尚亞明，熊 斌

數(shù)學(xué)問題提出的過程性研究述評

尚亞明，熊 斌

（華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200241）

問題提出是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)課程中必不可少的一部分．對問題提出過程的探討以及學(xué)生問題提出能力的培養(yǎng)日益引起數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)教育研究者的關(guān)注．國內(nèi)外學(xué)生數(shù)學(xué)問題提出的過程性研究大致可以分為兩個方面：一是哲學(xué)視角下問題提出所經(jīng)歷的環(huán)節(jié)研究；二是心理學(xué)視角下問題提出的認知過程研究．國外對問題提出過程的研究，理論建構(gòu)較成熟，實證研究則注重學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，研究內(nèi)容廣泛．國內(nèi)對問題提出的過程性研究應(yīng)在以下兩個方面做出改進：關(guān)注哲學(xué)視角下的問題提出環(huán)節(jié)研究；加強問題提出的認知過程研究，尤其是微觀的認知過程研究．

問題提出；數(shù)學(xué)問題提出；問題提出過程；述評

“問題提出”概念最早根植于杜威（Dewey）和皮亞杰（Piaget）的著作中，他們強烈倡導(dǎo)富有積極性、探究性和實踐性的教育，從而形成了以學(xué)生為中心的課程理念[1]．1970年，弗萊雷（Freire）明確提出了“問題提出教育”這一術(shù)語，指出問題提出可以將學(xué)生轉(zhuǎn)變?yōu)椤芭c教師對話的批判性合作者”，并通過問題提出發(fā)展了積極參與式教育的理念[2]．自此之后，問題提出被拓展應(yīng)用到不同的學(xué)科和知識領(lǐng)域．

數(shù)學(xué)問題提出是指通過對情境的探索產(chǎn)生新問題或在解決問題過程中對問題的再闡述[3]．“問題”作為數(shù)學(xué)的發(fā)端，提出數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的重要標志，是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的前提和保障[4]．自20世紀80年代末90年代起，美國數(shù)學(xué)教師理事會（NCTM）先后在一系列數(shù)學(xué)教育改革文件中，如《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評價標準》（1989）、《數(shù)學(xué)教學(xué)的專業(yè)標準》（1991）、《學(xué)校數(shù)學(xué)教育的原則和標準》（2000）等，一貫強調(diào)提出數(shù)學(xué)問題的重要性，并指出“這個活動是做數(shù)學(xué)的核心”．中國在2012年頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中明確指出：“從社會生活中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并能綜合運用所學(xué)的知識和其它知識解決問題，發(fā)展應(yīng)用意識．”[5]國外很多研究者，如英格利西（English）、希爾弗（Silver），也都一致認為“問題提出”是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，是數(shù)學(xué)課程中必不可少的一部分[6-7]．

隨著問題提出活動在學(xué)校數(shù)學(xué)中愈來愈重要，一些研究者開始研究問題提出過程的各個方面[8]．然而，目前學(xué)術(shù)界對問題提出的“過程”還沒有做出明確的界定．這里將借鑒“關(guān)于過程性評價的思考”一文中對“過程”一詞的詮釋視角[9]，拋磚引玉，并結(jié)合國內(nèi)外問題提出的相關(guān)文獻，嘗試從以下3個方面對問題提出過程進行解釋．第一個方面，問題提出的過程主要指的是學(xué)生提出問題時的心理認知過程[10-11]．這種解釋從心理學(xué)的角度出發(fā)，倡導(dǎo)學(xué)生在全面把握問題提出情境中數(shù)學(xué)信息的基礎(chǔ)上，運用已有知識揭露情境中不同數(shù)學(xué)信息之間的聯(lián)系，強化認知需求，克服認知困難，進而產(chǎn)生疑問，提出問題．在日常數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，教師通過觀察學(xué)生對已給情境中信息的組織和處理，以及對學(xué)生在提出問題過程中可能遇到的認知困難進行分析，以便準確掌握學(xué)生的思維過程并進行錯誤診斷等，具有很重要的教學(xué)實踐價值．第二個方面主要從學(xué)生學(xué)習(xí)過程中的情感、態(tài)度等來刻畫問題提出的過程．這種解釋隱含于絕大部分的研究中，因為問題提出本身作為一種積極參與式教育的方式，它的主旨就是倡導(dǎo)學(xué)生的積極性和主動性學(xué)習(xí)．第三個方面，問題提出的過程就是為了達到提問的目的而遵循的一些程序、步驟或方案等[12-14]．這種解釋主要從哲學(xué)的角度對問題提出的過程進行描述，側(cè)重目的的達到和方法的應(yīng)用．鑒于以上分析，試著從哲學(xué)和心理學(xué)兩個維度入手，將學(xué)生問題提出的過程性研究劃分為哲學(xué)視角下問題提出所經(jīng)歷的環(huán)節(jié)研究和心理學(xué)視角下問題提出的認知過程研究．在此基礎(chǔ)上，選取國內(nèi)外數(shù)學(xué)問題提出的過程性研究文獻進行述評，以期對國內(nèi)的問題提出研究和實踐提供一些方向．

