王淑娟， 劉舒暢

(黑龍江大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 黑龍江哈爾濱150080)

早在1905年，Schur[1]給出一般線性Lie代數(shù)交換子代數(shù)的極大維數(shù)的定理，闡述了兩兩交換矩陣線性無關(guān)的極大維數(shù)，由此得到有限維交換Lie代數(shù)忠實(shí)表示的極小維數(shù)。Jacobson[2]利用矩陣的相似變換，對(duì)Schur定理進(jìn)行了證明；菲爾茲獎(jiǎng)獲得者 Mirzakhani[3]利用分塊矩陣及數(shù)學(xué)歸納的思想，也對(duì)Schur定理進(jìn)行了證明。文獻(xiàn)[4-7]中利用Jacobson的思想，得到了有限維交換Jordan代數(shù)與交換Lie超代數(shù)忠實(shí)表示的極小維數(shù)。 本文中借鑒Mirzakhani的思想， 利用分塊矩陣?yán)碚撘约皵?shù)學(xué)歸納法， 確定上三角矩陣空間的弱交換空間的極大維數(shù)，對(duì)Schur定理進(jìn)行推廣。

1 有關(guān)概念

約定基域 F為特征的代數(shù)閉域。記M(n, F)為n×n型矩陣全體，其中n為自然數(shù)，t(n, F)為n×n型上三角矩陣全體。稱矩陣A,B∈t(n, F)是弱交換的，如果存在與A、B有關(guān)的λ∈F, 使得AB=λBA。設(shè)V為t(n, F)的一個(gè)子空間，若V中任意2個(gè)矩陣都是弱交換的, 則V稱是一個(gè)弱交換空間。

下面給出Lie代數(shù)與Jordan代數(shù)的定義。

定義1[4]設(shè)L為域 F上的一個(gè)代數(shù), 其乘法用[,]表示。若對(duì)L于中的任意元素a、b、c都有

[a,b]=-[b,a],[a,[b,c]]=[[a,b],c]+[b,[a,c]]，

則稱為Lie代數(shù)。

設(shè)M(n, F)中任意2個(gè)元素為X、Y，定義

[X，Y]=XY-YX,

則M(n, F)關(guān)于新定義的乘法[,]構(gòu)成一個(gè)Lie代數(shù)，記為gl (n),稱為一般線性Lie代數(shù)。

定義2[4]設(shè)J為域 F上的一個(gè)代數(shù)。若對(duì)J于中任意元素x、y都有

xy=yx,(x2y)x=x2(yx) ,

則稱J為Jordan代數(shù)。

對(duì)于M(n, F)中任意2個(gè)元素X、Y定義

X°Y=XY+YX，

則M(n, F)關(guān)于新定義的乘法° 構(gòu)成一個(gè)Jordan代數(shù)，記為J(n)，稱為特殊Jordan代數(shù)。

下面給出Lie代數(shù)與Jordan代數(shù)的表示的定義。

定義3[8]設(shè)L為 F上的Lie代數(shù)。若線性映射

φ∶L→gl (n)

為一個(gè)Lie代數(shù)同態(tài), 即

φ([a,b])=φ(a)φ(b)-φ(b)φ(a) ,

其中a、b為L中任意2個(gè)元素，則稱φ為Lie代數(shù)L的表示，稱n為表示的維數(shù)。進(jìn)一步, 若φ是單同態(tài)的，則稱其為L的忠實(shí)表示。

定義4[9]設(shè)J為F上的Jordan代數(shù)。若線性映射

φ∶J→J(n)

為一個(gè)Jordan代數(shù)同態(tài), 即

φ(xy)=φ(x)φ(y)+φ(y)φ(x) ,

其中x、y為J中任意2個(gè)元素, 則稱φ為Jordan代數(shù)J的表示, 稱n為表示的維數(shù)。進(jìn)一步，若φ是單同態(tài)的，則稱其為J的忠實(shí)表示。

2 主要結(jié)果

定理1若V為t(n, F)中具有極大維數(shù)的弱交換空間, 則dimV=?n2/4」+1，其中?·」為向下取整函數(shù), dim為空間的維數(shù)函數(shù)。

證明： 設(shè)

