彭龍帆

中國建筑第二工程局有限公司華東公司 上海 200135

橡膠類材料因其優(yōu)越的彈性和阻尼性能而在各種工程應(yīng)用中得到了廣泛的應(yīng)用[1-6]。余利丹[7]構(gòu)造大變形超彈性材料本構(gòu)模型的直接顯式模型，該模型可以精確地擬合橡膠在大變形情況下不同受力情況的試驗結(jié)果；李雪冰等[8]提出了一種改進的Yeoh超彈性材料本構(gòu)模型，試驗證明該模型可以模擬橡膠在大變形應(yīng)變狀態(tài)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系；桑建兵等[9]在高玉臣本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上，引入?yún)?shù)α和n，對橡膠類材料在單軸拉伸和內(nèi)壓膨脹兩種受力狀態(tài)下的性能進行研究；錢勝等[10]對國內(nèi)外橡膠超彈性本構(gòu)模型的選擇進行了概述；楊海波等[11]采用有限元分析方法預(yù)測圓柱形橡膠試樣的壓縮變形，并與試驗數(shù)據(jù)進行對比，結(jié)果表明：對于應(yīng)力-應(yīng)變試驗，僅采用單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)擬合本構(gòu)方程時，不能單純依賴擬合精度判斷本構(gòu)方程的優(yōu)劣；張良等[12]通過對橡膠材料的力學(xué)特性進行試驗和分析，研究硬度對橡膠彈性模量的影響，得到硬度對Mooney-Rivlin模型參數(shù)的影響規(guī)律；趙子涵等[13]基于Seth應(yīng)變張量不變量提出了一種適用于橡膠類材料的不可壓縮各向同性超彈性本構(gòu)模型，結(jié)果表明，在同時使用單軸拉伸和等雙軸拉伸試驗數(shù)據(jù)情況下，該模型能夠更準(zhǔn)確地擬合兩種橡膠材料的試驗數(shù)據(jù)，并較好地預(yù)測純剪切試驗。

本文基于橡膠的不可壓縮性，將單軸壓縮等效成等雙軸拉伸，結(jié)合單軸拉伸和單軸壓縮試驗結(jié)果，在常用的超彈性本構(gòu)模型中選取合適的模型，通過有限元計算，驗證所選取的本構(gòu)模型的正確性。

1 單軸拉伸和壓縮試驗

1.1 試驗材料與結(jié)果

橡膠材料由河北衡水東欣橡膠廠提供，橡膠單軸拉伸采用的是長條形矩形試樣，長條形矩形試樣的尺寸為35 mmh 5 mmh 2 mm，其中拉伸試驗部分為25 mm，上下兩端的5 mm用于夾具加持試樣；橡膠單軸壓縮試驗采用的是圓柱體試樣，圓柱形試樣直徑10 mm、高10 mm，如圖1所示。單軸拉伸和壓縮試驗均在電子萬能材料試驗機INSTRON5943上進行，如圖2所示。

圖1 試驗所用橡膠試樣

圖2 電子萬能材料試驗機

橡膠單軸拉伸和壓縮試驗在室溫（23 ℃）下進行，在試驗開始前對橡膠進行反復(fù)多次拉伸或壓縮以消除橡膠的Mullins效應(yīng)。單軸拉伸的試驗速率為100 mm/min，單軸拉伸試驗結(jié)果如圖3所示。

圖3 單軸拉伸試驗結(jié)果

從試驗結(jié)果可以看到，橡膠表現(xiàn)出非常明顯的非線性特點：當(dāng)位移較小時，荷載隨位移的變化是可以看作線性變化的，符合虎克定律；當(dāng)位移達到10 mm左右時，荷載-位移曲線曲率發(fā)生明顯變化，這是由于橡膠在大變形時表現(xiàn)出的明顯超彈性，隨著位移的增大，曲線的斜率逐漸減小，并慢慢地再次趨近于線性變化。單軸壓縮的試驗速率為10 mm/min，試驗結(jié)果如圖4所示。

圖4 單軸壓縮試驗結(jié)果

1.2 試驗結(jié)果討論

對于不可壓縮材料，單軸壓縮與等效等雙軸拉伸的應(yīng)力狀態(tài)相同，其應(yīng)力-應(yīng)變對應(yīng)的等效關(guān)系如式（1）所示：

σET、εETü ü 等效等雙軸的拉伸應(yīng)力和應(yīng)變。

將單軸拉伸和單軸壓縮的試驗數(shù)據(jù)進行處理，分別得到單軸拉伸和等雙軸拉伸的名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線，如圖5、圖6所示。

圖5 單軸拉伸名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線

圖6 等雙軸拉伸名義應(yīng)力-應(yīng)變曲線

分別采用Neo-Hooke、Mooney-Rivlin、Yeoh、Polynomial等4種超彈性本構(gòu)模型在單軸拉伸和等雙軸拉伸的模式下的名義應(yīng)力-伸長比的計算公式對圖5、圖6中的試驗數(shù)據(jù)進行擬合，擬合曲線如圖7、圖8所示，擬合得到的本構(gòu)模型參數(shù)如表1所列。