1 哲學(xué)視角下問題提出所經(jīng)歷的環(huán)節(jié)研究

為了成功地提出數(shù)學(xué)問題，學(xué)生必然會經(jīng)歷一些環(huán)節(jié)．明確的問題提出環(huán)節(jié)可以幫助學(xué)生有效地參與到問題提出學(xué)習(xí)中．基于不同的建立途徑，對學(xué)生提出問題所經(jīng)歷的環(huán)節(jié)研究，主要有以下3類．

1.1 基于教學(xué)實驗的問題提出環(huán)節(jié)

Joseph在對19名無問題提出經(jīng)驗的高成就學(xué)生所進行的教學(xué)實驗中實施了他的問題提出框架．他的框架包含8個環(huán)節(jié)[15]：（1）理解任務(wù)；（2）提出問題；（3）特殊化；（4）猜想；（5）證明；（6）概括；（7）回顧；（8）拓展．其中，特殊化、猜想、證明、概括和拓展代表了5個基本的數(shù)學(xué)思維過程．在實施框架的過程中，他主要關(guān)注如何引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)任務(wù)提出符合數(shù)學(xué)邏輯的問題，而不是限制學(xué)生的自由和創(chuàng)造力提出僅能解決的其它類型的問題．通過分析，研究者發(fā)現(xiàn)，在這個框架的引導(dǎo)下，學(xué)生的問題提出過程得到了發(fā)展．同時，高成就學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的能力不是“自然的”，也就是說，任務(wù)的設(shè)置（包括背景和陳述的措辭等）會影響學(xué)生是否能夠提出合乎邏輯的或預(yù)期的問題．這建議教師在設(shè)計問題提出的任務(wù)時，要考慮學(xué)生提出問題的邏輯性或預(yù)期的可能性．

呂傳漢、汪秉彝等曾于2001年元月起在中國西南地區(qū)中小學(xué)開展了旨在培養(yǎng)中小學(xué)生問題意識、問題提出能力和問題解決能力的“中小學(xué)數(shù)學(xué)情境與提出問題教學(xué)”（簡稱數(shù)學(xué)“情境—問題”教學(xué)）實驗研究．該教學(xué)模式由4個基本環(huán)節(jié)構(gòu)成[14]：（1）設(shè)置數(shù)學(xué)情境（觀察分析）；（2）提出數(shù)學(xué)問題（猜測探究）；（3）解決數(shù)學(xué)問題（求解反駁）；（4）注重數(shù)學(xué)應(yīng)用（學(xué)做學(xué)用）．這4個環(huán)節(jié)密切聯(lián)系、相互依存．在課堂教學(xué)中既可以從任意一個環(huán)節(jié)切入，也可以在某一個適當環(huán)節(jié)終止．實驗研究表明，實驗班級的教學(xué)質(zhì)量得到明顯提升，實驗教師的專業(yè)化水平得到較好發(fā)展．中小學(xué)數(shù)學(xué)“情境—問題”教學(xué)模式在提出問題和解決問題間建立了聯(lián)系，為學(xué)生在課堂上參與數(shù)學(xué)活動提供了更多的機會．該課題具有很強的現(xiàn)實性、時代性和可推廣性，在國內(nèi)外引起了較大的反響．

1.2 基于問題解決步驟的問題提出環(huán)節(jié)

Leung提出波利亞（Polya）解決數(shù)學(xué)問題過程（理解問題、制定計劃、實施計劃、回顧反思）的第一個階段可以被認為是提出問題的階段[16]．在此基礎(chǔ)上，他們研究了一名教師教育工作者如何與60名小學(xué)在職數(shù)學(xué)教師共同合作，實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題提出教學(xué)的過程．在整個過程中，研究者主要觀察3個方面：（1）教師對問題提出任務(wù)的選擇與決定；（2）教師對學(xué)生提出問題所進行的分析；（3）教師使用的策略、技術(shù)和遇到的挑戰(zhàn)．通過觀察分析發(fā)現(xiàn)，教師對學(xué)生如何理解該問題提出環(huán)節(jié)的考慮會影響其對問題提出任務(wù)及策略、技術(shù)的選擇與使用．同時，在這個過程的引導(dǎo)下，教師采用“以學(xué)生為中心”的課堂互動方式對學(xué)生提出的問題進行分析，幫助學(xué)生理解問題的結(jié)構(gòu)，鼓勵學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題．這個模式既能幫助研究者探索教師的專業(yè)發(fā)展情況，也能協(xié)助教師實施有效的問題提出教學(xué)．

