPC碼校驗節(jié)點連接的邊數在LDPC 碼因子圖中的總邊數之中占的比例，同時dp表示LDPC 碼校驗節(jié)點的度的最大值。

類似地，對于MC-LDS矩陣S，它的度分布的定義可以參考文獻[9]中的方法。令γ(x)和ω(x)分別表示MC-LDS矩陣對應的因子圖中的功能節(jié)點和變量節(jié)點的度分布的生成函數，可以表示為

(4)

式中：γi表示度為i的MC-LDS矩陣變量節(jié)點連接的邊數在MC-LDS的因子圖中的總邊數中占的比例,df表示MC-LDS矩陣變量節(jié)點的度的最大值，ωi表示度為i的MC-LDS矩陣功能節(jié)點連接的邊數在MC-LDS的因子圖中的總邊數之中占的比例，同時dv,LDS表示MC-LDS矩陣功能節(jié)點的度的最大值。

2 聯(lián)合稀疏因子圖的構造

當給定度分布后，具體的聯(lián)合稀疏因子圖可以利用改進的漸進邊增長方法進行構造。原始的漸進邊增長方法被用來構造LDPC碼的稀疏因子圖[6]。此構造方法在變量節(jié)點和校驗節(jié)點之間連續(xù)建立起連接，使得每次連接后的圖的圍長最大。每次邊的生成都會通過多次搜索，最終構造的因子圖滿足圍長最大的要求。但是，用這種方法構造的因子圖只能保證變量節(jié)點的度分布和設定的一致，而校驗節(jié)點的度分布是隨機生成的。為了解決這個問題，在文獻[10]的啟發(fā)下，我們改進了漸進邊長增長方法來保證節(jié)點(所有的節(jié)點)的度分布嚴格集中在所需值，并使得該方法適合于聯(lián)合稀疏因子圖的構建。具體地，改進的漸進邊長增長方法利用節(jié)點的自由度而不是節(jié)點度來選擇用于增加邊的節(jié)點。該改進的漸進邊長增長方法可用于構建MC-LDS矩陣和LDPC 矩陣共同組成的聯(lián)合稀疏因子圖。以構造聯(lián)合稀疏因子圖中的MC-LDS部分為例，圖中FNfni的自由度dfree(fni)定義為

dfree(fni)=dmax(fni)-d(fni),i=1,2,…,N。

(5)

對于具體的聯(lián)合稀疏因子圖，圖的圍長是另一個非常重要的參數，這在設計實際可用的因子圖時需要著重考慮。在我們構造的聯(lián)合稀疏因子圖中，小圍長被認為是因子圖中girth=4的短環(huán)。這些較小的圍長降低了節(jié)點之間傳遞的軟信息的獨立性，并降低了系統(tǒng)的檢測譯碼性能。Gallager[11]的分析表明，在采用基于稀疏因子圖的消息傳遞譯碼算法時，具有較大圍長的LDPC編碼系統(tǒng)的性能更加出色。而在LDPC編碼的LDS系統(tǒng)中，可以采用基于聯(lián)合LDPC與LDS因子圖的消息傳遞算法。因此，在聯(lián)合檢測譯碼結構中，為了獲得大圍長的聯(lián)合稀疏因子圖，應將設計MC-LDS的矩陣和LDPC 矩陣聯(lián)合起來構造，使得最終的聯(lián)合稀疏因子圖中沒有小圍長的短環(huán)。對于聯(lián)合稀疏因子圖，如果沒有經過仔細構造，小圍長在聯(lián)合稀疏因子圖中有三種可能的存在狀況，如圖3所示。

圖3 聯(lián)合稀疏因子圖中girth=4的短環(huán)

情況A：短環(huán)僅出現在LDPC部分中，在LDPC 矩陣的構造中可以避免。

情況B：短環(huán)僅出現在MC-LDS部分，在構建MC-LDS矩陣時也可以避免。

情況C：短環(huán)包含LDPC部分和MC-LDS部分，需要聯(lián)合考慮LDPC 矩陣和MC-LDS矩陣的構造才能消除。

對于上述三種情況，在單獨考慮LDPC或MC-LDS因子圖的構造時，非規(guī)則的LDPC碼度分布優(yōu)化會避免情況B短環(huán)的出現，MC-LDS的因子圖在設計時同樣也會考慮避免情況A短環(huán)的出現。因此，構建聯(lián)合稀疏因子圖的思路就是在此基礎上避免情況C短環(huán)的出現。首先利用改進的漸進邊長增長方法獲得滿足最優(yōu)度分布和圍長要求的MC-LDS因子圖。在這種構造方法下，聯(lián)合稀疏因子圖中消除了情況B 的小圍長的短環(huán)。然后，根據圖3，利用構造的MC-LDS因子圖來創(chuàng)建聯(lián)合稀疏因子圖的MC-LDS部分，而LDPC 部分的構造是基于當前未完成的聯(lián)合稀疏因子圖。MC-LDS部分已經連接好的這些FN 作為特殊PN 參與LDPC 部分的構建，也就是說，它們僅作為中間節(jié)點參與JVN 的擴展，從而保證了情況C 的小周長不會出現在聯(lián)合稀疏因子圖中。同樣，這里構造LDPC 的方法是修改后的漸進邊長增長方法，它避免了聯(lián)合稀疏因子圖中情況B的小圍長的出現。在構建了聯(lián)合稀疏因子圖之后，根據指示矩陣F構建MC-LDS矩陣S。

