李向陽, 孫雪平,張學(xué)嬌, 陳 祥,劉 政,郭明明,魏金金

(1.中國空間技術(shù)研究院西安分院,西安 710000;2.西安工業(yè)大學(xué), 西安 710126)

0 引言

聲表面波(surface acoustic wave,SAW)技術(shù)是20 世紀60 年代發(fā)展起來的一門技術(shù),它是聲學(xué)和電子學(xué)相結(jié)合的一門邊緣學(xué)科。 由于SAW 器件具有體積小、重量輕以及易加工性等優(yōu)點被廣泛的應(yīng)用于濾波和傳感等領(lǐng)域。 例如,SAW 濾波技術(shù)在當前的5G 通信領(lǐng)域仍有很大的發(fā)展?jié)摿Α?然而,SAW器件在生產(chǎn)和使用的過程中,由于環(huán)境和加工方面的原因不可避免的存在初應(yīng)力、初應(yīng)變以及殘留應(yīng)力等偏場。 為了更加精確的設(shè)計SAW 器件,需要將這些偏場(如初始應(yīng)力和應(yīng)變)考慮在內(nèi)。 然而偏場的存在將會導(dǎo)致線性壓電理論的失效[1]。 目前,考慮偏場作用下SAW 的傳播行為可以分為兩種方法:初始應(yīng)力理論和偏場方法。

初始應(yīng)力理論是可以從偏場方法得出的。 一般情況下,初始應(yīng)力理論是自由能僅取展開式的前三項的偏場方法的結(jié)果,即不考慮三階及三階以上的材料常數(shù)[1-2]。 利用初始應(yīng)力理論,Gangul 研究了在初應(yīng)力作用下,Bleustein-Gulyaev 波在壓電介質(zhì)半空間中的傳播[3]。 劉華等人研究了層合結(jié)構(gòu)中Rayleigh 波、Lamb 波和 Love 波的傳播特性[4-6]。 Du等討論了在初始應(yīng)力下磁電彈性層合結(jié)構(gòu)中Love和SH 波的傳播[7]。 Singh 研究了在旋轉(zhuǎn)初始應(yīng)力下Rayleigh 波在壓電介質(zhì)半空間中的傳播[8]。

Sinha 等分析了石英晶體中溫度對SAW 速度的影響[9]。 Yang 采用偏場方法研究了在初應(yīng)力作用下Bleustein-Gulyaev 波在壓電介質(zhì)半空間中的傳播[10],但是由于缺少三階材料常數(shù)并未給出實例。Simionescu-Panait 分析了初始偏場作用下衰減波和SH 波的傳播特性[11],考慮了在初始場作用下彈性常數(shù)的變化,但在其文章中忽略了三階材料常數(shù)的影響。

另外,各向異性的壓電晶體的三階材料常數(shù)的獲取是一個非常復(fù)雜的任務(wù),需要首先計算出獨立的材料常數(shù)分量個數(shù),然后選取合適的獨立分量進行試驗,進而獲取全部的材料常數(shù)。

本文嚴格按照偏場方法分析了初始應(yīng)力對SAW 傳播速度的影響。 利用偏場方法獲得了電彈性波動方程。 根據(jù)初始應(yīng)力求解了初始應(yīng)變和初始電場,并在文獻[12]的基礎(chǔ)上計算了所有的三階材料常數(shù)。 將這些初始應(yīng)變、初始電場和二階、三階材料常數(shù)帶入電彈性波動方程,獲得了相速度隨著初始應(yīng)力變化的關(guān)系。 同時計算了只考慮初始應(yīng)力的影響下即初始應(yīng)力理論的相速度變化曲線。 通過對比發(fā)現(xiàn),三階彈性常數(shù)和在初始應(yīng)力下產(chǎn)生的偏場對相速度的影響很大。

1 偏載下的波動方程

壓電介質(zhì)在外界應(yīng)力、電場等靜態(tài)偏載作用下會產(chǎn)生一定的預(yù)變形,研究預(yù)變形介質(zhì)中的波動問題屬于有限變形過程,將電彈性體變形過程劃分為三個階段[13],如圖1 所示。

1)參考狀態(tài)或自然狀態(tài):物體沒有發(fā)生變形且不受電場、應(yīng)力作用時的起始狀態(tài)。 參考狀態(tài)下的物質(zhì)點用X表示,其分量為XK。