岡薩雷斯（Gonzalez）將問題提出描述為波利亞解決數(shù)學(xué)問題過程的第5個步驟[17]．在他的研究中，教師先對學(xué)生進行相應(yīng)的問題提出教學(xué)，然后要求學(xué)生通過對已解決問題的陳述進行變異或拓展而提出完整的新問題．在這個過程中，研究人員主要觀察學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題時所用到的方法．通過分析，研究者概述了一個提出數(shù)學(xué)問題的策略表，主要包含8種方法：（1）重申已給的和想要的信息；（2）補充信息；（3）接受問題中的條件和任務(wù)，改變已有數(shù)據(jù)的值；（4）接受已給數(shù)據(jù)和條件，改變?nèi)蝿?wù)；（5）接受已給數(shù)據(jù)和任務(wù)，改變條件；（6）改變問題的背景或設(shè)置；（7）從一個或多個例子進行總結(jié)；（8）否定已給問題陳述的一部分或多部分（如，“What-if-not…”）．岡薩雷斯的問題提出過程讓研究者在經(jīng)歷“提出問題—解決問題—提出問題—解決問題—…”的不斷循環(huán)過程中探索問題提出的策略．

希爾弗認為回顧已解決問題的陳述和解決方案（波利亞解題過程的第4步）是“提出一個更簡單的問題”，并指出這樣的過程會使學(xué)生更深入地參與到問題解決中[7]．

1.3 基于計算機系統(tǒng)的問題提出環(huán)節(jié)

在Leung問題提出環(huán)節(jié)的基礎(chǔ)上，Chang等學(xué)者研究并形成的基于計算機系統(tǒng)的問題提出環(huán)節(jié)如下[18]：（1）提出問題；（2）制定計劃：a. 嘗試解決已提出的問題；b. 從教師處獲得反饋；c. 判斷解決方案是否合理；d. 重新定義問題；（3）在基于游戲的系統(tǒng)中解決提出的問題；（4）回顧反思：a. 從教師那里獲得更多的反饋；b. 獲得新的想法，并創(chuàng)造更多的問題．他們以92名小學(xué)生為研究對象進行實驗研究，并比較他們在問題提出方面的表現(xiàn)．通過分析，他們發(fā)現(xiàn)該問題提出環(huán)節(jié)可以鼓勵學(xué)生在運用原有數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上不斷改進自己的問題提出表現(xiàn)，幫助學(xué)生充分利用他們所遇到的每一個學(xué)習(xí)機會，為學(xué)生提升自己的問題提出能力提供了更有效的學(xué)習(xí)空間．同時，在這個過程的引導(dǎo)下，實驗組學(xué)生的課堂參與度明顯高于對照組．進一步地說，這個過程提供的豐富多樣的提出問題活動和解決問題活動，以及系統(tǒng)及時給予的反饋，都能有效地幫助學(xué)生保持學(xué)習(xí)的主動性和積極性．

Supianto和Hirashima提出了一個用于分析問題提出步驟的數(shù)字化系統(tǒng)．該系統(tǒng)要求主體根據(jù)要求（包含運算、情境、數(shù)字、目標、句子結(jié)構(gòu)），通過句子的組合來提出問題．具體的操作是這樣的[19]：首先，幾個簡單的句子提供給學(xué)習(xí)者；然后，學(xué)習(xí)者選擇必要的句子，并按照適當?shù)捻樞虬才旁谝黄?；最后，系統(tǒng)將每個單獨的操作記錄下來，作為問題提出活動的步驟．這些步驟代表了問題提出者的思維過程，而思維過程又反映了學(xué)習(xí)者對問題結(jié)構(gòu)的理解和誤解．與通過比較學(xué)生在前測和后測的問題提出表現(xiàn)的方法不同，這種過程性的分析是在學(xué)生發(fā)展的基礎(chǔ)上測試學(xué)生提出問題的水平．這種方法使簡單的、面向目標的問題提出任務(wù)成為可能，甚至對低年級及問題解決能力低的學(xué)生也是如此，同時它保持了作為一種可行的學(xué)習(xí)方法和在交互式學(xué)習(xí)環(huán)境中收集數(shù)據(jù)的實用方法的價值．

