李家萌, 陳會(huì)文, 肖 可, 陽(yáng) 晃, 許小鋒

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421001)

0 引 言

考慮下列非線(xiàn)性四階橢圓型方程：

(1)

其中w∈C(RN×R,R),V∈C(RN,R)。

大多數(shù)四階橢圓型方程是在RN中的有界域Ω上研究的。例如，文獻(xiàn)[1-3]。文獻(xiàn)[2]利用山路引理得出以下問(wèn)題的存在性結(jié)果。

(2)

其中Ω?RN(N>4),c∈R。Ω是一個(gè)光滑有界區(qū)域。

文獻(xiàn)[4-7]研究了方程(2)的多個(gè)非平凡解和變號(hào)解。文獻(xiàn)[7]中，J.W.Zhou和X.Wu研究了變號(hào)解的存在性和多重性。文獻(xiàn)[8]中W.Wang等利用鏈接方法得到了至少三個(gè)非平凡解。文獻(xiàn)[9]中,Y.Yang和A.Zhang研究了正解、負(fù)解和變號(hào)解的存在性。在文獻(xiàn)[10]中，Y.L.Yin和X.Wu研究了方程(1)的高能解的兩個(gè)存在性結(jié)果。在上述文獻(xiàn)的啟發(fā)下，本文運(yùn)用臨界點(diǎn)理論研究問(wèn)題(1)的非平凡解的存在性。

給出如下假設(shè)條件：

(F0)w(x,u)=λα(x)g(u)+μβ(x)f(u);

(F1)G,F∈C1(RN,R)，以及G(0)=F(0)=0;

(F5)存在ξ∈R，使得G(ξ)>0;

(F6)對(duì)任意的u∈R，p∈(2,2*)有

|f(u)|≤a1(|u|+|u|p),

定理1假設(shè)(V1),(F0)-(F6)成立,那么存在λ1>0使得對(duì)每一個(gè)λ>λ1，存在e>0使得對(duì)每一個(gè)μ∈[0,e]，系統(tǒng)(1)至少存在兩個(gè)非平凡解。

1 預(yù)備知識(shí)

令

那么E是一個(gè)勒貝格空間，內(nèi)積定義為

并且范數(shù)‖u‖E=(u,u)1/2。E*是E的對(duì)偶空間。因?yàn)閷?duì)任意的r∈[2,2*)，E是連續(xù)嵌入到Lr(RN)，所以對(duì)任意的u∈E，存在τr>0使得

‖u‖r≤τr‖u‖E

(3)

引理1(見(jiàn)文獻(xiàn)[11])假設(shè)I滿(mǎn)足條件(V1)，那么對(duì)任意的r∈[2,2*)，E是緊嵌入Lr(RN)。

對(duì)任意的u∈E,定義

(4)

引理2假設(shè)(V1)和(F6)成立，那么I∈C1(E,R)且有對(duì)任意的u,v∈E有

(5)

此外，H′,K′:E→E*是緊致的，并且I在E的臨界點(diǎn)u是系統(tǒng)(1)的解。

證明 為了證明I∈C1(E,R)和式(5)，可以充分證明H∈C1(E,R)，K∈C1(E,R)以及對(duì)任意的u,v∈E有

和

首先，證明H′的存在性。

由(F3)和(F4)，則對(duì)任意的ε>0，存在η(ε)>0使得

|g(u)|≤ε|u|+η(ε)|u|2

(6)

以及

其中u∈R。

由式(6)和H?lder不等式，則對(duì)任意u,v∈E和δ∈[0,1]，得到

ε|α||u+δv|2|v|2+η(ε)|α|×

ε|α||u+δv|2|v|2+η(ε)|α||u+

(7)

由中值定理和勒貝格控制收斂定理，則對(duì)任意的u,v∈E，和一些ρ∈(0,1)有

此外，由式(3)，式(6)和H?lder不等式，則對(duì)任意的u,v∈E，有

可見(jiàn)H′(u)是線(xiàn)性且有界的，即H′(u)∈E*。

接下來(lái)，證明H′:E→E*是弱連續(xù)的。

un→ua.e.x∈RN

(8)

那么

g(u)||v|dx

由上界的定義，則存在v0∈E使得

‖v0‖E=1,

由式(6)和H?lder不等式得出

+∞

(9)