F=Span{Eij|1≤i≤?n/2」,?n/2」+1≤j≤n} ,

其中Eij為第i行第j列位置元素為1且其余位置元素全為0的n×n型矩陣，Span表示張成子空間。顯然， F ′=F ?FI是一個(gè)弱交換空間且維數(shù)為?n2/4」+1, 其中I為單位矩陣, ?為空間的直和運(yùn)算符。由此，

dimV≥?n2/4」+1 。

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明dimV≤?n2/4」+1。當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立。假設(shè)結(jié)論對(duì)于n-1的情形成立，下面考慮n的情形。利用反證法, 假設(shè)

dimV>?n2/4」+1,

則t(n, F)包含了一個(gè)維數(shù)為σ(n)=?n2/4」+2的弱交換空間H。設(shè)H的一組基為

{A1,A2, …,Aσ(n)} ，

則存在(n-1)×(n-1)型矩陣Mi, 使得

其中*為矩陣Ai第1行的元素。因?yàn)?/p>

H=Span{A1,A2, …,Aσ(n)}

是t(n, F)的一個(gè)弱交換空間, 所以

W=Span{M1,M2,…,Mσ(n)}

也是t(n-1, F)的一個(gè)弱交換空間。記k=dimW，根據(jù)歸納假設(shè)可知，

k≤?(n-1)2/4」+1 。

不失一般性地, 設(shè)M1,M2,…,Mk線性無關(guān),因此

其中mi1,mi2,…,mik∈F,i=k+1,k+2,…,σ(n)。記

則每個(gè)Bi具有形狀Bi=[Ti,O]T,其中

同理, 記

是t(n-1, F)的一個(gè)弱交換空間。設(shè)r=dimW′，根據(jù)歸納假設(shè)可知

r≤?(n-1)2/4」+1 。

進(jìn)而可知

其中i=k+1,k+2，…,σ(n)；j=r+1,r+2,…,σ(n)。

設(shè)

A=(Tk+1,Tk+2，…,Tσ(n))T，

顯然rankA=σ(n)-k, 其中rank表示求矩陣的秩。設(shè)

P={X∈Fn|AX=O} ,

則有dimP=n-rankA。注意到Sr+1,Sr+2,…,Sσ(n)∈P，dimP≥σ(n)-r，因此

n=rankA+dimP≥

(?n2/4」+2-k)+(?n2/4」+2-r)≥

2(?n2/4」-?(n-1)2/4」+1) 。

由此，若n=2q,則2q≥2(q+1)，矛盾；若n=2q+1,則2q+1≥2(q+1)，矛盾。假設(shè)不成立，定理1證畢。

定理1涵蓋了文獻(xiàn)[1-4, 7]中的結(jié)果, 極大地簡(jiǎn)化了文獻(xiàn)[7]中的相關(guān)證明, 推廣了Schur的關(guān)于兩兩交換矩陣線性無關(guān)極大個(gè)數(shù)的相關(guān)定理[2-4]。

需要注意的是，由F ′的結(jié)構(gòu)可知，t(n, F)的一個(gè)具有極大維數(shù)的弱交換空間的基可取為

{Eij|1≤i≤?n/2」,?n/2」+1≤j≤n}∪{I} 。

推論1一般線性Lie代數(shù)gl(n)與特殊Jordan代數(shù)J(n)的交換子代數(shù)的極大維數(shù)分別為?n2/4」+1與?n2/4」。

證明： 設(shè)M為gl (n)的任意交換子代數(shù)。一方面，由于兩兩交換的矩陣必能同時(shí)上三角，因此可以視M為t(n, F)的一個(gè)弱交換空間；另一方面，由定理1可知，dimM≤?n2/4」+1。注意到定理1證明中F ′的結(jié)構(gòu)，可知gl (n)的交換子代數(shù)的極大維數(shù)不小于?n2/4」+1。

由Jacobson弱閉集定理可知, J(n)的交換子代數(shù)可以同時(shí)嚴(yán)格上三角，因此J(n)的任意交換子代數(shù)可視為n(n,F)的弱交換空間，其中n(n,F)為全體n×n型嚴(yán)格上三角矩陣。設(shè)M′為J(n)的具有極大維數(shù)的交換子代數(shù)，則有

dimM′

否則，M′?FI是維數(shù)大于?n2/4」+1的弱交換空間，這與定理1矛盾。注意到在定理1的證明中，F(xiàn)的結(jié)構(gòu)表明dimM′≥?n2/4」。推論1證畢。

證明： 設(shè)φ∶L→gl (n)為Lie代數(shù)L的忠實(shí)表示，由推論1可知，

設(shè)ρ∶J→J(n)是Jordan代數(shù)J的忠實(shí)表示，由推論1可知，

推論2證畢。

推論2給出了任意有限維交換Lie代數(shù)與交換Jordan代數(shù)的忠實(shí)表示的極小維數(shù)[3]。

3 結(jié)論

本文中利用分塊矩陣?yán)碚摷皵?shù)學(xué)歸納法，得到了上三角矩陣空間的極大維數(shù)，以及一般線性Lie代數(shù)與特殊Jordan代數(shù)交換子代數(shù)的極大維數(shù)，并且給出任意有限維交換Lie代數(shù)以及交換Jordan代數(shù)忠實(shí)表示的極小維數(shù)，簡(jiǎn)化了文獻(xiàn)[7]中相關(guān)定理的證明。