從以上研究及觀點可以看出，國內(nèi)外學(xué)者對數(shù)學(xué)問題提出環(huán)節(jié)的研究從本質(zhì)上講主要聚焦于兩點：（1）問題解決視角下問題提出的發(fā)生；（2）問題提出發(fā)生對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的影響．概括起來，問題提出可以發(fā)生在問題解決的任何階段．正如希爾弗所陳述：“問題提出可以發(fā)生在問題解決活動之前、之中和之后．”[19]另外，問題提出可能會多次出現(xiàn)在問題解決的過程中，因為學(xué)生通常不可能只通過一次這個過程就能解決問題，而是需要不斷地循環(huán)和來回．特別地，基于計算機系統(tǒng)的問題提出環(huán)節(jié)為探究學(xué)生的問題提出思維過程及促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了幫助．在探究學(xué)生的思維過程方面，可視化的數(shù)據(jù)為學(xué)生在提出數(shù)學(xué)問題過程中的思維變化，尤其是遇到的挑戰(zhàn)和困難提供了依據(jù)．在促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面，互動化的學(xué)習(xí)環(huán)境提高了學(xué)生的課堂參與度，使學(xué)生積極參與到問題提出和問題解決的活動中．這些對學(xué)生，尤其是問題解決能力較低的學(xué)生，在監(jiān)控自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、促進自我認知及維持學(xué)習(xí)興趣方面提供了幫助．總體看來，這些研究包含了3層含義：一是對問題提出環(huán)節(jié)的研究是非常有必要的；二是問題提出的過程與問題解決密不可分；三是明確的問題提出環(huán)節(jié)會促進學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．

2 心理學(xué)視角下問題提出的認知過程研究

在提出問題的過程中，不論是學(xué)生對信息的處理、表達等宏觀的認知過程，還是可能遇到的認知困難及出現(xiàn)的認知錯誤等微觀的認知過程，都極具差異性．為了識別這種差異性，不同研究者對問題提出者的認知水平進行了研究，主要有以下兩類．

2.1 宏觀的認知過程研究

根據(jù)問題提出者對給定情境中信息的不同處理方式，赫里斯圖（Christou）等學(xué)者提出了一個用于描述學(xué)生提出問題時認知思維的理論模型．該模型包括4個部分[20]：（1）編輯信息，以便不受任何限制地提出問題；（2）選擇信息，以便提出適合于特定答案的問題；（3）理解信息，以便從給定的方程或計算中提出問題；（4）轉(zhuǎn)換信息，以便從給定的圖形、圖表或表格中提出問題．為了探究該認知模型的有效性和適用性，赫里斯圖等研究者以143名六年級學(xué)生為研究對象，通過對應(yīng)于這4個過程的問題提出任務(wù)進行測試與驗證．他們將學(xué)生分為3類：一是只能完成理解型任務(wù)；二是既能完成理解型任務(wù)，也能完成轉(zhuǎn)換型任務(wù)；三是可以完成各種類型的任務(wù)．通過分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生最能成功完成的是需要進行信息理解的任務(wù)，其次是信息轉(zhuǎn)換的任務(wù)，而含有信息編輯與信息選擇的任務(wù)對他們來說則比較有難度．此外，該研究結(jié)果也表明，高成就的學(xué)生往往能夠在編輯和選擇的過程中表現(xiàn)出色，而問題解決能力低的學(xué)生則通常只能夠完成理解型任務(wù)和轉(zhuǎn)換型任務(wù)．這4個過程代表了學(xué)生思維的4種不同模式，揭示了學(xué)生在完成問題提出活動時的整個思維過程，包括問題提出的發(fā)生，以及問題提出的進行等．這個理論模型可以幫助研究者測量和分析學(xué)生問題提出能力的具體表現(xiàn)．

岡薩雷斯曾對21名初等教育專業(yè)的大學(xué)生和30名數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)生在提出數(shù)學(xué)問題過程中的信息處理方式進行過研究．他向被試呈現(xiàn)一張有關(guān)收入與納稅方面的餅形圖，要求他們利用圖中給定的數(shù)學(xué)信息提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，并根據(jù)學(xué)生對信息處理的方式將他們提出的問題進行分類．通過分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對信息源的處理方式有5種[21]：（1）直接利用數(shù)學(xué)情境中的已知信息；（2）修改已知情境中的數(shù)學(xué)信息；（3）對給定情境中的信息進行拓展；（4）自己補充新的信息；（5）信息不清楚，不處理．這些結(jié)果表明，不同的學(xué)生在提出問題的過程中有著不同的認知水平．