2)初始狀態(tài):此時,物體受到了應(yīng)力或者電場,并且發(fā)生了有限靜態(tài)變形。 此時,物質(zhì)點X的位置為x=x(X)或xγ=xγ(X),與參考狀態(tài)物質(zhì)點XK的關(guān)系為xγ=δγK(XK+wK),wK為初始位移增量。

3)現(xiàn)時狀態(tài):在已在初始狀態(tài)下發(fā)生靜態(tài)變形的基礎(chǔ)上再加上與事件相關(guān)的小增量變形和電場。物質(zhì)點X的最終位置為yi=yi(X,t),與初始狀態(tài)物質(zhì)點xγ的關(guān)系為yi=δiγ(xγ+uγ)。

在2)中的δγK為轉(zhuǎn)移張量,表示參考坐標系和初始狀態(tài)中的坐標系的坐標軸夾角的方向余弦,起著聯(lián)系兩個坐標系分量的作用;同樣的,δiγ為初始狀態(tài)中的坐標系和現(xiàn)時狀態(tài)下的坐標系的轉(zhuǎn)移張量。 這樣的約定規(guī)定了空間坐標的微分形式,形式如式(1)

δij(下標在同一個坐標系的符號)為Kronecker 記號。

根據(jù)參考文獻[12,13],非線性電彈性理論的運動方程和電荷平衡方程為:

式(3)中,ρ0為參考構(gòu)形下質(zhì)量密度,fi為現(xiàn)時狀態(tài)下單位質(zhì)量的體力,ρE為參考狀態(tài)下的自由電荷體密度。KLi為第一類piola-kirchhoff 應(yīng)力張量,可表示為:

DK為參考電位移矢量,

在式(4)中,χ為電性吉布斯自由能密度函數(shù),SKL為應(yīng)變張量,EK為參考電場:

在式(6)中,CKLMN,eKLM,εKL分別為二階彈性常數(shù)、壓電常數(shù)和介電常數(shù);CKLMNPQ,eKLMNP,bKLMN,εKLM分別為三階彈性常數(shù)、壓電常數(shù)、電致伸縮系數(shù)和介電常數(shù)。

同理,可以得到在初始狀態(tài)下的運動方程和電荷平衡方程:

則可以得到化簡后的第一類應(yīng)力張KLi和電位移矢量Dk,可表示為[14]:

再假設(shè)單位質(zhì)量的體力和單位質(zhì)量的電荷密度可表達為:

由式(3)(7)(8)(9)(10),可以得到迭加在有限偏場上的小增量場的線性基本方程為:

在式(12)中,GLαMγ,RMLα,LKL分別為有效彈性常數(shù),有效壓電常數(shù)和有效介電常數(shù),其表達式分別為:

從式(13)關(guān)于有效材料常數(shù)的表達式中可以看到,有效材料常數(shù)和偏載應(yīng)變、偏載電場和偏載應(yīng)力有關(guān)。 對于非均勻偏載,偏載隨著空間的變化而變化,因此有效材料常數(shù)也會隨著空間位置而發(fā)生變化。 對于均勻偏載,有效材料常數(shù)比較一致不會隨著空間位置而變化。 通過比較材料常數(shù),會發(fā)現(xiàn)有效彈性常數(shù)和有效介電常數(shù)具有對稱性:

本文中,考慮的偏場(偏應(yīng)力)比較小,忽略兩次以上的初始偏載場( 如),通過化簡,可以得到相對簡單的有效材料常數(shù)的表達式:

為更方便的研究,設(shè)參考坐標系和初始坐標系采用同一個坐標系,如圖1 所示,這樣轉(zhuǎn)移張量就變?yōu)镵ronecker 張量。 將下標希臘字母變?yōu)榇髮懽帜?從參考狀態(tài)到初始狀態(tài)變形的位移梯度wγ,K變?yōu)?/p>

本文選擇各向同性剛體旋轉(zhuǎn)從而在計算的過程中忽略了旋轉(zhuǎn)張量[15]ωKL。

假設(shè)不存在體力和體電荷,將式(12)帶入式(11),并考慮式(8),得到

2 3m 晶系獨立三階獨立常數(shù)的確定

在式(15)中,了解到有效材料常數(shù)不僅需要二階材料常數(shù)還需要三階材料常數(shù)。 由晶體學(xué)的理論,根據(jù)晶體的對稱性進行坐標變換(對稱變換)時,不僅晶體物理性質(zhì)本身保持不變,而且對稱變換前后的對應(yīng)分量也保持不變,也就是變換前后的張量相等。

