唐俊杰,劉宏亮,歐陽(yáng)自根,彭宇睿

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽(yáng) 421001)

0 引 言

近年來(lái),隨著核能的利用效率不斷提高,應(yīng)用的范圍不斷增加,因放射性物質(zhì)泄露或意外丟失而引發(fā)的事故也逐漸增長(zhǎng)[1]。放射性物質(zhì)所產(chǎn)生的輻射可對(duì)人體造成傷害,并易引發(fā)白血病、癌癥等疾病[2-3]。因此,當(dāng)事故發(fā)生時(shí),最重要便是對(duì)泄漏或遺失的放射性物質(zhì)進(jìn)行搜尋并實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè),防止進(jìn)一步擴(kuò)散。而目前在放射性物質(zhì)的搜尋監(jiān)測(cè)方面,主要的辦法仍為人工搜尋監(jiān)測(cè),即采用專業(yè)的搜尋人員持檢測(cè)設(shè)備對(duì)可疑區(qū)域進(jìn)行拉網(wǎng)式搜索,這種辦法不僅效率較低,尤其易對(duì)搜尋人員造成傷害。因此,需采取一種安全、高效的方法對(duì)泄漏或丟失的放射性物質(zhì)進(jìn)行搜尋監(jiān)測(cè)。

目前已有許多學(xué)者已做出一些非常有建設(shè)性的工作,如Z.Liu等人[4]提出了一種針對(duì)城市環(huán)境的搜尋算法對(duì)檢測(cè)器進(jìn)行導(dǎo)航,與傳統(tǒng)搜尋方法相比可大幅度縮短搜索時(shí)間。S.Kobayashi等人[5]設(shè)計(jì)了一種車載輻射檢測(cè)系統(tǒng),可快速對(duì)大面積區(qū)域進(jìn)行檢測(cè),有著較高的精確度。J.Y.Jiang等人[6]通過(guò)使用攜帶輻射檢測(cè)設(shè)備的直升機(jī),采取空中懸停的方式為放射性物質(zhì)污染區(qū)域繪制輻射分布圖,并在福島事故中驗(yàn)證了方案的有效性。Tomas等人[7]開發(fā)出一種自主機(jī)器人探測(cè)系統(tǒng),通過(guò)檢測(cè)到的輻射特征自動(dòng)操控地面無(wú)人車對(duì)輻射源進(jìn)行定位。

而在某些地形復(fù)雜的區(qū)域,使用多智能體編隊(duì)搜尋放射性物質(zhì)有著不可替代的優(yōu)勢(shì)。如在山區(qū)或城市建筑群,較于人工搜尋或車載檢測(cè)系統(tǒng),多智能體或飛行器編隊(duì)搜尋有著高效、適用性強(qiáng)等特點(diǎn)。目前已有一些研究成果,如P.Gong等人[8]開發(fā)出一種無(wú)人機(jī)輻射檢測(cè)系統(tǒng),使用專門的源定位算法對(duì)輻射源進(jìn)行實(shí)時(shí)定位。S.Zhu等人[9]采用領(lǐng)導(dǎo)跟隨的策略對(duì)具有輸入約束的無(wú)人機(jī)組進(jìn)行編隊(duì),對(duì)未知的移動(dòng)輻射源進(jìn)行搜尋。B.Li等人[10]考慮了使用多旋翼無(wú)人機(jī)對(duì)輻射源進(jìn)行搜索,針對(duì)不同的搜索場(chǎng)景設(shè)計(jì)了三種不同的搜索算法,并進(jìn)行了模擬驗(yàn)證,具有成本低,精確度高等特點(diǎn)。J.Han等人[11]將編隊(duì)控制算法與輪廓映射策略相結(jié)合,以遞減半徑的圓形或方形環(huán)來(lái)對(duì)無(wú)人機(jī)組進(jìn)行編隊(duì),實(shí)現(xiàn)通過(guò)多個(gè)無(wú)人機(jī)編隊(duì)同時(shí)進(jìn)行輻射源搜索與輻射信號(hào)場(chǎng)的輪廓映射。但目前大部分研究者僅聚集于輻射源搜尋,并未解決對(duì)輻射源實(shí)時(shí)跟蹤監(jiān)測(cè)問(wèn)題,尤其是多個(gè)的動(dòng)態(tài)輻射源。

