王 純，韓加好，吉 慶

(連云港職業(yè)技術學院 機電工程學院，江蘇 連云港 222000)

0 引 言

因其具有傳動效率高、可靠性高等優(yōu)點,齒輪傳動被廣泛應用在機械設備的傳動系統中。隨著可靠性設計等設計方法的迅速發(fā)展，以及粒子群算法(particle swarm optimization algorithm，PSO)等智能優(yōu)化算法的出現，為齒輪傳動這類非線性優(yōu)化設計問題提供了新的優(yōu)化設計方法[1-5]。

粒子群算法[6]是在1995年，由美國的KENNEDY J博士和EBERHART R博士受鳥類群體行為的啟發(fā)而共同提出的一種智能優(yōu)化算法。自粒子群算法被提出后，因其具有收斂速度較快、編碼易實現等優(yōu)點,受到許多專家學者的關注；同時，因其參數較少，進一步降低了PSO算法的復雜度。但是該算法也存在容易陷入局部極值、早熟收斂等缺點。

許多專家學者對PSO算法進行了深入研究，并針對其缺陷進行了改進。SHI Y等[7]在算法模型中引入慣性權重系數，對速度更新方程進行了改進，這種方式隨后被廣泛應用并得以驗證。在改進慣性權值思想的引導下，研究人員EBERHART R等[8，9]提出了線性遞減權值(LDIW)策略、隨機慣性權值策略(RIW)。陳貴敏等[10]在線性遞減權值策略的基礎上，提出了3種非線性的權值遞減策略。

為使粒子群算法達到全局探索與局部開采兩者之間的有效平衡，CLERC M[11]構造了引入收縮因子的PSO模型[12]。EBERHART R等[13]分析了比較慣性權重系數和收縮因子對算法性能的影響，并認為收縮因子能更有效地控制約束粒子的飛行速度，有利于提高算法的收斂速度，增強算法的搜索能力。

為加快PSO算法的收斂速度，減小迭代次數，本文提出一種帶收縮因子的線性遞減權重粒子群算法(W-CPSO)，并利用該算法對齒輪傳動系統多目標可靠性優(yōu)化設計模型進行求解，以驗證W-CPSO算法對齒輪傳動的優(yōu)化設計的有效性，為齒輪傳動優(yōu)化設計提供參考。

1 改進的粒子群算法

1.1 基本粒子群算法

設D維函數優(yōu)化問題為：

minf(x1,x2,…,xD)
s.t.ai≤xi≤bi

(1)

粒子群的基本參數如下：

粒子群中由n個粒子組成，第i個粒子表示一個D維向量xi=(xi1,xi2,…,xiD)T,{i=1,2,…,n},第i個粒子的速度vi=(vi1,vi2,…,viD)T,

個體極值為pi=(pi1,pi2,…,piD)T,全局極值pg=(pg1,pg2,…,pgD)T。

速度和位置更新公式為：

vij(t+1)=vij(t)+c1r1[pij-xij(t)]+
c2r2[pgj-xij(t)]

(2)

xij(t+1)=xij(t)+vij(t+1),j=1,2,…D

(3)

式中：c1，c2—學習因子；r1，r2—0～1之間均勻分布的隨機數。

1.2 改進的粒子群算法

1.2.1 線性遞減慣性權重的PSO算法

在基本粒子群優(yōu)化算法基礎上，SHI Y等學者在1998年對公式(2)進行了修正，引入慣性權重因子ω，即：

vij(t+1)=ωvij(t)+c1r1[pij-xij(t)]+
c2r2[pgj-xij(t)]

(4)

慣性權重因子ω既可以影響微粒的局部尋優(yōu)能力，又可以影響微粒的全局尋優(yōu)能力。這里采用線性遞減慣性權重，即：

(5)

式中：ωmax，ωmin—ω的最大值，最小值；t—當前迭代步數；tmax—最大迭代步數。

1.2.2 引入收縮因子

CLERC M等將收縮因子φ引入PSO算法，不僅證明了收縮因子有助于確保粒子群算法收斂，還提高了PSO算法的收斂速度；同時在一定程度上增強了PSO算法跳出局部最優(yōu)解的能力。

因此，為加快算法的收斂速度，減小迭代次數，在公式(4，5)的基礎上引入收縮因子，即：

vij(t+1)=φ{ωvij(t)+c1r1[pij-xij(t)]+
c2r2[pgj-xij(t)]}

(6)

