陳莉

【摘要】復(fù)變函數(shù)是微積分在復(fù)數(shù)域的推廣與發(fā)展，其內(nèi)容、結(jié)構(gòu)和方法與微積分有許多類似之處.復(fù)變函數(shù)課程在自然科學(xué)和工程技術(shù)中又有著廣泛的應(yīng)用，是研究諸如流體力學(xué)、電磁學(xué)、熱學(xué)和彈性理論中平面問題的有力工具.但是該課程原理多，內(nèi)容抽象、枯燥，且需要理解的概念、定義多，是學(xué)生較難學(xué)的課程之一.本文主要探討MATLAB在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用，利用MATLAB將復(fù)變函數(shù)運(yùn)行結(jié)果以可視、動(dòng)態(tài)化的形式呈現(xiàn)出來，給學(xué)生在視覺上直觀的結(jié)果，便于理解問題的本質(zhì)及意義.

【關(guān)鍵詞】典型應(yīng)用;可視化;動(dòng)態(tài)化

【基金項(xiàng)目】2018年廣東省教學(xué)質(zhì)量工程項(xiàng)目（GDJX2018004）;2018年廣東省教學(xué)改革項(xiàng)目（GDJX2018015）;2019年校級(jí)教學(xué)質(zhì)量工程與教學(xué)改革招標(biāo)項(xiàng)目（JX2019071）;2019年校級(jí)教學(xué)質(zhì)量工程與教學(xué)改革招標(biāo)項(xiàng)目（JX2019065）;2019年廣東省教學(xué)改革項(xiàng)目（GDJX2019017）

復(fù)變函數(shù)是一門古老而又富有生命力的學(xué)科，它的主要內(nèi)容是討論復(fù)數(shù)域內(nèi)數(shù)量之間的相互關(guān)系，解析函數(shù)是其主要研究的內(nèi)容.作為一種研究問題的工具，復(fù)變函數(shù)還廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的其他眾多領(lǐng)域.由于其課程本身理論的抽象和運(yùn)算的復(fù)雜，導(dǎo)致學(xué)生經(jīng)常對(duì)該門課程產(chǎn)生畏懼、厭學(xué)心理，教學(xué)效果極其不好，直接影響后續(xù)應(yīng)用課程的學(xué)習(xí).本文討論了利用MATLAB解決復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)中遇到的一些障礙.我們利用 MATLAB解決復(fù)變函數(shù)中的計(jì)算問題，可以節(jié)省時(shí)間和人力，提高學(xué)習(xí)效率.MATLAB可以將復(fù)雜函數(shù)以圖像的形式繪制出來，形象生動(dòng)，更利于學(xué)生理解和掌握，利于教學(xué).

一、MATLAB簡(jiǎn)介

MATLAB是一個(gè)集多功能為一體的數(shù)學(xué)應(yīng)用軟件，將計(jì)算、可視化和編程功能集于一身，其表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程計(jì)算中常用的形式十分相似，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)計(jì)算、系統(tǒng)建模、數(shù)學(xué)分析與可視化科學(xué)工程繪圖，已經(jīng)成為高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、自動(dòng)控制理論等課程的基本工具.MATLAB軟件的圖像處理系統(tǒng)能夠?qū)⒍S和三維數(shù)組的數(shù)據(jù)用圖形表示出來，并可以實(shí)現(xiàn)圖像處理、動(dòng)畫顯示和表達(dá)視圖等功能.復(fù)變函數(shù)是微積分在復(fù)數(shù)域的推廣與發(fā)展，是大學(xué)理工科教學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，但由于其理論內(nèi)容抽象，學(xué)生僅從課堂上教師的理論講解并不能夠很好地接受與理解.將MATLAB軟件引入復(fù)變函數(shù)的教學(xué)當(dāng)中，不僅可以讓學(xué)生更加直觀地理解復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的不同之處，而且可以增加課堂教學(xué)的生動(dòng)性.