關(guān)于LiNbO3二階彈性常數(shù)、壓電常數(shù)和介電常數(shù)已經(jīng)在很多論文給出。 而LiNbO3的三階材料常數(shù)由于數(shù)量繁多,卻很少給出表達。 三階彈性常數(shù)、壓電常數(shù)、電致伸縮常數(shù)和介電常數(shù)分別表示為:cijklmn、eiklmn、lijkl、εijk,分別有 36、35、34、33個分量。 因為晶體的對稱性,將變換前后的常數(shù)根據(jù)Voigt 標記法之后,可表達為:cIJK、eiJK、lIJ、εiJ,且有:

二階彈性常數(shù)

其中,小寫字母取值為1,2,3,大寫字母取值為1,2,3,4,5,6,這樣三階彈性常數(shù)的分量減少為56個,三階壓電常數(shù)減少為63 個,三階電致伸縮常數(shù)減少為36 個,三階介電常數(shù)減少為18 個。

針對3m 點群的晶體,x=0 的面是對稱面,z 軸為三階轉(zhuǎn)軸,根據(jù)Neumann 原則,晶體的彈性常數(shù)、壓電常數(shù)、電致伸縮常數(shù)和介電常數(shù)經(jīng)過上述對稱性操作,其值不應(yīng)改變。 在進行變換時,不采用Voigt 標記法,只是在變換前和變換后采用Voigt 方便的表達。 設(shè)坐標變換矩陣為aij,則

1)對于x=0 的對稱面,它的坐標變換矩陣為:

通過此變換可以得到:

2)z軸為三階轉(zhuǎn)軸,其坐標變換矩陣為:

按照式(19)提供的變換矩陣,對三階彈性常數(shù)進行式(17)的變換,可以得到18 個表達式,所以對于三階彈性常數(shù)有14 個獨立分量,根據(jù)文獻[12]提供的三階獨立常數(shù),本文亦選取這些獨立分量:c111、c112、c113、c114、c123、c124、c133、c134、c144、c155、c222、c333、c344、c444,可求取其他分量表達,見附錄2。 同理,可以對三階壓電常數(shù)、電致伸縮常數(shù)和介電常數(shù)進行變換,分別得到 21、12、6 個表達式,分別有 13 個、8 個、4個獨立分量。 再分別選取獨立分量:e115、e116、e125、e126、e135、e136、e145、e311、e312、e313、e314、e333、e344,l11、l12、l13、l14、l31、l33、l41、l44,ε15、ε22、ε31、ε33,其他分量表達亦見附錄2。 但是在文獻[12]中,三階介電常數(shù)只給出了三個獨立分量, 無法通過這三個分量求出,因此本文的計算過程中認為ε15=ε24=0。

介電常數(shù)

三階壓電常數(shù)

3 表面無應(yīng)力條件下波動方程的求解

壓電材料的邊界條件包含了力學(xué)邊界條件和電學(xué)邊界條件[16]。 力學(xué)邊界條件包括了應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件。 應(yīng)力邊界條件為:

因為邊界位移是變化的,是未知量,因此不能給出位移邊界條件。

電學(xué)邊界條件也包含了表面電勢和邊界電位移:

為在參考構(gòu)形下單位面積上的電荷增量,對于壓電材料單位面積上的電荷增量同樣為0。

在自由空間中的電位移可表達為

在滿足邊界條件式(24)的情況下,求解偏載條件下的耦合波動方程式(16)和傳統(tǒng)的處理未加偏載的情況類似。 只是由于材料常數(shù)對稱性發(fā)生了改變,在求解算法上稍有不同。 仍采用圖2 所示的坐標系,X1 為SAW 的傳播方向,X3 為基片表面的外法線方向。

圖2 半無限大壓電介質(zhì)坐標示意圖Fig.2 Coordinate diagram of half space piezoelectric mediu

設(shè)波動方程式(16)具有如下形式的分波解:

式(25)中k為沿X1方向的波數(shù),設(shè)沿X3方向的衰減因子為β,不考慮X2方向,X1方向無衰減,則有

將式(25)和(26)帶入到式(16),并寫成矩陣形式有:

式中的矩陣元分別為:

