于學(xué)明 李世臣

(1．河南省商水縣希望中學(xué) 466100；2．河南省周口市川匯區(qū)教研室 466001)

文[1]介紹了Philon線的定義及其性質(zhì)，揭示了在定角內(nèi)過定點(diǎn)的直線，被角所截最小線段的幾何特征．由于過定點(diǎn)的直線可以看作是以定點(diǎn)為頂點(diǎn)的平角，于是我們把平角換成某個定角θ(0°<θ<180°)進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)存在類似的Philon線，同樣具有優(yōu)美的幾何性質(zhì)，最后以幾何視角詮釋了圓錐曲線夾在兩條固定切線間切線段長的極值問題．

廣義Philon線定義如圖1，已知∠MON是定角，點(diǎn)P是角內(nèi)的一個定點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上，∠APB的大小為定值，當(dāng)線段AB的長度取得極值時，我們稱此時的線段是在定角內(nèi)，以定點(diǎn)為頂點(diǎn)，張角為定值的廣義Philon線．

圖1

下面探討廣義Philon線的幾何特征．

定理如圖2，在定角∠MON內(nèi)，線段AB是以定點(diǎn)P為頂點(diǎn)，張角為定值的廣義Philon線．連接OP，若∠AOP=α，∠POB=β，∠BPA=θ，∠PAO=x，∠OBP=y，則

圖2

證明設(shè)PO=ρ，在△OAP和△OPB中，

由正弦定理得

在△APB中，由余弦定理得

AB2=PA2+PB2-2PA·PB·cosθ

因?yàn)棣?β+x+θ+y=360°，

所以y=360°-(α+β+θ+x)．

移項(xiàng)整理得

提取公因式后即得(※)式．證畢.

性質(zhì)1如圖3，在定角∠MON內(nèi)，線段AB是以定點(diǎn)P為頂點(diǎn)，張角為定值的廣義Philon線．作AD⊥PB于點(diǎn)D，BE⊥PA于點(diǎn)E，直線OA，OB過點(diǎn)A，B的垂線分別交直線BE，AD于點(diǎn)F，G，連接PF，PG，則S△PAF=S△PBG．

圖3

證明如圖2，在△OAP和△OPB中，由正弦定理知

代入(※)式得

因?yàn)锳D⊥PB，BE⊥PA，

則AE=PA-PB·cosθ，

BD=PB-PA·cosθ．

因?yàn)锳F⊥OA，BG⊥OB，

則∠PAF=x-90°，∠GBP=y-90°,

于是PA·EF=PB·DG,

性質(zhì)2如圖4，在定角∠MON內(nèi)，線段AB是以定點(diǎn)P為頂點(diǎn)，張角為定值的廣義Philon線．直線OA，OB過點(diǎn)A，B的垂線交于點(diǎn)H，則△PAB的外心S在直線PH上．

圖4

證明設(shè)直線AH，BH，PH分別交PB，PA，AB于點(diǎn)J，I，K，作AD⊥PB于點(diǎn)D，交直線BI于點(diǎn)G，作BE⊥PA于點(diǎn)E，交直線AJ于點(diǎn)F，設(shè)直線PH交AB于點(diǎn)K．

對于直線BI截△PAD，直線AJ截△PBE，由梅涅勞斯(Menelaus)定理得

由于AP·FE=PB·DG，

對共點(diǎn)于H的三條直線，

由塞瓦(Ceva)定理得

設(shè)點(diǎn)K到AP，BP的距離為dK-AP，dK-BP，則

設(shè)△PAB的外接圓半徑為R，S到PA，PB的距離為dS-AP，dS-BP，則

所以△PAB的外心S在直線PH上．

性質(zhì)3如圖5，在定角∠MON內(nèi)，線段AB是以定點(diǎn)P為頂點(diǎn)，張角為定值的廣義Philon線．HA⊥OM，HB⊥ON，HC⊥PA于點(diǎn)C，HD⊥PB于點(diǎn)D，則CD∥AB．