則由勒貝格控制收斂定理和式(8)，得到

產(chǎn)生矛盾。

當(dāng)n→∞時(shí)，‖H′(un)-H′(u)‖E*→0，則H′是弱連續(xù)的。因此，H′是連續(xù)的，并且H∈C1(E,R)。此外，由于E是一個(gè)希爾伯特空間，所以H′的緊性來(lái)自于它的弱連續(xù)性。類(lèi)似地，我們可以證明K∈C1(E,R)和K′是緊致的。根據(jù)式(4)和式(5)，我們有I∈C1(E,R)。

眾所周知,系統(tǒng)(1)是I:E→R的歐拉-拉格朗日方程，因此I在E中的臨界點(diǎn)u是系統(tǒng)(1)的弱解，即對(duì)任意的v∈E有

引理3(見(jiàn)文獻(xiàn)[12])假設(shè)X是具有可分自反的Banach空間;設(shè)Φ:X→R是強(qiáng)制的、弱下半連續(xù)的C1泛函，屬于ΓX，且在X上任意有界子集上都有界，它的導(dǎo)數(shù)在X*上存在一個(gè)連續(xù)的逆，J:X→R是一個(gè)存在緊導(dǎo)數(shù)的C1泛函。假設(shè)Φ存在一個(gè)嚴(yán)格局部極小值v0，且Φ(v0)=J(v0)=0。最后，設(shè)

且α1<α2。

Φ′(v)=λJ′(v)+μψ′(v)

在X中至少存在三個(gè)解且范數(shù)都小于N1。

引理4Φ是強(qiáng)制的，弱下半連續(xù)的，在E的每個(gè)有界子集上有界，以及它的導(dǎo)數(shù)在E*上存在一個(gè)連續(xù)的逆。

則Φ是弱下半連續(xù)的。此外，易證Φ在E的每個(gè)有界子集上有界。

還需要證明Φ′存在一個(gè)連續(xù)逆。對(duì)每一個(gè)u∈E{0}，由式(5)，有

所以

也就是說(shuō)Φ′是強(qiáng)制的。對(duì)任意的u,v∈E，由式(5)有

所以Φ′是一致單調(diào)的，由文獻(xiàn)[13]中Theorem 26.A(d)，得到Φ′存在一個(gè)連續(xù)逆E*。

2 定理的證明

證明由(F1),(F3),(F4)，則對(duì)任意的ε>0，u∈R,存在aε>0使得

(10)

由式(3)和式(10)，則對(duì)任意的u∈E有

因此,對(duì)每一個(gè)u∈E{0}，有

(11)

(12)

其中q被給定在(F2)中。由(F2)、式(11)和式(12)得到

因此，對(duì)任意的u∈E有

對(duì)每一個(gè)u≠0，得到

證明 對(duì)任意的0≤r1≤r2，令B[r1,r2]={x∈RN:r1≤|x|≤r2}是一個(gè)半徑為r1和r2的閉環(huán)。因?yàn)棣痢蔐∞(RN,R)是α≥0且α≠0的徑向?qū)ΨQ(chēng)函數(shù),因此存在實(shí)數(shù)R>r≥0且α0>0使得

由(F5)，令ξ∈R,對(duì)于σ∈(0,1)，定義函數(shù)uσ∈E使得

(a)suppuσ?B[(r-(1-σ)(R-r))+,R];

(b)對(duì)任意的x∈B[r,r+σ(R-r)]有uσ(x)=ξ;

(c)‖uσ‖∞≤|ξ|，

對(duì)t∈R，定義t+=max(0,t),

所以當(dāng)σ無(wú)限接近于1時(shí)，式(13),式(14)的右邊為正的。因此

證明 由(F2)，得

證畢。

證明 顯然，E是可分的，自反的以及一致凸的Banach空間。由引理1～引理2，引理4～引理7，得到Φ,Η,Κ滿(mǎn)足引理3的所有條件。因此,對(duì)每一個(gè)λ>λ1，存在e>0使得對(duì)每一個(gè)μ∈[0,e]，I在E中至少存在三個(gè)臨界點(diǎn)。易知0是系統(tǒng)(1)的解。因此，系統(tǒng)(1)至少存在兩個(gè)非平凡解。