黃衛(wèi)華

（文山學(xué)院 人工智能學(xué)院，云南 文山 663099）

合同變換在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用廣泛，是物體運(yùn)動(dòng)變化中的一種簡(jiǎn)單形式，也為生活中的圖案設(shè)計(jì)打下基礎(chǔ)。合同變換的應(yīng)用在初等幾何變換中有著舉足輕重的地位。利用合同變換解決初等幾何問題是一種必不可少且行之有效的方法。一些所給條件較少，且比較分散的初等幾何問題的證明和求解往往比較困難，合理運(yùn)用合同變換可以把分散的條件集中起來(lái)，觀察變換前后的圖形，發(fā)現(xiàn)原圖中隱藏的關(guān)系，能為順利解題創(chuàng)造條件，從而起到事半功倍的效果。

鄭群在文獻(xiàn)[1]中論述了合同變換的性質(zhì)及解題方法；葉述金[2]闡述了合同變換思想在解平面幾何題中的優(yōu)勢(shì)；中學(xué)幾何教學(xué)離不開初等幾何變換[3-5]，常常借助合同變換證明、求解幾何問題；劉清泉和董小平等學(xué)者詳列了三種合同變換在幾何證題中的運(yùn)用[6-7]；幾何證明大多需要添加輔助線，利用輔助線可以得到清晰的思路[8]；平移和旋轉(zhuǎn)變換的證明題較多且難，把握解題思路和有效方法有利于問題的解決[9-11]；隨著新課標(biāo)改革，合同變換的地位變得愈發(fā)明顯，在中學(xué)教學(xué)中[12-13]實(shí)施新的教學(xué)方法，離不開變換思想的研究[14-15]；研究依托于大量的習(xí)題，并從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律[16-17]。這些學(xué)者從合同變換的性質(zhì)出發(fā)，分析總結(jié)了合同變換在初等幾何問題中的解題技巧和方法運(yùn)用。

合同變換有很多種，本文主要討論利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸反射（軸對(duì)稱）這三種合同變換求解或證明初等幾何問題。

1 平移變換

1.1 定義和性質(zhì)

定義：將圖形F上的所有點(diǎn)都按一定的方向l→（平移方向）移動(dòng)一個(gè)相同的距離|l→|（平移距離），移動(dòng)后的點(diǎn)構(gòu)成圖形F′，圖形F到圖形F′的變換T稱為平移變換，簡(jiǎn)稱平移。 記為

性質(zhì)：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線平行且等于平移向量；（2）對(duì)應(yīng)線段平行且相等；（3）對(duì)應(yīng)角相等，且角的兩邊同向平行；（4）平移變換不改變圖形的合同、結(jié)合、順序性。

1.2 例題分析

例1 如圖1，在矩形ABCD內(nèi)取點(diǎn)M，證明：存在一個(gè)四邊形，它的對(duì)角線互相垂直且長(zhǎng)度等于AB和BC，而邊長(zhǎng)分別等于AM、BM、CM和DM。

圖 1

分析：這是一個(gè)存在性問題，關(guān)鍵是設(shè)法構(gòu)造一個(gè)符合條件的四邊形。而平移不改變線段的長(zhǎng)度且保持方向，考慮用平移將6條線段集中起來(lái)。

證 明：，則因?yàn)锳B⊥BC，所以故四邊形BMCM′即為所求。

例2如圖2，在“風(fēng)車三角形”中，AA′=BB′=CC′=2。 求證：

圖 2

分析：題中三條已知線段相交于一點(diǎn)O，通過(guò)平移變換，可以集中在同一個(gè)三角形中，從而使得分散的條件集中，題目迎刃而解。

證明：如圖3，將由知R，Q，P三點(diǎn)共線。又因?yàn)镺P=C′C=2，OR=B′B=2，RP=A′A=2，所以ΔRPO是邊長(zhǎng)為2的正三角形。即

圖 3

2 旋轉(zhuǎn)變換

2.1 定義和性質(zhì)

定義1：將圖形F上的所有點(diǎn)都繞平面上的一個(gè)定點(diǎn)O（旋轉(zhuǎn)中心）旋轉(zhuǎn)一個(gè)相同的角度θ（旋轉(zhuǎn)角），旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)構(gòu)成圖形F′，圖形F到圖形F′的變換R稱為旋轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)稱旋轉(zhuǎn)。 記為F′。 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，θ取正值，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，θ取負(fù)值。

性質(zhì)1：（1）圖形F與F′是全等圖形；（2）結(jié)合性、順序性是旋轉(zhuǎn)變換下的不變性；（3）對(duì)應(yīng)線段相等，且夾角為θ（有向角），對(duì)應(yīng)角相等；（4）旋轉(zhuǎn)中心O與每一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段相等，且夾角為θ；（5）旋轉(zhuǎn)由中心與一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)完全確定。