圖5

證明設(shè)直線PH與△PAB的外接圓另交于點(diǎn)E．

由性質(zhì)2知，線段PE是△PAB的外接圓直徑．

連接BE，則∠BEP=∠BAP，BE⊥BP．

因?yàn)镠D⊥BP，則BE∥HD，

所以∠BEP=∠DHP．

因?yàn)镠C⊥PA，HD⊥PB，

所以H，C，P，D四點(diǎn)共圓．

所以∠DHP=∠DCP．

于是∠BAP=∠DCP，所以CD∥AB．

為了以下證明方便引入兩個引理．

引理1如圖6，線段AB，CD交于點(diǎn)O，△OAC，△OBD的外接圓交于點(diǎn)P，PE⊥AC于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PG⊥AB于點(diǎn)G，PH⊥CD于點(diǎn)H，連接PA，PB，PC，PD，EF，GH，求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共線；(2) △PAB∽△PEF∽△PCD；(3) △PAC∽△PGH∽△PBD．

圖6

證明(1)因?yàn)镻E⊥AC，PF⊥BD，PG⊥AB，PH⊥CD，由西姆松定理知，點(diǎn)E，G，H共線，點(diǎn)G，H，F(xiàn)共線．所以E，G，H，F(xiàn)四點(diǎn)共線．

(2)由P，A，E，G；P，E，C，H四點(diǎn)共圓，

所以∠PAG=∠PEG=∠PCH．

同理∠PBO=∠PFH=∠PDH．

所以△PAB∽△PEF∽△PCD．

(3)由P，A，E，G；P，G，B，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，

所以∠PAC=∠PGH=∠PBD．

同理∠PCA=∠PHG=∠PDB．

所以△PAC∽△PGH∽△PBD．

引理2如圖7，點(diǎn)P是△ABC外接圓上一點(diǎn)，連接PA，點(diǎn)P關(guān)于△ABC的西姆松線是l，AG⊥l，則∠PAB=∠CAG．

圖7

證明設(shè)l與AB，AC分別交于點(diǎn)D，E，連接PD，PE．

因?yàn)閘是點(diǎn)P關(guān)于△ABC的西姆松線，所以PD⊥AB，PE⊥AC．所以A，D，P，E四點(diǎn)共圓，∠PAB=∠PED．

因?yàn)镻E⊥AC，AG⊥l，

所以∠PED=∠CAG．

所以∠PAB=∠CAG．

性質(zhì)4如圖8，在定角∠MON內(nèi)，線段AB是以定點(diǎn)P為頂點(diǎn)，張角為定值的廣義Philon線．直線OA，OB過點(diǎn)A，B的垂線交點(diǎn)為H，過A，H，P三點(diǎn)的圓與直線PB交于點(diǎn)C，直線AC交過B，H，C三點(diǎn)的圓于點(diǎn)Q，PD⊥AB于點(diǎn)D，QE⊥AB于點(diǎn)E，則AD=BE．

圖8

證明連接BQ，HQ，HP，

由引理1(3)知△HAP∽△HQB．

作HF⊥AP于點(diǎn)F，HG⊥BQ于點(diǎn)G．

連接GF，由引理1(1)知，直線GF是點(diǎn)H關(guān)于△APC和△BCQ的西姆松線．

由性質(zhì)3知，GF∥AB．

因?yàn)镻D⊥AB，QE⊥AB，

所以PD⊥GF，QE⊥GF．

由引理2知∠APD=∠HPC，∠BQE=∠HQC．

作HI⊥GF于點(diǎn)I，由引理1(2)知

∠HFI=∠HPC，∠HGI=∠HQC．

所以∠APD=∠HFI，∠BQE=∠HGI．

所以Rt△APD∽Rt△HFI，

Rt△BQE∽Rt△HGI．

所以AD=BE．

性質(zhì)5如圖9，在定角∠MON內(nèi)，線段AB是以定點(diǎn)P為頂點(diǎn)，張角為定值的廣義Philon線．直線OA，OB過點(diǎn)A，B的垂線交點(diǎn)為H，過A，H，P三點(diǎn)的圓與直線PB交于點(diǎn)C，直線AC交過B，H，C三點(diǎn)的圓于點(diǎn)Q，直線PH交△PAB的外接圓于點(diǎn)J，則JQ⊥AB．