受文獻(xiàn)[12-13]啟發(fā),本文設(shè)計(jì)了三個(gè)分布式估算器,分別對(duì)智能體極半徑、極角以及移動(dòng)輻射源的幾何中心進(jìn)行估計(jì),利用估計(jì)值為智能體設(shè)計(jì)控制協(xié)議。并使用一種新的方法證得多智能體系統(tǒng)將在有限時(shí)間內(nèi)對(duì)移動(dòng)輻射源進(jìn)行環(huán)繞跟蹤。最后,通過(guò)示例驗(yàn)證了控制方案的準(zhǔn)確性。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 符號(hào)說(shuō)明

符號(hào)N*,R+,Rn,Rn×m分別表示正整數(shù)、正實(shí)數(shù)、n維實(shí)向量和n×m維實(shí)矩陣的集合。記符號(hào)1d為所有元素都為1的d行1列的實(shí)向量。

1.2 圖論

智能體之間的信息交互可以用無(wú)向圖G=(V,E)來(lái)表示,其中V={v1,v2,…,vn}表示圖G的節(jié)點(diǎn)集,節(jié)點(diǎn)vi表示智能體i;E={(vi,vj)}表示圖G的邊集,邊(vi,vj)表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)與第j個(gè)節(jié)點(diǎn)能與彼此交互信息。節(jié)點(diǎn)i的鄰居集定義為Ni={vj∈V:(vi,vj)∈E}。A=[aij]n×n為圖G的加權(quán)鄰接矩陣,A∈Rn×n,其中aij表示節(jié)點(diǎn)i到節(jié)點(diǎn)j之間邊的權(quán)值。當(dāng)(vi,vj)∈E時(shí),aij=aji>0,否則aij=0,并假設(shè)智能體本身不存在自循環(huán),即aii=0。圖G的Laplacian矩陣定義為L(zhǎng)(A)=[lij]n×n,其中

2 問(wèn)題表述

本文中所描述的多智能體系統(tǒng)由n個(gè)智能體與m個(gè)移動(dòng)輻射源組成,智能體i的動(dòng)力學(xué)行為用以下方程表示:

(1)

(2)

(3)

圖1 直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)換Fig.1 Rectangular coordinate and polar coordinate conversion

(4)

本文的目標(biāo)是設(shè)計(jì)一個(gè)分布式有限時(shí)間控制協(xié)議,使得所有智能體在有限時(shí)間內(nèi)對(duì)所有移動(dòng)輻射源形成一個(gè)環(huán)繞控制圈,將其包圍在控制圈內(nèi)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè),并且所有智能體在環(huán)繞軌道上實(shí)現(xiàn)均勻分布。

定義1：若存在某一有限時(shí)間T,使得系統(tǒng)(1)里的智能體滿足

(5)

圖2 4個(gè)智能體環(huán)繞跟蹤2個(gè)輻射源Fig.2 Four agents surround and track two radiation sources

引理1[14]:若β>1,0<α≤1,a1,a2,…,aN≥0,有下列不等式成立:

引理2[15]:若標(biāo)量系統(tǒng):

其中n,m,p,q是正整數(shù),并且α,β,γ>0,m>n,q>p。則系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間全局穩(wěn)定,其穩(wěn)定時(shí)間的上界可估計(jì)為

引理3[15]:無(wú)向連通圖G的拉普拉斯矩陣L(A)的最小非零特征值稱為代數(shù)連通度,用λ2(A)表示,該值大于零且滿足

xTL(A)x≥λ2(A)xTx,?x∈Rn。

引理4[16]:設(shè){λi(t)/i=1,2,…,n}與{τi(t)/i=1,2,…,n}為給定的兩個(gè)函數(shù)集,A=[aij]∈Rn×n為一個(gè)給定的矩陣,若aij=aji,則