希爾弗和蔡金法（Silver & Cai）曾就學(xué)生提出一系列問題時的認知過程有過深入研究[22]．他們以509名六、七年級的學(xué)生為研究對象，要求被試根據(jù)已設(shè)置好的數(shù)學(xué)情境提出3個算術(shù)應(yīng)用題，并研究這3個問題之間的認知關(guān)系．通過分析發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生提出的這3個數(shù)學(xué)問題之間呈現(xiàn)出對稱反應(yīng)或鏈式反應(yīng)．其中，使用對稱反應(yīng)的學(xué)生主要是改變已知或提出的前一個問題的條件或?qū)ο蠖岢鰡栴}；使用鏈式反應(yīng)的學(xué)生主要是根據(jù)前一個問題的解決方案的信息來提出問題．這些結(jié)果表明，學(xué)生對給出的問題提出情境的信息會有一個明確的處理，但卻有著不同的處理方式，從而使得提出的問題具有多樣性．

周若虹和呂傳漢在對六年級學(xué)生的問題提出能力所進行的評價研究[10]中，曾就學(xué)生在提出問題過程中的信息處理有過探討．他們認為對學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題能力的評價，可視為對學(xué)生數(shù)學(xué)信息的理解能力、對數(shù)學(xué)信息的分析能力、對數(shù)學(xué)信息的綜合能力、對數(shù)學(xué)信息的質(zhì)疑能力、運用數(shù)學(xué)語言表達問題的能力的程度和水平的評價．在此基礎(chǔ)上，他們以學(xué)生對信息處理的次數(shù)為依據(jù)，建立了用于評價學(xué)生個體提出問題的定量評價標準．

概括地說，赫里斯圖等人的一般認知模式從本質(zhì)上描述了學(xué)生提出問題的過程，為探究學(xué)生在提出問題過程中的認知思維提供了一個可視化工具．這個模式可以直接用來設(shè)計特定類型（通過圖表、表格或符號等形式呈現(xiàn)）的問題提出任務(wù)，以測量學(xué)生在提出問題時的思維過程．此外，該模式還可以被應(yīng)用到不同的數(shù)學(xué)知識領(lǐng)域，比如代數(shù)、幾何等．岡薩雷斯的5種信息來源揭示了隱含于問題提出過程中的學(xué)生聯(lián)結(jié)自我已有知識、技能的方式及對已給情境結(jié)構(gòu)的理解．同時，這5種信息來源為劃分學(xué)生提出的數(shù)學(xué)問題提供了一種方法．相比之下，希爾弗和蔡金法的研究為分析學(xué)生提出多個問題時的認知處理提供了參考．在提出問題的過程中，學(xué)生對給定情境中的信息會有明確的處理，或針對原情境，或針對新提出的問題等．這些都反映出學(xué)生大腦對數(shù)學(xué)信息的加工過程具有連續(xù)性和多樣性．周若虹和呂傳漢從信息量化的視角對學(xué)生提出問題的認知過程進行分析．這種處理方式將學(xué)生提出問題的認知過程定量化，便于清晰、明確地做出觀察．該研究在問題提出能力的評價方面做出了貢獻．總體看來，這些研究主要關(guān)注兩個方面：一是學(xué)生在提出問題的過程中會有明確的信息處理方式；二是學(xué)生的認知水平具有差異性．

不同的學(xué)生在面對同一個數(shù)學(xué)情境時，會有不同的信息理解、分析、處理方式．正是這種顯著的差異性，才使得提出的問題具有多樣性．關(guān)于學(xué)習(xí)者所知道的和他們?nèi)绾嗡伎嫉男畔⒃蕉?，就可以為提高學(xué)習(xí)者的成功創(chuàng)造更多的機會[23]．因此，如何識別學(xué)生在提出問題過程中的認知思維，是探究問題提出本質(zhì)的必經(jīng)之路，也是未來研究努力的方向．