圖9

證明作PD⊥AB于點(diǎn)D，QE1⊥AB于點(diǎn)E1，由性質(zhì)4知，AD=BE1．

作JE2⊥AB于點(diǎn)E2，

由性質(zhì)2知，PJ是△PAB的外接圓直徑．

所以AD=BE2．

于是BE1=BE2，點(diǎn)E1，E2重合．

所以JQ⊥AB．

性質(zhì)6如圖10，在定角∠MON內(nèi)，線段AB是以定點(diǎn)P為頂點(diǎn)，張角為定值的廣義Philon線．直線OA，OB過點(diǎn)A，B的垂線交點(diǎn)為H，HT⊥AB于點(diǎn)T，過A，H，P三點(diǎn)的圓與直線PB交于點(diǎn)C，直線AC交過B，H，C三點(diǎn)的圓于點(diǎn)Q，則∠PTH=∠QTH．

圖10

證明作直線PH交△PAB的外接圓于點(diǎn)J，由性質(zhì)5得JQ⊥AB于點(diǎn)E．

連接JB，則JB⊥BP．作HK⊥BP于點(diǎn)K，

作PD⊥AB于點(diǎn)D，由性質(zhì)4，AD=BE．

性質(zhì)4已證∠APD=∠HPK，

∠BQE=∠HQC=∠HBK．

所以,Rt△APD∽Rt△HPK，

Rt△BQE∽Rt△HBK．

因?yàn)镠T⊥AB于點(diǎn)T，所以PD∥HT∥JE．

所以Rt△PDT∽Rt△QET．

于是∠PTD=∠QTE．

所以∠PTH=∠QTH．證畢.

以上探究了廣義Philon線的性質(zhì)1～6，下面探究其與圓錐曲線的關(guān)系．

由文[2]知道：“在橢圓中，一條切線介于兩條定切線間的部分，在一個焦點(diǎn)的視角為常量．”逆向思考：一條動直線被兩條固定直線所截，所得線段對一個定點(diǎn)的視角為常量，這些動直線的包絡(luò)是否是一條以定點(diǎn)為焦點(diǎn)的圓錐曲線呢？這一猜想很容易在動態(tài)數(shù)學(xué)軟件Geogebra上進(jìn)行驗(yàn)證，下面僅給出橢圓情形的證明過程．

命題如圖11，已知兩條定直線的交角∠MON=ω，動直線l交定直線于點(diǎn)Y，Z，線段YZ與定點(diǎn)P的視角∠YPZ=θ為定角．若ω+θ<180°，則l的包絡(luò)曲線是橢圓．

圖11

證明作PD⊥l于點(diǎn)D，PU⊥OM于點(diǎn)U，PV⊥ON于點(diǎn)V，因?yàn)棣?θ<180°，則點(diǎn)P在△OYZ的外接圓外部．

由西姆松(Simson)定理知，U，D，V三點(diǎn)不共線．連接DU，DV，由于P，U，Y，D；P，V，Z，D四點(diǎn)共圓，易知∠DPY=∠DUY，∠DPZ=∠DVZ．

在凹四邊形OUDV中，∠UDV=∠UOV+∠DUO+∠DVO=∠UOV+∠DPY+∠DPZ=∠MON+∠YPZ=ω+θ．

由條件知U，V是定點(diǎn)，點(diǎn)D是動點(diǎn)，∠UDV是定值，所以D，U，V三點(diǎn)確定一個定圓．設(shè)圓心為W，半徑WD為a．延長PW至Q，使WQ=PW；延長PD至X，使DX=PD．連接QX，交直線l于點(diǎn)T，則XQ=2WD=2a．連接TP，易知TP=TX，所以TP+TQ=QX=2a(定值)．

由橢圓及其切線的定義知，點(diǎn)T的軌跡是一個橢圓，直線l切橢圓于點(diǎn)T．所以l的包絡(luò)曲線是橢圓．證畢.

根據(jù)廣義Philon線的定義和性質(zhì)判斷，在橢圓中，介于兩條定切線之間，且取得極值的切線段就是廣義Philon線．焦點(diǎn)在這條切線上的射影到切線段端點(diǎn)的距離相等．這樣，用廣義Philon線直觀地解釋了圓錐曲線夾在兩條固定切線之間切線段長的極值問題．對于拋物線(ω+θ=180°)和雙曲線(ω+θ>180°)兩種情形可作類似的解釋．

本文探討了廣義Philon線的幾何特征，關(guān)于怎樣用已知量來表達(dá)極值，以及取得的極值是極大值還是極小值問題有待進(jìn)一步研究．