孫憲鋼，魏 兵，石 磊

(1.西安電子科技大學 物理與光電工程學院，陜西 西安 710071；2.西安電子科技大學 信息感知協(xié)同創(chuàng)新中心，陜西 西安 710071)

平面層狀結(jié)構(gòu)在生活中十分常見，除了美觀之外，它的電磁傳輸特性也十分顯著，尤其是周期平面層狀結(jié)構(gòu)在吸波材料[1-4]、頻率選擇表面[5]、地質(zhì)構(gòu)造研究[6]和光子晶體[7-8]等方面都有著廣泛的應用。分析電磁波在層狀介質(zhì)中的反射和透射，常采用傳播矩陣法[9-13]。在20世紀60年代，DE JAGER等[14]用傳播矩陣法對非均勻?qū)訝罱Y(jié)構(gòu)的反射和透射進行了探究。2000年，鄭宏興等[10]利用傳播矩陣法計算了各向異性分層介質(zhì)的反射和透射。2017年和2019年，王飛等[12-13]用傳播矩陣法分別對分層有耗手征介質(zhì)和含石墨烯分界面有耗分層介質(zhì)的反射和透射進行了計算?？梢钥吹?，傳播矩陣法應用較為廣泛，但是，該方法以矩陣連乘的形式處理層狀結(jié)構(gòu)，當層數(shù)較多時，需要考慮矩陣連乘的數(shù)量以及計算結(jié)果的穩(wěn)定性問題。特別是傳播矩陣法在計算有耗層狀體系時，如果材料電導率較大或結(jié)構(gòu)層數(shù)較多，則容易產(chǎn)生較大的計算量并出現(xiàn)數(shù)值失穩(wěn)問題，導致計算結(jié)果發(fā)散[15]。

有耗對稱的平面介質(zhì)層，作為一種特殊的層狀結(jié)構(gòu)，在以上各方面也都有應用，可采用傳播矩陣法計算其反射系數(shù)，但是也會出現(xiàn)相同的問題。為此，采用等效四端網(wǎng)絡法計算有耗對稱平面介質(zhì)層的反射系數(shù)。1990年，李世智等[16]在研究地表探測時，對此法進行了初步的研究。1998年，段方勇等[17]對李世智等的研究進一步加深，并且給出了一些理論推導。2007年，MEHTA等[18]在近地表層特性研究時也運用此法做了一定的運算。筆者通過對等效四端網(wǎng)絡法進行詳細研究，發(fā)現(xiàn)該方法對界面矩陣進行了簡化處理，相對于傳播矩陣法，降低了矩陣的數(shù)量，避免了傳播矩陣法中出現(xiàn)的大量矩陣連乘，在計算多個頻點或?qū)掝l段時可以快速計算有耗對稱介質(zhì)層的反射系數(shù)，并且以光子晶體為例，對比了兩種方法在具體計算其反射系數(shù)時的計算時間和消耗的內(nèi)存。

1 理論公式

1.1 有耗介質(zhì)中拉普拉斯波動方程解

設平面電磁波沿z軸正方向傳播，其中電場強度為Ex，磁場強度為Hy，則可以得到其一維有耗介質(zhì)的Maxwell支配方程為

(1)

其中，ε為介電常數(shù)，μ為磁導系數(shù)，σ為電導率，σm為導磁率。為了得到頻域解析解，對式(1)的時域t進行拉普拉斯變換到s域[19]，化簡求解可以得到電磁場滿足

(2)

其中，γ(s)=((σm+μs)(σ+εs))1/2，為損耗介質(zhì)中的電波傳播系數(shù)；B(s)和A(s)為上下行波幅值，由邊界條件確定。令s=jω，即可得到頻域解析解，再令σ=0，式(2)退化為一般無耗介質(zhì)波動方程的解。

1.2 等效四端網(wǎng)絡法求反射系數(shù)

設平面電磁波從真空(ε0，μ0)垂直入射有N層介質(zhì)的第1層介質(zhì)的分界面上，入射平面為xOz平面，如圖1所示。各層介質(zhì)是均勻有耗的，介質(zhì)分界面都為平行平面，第n層介質(zhì)的厚度為dn，相應的電磁參數(shù)為：介電系數(shù)εn，磁導系數(shù)μn，電導率σn，導磁率σmn，n=1，2，…，N。

圖1 分層介質(zhì)

設第ln個界面的電場強度和磁場強度分別為En和Hn，其表達式可由式(2)獲得。由于在層狀結(jié)構(gòu)的輸入界面l1和輸出界面ln+1各有2個變量，因此，此層狀介質(zhì)系統(tǒng)可以等效于有2個輸入量和2個輸出量的四端網(wǎng)絡，這個四端網(wǎng)絡的參數(shù)可以通過矩陣[Uij](i=1，2；j=1，2)聯(lián)系，所以，系統(tǒng)的左右邊界的矩陣表達式為

(3)

式(3)中矩陣元素Uij的值與所有介質(zhì)層的物理參數(shù)有關。假設任意的第n層的左右邊界面的關系矩陣為[uij](i=1，2；j=1，2)已知，則應用n次遞推，式(3)可以改寫為

(4)

由式(3)和式(4)可以得到

(5)

式(5)表示出了四端網(wǎng)絡的參數(shù)由每一層的界面關系矩陣決定，其中，第n層介質(zhì)中兩界面間的關系矩陣[uij](i=1，2；j=1，2)可以表示為

(6)