二、MATLAB在復(fù)變函數(shù)中的應(yīng)用

2.1 復(fù)變函數(shù)的基本計(jì)算

由于復(fù)變函數(shù)的計(jì)算較為復(fù)雜，數(shù)據(jù)整理難度較大，傳統(tǒng)的人工計(jì)算也是一大難題.在課堂上如果使用MATLAB軟件來實(shí)現(xiàn)一些復(fù)雜的計(jì)算，就可以大大節(jié)省時(shí)間，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)效率.

2.1.1 使用MATLAB軟件可以快速地計(jì)算復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、輻角和模等內(nèi)容

例1 a=1/（3+2i），

R=real（a）

M=imag（a）

Con=conj（a）

Abs=abs（a）

Ang=angle（a）

%計(jì)算結(jié)果

a= 0.2308-0.1538i

R= 0.2308

M= -0.1538

Con =0.2308 + 0.1538i

Abs = 0.2774

Ang = -0.5880

這里雖然只是一個(gè)十分簡(jiǎn)單的例子，但是MATLAB的使用大大地節(jié)省了我們的計(jì)算時(shí)間，我們只需要對(duì)軟件下達(dá)一些簡(jiǎn)單的指令，就可以快速得到需要的結(jié)果，而且可以提高計(jì)算的準(zhǔn)確度，為我們的學(xué)習(xí)提供方便.

2.1.2 復(fù)變函數(shù)解方程

在復(fù)變函數(shù)中，對(duì)于方程的求解我們主要運(yùn)用的是solve命令來實(shí)現(xiàn)的.

例2 求方程x3+8=0的所有根.

>> roots=solve（′x^3+8=0′）

>> roots =[???? -2]

[ 1-i*3^（1/2）]

[ 1+i*3^（1/2）]

2.1.3 復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算

復(fù)變函數(shù)主要是針對(duì)積分導(dǎo)出方程展開應(yīng)用的，復(fù)變函數(shù)的積分是研究解析函數(shù)的一個(gè)重要工具，解析函數(shù)的許多重要性質(zhì)都是通過積分證明的.復(fù)變函數(shù)積分的值既跟被積函數(shù)有關(guān)，也跟積分曲線有關(guān)，且有實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)變量，因而跟實(shí)變函數(shù)的積分比起來也是相當(dāng)?shù)膹?fù)雜.在教學(xué)工作中，我們常常會(huì)碰到許多大量的復(fù)雜計(jì)算，但在MATLAB的幫助下，可以很輕松地得到計(jì)算結(jié)果.

例3 求∫πi0zcos z2dz的值.

syms x;

f=x*cos（x^2）;

df=int（f，x，0，i*pi）

df =

-sin（pi^2）/2

2.1.4 復(fù)變函數(shù)的Taylor展開

Taylor級(jí)數(shù)展開在復(fù)變函數(shù)中有著很重要的地位，比如研究復(fù)變函數(shù)的解析性等.函數(shù)f（x）在x=x0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)展開如下：

f（x）=x0+f（x0）（x-x0）+f′（x0）（x-x0）2！+f″（x0）（x-x0）23！+L

在MATLAB中可由函數(shù)Taylor來實(shí)現(xiàn)，具體格式為：taylor（f，n，variable，a）

f為需要展開的函數(shù)表達(dá)式，n聲明輸出展開式的前n項(xiàng)，variable聲明展開變量，a表示變量求導(dǎo)的取值點(diǎn).

例4 將函數(shù)1（1+z）2展開成關(guān)于z的冪級(jí)數(shù).

% complex05.m

clear

syms z

f=1/（1+z）^2;

F=taylor（f，10，z，0）;