特別地,若λi(t)=τi(t),i=1,2,…,n,則

若λi(t)=1,i=1,2,…,n,則

3 主要結(jié)果

為使多智能體系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)對(duì)移動(dòng)輻射源形成環(huán)繞跟蹤,本文給出以下假設(shè)：

首先，為獲得移動(dòng)輻射源的幾何中心，構(gòu)建了下面分布式估算器:

(6)

然后通過(guò)構(gòu)建分布式估算器(7)對(duì)環(huán)繞半徑進(jìn)行推斷:

(7)

這里的βi1,βi2,βi3,為設(shè)計(jì)參數(shù)且均為正實(shí)數(shù),zik(t)=‖rk(t)-ci(t)‖,ρiM(t)為智能體i對(duì)d(t)的第M次估計(jì)值,若M預(yù)先無(wú)定義,則M=n。

最后構(gòu)建了下面分布式估算器,對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)各智能體的極角進(jìn)行估算:

(8)

這里的δi1,δi2,δi3為設(shè)計(jì)參數(shù)且均為正實(shí)數(shù)。

因此,可設(shè)計(jì)智能體的控制協(xié)議為:

(9)

證明:設(shè)Lyapunov函數(shù)

(10)

對(duì)V1(t)關(guān)于t求導(dǎo)得

由引理4可得

(11)

根據(jù)引理1可得出

(12)

同理

(13)

根據(jù)假設(shè)1及假設(shè)2可得

(n-1)r*s(t)。

(14)

最后可得出

(15)

結(jié)合(11),(12),(13),(14)有

根據(jù)引理2可知存在一個(gè)有限時(shí)間T1>0,使得

且

于是有

且

ci(t)=cj(t),?t≥T1。

其中

對(duì)分布式估算器(6)的第三個(gè)等式從1到n求和,得出

得證。

(16)

因此

根據(jù)引理2可知存在一個(gè)有限時(shí)間T21>0,使得

其中

其中

由于圖G是連通的,可知存在一個(gè)有限時(shí)間T2M,當(dāng)t>T2M時(shí)有

這里的T2=T2M,由于li(t)=γρiM(t),即證得

且[li(t)-γd(t)]=0,?t≥T2。

即當(dāng)t≥T3時(shí),智能體實(shí)現(xiàn)均勻分布且具有相同的角速度,其中

(17)

(18)

由引理1,引理4,可得

δi3[e(t)TL(A)e(t)]。

由引理3可得

e(t)TL(A1)e(t)≥λ2[L(A1)]e(t)Te(t)=

2λ2[L(A1)]V3(t)

e(t)TL(A2)e(t)≥λ2[L(A2)]e(t)Te(t)=

2λ2[L(A2)]V3(t)

e(t)TL(A)e(t)≥λ2[L(A)]e(t)Te(t)=

2λ2[L(A)]V3(t)

則

由引理2可知,存在一個(gè)T3>0,當(dāng)t≥T3時(shí)有

于是有

且?i(t)=?j(t),?t≥T3。

其中

由?i(t)的定義可知

得證。

定理1:若多智能體系統(tǒng)(1)滿足假設(shè)1與假設(shè)2,根據(jù)分布式估算器(6)、(7)、(8)以及控制協(xié)議(9),當(dāng)αi1>(n-1)r*,βi1>2r*,存在一個(gè)有限時(shí)間T=max {T2,T3},當(dāng)t>T,多智能體系統(tǒng)穩(wěn)定,各智能體對(duì)所有輻射源實(shí)現(xiàn)環(huán)繞跟蹤并在軌道均勻分布。