式中：φ—收縮因子。

其中：

(7)

收縮因子φ與參數C的函數關系曲線，如圖1所示。

圖1 收縮因子φ與參數C的函數關系曲線

收縮因子φ控制粒子群算法的搜索能力。通過選取適當的收縮因子φ的值，可使PSO算法迅速搜索而快速收斂，進而提高PSO算法的收斂速度，增強算法的搜索能力。

CLERC M等提出，當C=4.1時，粒子群算法的收斂性能較好。筆者將C=4.1代入式(7)中，計算得到φ≈0.729。

綜上所述，筆者以基本粒子群算法為基礎，將線性遞減慣性權重和收縮因子引入算法中，有利于提高算法的收斂速度，增強算法的搜索能力。

1.3 改進粒子群算法的流程

為加快PSO算法的收斂速度，減少迭代次數，筆者將收縮因子和線性遞減慣性權重引入到PSO算法，故稱之為帶收縮因子的線性遞減權重粒子群算法(W-CPSO)。

其具體的流程如下：

Step1：初始化種群—設定初始種群N，種群規(guī)模D，迭代步數M。初始化種群各微粒的速度和位置，設定各微粒當前歷史最優(yōu)位置pbest、微粒群全局最優(yōu)位置gbest；

Step2：計算每個微粒的目標函數值，即適應值；

Step3：根據速度和位置更新式(6)和式(3)來調整微粒的速度和位置；

Step4：比較種群每個微粒當前位置的適應值與其經歷過最好位置pbest的適應值，如果當前適應值更優(yōu)，則將其當前位置作為pbest；否則pbest不變；

Step5：比較每個微粒的適應值與全體微粒所經歷的最好位置gbest的適應值，如果優(yōu)于gbest的適應值，則更新gbest的值，否則gbest不變；

Step6：若滿足終止條件，算法停止，否則返回Step3。

2 基于W-CPSO的齒輪傳動優(yōu)化設計

此處以某二級斜齒圓柱齒輪傳動機構為例，其具體參數分別為：

功率P=6.4 kW，轉速n=1 460 r/min，總傳動比i=31.5；工況中等沖擊；每天工作10 h～12 h，使用壽命為15年；精度為8級。

2.1 確定設計變量

對于二級斜齒圓柱齒輪傳動系統可靠性優(yōu)化設計來說，涉及設計參數及影響因素較多，為了使問題簡化，此處選取齒輪的主要參數作為優(yōu)化設計的設計變量[14-17]：

X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7]T=
[mn1,mn2,z1,z3,i1,β1,β3]T

(8)

式中：mn1，mn2—高、低速級齒輪法向模數，mm；z1，z3—高、低速級的小齒輪齒數；i1—高速級傳動比；β1，β3—斜齒輪的螺旋角,°。

2.2 目標函數的確定

根據齒輪傳動的設計要求，在減輕重量降低成本的同時，也要兼顧傳動的平穩(wěn)性、可靠性。因此，此處選取體積最小、重合度相反數最小為該設計的目標函數：

(1)體積：

(9)

式中：φd1，φd2—高速級，低速級齒寬系數；i—總傳動比。

(2)重合度：

(10)

2.3 統一目標函數

此處采用線性加權組合法將多目標問題轉換成單目標問題，權重系數分別取0.7和0.3。另外，二級斜齒圓柱齒輪傳動系統優(yōu)化設計數學模型的兩個目標函數(重合度和體積)函數值數量級差異較大，即：單對齒輪的重合度函數值為1～2，而體積函數值的數量級為106。

綜上所述，統一后的目標函數為：

minf(x)=min[ω1f1(x)+ω2×106×(5+f2(x))]

(11)

2.4 約束條件的確定

(1)齒數約束

根據不發(fā)生根切最小齒數要求及設計經驗，對斜齒圓柱齒輪的齒數進行限制：

g1(x)=17cos3x6-x3≤0

(12)

g2(x)=17cos3x7-x4≤0

(13)

(2)模數約束

斜齒圓柱齒輪的模數需滿足：

g3(x)=2-x1≤0

(14)

g4(x)=2-x2≤0

(15)

(3)螺旋角約束

螺旋角的取值范圍8°≤β≤20°：

g5(x)=8-x6≤0

(16)

g6(x)=x6-20≤0

(17)

g7(x)=8-x7≤0

(18)

g8(x)=x7-20≤0

(19)