式中下標取值為M,L,α,γ=1,2,3。

一般情況下,式(27)是一個關(guān)于待定衰減因子β的八次方程,按照選根原則[17]選取其中四個合適的根。 而耦合波動方程的解還必須要滿足半無限壓電介質(zhì)表面的邊界條件,所以其一般解應(yīng)為選取的四個根所對應(yīng)的四組基本解的線性組合,即:

式(28)中Cn為加權(quán)系數(shù),其中C4=1,其余由邊界條件定出。

將式(28)代入邊界條件式(24),可以得到

將式(29)寫成矩陣的形式:

一般情況下,聯(lián)立方程式(27)和式(30),原則上可以求出SAW 的速度和衰減因子。 然而對各向異性壓電介質(zhì),求解是非常困難的,按照文獻[18-20]給出的方法進行計算。

4 數(shù)值計算和分析

YX LINbO3的二階和三階材料參數(shù):彈性常數(shù),壓電系數(shù),介電系數(shù)以及電致伸縮系數(shù)在附錄中已給出[12,21]。 根據(jù)壓電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系求出在初始應(yīng)力下的初始應(yīng)變和初始電場。 本構(gòu)關(guān)系可表示為式(32):

電致伸縮系數(shù)

式(32)中σij,Sij,Dm,Em分別為應(yīng)力、應(yīng)變、電位移和電場分量。

將LiNbO3的二階和三階常數(shù),初始應(yīng)力,初始應(yīng)變和初始電場以及基礎(chǔ)材料常數(shù)帶入有效材料常數(shù)的表達式中,求出有效材料常數(shù)。 本文中的初始應(yīng)力是均勻的,并且較小,所以求出的有效材料常數(shù)在給定的初始應(yīng)力下是常數(shù)[22-23]。 再根據(jù)第三節(jié)中的求解過程,從而求出了在初始應(yīng)力下的相速度,并畫出了初始應(yīng)力和相速度的關(guān)系曲線,如圖3 所示,初應(yīng)力對 LiNbO3中傳播的相速度有明顯的影響;在-1 000 ~1 000 MPa 范圍內(nèi),相速度和初應(yīng)力的變化關(guān)系都不同。 相速度隨著初應(yīng)力的增大而先快速增大,當初應(yīng)力增加到270 MPa 時相速度達到最大3 852 m/s,且在270 ~400 MPa 之間相速度基本保持不變,而后相速度會逐漸減小。 然而,相速度隨著的增大先緩慢增大,在增大到-540 MPa時,相速度增加到最大 3 871 m/s, 在-540 ~-440 MPa 之間相速度基本保持在3 871 m/s,隨后會隨著初應(yīng)力的增加而快速下降。 相速度和初應(yīng)力的變化關(guān)系與前兩者有很大的區(qū)別,相速度隨著初應(yīng)力的增加而線性的減小,變化速率為MPa/m/s, 三者在無初應(yīng)力時交與相速度3 830 m/s。

為了說明初應(yīng)力對相速度的影響中,三階彈性常數(shù)和初應(yīng)力產(chǎn)生的其他初始偏場的影響也很大,本文根據(jù)初始應(yīng)力理論也得到了相速度隨著初始應(yīng)力的變化關(guān)系,如圖4 所示,僅有初應(yīng)力會明顯的影響相速度的變化,隨著初應(yīng)力的增加,相速度線性的增加,變化率為MPa/m/s;相速度在初應(yīng)力從-1 000 ~1 000 MPa 的變化范圍內(nèi)僅變化了0.8 m/s,而在的影響下,相速度不變。

5 結(jié)論

通過對比圖3 和圖4,知道了三階彈性常數(shù)和初應(yīng)力產(chǎn)生的其他偏場對相速度的影響很大。 為了更精確考慮初應(yīng)力對相速度的影響,需要采用比初應(yīng)力理論更嚴格的理論——偏場方法,即本文中所采取的方法。

三階彈性常數(shù)

在設(shè)計高頻SAW 器件時需要高的聲速,本文就提供了一種提高聲速的方法,如在傳播方向提供拉應(yīng)力=270 ~400 MPa,又如在垂直于傳播面的方向提供壓應(yīng)力=440 ~540 MPa,從而為設(shè)計者設(shè)計SAW 器件提供指導(dǎo)。

附錄1

二階壓電常數(shù)

附錄2

三階彈性常數(shù)關(guān)系

三階壓電常數(shù)關(guān)系

電致伸縮系數(shù)關(guān)系

電致伸縮系數(shù)關(guān)系