陳 煜

（湛江幼兒師范?？茖W(xué)校 信息科學(xué)系，廣東 湛江 524037）

楊氏模量實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)通常分為“粗調(diào)”和“細(xì)調(diào)”兩個(gè)環(huán)節(jié)[1-2]，粗調(diào)是細(xì)調(diào)的基礎(chǔ)，粗調(diào)的目的是使望遠(yuǎn)鏡與光杠桿平面鏡共軸等高，使標(biāo)尺的像在望遠(yuǎn)鏡視場(chǎng)范圍內(nèi)。只有粗調(diào)達(dá)到要求，才能在細(xì)調(diào)中快速完成實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)，文獻(xiàn)[3][4][5]對(duì)楊氏模量實(shí)驗(yàn)中望遠(yuǎn)鏡和平面反射鏡的調(diào)整技巧作了探討，文獻(xiàn)[6]對(duì)粗調(diào)的關(guān)鍵步驟給出圖示指引，形象直觀，便于實(shí)驗(yàn)者理解和操作，但對(duì)光杠桿平面鏡的上下傾角或者望遠(yuǎn)鏡左右偏轉(zhuǎn)角超出什么范圍時(shí)尺像不在望遠(yuǎn)鏡的視場(chǎng)內(nèi)沒有作討論。本研究從系統(tǒng)成像的幾何光學(xué)線路圖出發(fā)，通過數(shù)學(xué)建模對(duì)光杠桿平面鏡上下傾角范圍和望遠(yuǎn)鏡左右轉(zhuǎn)角的范圍這兩種極限情況進(jìn)行定量分析，探討這兩種極限角范圍的規(guī)律，從而判斷光杠桿平面鏡和望遠(yuǎn)鏡粗調(diào)是否使標(biāo)尺的像在望遠(yuǎn)鏡視場(chǎng)范圍內(nèi)。

1 光杠桿裝置及主要技術(shù)參數(shù)

實(shí)驗(yàn)中光杠桿裝置及主要技術(shù)參數(shù)如圖1和表1所示，其中M為光杠桿平面鏡，b為光杠桿平面鏡后足尖到平面鏡的距離，D為標(biāo)尺到平面鏡的距離，金屬絲的直徑為d，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，在砝碼的重力mg作用下，伸長(zhǎng)量為ΔL，此時(shí)光杠桿平面鏡的法線偏轉(zhuǎn)了θ角，反射光線偏轉(zhuǎn)2θ，望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺的讀數(shù)變化為Δn，由幾何關(guān)系得

表1 YMC-1光杠桿主要技術(shù)參數(shù)Table 1 Main technical parameters of YMC-1 optical lever

圖1 光杠桿裝置Figure 1 Optical lever device

則金屬絲的楊氏模量為

2 定量分析

由式（3）可知，公式中的D和d容易測(cè)量，而Δn的測(cè)量需要調(diào)節(jié)儀器，在望遠(yuǎn)鏡中看到標(biāo)尺的像才能實(shí)現(xiàn)。針對(duì)學(xué)生由于粗調(diào)不到位，造成光杠桿平面鏡上下傾角或者望遠(yuǎn)鏡左右偏轉(zhuǎn)角過大，在望遠(yuǎn)鏡中看不到標(biāo)尺的像的情況，根據(jù)YMC-1光杠桿主要技術(shù)指標(biāo)分別對(duì)這兩種情況進(jìn)行定量分析。

2.1 望遠(yuǎn)鏡和標(biāo)尺處于理想狀態(tài)時(shí)的光杠桿平面鏡傾角范圍

實(shí)驗(yàn)時(shí)，光杠桿平面鏡兩個(gè)前足尖放在水平的凹糟中，后腳尖放在中夾緊的被測(cè)點(diǎn)上，所以光杠桿平面鏡調(diào)節(jié)往往容易出現(xiàn)上下傾斜的情況，如果粗調(diào)不到位，平面鏡不鉛直，那么平面鏡會(huì)偏離鉛直方向，本研究定義逆時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)為正，順時(shí)針方向偏轉(zhuǎn)為負(fù)，相關(guān)各量如圖2所示，D為平面鏡到標(biāo)尺的距離，當(dāng)光杠桿平面鏡的法線偏轉(zhuǎn)了θ角，反射光線偏轉(zhuǎn)2θ，望遠(yuǎn)鏡中標(biāo)尺的讀數(shù)變化為X。