(4)幾何干涉約束

根據設計要求，高速級大齒輪(齒輪2)與低速軸(輸出軸)不發(fā)生干涉的條件為：

(20)

式中：a2—低速級中心距，mm；E—低速級軸半徑，mm；da2—高速級大齒輪齒頂圓直徑，mm。

(21)

(5)可靠性約束

根據設計要求及經驗可知：接觸疲勞強度的可靠度μ需不小于0.999，彎曲疲勞強度的可靠度μ也需不小于0.999，即：

[μ]H-μH≤0
[μ]F-μF≤0

(22)

根據應力—強度干涉理論可知：可靠度系數μR與可靠度存在一一對應關系，即：

[μ]RH-μRH≤0
[μ]RF-μRF≤0

(23)

根據給定的可靠度指標[μ]H和[μ]F的值，查正態(tài)分布表，可得[μ]RH和[μ]RF為3.093。

兩級齒輪使用的材料均為40Cr滲碳淬火，齒面硬度為55HRC，查表得:SlnσHS=0.1；σHS=1 200 MPa。

(24)

同理，查表得SlnσFS=0.2；σFS=720 MPa。

(25)

式中：SlnσFS—齒輪彎曲疲勞極限的對數標準差；σFS—齒輪齒根彎曲疲勞極限。

根據公式：

(26)

根據公式：

(27)

根據公式：

(28)

通過計算，可得：

(29)

根據公式：

(30)

計算得：

(31)

再根據公式：

(32)

(33)

代入公式并整理，可得高速級齒輪齒面接觸疲勞可靠性約束：

(34)

高速級齒輪齒根彎曲疲勞可靠性約束為：

(35)

同理，可得低速級齒輪齒根彎曲疲勞可靠性約束為：

(36)

低速級齒輪齒面接觸疲勞可靠性約束為：

(37)

2.5 優(yōu)化結果分析

筆者采用PSO、W-CPSO算法對該實例中二級斜齒圓柱齒輪傳動系統進行多目標可靠性優(yōu)化設計，并對設計的結果進行圓整，得到優(yōu)化結果

各算法優(yōu)化結果如表1所示。

表1 各算法優(yōu)化結果

根據表1可知：

采用PSO算法，體積為2.31×106mm3，重合度5.56；采用W-CPSO算法，體積為1.94×106mm3，重合度5.59。

另外，高速級小齒輪當量齒數zv1=z1/cos3β1=16/cos312.2°=17.13>17(不發(fā)生根切)；

低速級小齒輪當量齒數zv3=z3/cos3β3=15/cos313.9°=16.5<17(發(fā)生根切)，為使低速級小齒輪不發(fā)生根切,小齒輪采用正變位。

PSO算法和W-CPSO算法適應度函數變化曲線如圖2所示。

圖2 PSO和W-CSO適應度函數變化曲線

根據圖2分析可知：

PSO算法在約170代時找到了最優(yōu)解，而W-CPSO算法在約100代時找到了最優(yōu)解，迭代次數減少，收斂速度加快。

筆者將各算法優(yōu)化結果與原設計結果進行了比較，比較結果如表2所示。

表2 各算法優(yōu)化結果比較表

根據表2對比可知：

(1)經PSO算法、W-CPSO算法優(yōu)化后，與原設計比較，齒輪體積分別減少了28.3%、39.8%；(2)齒輪重合度分別增加了6.7%、7.3%。

優(yōu)化結果表明，W-CPSO算法對二級斜齒圓柱齒輪傳動系統優(yōu)化設計的結果合理，效果最好。

3 結束語

本文通過分析 ,得到了二級斜齒圓柱齒輪傳動系統可靠性優(yōu)化設計的目標函數及約束條件 ,確定了該齒輪傳動系統可靠性優(yōu)化設計的設計變量 ,建立了可靠性優(yōu)化設計的數學模型；并利用帶收縮因子的線性遞減權重粒子群算法(W-CPSO)求解速度更快、精度更高的特點，對二級斜齒圓柱齒輪傳動系統可靠性優(yōu)化設計的數學模型進行了求解。

研究結果顯示：經優(yōu)化設計，齒輪傳動系統的體積減少了39.8%，重合度增加了7.3%；在實現了二級斜齒輪傳動系統輕量化的同時，也保證了傳動系統較高的承載能力，使傳動更平穩(wěn)；該結果可為齒輪傳動系統的優(yōu)化設計提供一定的參考。