證明:由引理5可得

由引理6可知

[li(t)-γd(t)]=0,?t≥T2。

由引理7得出

得證。

4 仿真

取一個(gè)具有4個(gè)移動(dòng)輻射源(T1-T4),6個(gè)智能體(A1-A6)的多智能體系統(tǒng)實(shí)例,連通情況如圖3所示。

圖3 多智能體系統(tǒng)的通信拓?fù)銯ig.3 Communication topology of multi-agent system

設(shè)智能體的初始位置為x1(0)=[6,-1]T,x2(0)=[-3,2]T,x3(0)=[5,-4]T,x4(0)=[2,-5]T,x5(0)=[-4,3]T,x6(0)=[-6,5]T。

同時(shí),設(shè)移動(dòng)輻射源的動(dòng)力學(xué)方程為:

r1(t)=[-0.5e-t-cost,0.5e-t+sint]T,

r2(t)=[0.5e-t-cost,0.5e-t-sint]T,

r3(t)=[-0.5e-t+cost,-0.5e-t+sint]T,

r4(t)=[0.5e-t+cost,-0.5e-t-sint]T。

取期望角速度ω(t)=1,設(shè)計(jì)參數(shù)αi1=6,αi2=1,αi3=1,βi1=5,βi2=1,βi3=1,δi1=1,δi2=1,δi3=1,γ=2。

由圖4與圖5可知,移動(dòng)輻射源的幾何中心的估算值在大約0.5 s時(shí)收斂到實(shí)際值;由圖6可知,各智能體大約在1 s時(shí)實(shí)現(xiàn)均勻分布且具有相同的角速度,每個(gè)智能體之間的間隔為0.332π;由圖7可知,各智能體的環(huán)繞半徑大約在0.7 s時(shí)收斂一致,并于2.5 s時(shí)達(dá)到期望值。由圖8～圖11可知,在控制協(xié)議9的控制下,多智能體系統(tǒng)在大約4 s時(shí)對(duì)移動(dòng)輻射源實(shí)現(xiàn)環(huán)繞跟蹤,并保持穩(wěn)定。

圖4 輻射源幾何中心橫坐標(biāo)估計(jì)值Fig.4 Estimated value of the abscissa of the geometric center

圖5 輻射源幾何中心縱坐標(biāo)估計(jì)值Fig.5 Estimated value of ordinate of geometric center

圖6 智能體極角估計(jì)值Fig.6 Estimation of the polar angle of the agent

圖7 智能體環(huán)繞半徑估計(jì)值Fig.7 Estimation of the circle radius of the agent

圖8 2 s時(shí)智能體對(duì)輻射源的環(huán)繞跟蹤Fig.8 Surround tracking of the radiation source by the agent at 2 s

圖9 4 s時(shí)智能體對(duì)輻射源的環(huán)繞跟蹤Fig.9 Surround tracking of the radiation source by the agent at 4 s

圖10 6 s時(shí)智能體對(duì)輻射源的環(huán)繞跟蹤Fig.10 Surround tracking of the radiation source by the agent at 6 s

圖11 8 s時(shí)智能體對(duì)輻射源的環(huán)繞跟蹤Fig.11 Surround tracking of the radiation source by the agent at 8 s

5 結(jié) 論

本文對(duì)多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間環(huán)繞跟蹤作出了研究,分別通過(guò)設(shè)計(jì)三個(gè)不同的分布式估算器,估算出智能體的環(huán)繞半徑、極角、以及移動(dòng)放射性輻射源的幾何中心的精確值,根據(jù)估算值設(shè)計(jì)一個(gè)分布式控制協(xié)議,以滿足環(huán)繞跟蹤的條件。最后,通過(guò)穩(wěn)定性定理證得對(duì)所有移動(dòng)輻射源的環(huán)繞跟蹤將在有限時(shí)間內(nèi)完成,解決了多智能體系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)對(duì)多個(gè)動(dòng)態(tài)輻射源的環(huán)繞跟蹤問(wèn)題,較于人力搜尋監(jiān)測(cè)有著安全性高、適用性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),有很強(qiáng)的實(shí)際意義。