表1 超彈性本構(gòu)模型擬合結(jié)果

圖7 單軸拉伸試驗數(shù)據(jù)擬合曲線

圖8 等雙軸拉伸試驗數(shù)據(jù)擬合曲線

從圖7可以看到，Neo-Hooke模型和Yeoh模型只能在小應(yīng)變的狀態(tài)下模擬橡膠的單軸拉伸，當(dāng)應(yīng)變逐漸增大時，擬合誤差也會逐步增大，Mooney-Rilvin模型和Polynomial（n＝2）模型則可以很好地模擬單軸拉伸。從圖8可以看出，4種超彈性本構(gòu)模型的擬合精度從低到高依次是Neo-Hooke模型、Yeoh模型、Mooney-Rilvin模型和Polynomial（n＝2）模型，雖然從圖中看到Polynomial（n＝2）模型的擬合曲線與試驗值還是存在些許的誤差，但是精度已經(jīng)滿足要求，方差為0.97，可以用于表征等雙軸拉伸；綜合考慮，Polynomial（n＝2）模型可以很好地同時表征橡膠的單軸拉伸和等雙軸拉伸的力學(xué)特性。

2 數(shù)值模擬

在橡膠單軸試驗中，不難發(fā)現(xiàn)，橡膠會出現(xiàn)大變形現(xiàn)象。由于橡膠的不可壓縮性，當(dāng)橡膠拉伸出現(xiàn)大變形時，其橫截面積與初始受力面積相比會出現(xiàn)明顯變換，因此，名義應(yīng)力并不能很好地表示橡膠的受力狀態(tài)，需要對大變形狀態(tài)下的橡膠應(yīng)力做出修正。

考慮到橡膠的不可壓縮性，橡膠在拉伸時的真實應(yīng)力就可以寫為式（2）：

因此，應(yīng)用式（2）對橡膠單軸拉伸的試驗數(shù)據(jù)進行處理，可以得到橡膠的真實應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，如圖9所示。

圖9 真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線

在有限元軟件中建立長條形矩形試樣，一端施加位移荷載，另一端給予固定約束。試樣的幾何形狀被離散成8節(jié)點六面體的混合單元（C3D8H），單元尺寸為1 mm，共350個單元，模型如圖10所示。

圖10 單軸拉伸試樣有限元模型

對于圓柱形壓縮模擬，基于試樣的幾何形狀和受力特點，按照軸對稱問題進行建模分析，用一條直線代表壓頭底面，并在直線上建立參考點，所有荷載均通過參考點進行加載，單元尺寸為0.5 mm，一共200個單元，單元采用CAX4H，模型如圖11所示。

圖11 單軸壓縮試樣有限元模型

單軸試驗計算結(jié)果如圖12所示。不難看出，相比在單軸拉伸的模擬中，Neo-Hooke模型在小變形時可以很好地模擬橡膠拉伸的受力特性。當(dāng)應(yīng)變達到0.75時，計算結(jié)果和試驗結(jié)果誤差為8.25%，在10%以內(nèi)，還能較好地反應(yīng)拉伸力學(xué)性能；當(dāng)應(yīng)變?yōu)?.00時，誤差達到了14.16%；之后隨著應(yīng)變的增大，誤差也隨之增大，已無法描述橡膠在大變形時的力學(xué)性能。

圖12 單軸試驗計算結(jié)果

由于Yeoh模型的表達式為應(yīng)變不變量的三次函數(shù)，應(yīng)力隨位移整體呈S形變化，最大誤差為48.52%，不適合用作本文橡膠的超彈性本構(gòu)模型。

Mooney-Rilvin模型和Polynomial（n＝2）模型都能夠較好地模擬橡膠單軸拉伸的力學(xué)行為，雖然隨著應(yīng)變的增大，計算值與試驗值之間的誤差會逐漸變大，但是仍然處在可以接受的范圍內(nèi)，最大誤差分別為10.28%和9.44%，均在可以接受的范圍內(nèi)。

在單軸壓縮的模擬中，Noe-Hooke模型、Yeoh模型和Mooney-Rivlin模型的計算結(jié)果與試驗結(jié)果偏差非常明顯，最大誤差依次為52.55%、37.70%和31.65%，而Polynomial（n＝2）模型的計算結(jié)果與試驗值最為接近，最大誤差為13.67%。

綜合單軸拉伸和單軸壓縮的計算結(jié)果，與其他3個模型相比，Polynomial（n＝2）模型可以用來較好地表征橡膠的超彈性力學(xué)性能，而且其表達式簡單，僅為應(yīng)變不變量的二次函數(shù)，物理意義明確。

3 結(jié)語

從橡膠材料的靜態(tài)角度出發(fā)，對橡膠進行單軸拉伸、壓縮試驗，在對試驗數(shù)據(jù)進行理論分析的基礎(chǔ)上，對本構(gòu)模型進行研究。

利用單軸拉伸和單軸壓縮試驗結(jié)果，對4種超彈性本構(gòu)模型的擬合情況進行對比分析，發(fā)現(xiàn)Polynomial（n＝2）模型具有較好的擬合精度，且表達形式較簡單。將擬合得到的超彈性模型參數(shù)代入有限元計算中，通過與試驗數(shù)據(jù)的對比，驗證了選用的本構(gòu)模型的精準(zhǔn)度。