2.2 微觀的認知過程研究

Cemalettin和Tu?rul在對20名小學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)的大學(xué)生所進行的研究[24]中，曾要求被試提出一些與日常生活有關(guān)的問題，且這些問題能夠反映出一元一次方程或兩元一次方程組在等號、未知數(shù)、括號和運算等方程式組成部分的含義．通過對被試進行半結(jié)構(gòu)化訪談，研究者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在提出有關(guān)方程問題的過程中會面臨以下7種類型的困難：（1）將數(shù)學(xué)符號（運算和括號）錯誤地翻譯成問題陳述；（2）為未知項分配不切實際的數(shù)值；（3）通過改變方程結(jié)構(gòu)提出問題；（4）僅使用符號表示提出的問題；（5）未能建立部分—整體關(guān)系；（6）對方程組中的每個方程提出單獨的問題；（7）未能建立變量之間的關(guān)系．

此外，Cemalettin和Tu?rul還曾就學(xué)生在分數(shù)除法運算上的問題提出表現(xiàn)進行過研究[25]．他們以64名數(shù)學(xué)教育專業(yè)的大學(xué)生為研究對象，主要觀察學(xué)生在以下兩個方面的問題提出經(jīng)驗：（1）提出問題的過程中所遇到的困難；（2）產(chǎn)生困難的原因．通過分析發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在提出與分數(shù)除法運算相關(guān)的問題時會遇到以下7種困難：（1）單位上的混亂：不使用適合小數(shù)單位或使用的小數(shù)單位彼此不一致；（2）給小數(shù)賦予自然數(shù)的意義：將自然數(shù)的意義分配給小數(shù)；（3）使用比例提出問題：比較不同的單位和比較兩個小數(shù)（假設(shè)單位相同）；（4）不能建立部分—整體的關(guān)系：除法運算結(jié)束的時候，剩下的余數(shù)比除數(shù)大；（5）只除以除數(shù)的分母：除以自然數(shù)而不是除除數(shù)；（6）用乘法運算代替除法運算：除數(shù)與被除數(shù)相乘；（7）通過乘以除數(shù)的倒數(shù)來提出問題．而就其原因而言，學(xué)生對分數(shù)概念的錯誤理解是根本原因．

為了分析職前數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)問題提出的理解以及提出不同情境問題對他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的影響，Chapman以40名小學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)的大學(xué)生為研究對象展開了研究．他首先提出了9類相互獨立的問題提出任務(wù)[26]：（1）學(xué)生自己的選擇；（2）類似于給定的問題；（3）開放式問題；（4）有相似的解決方法；（5）與特定的數(shù)學(xué)概念相關(guān)；（6）通過修改已知問題；（7）用給定的條件重新描述給定的問題；（8）基于一個“病態(tài)式”的問題；（9）從給定的圖片衍生而來．在此基礎(chǔ)上，Chapman要求學(xué)生根據(jù)上述9類問題提出任務(wù)提出問題．通過分析，Chapman發(fā)現(xiàn)他們在提出一些開放式的問題、與一個特定的數(shù)學(xué)概念有關(guān)的問題、從給定的數(shù)學(xué)概念圖衍生而來的問題時遇到很大的困難．究其原因，這些任務(wù)與他們之前所積累的問題提出經(jīng)驗相沖突（主要提出封閉型的問題和有關(guān)算數(shù)運算的問題等）．另外，他們?nèi)狈?shù)學(xué)問題結(jié)構(gòu)及問題情境的考慮，因此，他們所提出的“文字問題”通常沒有太大的數(shù)學(xué)意義．Chapman的9類問題提出任務(wù)比較適合于沒有或有極少問題提出經(jīng)驗的問題提出者提出問題．

以上研究表明，不論是數(shù)學(xué)情境下的問題提出任務(wù)，還是其它類型的問題提出任務(wù)，它們都具有一定的難度，且這些難度具有差異性和特定性．比如，學(xué)生在提出關(guān)于分數(shù)除法運算的問題時遇到的困難，不一定會在提出與帶余除法相關(guān)的問題時出現(xiàn)，等等．概括地說，學(xué)生在提出問題過程中遇到的困難與問題提出任務(wù)的類型、涉及的數(shù)學(xué)知識等息息相關(guān)．這啟示教師或研究者在為學(xué)生選取問題提出任務(wù)時應(yīng)充分考慮任務(wù)的類型及任務(wù)中所包含數(shù)學(xué)信息的復(fù)雜度．而就產(chǎn)生這些困難的原因而言，學(xué)生對數(shù)學(xué)基本概念、基礎(chǔ)知識缺乏理解是本質(zhì)．因此，為了引導(dǎo)學(xué)生提出“好”的數(shù)學(xué)問題，教師在平時的教學(xué)中應(yīng)該注重學(xué)生對數(shù)學(xué)基本知識的掌握與理解．

