郭夢琪, 鞏龍延

(1 南京郵電大學(xué)理學(xué)院,江蘇省新能源技術(shù)工程實驗室, 江蘇 南京 210003;2 南京郵電大學(xué)信號處理與傳輸研究院, 江蘇 南京 210003)

0 引 言

量子關(guān)聯(lián)包括量子非局域性、量子糾纏、量子失協(xié)、量子導(dǎo)引等,是量子力學(xué)的基本特性之一。它們是量子信息處理技術(shù)中的重要資源,廣泛應(yīng)用于量子密鑰分發(fā)[1]、量子計算[2]、量子隱形傳態(tài)[3]和真隨機數(shù)生成[4]等許多方面。

1964 年,Bell 定理以不等式的形式表明任何定域?qū)嵲谡摱寂c量子力學(xué)理論不相容[5]。Bell 認為所有定域性都有一個界限,即Bell 不等式,而量子力學(xué)所描述的世界可以突破這個界限,即量子非定域性。Bell 不等式給出了經(jīng)典世界和量子世界的分界,描述了物質(zhì)世界最基礎(chǔ)的本質(zhì),因此Bell 不等式被稱為“科學(xué)中意義最深遠的發(fā)現(xiàn)”之一。1969 年,針對Bell 不等式不易被實驗檢驗的缺點,Clauser、Horne、Shimony 和Holt[6]提出了著名的CHSH 不等式。1982 年,Fine[7]認為任何滿足Clauser-Horne(CH)不等式的量子關(guān)聯(lián)都遵循定域隱變量理論, 這一想法指出Bell 不等式具有新的理論意義[7,8]。不久, Garg和Mermin[9]認為在一定場景下量子關(guān)聯(lián)滿足所有的CH 不等式,但不支持定域隱變量理論。2001 年,Pitowsky 和Svozil[10]發(fā)現(xiàn)定域隱變量模型所能預(yù)言的事件全體構(gòu)成一個凸多面體,多面體的面對應(yīng)著緊致的Bell 不等式。利用概率論和多面體理論可得出兩粒子全部的Bell 不等式[11-15],其中I3322不等式是除CHSH 不等式以外一個最簡單的緊致Bell 不等式。I3322下標的含義指Alice 和Bob 各有3 組測量基,每組測量基各有2 個可能的測量結(jié)果,后面給出詳細的解釋。存在不能違背CHSH 不等式的量子態(tài)但能違背I3322不等式[13],因此該不等式引起了人們的格外重視。

在最大糾纏態(tài)時I3322不等式可被最大違背,這種極端情形引起了人們的極大興趣并被廣泛地討論[11-15],但由于各種非理想因素的存在,實驗室中很難制備出真正的最大糾纏態(tài)[16,17]。Ekert 理論證明,只要糾纏體系違背Bell 不等式,使用非最大糾纏態(tài)來進行量子密鑰分發(fā)也是安全的[18]。同時噪聲環(huán)境也會影響不等式的魯棒性[19,20]。由于量子非定域性是量子信息處理技術(shù)的重要資源[21],而I3322不等式是近年來發(fā)展起來識別量子非定域性的有力工具,因此研究I3322不等式的違背對非定域性的判別具有十分重要的意義。

考慮以上所述,本文重點討論非最大糾纏態(tài)下I3322不等式的違背程度如何,環(huán)境噪聲下該不等式的魯棒性如何。利用MATLAB 數(shù)值仿真方法,定量研究單一糾纏態(tài)、混合糾纏態(tài)以及噪聲信道等對該不等式量子違背的影響。研究結(jié)果豐富了人們對I3322不等式量子違背的認識,對I3322不等式在量子信息處理技術(shù)的應(yīng)用有一定理論意義。

1 Bell 型不等式

Alice 和Bob 共享一個兩量子比特的糾纏態(tài)

式中IA、IB是Alice 和Bob 所持有粒子的希爾伯特空間的單位矩陣,ρ=|φ(α)〉〈φ(α)|表示初態(tài)的密度矩陣。在兩粒子、多組測量基、每組測量有2 個測量結(jié)果的場景,任意一個Bell 型不等式可以表示為[14]

式中bx[x∈(Ai,Bj,AiBj|1 ≤i,j≤3)]表示對應(yīng)項的實系數(shù),b0表示定域隱變量理論模型下的最大值。當(dāng)ma=mb=3 時,定義[13,14]

新型Bell 不等式為

為方便,稱它為I3322不等式,前兩個下標表示Alice 和Bob 各有3 組測量基,后兩個下標表示Alice 和Bob 的每組測量基各有2 個可能的測量結(jié)果。該不等式能被最大糾纏態(tài)最大違背,且最大量子違背值為0.25[11-15],稱取得最大量子違背時的測量基組合為最優(yōu)測量基。

同時,研究者將Bell 不等式推廣到更復(fù)雜的場景中,例如兩粒子多組測量基[11-15],多粒子兩組測量基[16,17],多粒子多組測量基情形[22-24],以及任意多粒子多組測量基場景[25]。針對不同場景,人們得出不同形式的不等式并進行詳細討論。

2 仿真結(jié)果

(1)式表示的量子態(tài)的馮·諾依曼熵為

由于實驗環(huán)境以及實驗設(shè)備等因素的影響,研究人員很難制備出理想的最大糾纏光子對。只要糾纏態(tài)破壞Bell 定理,非最大糾纏態(tài)也是一種重要的量子資源,所以非最大糾纏光子對的非定域性也很重要[18]。同時,通過多次測量的統(tǒng)計平均值驗證Bell 型不等式,而實驗中每次制備的糾纏光子對的糾纏性并不會完全相同。退一步,雖然制備出了最大糾纏光子對,但由于環(huán)境噪聲的影響,導(dǎo)致最終真正被執(zhí)行操作的態(tài)不是理想的最大糾纏態(tài)。接下來,將對以上三個方面進行詳細討論。

