劉芷儀, 柏明強(qiáng), 肖鈞勻, 李文靖

(四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

0 引 言

量子隱形傳態(tài)是利用經(jīng)典通信和量子糾纏資源傳送未知量子態(tài)的一種方式,應(yīng)用非常廣泛,如量子密鑰分發(fā)[1]、量子保密通信[2]、量子遠(yuǎn)距傳態(tài)[3]等。1993 年,Bennett 等[4]最先提出了量子隱形傳態(tài)的概念。目前為止,研究者已經(jīng)提出了許多傳送未知量子態(tài)的方案,從傳輸粒子來(lái)看,有單粒子態(tài)和多粒子態(tài)的隱形傳態(tài)[5,6];從受控角度來(lái)看,有受控隱形傳態(tài)[7,8]和非受控隱形傳態(tài);從通信方向來(lái)看,有單向隱形傳態(tài)、雙向隱形傳態(tài)[9-11]等。

結(jié)合受控隱形傳態(tài)和雙向隱形傳態(tài)的思想,2013 年,Zha 等[12]提出了第一個(gè)量子雙向受控隱形傳態(tài)方案,作為量子隱形傳態(tài)的一個(gè)新的分支,量子雙向受控隱形傳態(tài)受到了很大的關(guān)注。在此基礎(chǔ)上先后提出了一些利用多粒子糾纏態(tài)作為量子信道的雙向受控隱形傳態(tài)方案[13-20]。然而在物理學(xué)中,除了低維空間之外,也存在高維空間。與二維量子糾纏態(tài)相比,高維量子糾纏態(tài)具有攜帶信息量較大的優(yōu)點(diǎn),在提高量子通信方案安全性及量子信息處理[21,22]方面更具優(yōu)勢(shì)。2001 年,Zhou 等[23]首次提出了傳送未知高維單粒子態(tài)的方案。2004 年,Dai 等[24]提出兩個(gè)利用三維兩粒子糾纏態(tài)作為量子通道,概率傳送未知的三維單粒子態(tài)的方案,并且進(jìn)行了推廣。2012 年,Zhan 等[25]給出了采用不同維數(shù)的量子信道,遠(yuǎn)程地執(zhí)行單量子未知酉算子的一個(gè)協(xié)議。2019 年,Peng[26]以事先分享的兩個(gè)廣義最大糾纏GHZ 態(tài)為量子信道,提出了一個(gè)三維單粒子態(tài)雙向受控隱形傳態(tài)協(xié)議,并進(jìn)行推廣。2019 年,中國(guó)科技大學(xué)潘建偉小組首次實(shí)現(xiàn)了三維量子隱形傳態(tài)實(shí)驗(yàn)[27],嚴(yán)格證明了該過(guò)程的非經(jīng)典性及高維特性,為傳輸完整量子態(tài)奠定了基礎(chǔ)。

在目前對(duì)雙向隱形傳態(tài)的研究中,往往假設(shè)通信雙方的待傳粒子數(shù)相等,但在實(shí)際問(wèn)題的討論中,通信雙方可能出現(xiàn)待傳粒子數(shù)不等的情況,使得假設(shè)與實(shí)際相悖。Hu[20]在2018 年提出了以七粒子量子糾纏態(tài)作為量子信道的雙向不對(duì)稱控制通訊方案,為多粒子糾纏源傳輸通信提供了多信息量、高安全度的方法。在高維空間中,對(duì)非對(duì)稱雙向隱形傳態(tài)進(jìn)行研究同樣有一定的理論價(jià)值和實(shí)際意義。本文以兩個(gè)廣義最大糾纏態(tài)為信道,提出一種高維不對(duì)稱雙向隱形傳態(tài)方案,并加入控制者,進(jìn)一步提升方案的安全性,在對(duì)方案進(jìn)行優(yōu)化后,所提方案的成功概率從1/d提升到了1。

1 實(shí)現(xiàn)不對(duì)稱受控雙向隱形傳態(tài)的方案

在高維空間實(shí)施本方案時(shí),Alice 和Bob 是通信方,Alice 將自己擁有的粒子信息傳給Bob,同時(shí)Bob也將自己擁有的粒子信息傳給Alice,Alice 和Bob 既是發(fā)送者,也是接收者。作為第三方參與者(即控制者),Charlie 的加入增加了通信的安全性。假設(shè)Alice 擁有粒子(A,1,5,7),Bob 擁有粒子(B,B′,3,4,6),Charlie 擁有粒子2,其中Charlie 可以控制Alice 將待傳態(tài)傳遞給Bob 的過(guò)程。Alice 和Bob 待傳遞的信息表示為

式中j,k=0,1,··· ,d-1,且

通信雙方與控制方Charlie 共享的七粒子信道的表達(dá)式為

可以看出信息的傳送需要控制者Charlie 的參與,整個(gè)系統(tǒng)的初態(tài)表示為

首先,Alice 和Bob 分別對(duì)擁有的部分粒子對(duì)(A,1),(B,4)和(B′,6)作廣義貝爾基測(cè)量,粒子2 作廣義單粒子測(cè)量,測(cè)量基表示為