3 結(jié)語

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生大膽質(zhì)疑、猜想，進而發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題，這不僅使學(xué)生的數(shù)學(xué)活動回歸到了人類數(shù)學(xué)活動的本來面目，而且也成為培養(yǎng)學(xué)生問題意識和創(chuàng)新意識的一種有效途徑[27]．問題提出不僅應(yīng)被看作是教學(xué)的目的，而且應(yīng)作為一種教學(xué)的手段[28]．對問題提出過程的探討以及學(xué)生問題提出能力的培養(yǎng)日益引起數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)教育研究者的關(guān)注．縱觀近30年的研究情況，可以發(fā)現(xiàn)，國內(nèi)外數(shù)學(xué)問題提出的過程性研究大致可以分為兩個方面：一是哲學(xué)視角下問題提出所經(jīng)歷的環(huán)節(jié)研究；二是心理學(xué)視角下問題提出的認知過程研究．國外對問題提出過程的研究理論建構(gòu)較為成熟，實證研究則注重學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，研究內(nèi)容廣泛，國內(nèi)對問題提出過程的研究應(yīng)在以下兩個方面做出改進．

3.1 關(guān)注哲學(xué)視角下的問題提出環(huán)節(jié)研究

問題提出教學(xué)的最終目的是要使學(xué)生能自如地提出數(shù)學(xué)問題．20世紀80年代以來，隨著美國“問題解決”口號的響起，人們逐漸認識到“問題提出”在課堂教學(xué)中的重要性．在接下來的幾十年里，人們對問題提出及相關(guān)思維技能作了大量的研究，其中提出問題的過程是歷來教育家和心理學(xué)家討論的重點．首先對問題提出的“過程”這一概念展開討論，然后在總結(jié)大量的問題提出研究文獻的觀點基礎(chǔ)上，將問題提出的過程性研究分為哲學(xué)視角下的問題提出所經(jīng)歷的環(huán)節(jié)研究和心理學(xué)視角下的問題提出的認知過程研究．兩者最大的不同在于，前者關(guān)心的是為達到“提問”這一目的而采取的一系列方法、程序或步驟等，后者則較關(guān)注學(xué)生在提出問題過程中對信息的處理方式及思維所遇到的困難等．就學(xué)生進行問題提出所經(jīng)歷的一系列環(huán)節(jié)而言，國內(nèi)外學(xué)者進行了大量的探索性研究：有基于教學(xué)實驗而確定的環(huán)節(jié)，有基于問題解決步驟而引申的環(huán)節(jié)，也有基于計算機系統(tǒng)而建立的環(huán)節(jié)．但不論是怎樣的途徑，這些環(huán)節(jié)都是建立在理論思辨和實踐描述相結(jié)合的基礎(chǔ)之上的，反映了人們實際提出數(shù)學(xué)問題的過程，應(yīng)被看作是有效的問題提出方法，具有一定的實踐意義．值得一提的是，問題提出的一系列環(huán)節(jié)有機地聯(lián)系起來，形成了問題提出的過程．但在問題提出的每一個環(huán)節(jié)都有可能會產(chǎn)生新的問題，因此，問題提出的過程是迂回曲折的，而不是線性發(fā)展的．

每一種環(huán)節(jié)形成的問題提出過程強調(diào)的側(cè)面和角度是不同的．實際生活中的問題提出和問題解決是綜合復(fù)雜的，需要從不同的側(cè)面和角度來分析．了解這些問題提出過程的環(huán)節(jié)，將有助于全面分析問題，從而確定相應(yīng)的教學(xué)方法，以便更好地培養(yǎng)學(xué)生提出問題的技能．因此，在中國“情境—問題”教學(xué)模式研究[29]已取得切實成功的基礎(chǔ)上，有必要對其它視野下的問題提出環(huán)節(jié)進行思考．比如：（1）國外的相關(guān)理論環(huán)節(jié)能否對中國已有的經(jīng)驗產(chǎn)生作用？（2）如何利用這些環(huán)節(jié)衍生出適合中國數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的相關(guān)教學(xué)策略？（3）這些環(huán)節(jié)對評價學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，如參與程度、合作交流意識、提出問題的深度等，有什么幫助？對這些問題的思考與關(guān)注可以幫助教師及研究者從新的角度看待問題提出，揭示問題提出的內(nèi)在規(guī)律和本質(zhì)特征，從而為實際的教學(xué)提供服務(wù)．