圖2 光杠桿平面鏡傾斜光路圖Figure 2 Optical path diagram of optical lever plane mirror

由幾何關(guān)系得

根據(jù)光路和粗調(diào)要求，不管θ角沿著逆時(shí)針方向增大還是沿著順時(shí)針方向增大，它的極限值必須能讓標(biāo)尺的最上端的刻度值或者最下端的刻度值的像在望遠(yuǎn)鏡的視場(chǎng)內(nèi)，即θ角最大使X=24 cm，否則從望眼鏡看不到標(biāo)尺的像，則它傾斜角度范圍為[-θ，θ]。通過公式（4），取X=24 cm，可以求出平面鏡傾斜角隨標(biāo)尺中心到平面鏡中心距離D的變化范圍，如表2所示。

表2 平面鏡傾斜角隨D變化的范圍Table 2 Variation range of the inclination angle of the plane mirror with D

表2的數(shù)據(jù)顯示，在望遠(yuǎn)鏡與標(biāo)尺處于理想狀態(tài)下，平面鏡的極限傾斜角的范圍隨著標(biāo)尺到平面鏡中心的距離D增大而減小，如果光杠桿平面鏡粗調(diào)不到位，就很難在望遠(yuǎn)鏡中找到標(biāo)尺的像。

2.2 光杠桿平面鏡和標(biāo)尺處于理想狀態(tài)時(shí)的望遠(yuǎn)鏡左右偏轉(zhuǎn)角范圍

理想狀態(tài)下，光杠桿的平面鏡的法線J?與望遠(yuǎn)鏡的光軸H?共面平行，俯視圖如圖3所示，其中O′點(diǎn)為鏡面中心，O點(diǎn)為標(biāo)尺與望遠(yuǎn)鏡的距離的中點(diǎn)，ε為望遠(yuǎn)鏡到O點(diǎn)的距離，ɑ為理想狀態(tài)下反射光線與平面鏡法線J?的夾角。

圖3 理想狀態(tài)下光路圖Figure 3 Ideal light path diagram

由幾何關(guān)系得

圖4 望遠(yuǎn)鏡偏轉(zhuǎn)的光路圖Figure4 Optical path diagram of telescope deflection

在RTΔTGS′中，由幾何關(guān)系得

因?yàn)棣AE為等腰三角形，則

因?yàn)棣FE～ΔS′GE，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得

把AF=D、FE=（ε-R）及式（7）、式（8）代入式（9）得

移項(xiàng)化簡(jiǎn)得

將sinβ和cosβ作泰勒展開，β較小，取二級(jí)近似，

代入式（11）得

令

代入式（12）化簡(jiǎn)得

令

代入式（13）得

展開為

化簡(jiǎn)合并得

令

則

因?yàn)?/p>

則方程（15）的解為

式中,

則

其中，

利用公式（17）可以計(jì)算出在R=2.6 cm、ε=5cm時(shí)望遠(yuǎn)鏡左右偏轉(zhuǎn)極限角隨標(biāo)尺中心與平面鏡中心距離D變化的范圍，結(jié)果如表3所示。

表3 望遠(yuǎn)鏡偏轉(zhuǎn)偏轉(zhuǎn)角隨D的變化范圍Table 3 Variation range of the deflection angle of the telescope with D

從表3的數(shù)據(jù)可以看出，在標(biāo)尺中心到平面鏡中心距離D從80 cm增大到230 cm過程中，望遠(yuǎn)鏡左右偏轉(zhuǎn)極限角范圍呈現(xiàn)減小和增大交替變化的規(guī)律特點(diǎn)，最大極限偏轉(zhuǎn)角范圍在D=220 cm 處，為[-1.067°，1.067°]，但都是非常小的，如果望遠(yuǎn)鏡粗調(diào)不到位，就很難找到標(biāo)尺的像。

3 結(jié)語

通過對(duì)平面鏡的傾斜角和望遠(yuǎn)鏡的偏轉(zhuǎn)角區(qū)間范圍的定量分析，可見這兩個(gè)調(diào)節(jié)的極限角范圍都非常小，如果粗調(diào)不到位，細(xì)調(diào)很難找到標(biāo)尺的像，因此在儀器調(diào)節(jié)的教學(xué)中，強(qiáng)調(diào)做好粗調(diào)是非常必要的。