聯(lián)合稀疏因子圖的構造算法的偽代碼如下：

1 輸入：

J,M,N,K,λ2,…,λdv,LDPC,ρ2,…,ρdp,γ2,…,γdf

/*初始化

2 基于λ2,…,λdv,LDPC和M計算JVNs的度：d(jvn1)≤…≤d(jvnM);

3 基于γ2,…,γdf和N隨機生成FNfni的dmax(fni)；

4 基于ρ2,…,ρdp和J隨機生成PNpni的dmax(pni)；

5 設置dfree(fni)=dmax(fni)對于所有的FN；

6 forj=1:Ndo

7 fork=0:d(jvnj)-1 do

8 ifk==0 then

9 在jvnj和fni之間建立邊，其中fni是在當前MC-LDS因子圖中具有最大自由度的FN；

10dfree(fni)=dfree(fni)-1;

11 else

14dfree(fni)=dfree(fni)-1

15 end if

16 end for

17 通過構造的MC-LDS因子圖創(chuàng)建聯(lián)合因子圖的MC-LDS部分；

18 基于未完成的聯(lián)合稀疏因子圖和類似的漸進邊長增長方法(步驟 6～14)構造剩下的LDPC部分，其中FN替換為PN。

19 輸出：F和Hk。

根據上述算法，在已知其度分布的情況下，可構造對應的LDPC校驗矩陣與LDS矩陣。具體地，需要先以MC-LDS的功能節(jié)點為根，基于改進的PEG算法構造聯(lián)合稀疏因子圖的MC-LDS部分，然后以聯(lián)合變量節(jié)點為根，展開包含MC-LDS功能節(jié)點的樹，進而構造聯(lián)合稀疏因子圖的LDPC部分。在聯(lián)合構造過程中涉及兩個步驟：第一，以功能節(jié)點或聯(lián)合變量節(jié)點展開樹；第二，基于樹建立新的邊。對于所有的用戶采用相同的LDPC碼。此外，由于在LDS系統(tǒng)中，需要保證每個用戶所使用資源的公平性，公式(4)中的ωi對于不同的用戶是固定的，因此在構造算法中未將其作為可變的輸入參數。

圖4 基于因子圖的樹的展開示意圖

根據以上算法，得到的聯(lián)合稀疏因子圖中可以避免圖3中第三種短環(huán)的出現，進而提升系統(tǒng)性能。

3 性能仿真分析

3.1 仿真條件

在蒙特卡洛仿真中，信道編碼采用不規(guī)則LDPC碼，譯碼方式采用聯(lián)合迭代譯碼。LDPC碼長設置為12 096與1 008，碼率為1/2。

對于MC-LDS系統(tǒng)，仿真中使用的LDS矩陣的大小設置為8×12。對應的LDS指示矩陣為

(7)

仿真中所使用的LDS矩陣為

(8)

此外，其他的仿真參數如表1所示。

表1 仿真參數

3.2 仿真結果與分析

當構建一個具體的聯(lián)合稀疏因子圖時，短環(huán)對BER性能的影響如圖5所示。其中，因子獨立優(yōu)化時，LDS與LDPC各自的girth均大于4，而聯(lián)合LDS-LDPC則存在girth為4的情況(見圖3)；而在因子圖聯(lián)合優(yōu)化時，每個部分的girth均大于4，消除了如圖3中所示的girth為4的短環(huán)。此外，所有用戶采用相同的LDPC碼校驗矩陣。從圖5中可以看出，沒有圖3中girth=4的短環(huán)時，對于LDPC碼長為12 096與1 008時，系統(tǒng)在BER為10-5時能分別帶來大約0.5 dB與0.6 dB的性能增益,表明消除聯(lián)合稀疏因子圖中的短環(huán)可以進一步提高性能。因此，很有必要利用算法所描述的聯(lián)合漸進邊長增長的方法來構造聯(lián)合稀疏因子圖。

圖5 聯(lián)合稀疏因子圖構造算法BER性能仿真

4 結束語

本文針對聯(lián)合稀疏因子圖中信息的充分耦合特性，提出了一種將LDPC碼與MC-LDS進行聯(lián)合分析設計的方法，通過利用改進的漸進邊增長方法構建性能良好的聯(lián)合稀疏因子圖，優(yōu)化設計了聯(lián)合稀疏因子圖的連接結構。所提方案在BER為10-5時具有0.5～0.6 dB的性能提升。本文基于傳統(tǒng)的MPA聯(lián)合迭代算法研究了聯(lián)合稀疏因子圖的構造，而在未來的工作中，將接收端的聯(lián)合譯碼算法設計和聯(lián)合稀疏因子圖的構造結合起來，也可以用來減小編譯碼復雜度與提升性能。因此，聯(lián)合接收機算法與稀疏因子圖設計是后續(xù)考慮的一個研究方向。