2.1 單一糾纏態(tài)的影響

圖1(a)給出α=α0、0.1、0.3、0.5、0.9 時I3322隨仿真實驗輪數(shù)N的關(guān)系,圖中的實線為對應(yīng)α 的100 輪I3322的平均值。當(dāng)α = α0,即最大糾纏時,每輪的I3322值在平均值附近有小的漲落。100 輪的平均值= 0.2528±0.0141,更多的輪數(shù)給出同樣的結(jié)果,該平均值與最大量子違背理論值0.25 完全一致[11-15]。該結(jié)果表明該模擬方法可行、可靠,同時表明在實際實驗中若每輪做105次的測量,100 輪的平均值即可用來驗證該不等式。圖1(a)還表明在α = 0.3、0.5、0.9 時,I3322＞0,即違背不等式(5)。在α=0.1 時,I3322＜0,即遵循不等式(5)。

圖1(a)I3322 隨輪數(shù)N 的變化關(guān)系;(b) 與α 的關(guān)系;(c) 與S 的關(guān)系Fig.1 (a)I3322 versus turns N;(b) versus α;(c)versus S

2.2 混合糾纏態(tài)的影響

考慮每次制備的糾纏光子對的糾纏性并不會完全相同,在每輪的仿真實驗中,利用(4)式計算不同糾纏態(tài)下I3322的平均值,這種情形稱為混合糾纏態(tài)下的。在仿真中,假設(shè)光子源制備的糾纏光子對以α 為參數(shù),滿足正態(tài)分布P(α),取為期望值,σ2為方差,且α 的取值限定在[0,1]范圍內(nèi)。圖2(a)給出了σ=0、0.1、0.3、0.5 時的分布情況,其中σ=0 對應(yīng)單一的最大糾纏態(tài)情形。圖2(b)顯示,相比于圖1(a)的單一糾纏態(tài)情形,I3322隨仿真實驗輪數(shù)N有較大的漲落。圖2(c)顯示平均值隨σ 的增大而減小;在σ ＜0.589,＞0,即違背不等式(5);在σ ＞0.589,＜0。此結(jié)果意味著在糾纏態(tài)參數(shù)α 較大范圍內(nèi),不等式(5)也能夠被違背。

2.3 噪聲信道的影響

實際上,光子在信道過程中不可避免地要和外界環(huán)境相互作用,所以探究環(huán)境噪聲下量子非定域性十分重要。一個量子態(tài)ρ 通過有噪量子信道后的狀態(tài)ρnoise可表示為ρnoise= ε(ρ),其中ε 是量子運算。這種描述外部環(huán)境對系統(tǒng)影響的量子運算可用Kraus 算子表示,即

式中Kraus 算子{Ki}滿足完備性條件:考慮Alice 制備糾纏光子對,把其中的一個光子通過量子信道發(fā)送給Bob 的情形,則兩Kraus 算子表示的噪聲信道可表示為[26]

其中振幅阻尼和相位阻尼聯(lián)合作用于單量子比特的Kraus 算符表示成

式中p(0 ≤p≤1)表示量子信道中的噪聲強度,η(0 ≤η ≤1)表示信道中某類有噪信道的比重。

圖2 (a)正態(tài)分布P(α)與α 的關(guān)系;(b)I3322 隨輪數(shù)N 的變化關(guān)系;(c) 與σ 的關(guān)系Fig.2 (a)Normal distribution P(α)versus α;(b)I3322 versus turns N;(c) versus σ

在仿真實驗中,初態(tài)選為最大糾纏態(tài)。當(dāng)最大糾纏初態(tài)經(jīng)過兩Kraus 算子噪聲信道后,如圖3(a)所示。隨著噪聲參數(shù)p和η 的變化,值在區(qū)間[-0.583,0.25]變化。圖3(b)給出相應(yīng)的相圖,在A 相,＞0,即違背不等式(5);在B 相,＜0。根據(jù)文獻[26],當(dāng)p= 0 時,光子對的糾纏關(guān)聯(lián)保持,此時＞0;當(dāng)p= 1 時,光子對不再有糾纏關(guān)聯(lián),此時＜0。根據(jù)文獻[26],η = 0 對應(yīng)相位阻尼信道,p=0.73 為A 相和B 相的分界點;η=1 對應(yīng)幅度阻尼信道,p=0.41 為A 相和B 相的分界點。

3 結(jié) 論

量子非定域性是量子信息處理技術(shù)的重要資源,而I3322不等式是近年來發(fā)展起來檢驗量子非定域性的有力工具。在最大糾纏態(tài)時I3322不等式可被最大違背,人們對這種極端情形進行了廣泛地討論。然而實際檢驗過程中可能存在各種非理想因素,很難得到解析表達式。因此利用MATLAB 進行了仿真研究。結(jié)果表明對單一糾纏態(tài),糾纏度大到一定程度,不等式才能被違背;對混合糾纏態(tài),在糾纏態(tài)較大參數(shù)范圍內(nèi),不等式也能被違背;得到了在兩Kraus 算子表示的信道影響下不等式違背與不違背在噪聲參數(shù)空間的相圖。這些結(jié)果豐富了人們對I3322不等式量子違背的認識,同時對基于I3322不等式的量子信息處理技術(shù)的應(yīng)用有一定的理論意義。