對于關系矩陣[uij](i=1，2；j=1，2)，可參考文獻[17]。由式(6)可知，當?shù)趎層介質(zhì)的厚度為0時，兩界面間的關系矩陣[uij](i=1，2；j=1，2)退化為單位矩陣，即介質(zhì)層面之間的矩陣為單位矩陣。其中γn=((σmn+μns)(σn+εns))1/2，為每一層的損耗介質(zhì)的電波傳播系數(shù)，bn=γn(s)/(σn+εns)為計算的中間變量。所以輸入界面和輸出界面的關系矩陣[Uij](i=1，2；j=1，2)可以通過每層左右邊界面的關系矩陣[uij](i=1，2；j=1，2)求出。入射波Ei，反射波Er和透射波Et的表達式可以表示為

(7)

(8)

將式(8)的總?cè)肷鋱龊涂偼干鋱霰磉_式代入式(3)，可以求出反射系數(shù)R為

(9)

可以看出，已知系統(tǒng)四端網(wǎng)絡的參數(shù)、前后區(qū)域的電磁參數(shù)以及該區(qū)域的電波傳播常數(shù)，即可用式(9)計算有耗分層介質(zhì)的反射系數(shù)，以上參數(shù)的計算可以通過式(5)和式(6)得到。

2 算 例

算例1有耗3層介質(zhì)的反射。設介質(zhì)層的厚度為：d1=d3=0.5 m，d2=0.2 m；相應的電磁參數(shù)為：ε1=ε3=4ε0，ε2=ε0，μ1=μ2=μ3=μ0，σ1=σ3=0.05 S/m，σ2=0.03 S/m，下標代表層數(shù)編號；入射區(qū)域和透射區(qū)域為空氣。設定入射平面波的頻率為0.000 1～1 GHz，采用等效四端網(wǎng)絡法計算反射系數(shù)，并給出傳播矩陣法和FDTD方法[20-21]的計算結(jié)果。由圖2可知，三者符合良好，可以看出，3層有耗介質(zhì)層的反射呈現(xiàn)單調(diào)性變化。

圖2 3層有耗介質(zhì)的反射系數(shù)

算例2有耗4層介質(zhì)的反射。設介質(zhì)層的厚度為d1=d4=0.5 m，d2=d3=0.2 m；相應的電磁參數(shù)為：ε1=ε4=4ε0，ε2=ε3=2ε0，μ1=μ2=μ3=μ4=μ0，σ1=σ4=0.005 S/m，σ2=σ3=0.02 S/m，下標代表層數(shù)編號，入射區(qū)域和透射區(qū)域為空氣。設定入射平面波的頻率為0.000 1～1 GHz。采用等效四端網(wǎng)絡法計算反射系數(shù)，并給出傳播矩陣法和FDTD方法的計算結(jié)果。由圖3可知，三者符合良好，可以看出，此時有耗介質(zhì)層的反射在高頻情形呈現(xiàn)出周期性變化，在低頻時呈現(xiàn)單調(diào)性變化(類似于算例1)。

圖3 4層有耗介質(zhì)的反射系數(shù)

圖4 光子晶體的反射系數(shù)

圖5 光子晶體

由圖2和圖3可知采用等效四端網(wǎng)絡法計算有耗對稱介質(zhì)層的反射系數(shù)，無論是奇數(shù)層或偶數(shù)層，所得結(jié)果均與傳播矩陣法及FDTD方法的計算結(jié)果較好吻合。將文中采用的等效四端網(wǎng)絡法與傳播矩陣法對比，給出算例1、算例2和算例3中具體的計算參數(shù)，如表1和表2所示。

表1 算例1和算例2等效四端網(wǎng)絡法和傳播矩陣法對比

表2 算例3等效四端網(wǎng)絡法和傳播矩陣法對比

由表1可知，算例1、2中采用等效四端網(wǎng)絡法和傳播矩陣法計算有耗對稱介質(zhì)層的反射系數(shù)時，所需內(nèi)存相差不大，但是傳播矩陣法所需的計算時間約為等效四端網(wǎng)絡法的3.4倍。等效四端網(wǎng)絡法的計算效率高于傳播矩陣法。由表2可知，與傳播矩陣法相比，算例3中等效四端網(wǎng)絡法在計算時間上減少90%以上，而且傳播矩陣法所用時間已超1小時以上。由此可見，當層數(shù)越多時，計算頻段越寬或采樣頻點較多時，等效四端網(wǎng)絡法的計算效率將遠高于傳播矩陣法的計算效率。

3 總 結(jié)

在計算有耗對稱介質(zhì)層的反射系數(shù)時，結(jié)合傳輸線理論和傳播矩陣的思想，筆者采用了等效四端網(wǎng)絡法計算其反射系數(shù)，并且與傳播矩陣法在計算效率上進行了比較。相對于傳播矩陣法，等效四端網(wǎng)絡法對界面矩陣進行了簡化處理，使得矩陣計算時賦值次數(shù)成倍減少，降低了計算量，不論是周期還是非周期的介質(zhì)層都可以快速計算其反射系數(shù)，掌握其反射特性。從仿真算例可以看出，如果介質(zhì)層層數(shù)越多，或者計算頻段越寬，等效四端網(wǎng)絡法的計算效率將遠高于傳播矩陣法，同時FDTD方法的驗證表明了計算結(jié)果的準確性，為其在實際應用和設計中提供了一種快速計算電磁反射系數(shù)的方案。