3.2 加強問題提出的認知過程研究尤其是微觀的認知過程研究

盡管問題提出的重要性及其對數(shù)學(xué)概念理解的貢獻，人們對構(gòu)成問題提出的基本思維過程的性質(zhì)以及學(xué)生提出問題的分析和評估方案卻知之甚少．為了提高學(xué)生提出問題的學(xué)習(xí)能力，了解學(xué)生思維和推理的發(fā)展狀況是非常重要的．從上述研究成果看，國外關(guān)于問題提出認知過程的研究涉及到宏觀和微觀兩個方面．在宏觀的認知過程研究方面，赫里斯圖等人的一般認知模式對學(xué)生的思維和他們在產(chǎn)生問題序列時所使用的過程進行了明確地分析；希爾弗和蔡金法從學(xué)生問題提出能力差異的視角對問題提出的認知過程進行了探究；岡薩雷斯借助一定的數(shù)學(xué)任務(wù)研究了學(xué)生對情境中信息源的處理方式．在微觀的認知過程研究方面，國外學(xué)者基于不同的知識主題設(shè)置任務(wù)，如分數(shù)除法、方程等，以考察學(xué)生對不同數(shù)學(xué)概念的掌握和理解情況．這些研究結(jié)果表明，學(xué)生在提出不同數(shù)學(xué)問題的過程中會遇到特定的挑戰(zhàn)和困難．

在國內(nèi)，雖然呂傳漢和周若虹在研究學(xué)生問題提出能力的評價問題時，曾對學(xué)生在提出問題過程中的信息處理方式有所描述[10]，但是卻缺乏對學(xué)生思維過程的本質(zhì)性與整體性分析，研究結(jié)果難免具有局限性，使人們對問題提出的認知過程仍然沒有一個系統(tǒng)性的理解．從整體上看，國內(nèi)關(guān)于問題提出的認知過程研究仍然處于較匱乏的階段，尤其是對學(xué)生處理相關(guān)知識主題上的問題提出信息時所遇到的思維困難及可能出現(xiàn)的認知錯誤的分析缺乏關(guān)注．而Elif早期的研究結(jié)果也表明：盡管問題提出在不同的知識領(lǐng)域內(nèi)是獨立的，但學(xué)生基于不同知識主題提出數(shù)學(xué)問題的過程仍然具有差異性，如學(xué)生在提出分數(shù)問題時相對有困難[30]．究其原因，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)概念的不同理解是本質(zhì)．就從目前的研究成果看，國內(nèi)還沒有一個專門針對問題提出在某一個數(shù)學(xué)主題上的認知過程所進行的研究．雖然也有少數(shù)研究者，如呂傳漢、汪秉彝和鄭雪靜在研究學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題能力的評價問題時，曾對學(xué)生在代數(shù)領(lǐng)域和圖形領(lǐng)域所提出的數(shù)學(xué)問題的類型和水平有過研究[31–43]，但是卻缺乏針對性和系統(tǒng)性，缺乏對學(xué)生在提出問題過程中的思維特征及數(shù)學(xué)理解的分析．因此，在國內(nèi)問題提出研究已取得大量研究成果的基礎(chǔ)上，有必要對問題提出的認知過程，尤其是微觀的認知過程進行深入研究．實際上，這不僅為教師掌握學(xué)生對不同數(shù)學(xué)知識的理解情況提供了參考，也為落實問題提出在各知識領(lǐng)域的實踐教學(xué)提供了指導(dǎo)．

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A Review of the Research on the Processes of Mathematical Problem Posing

SHANG Ya-ming, XIONG Bin

(Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

Problem posing is the core of mathematics teaching and an indispensable part of the mathematics curriculum. The process of problem posing and the cultivation of students’ problem-posing ability have attracted increasing attention from mathematics teachers and mathematics education researchers. Research on the process of mathematical problem posing at home and abroad can be roughly divided into two categories: The first links research on problem posing from the perspective of philosophy, whereas the second consists of cognitive process research on problem posing from the perspective of psychology. Foreign studies on the problem-posing process are more mature in their theoretical construction, whereas empirical studies focus on students’ mathematical understanding and have a wide range of research content. Domestic studies on the problem-posing process should be improved in the following two ways: They should focus on the research of problem posing from the perspective of philosophy, and the study of the cognitive process should be strengthened, especially the micro-cognitive process.

problem posing; mathematical problem posing; the process of problem posing; review

G40–032

A

1004–9894（2021）05–0066–06

尚亞明，熊斌．數(shù)學(xué)問題提出的過程性研究述評[J]．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2021，30（5）：66-71．

2021–05–09

上海市核心數(shù)學(xué)與實踐重點實驗室課題——數(shù)學(xué)實踐（18dz2271000）

尚亞明（1991—），女，河南南陽人，博士生，主要從事數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、張楠]