%計(jì)算結(jié)果

F=1-2*z+3*z^2-4*z^3+5*z^4-6*z^5+7*z^6-8*z^7+9*z^8-10*z^9

2.1.5 留數(shù)的計(jì)算

留數(shù)是復(fù)變函數(shù)中一個(gè)重要的內(nèi)容，留數(shù)理論在數(shù)學(xué)及工程技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用.留數(shù)定理的本質(zhì)就是解析函數(shù)積分理論的繼續(xù)，柯西積分定理與柯西積分公式就是留數(shù)基本定理的特例，留數(shù)定理把解析函數(shù)沿封閉曲線的積分計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在該封閉曲線內(nèi)部各個(gè)孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)的和，這充分顯示了留數(shù)的積分表達(dá)形式在解析函數(shù)的積分計(jì)算中所具有的重要價(jià)值.留數(shù)定理為計(jì)算某些類型的實(shí)變量函數(shù)的積分和反常積分提供了極為有效的方法，尤其是對(duì)那些計(jì)算比較復(fù)雜或不能直接用定積分來計(jì)算的問題，留數(shù)理論的實(shí)用價(jià)值就得到充分的體現(xiàn)，但是方法雖然找到了，有時(shí)我們對(duì)某些方程求解留數(shù)的時(shí)候，計(jì)算量也是特別的大.MATLAB在進(jìn)行留數(shù)的計(jì)算時(shí)，先把函數(shù)變成有理多項(xiàng)式的分?jǐn)?shù)形式，然后利用residue函數(shù)輸入分子、分母、有理多項(xiàng)式的系數(shù)，最后求出留數(shù)以及極點(diǎn)數(shù)組和余項(xiàng).計(jì)算留數(shù)的命令的格式如下：

[r，p，k]=residue（B，A）

參數(shù)r返回留數(shù)，是由在不同奇點(diǎn)的留數(shù)組成的向量.參數(shù)p返回奇點(diǎn)，也是一個(gè)向量.參數(shù)k是個(gè)向量，由B/A的商的多項(xiàng)式系數(shù)組成.

例5 求函數(shù)z+1z2-2z在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).

[r，p，k]=residue （[1，1]，[1，-2，0]）

可得奇點(diǎn)2的時(shí)候留數(shù)為1.5，奇點(diǎn)0的時(shí)候留數(shù)為-0.5.

Res[f（z），2]=1.5;Res[f（z），0]= -0.5.

2.2 MATLAB的繪圖功能

MATLAB不僅具有強(qiáng)大的數(shù)字運(yùn)算功能，還具有強(qiáng)大的二維和三維繪圖功能.用戶可以利用圖形編輯功能直接觀察數(shù)據(jù)間的內(nèi)在關(guān)系，也可以方便地分析各種數(shù)據(jù)結(jié)果.

MATLAB的數(shù)據(jù)可視化和圖像處理兩大功能塊兒幾乎滿足了一般實(shí)際工程及科學(xué)計(jì)算中的所有圖形圖像處理的需要，在數(shù)據(jù)的可視化方面，根據(jù)不同的情況可以轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的圖形，且可以對(duì)圖形做進(jìn)一步的初級(jí)加工，一系列命令與操作足以實(shí)實(shí)在在地表達(dá)各種理想的視圖.

復(fù)變函數(shù)由實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)二元實(shí)函數(shù)組成，因此其圖形需要在四維空間中顯示.這樣，與實(shí)函數(shù)相比，復(fù)變函數(shù)圖形相對(duì)不容易理解.MATLAB軟件是利用三維空間加上顏色條顯示復(fù)變函數(shù)的圖形.三維視圖表現(xiàn)一個(gè)空間內(nèi)的圖形，為了使圖形的效果更逼真，可以從不同的位置和角度來觀察該圖形.MATLAB提供了圖形視角控制命令函數(shù)，主要用于從不同的角度觀察圖形，不僅有利于學(xué)生理解和掌握，也可以大大提高教學(xué)效果.

例6 運(yùn)用MATLAB軟件繪制x和x2的復(fù)數(shù)的函數(shù)圖像.

程序如下：

z=cplxgrid（20）

cplxmap（z，z）

figure

cplxmap（z，z.^2）

圖形如下：

三、結(jié)束語

本文通過展示MATLAB在復(fù)變函數(shù)中的一些具體應(yīng)用實(shí)例，讓我們看到了利用MATLAB可以化繁為簡(jiǎn)，并可以把求解結(jié)果用可視化、動(dòng)態(tài)化的形式直觀地表現(xiàn)出來，既提高了課堂的學(xué)習(xí)效率，又培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，便于學(xué)生更加深刻地理解問題的本質(zhì)及意義.

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