式中n,m,j,l=0, 1, ··· ,d-1。通過(guò)計(jì)算,可以建立與(5)中態(tài)的聯(lián)系,使用的酉矩陣為

可得

系統(tǒng)總態(tài)可以表示為

式中

現(xiàn)在Alice 對(duì)粒子對(duì)(A,1)執(zhí)行廣義貝爾基測(cè)量,Bob 對(duì)粒子對(duì)(B,4)執(zhí)行廣義貝爾基測(cè)量。假設(shè)Alice 和Bob 的測(cè)量結(jié)果分別是粒子2,3,B′,5,6,7 將會(huì)坍塌成Charlie 對(duì)粒子2 作廣義單粒子測(cè)量,測(cè)量結(jié)果為其中l(wèi)= 0, 1,··· ,d-1,k= 0, 1, ··· ,d-1。測(cè)量后粒子3 將會(huì)坍縮成Bob 對(duì)粒子對(duì)(B′,6)作廣義貝爾基測(cè)量,測(cè)量結(jié)果為其中, 當(dāng)m2與m1不相等時(shí), 測(cè)量結(jié)果為0; 當(dāng)m2=m1時(shí), 粒子5、7 將會(huì)坍縮成

Bob 對(duì)粒子3 作酉操作Upq, 可以還原Alice 的待傳態(tài)其中p=n0+lmodd,q=d-m0modd。Alice 對(duì)5 粒子和7 粒子作酉操作(U0t)5?(Ust)7, 可以還原Bob 的待傳態(tài)其中s=n1+n2modd,t=d-m1modd。

以d=3 為例,此時(shí)Alice 和Bob 待傳遞的信息表示為

式中α0、α1、α2、β0、β1、β2滿足|α0|2+|α1|2+|α2|2= 1, |β0|2+|β1|2+|β2|2= 1。通信雙方與控制方Charlie 共享的七粒子信道的表達(dá)式為|φ〉123|φ〉4567,其中

整個(gè)系統(tǒng)的初態(tài)表示為|ψ〉A(chǔ)|ψ〉BB1|φ〉123|φ〉4567。

假設(shè)Alice 對(duì)粒子對(duì)(A,1)作|ψ01〉測(cè)量,Bob 對(duì)粒子對(duì)(B′,4)作|ψ11〉測(cè)量,對(duì)粒子對(duì)(B′,6)作|ψ21〉測(cè)量,得到的結(jié)果為Charlie 對(duì)粒子2 做|ψ0〉測(cè)量,計(jì)算可得[(α0|1〉+α1|2〉+α2|0〉)3/27]?(β0|11〉+β1|22〉+β2|00〉)57。

然后Bob 對(duì)粒子3 作U02變換,Alice 對(duì)擁有的粒子5 與粒子7 作U02變換,得到表達(dá)式:[(α0|0〉+α1|1〉+α2|2〉)3/27]?(β0|00〉+β1|11〉+β2|22〉)57。Alice 和Bob 根據(jù)獲得的信息對(duì)粒子做相應(yīng)幺正變換,即可得到對(duì)方待傳的未知量子態(tài),從而實(shí)現(xiàn)三方參與的受控量子雙向傳態(tài)。

假設(shè)對(duì)粒子對(duì)(B′,6)作|ψnm〉測(cè)量(m≠1),Bob 得到的測(cè)量結(jié)果為0,不能順利將待傳態(tài)傳給Alice。

綜上所述,說(shuō)明該受控隱形傳態(tài)方案在高維空間中可以成功實(shí)現(xiàn),成功率為1/d。由于該方案成功率小于1,與期望成功率相差較大,使用部分基測(cè)量時(shí)導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果為0,進(jìn)而使得信息丟失,且控制者只能控制部分傳輸過(guò)程,故考慮對(duì)方案中部分粒子的測(cè)量進(jìn)行優(yōu)化。

為了進(jìn)一步提高控制者的控制力[28],通過(guò)調(diào)整對(duì)粒子的分配,對(duì)原方案進(jìn)行改進(jìn)。具體地,將原方案中屬于Bob 的粒子6 分配給Charlie,令Charlie 擁有粒子2 和粒子6。Alice 與Bob 的待傳態(tài)以及對(duì)粒子對(duì)(A,1),(B,4)、粒子2 進(jìn)行的測(cè)量不變,更換對(duì)粒子B′和粒子6 的測(cè)量,改為對(duì)粒子B′及粒子6 分別做廣義單粒子測(cè)量(在改進(jìn)后的方案中,Bob 將待傳態(tài)傳遞給Alice 的過(guò)程也受控制者的控制)。粒子B′測(cè)量結(jié)果為粒子6 測(cè)量結(jié)果為此時(shí)粒子5 和7 將會(huì)坍縮成

Alice 對(duì)粒子5 和7 作相應(yīng)的酉操作(U0t)5?(Ust)7, 從而還原Bob 的待傳態(tài)其中s=n1+l1+l2modd,t=d-m1modd。

綜上所述,優(yōu)化后的不對(duì)稱受控隱形傳態(tài)方案可以實(shí)現(xiàn)完美傳輸。

2 結(jié) 論

提出一種三方參與的高維不對(duì)稱量子雙向受控隱形傳態(tài)方案并進(jìn)行優(yōu)化,在Charlie 的監(jiān)督協(xié)助下,通信雙方Alice 和Bob 分別將一個(gè)高維單粒子態(tài)和一個(gè)高維二粒子態(tài)傳送給對(duì)方。通過(guò)改變方案中部分粒子的測(cè)量,最終該方案實(shí)現(xiàn)了完美傳態(tài)。此外,為了增強(qiáng)第三方Charlie 的控制力,改進(jìn)后的方案中Charlie 對(duì)兩條信道進(jìn)行控制,提高了該方案的安全性。同時(shí),本方案涉及的測(cè)量主要是廣義貝爾基及單粒子測(cè)量,在物理上容易實(shí)現(xiàn),進(jìn)而增加了方案的物理可行性。