定義2：將圖形F上的所有點(diǎn)都變?yōu)殛P(guān)于平面上的一個(gè)定點(diǎn)O（對(duì)稱中心）的對(duì)稱點(diǎn)，變換后的點(diǎn)構(gòu)成圖形F′，圖形F到圖形F′的變換稱為中心對(duì)稱變換，簡(jiǎn)稱中心對(duì)稱。

性質(zhì)2：（1）對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線過(guò)對(duì)稱中心O，且被對(duì)稱中心O平分；（2）對(duì)應(yīng)線段相等，且反向平行或共線；（3）對(duì)應(yīng)角相等，且角的對(duì)應(yīng)邊反向平行。

2.2 例題分析

例3如圖4，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是3∶4∶5。求以PA，PB，PC為邊的三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小(從小到大)之比。

圖 4

分析：條件過(guò)于分散，設(shè)法集中起來(lái)以便發(fā)現(xiàn)聯(lián)系，可做旋轉(zhuǎn)變換。

故以PA，PB，PC為邊的三角形的三個(gè)內(nèi)角∠PP′C∶∠P′PC∶∠PCP′= 30°∶60°∶90°= 1∶2∶3。

小結(jié)：借助于60°的旋轉(zhuǎn)變換，將Y型線段組轉(zhuǎn)化為三角形的三條邊，通過(guò)解三角形解決該類幾何問題。

例4已知拋物線以拋物線的頂點(diǎn)為對(duì)稱中心,做中心對(duì)稱變換,求變換后的函數(shù)解析式。

分析：設(shè)出待求函數(shù)上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo),通過(guò)坐標(biāo)對(duì)稱變換求出滿足已知函數(shù)的坐標(biāo),代入求解即可。

解：設(shè)變換后函數(shù)圖像上任一點(diǎn)M(x,y)，M關(guān)于拋物線頂點(diǎn)0(-4, -3)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為M′(x′,y′)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得代入已知拋物線方程，并化簡(jiǎn)得變換后的函數(shù)解析式為

小結(jié)：把一個(gè)圖形變?yōu)殛P(guān)于定點(diǎn)對(duì)稱的圖形的變換即為中心對(duì)稱變換,利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式將變換前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，是解決該類問題的關(guān)鍵。

3 軸反射變換

3.1 定義和性質(zhì)

定義：將圖形F上的所有點(diǎn)都變?yōu)殛P(guān)于平面上的一條直線l（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)，變換后的點(diǎn)構(gòu)成圖形F′，圖形F到圖形F′的變換S稱為軸反射變換，簡(jiǎn)稱軸反射（或軸對(duì)稱），記為

性質(zhì)4：（1）對(duì)稱變換下圖形F1與F2鏡象合同，即圖形全等，但轉(zhuǎn)向相反；（2）不在對(duì)稱軸上的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線互相平行且被對(duì)稱軸垂直平分；（3）與對(duì)稱軸平行的直線的象仍是與對(duì)稱軸平行的直線；（4）對(duì)應(yīng)線段相等，且延長(zhǎng)后交于對(duì)稱軸l的同一點(diǎn)，兩線形成的角被對(duì)稱軸l平分，對(duì)應(yīng)角相等；軸反射問題一般以三角形的邊或?qū)ΨQ軸為軸作反射變換。

3.2 例題分析

例5如圖5，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，使∠PBC= 10°，∠PCB=20°，求∠PAB的度數(shù)。

圖 5

分析：借助軸反射變換，構(gòu)造全等三角形，利用特殊三角形又得到另一組全等三角形，再利用四點(diǎn)共圓，找出角的等量關(guān)系，進(jìn)而解決問題。

解：將，連結(jié)PP′，BP′。由于ΔCPP′是正三角形（PC=PC′，∠PCP′ = 60°），得ΔBPP′ ? ΔBPC（SAS），所以∠P′BC= 20°。 因?yàn)锳、B、C、P′四點(diǎn)共圓（∠ABP′ = ∠ACP′ = 30°），所以∠PAC= ∠P′AC= ∠P′BC= 20°。 即∠PAB= 80°-20°= 60°。

例6如圖6，P為∠MON內(nèi)一定點(diǎn)，且∠MON=40°，A、B分別是OM和ON上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ΔABP的周長(zhǎng)最小時(shí)，求∠APB。

圖 6

分析：將ΔABP的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成兩定點(diǎn)間線段的長(zhǎng)度。作P點(diǎn)關(guān)于OM和ON的對(duì)稱點(diǎn)P1和P2，線段P1P2的長(zhǎng)度即為ΔABP的最短周長(zhǎng)。

解：設(shè)P1、P2分別為P關(guān)于OM和ON的對(duì)稱點(diǎn)，直線P1P2交OM和ON于A、B兩點(diǎn)，則ΔABP的周長(zhǎng)為最小。在ΔABP中，顯然∠BAP=2∠P1，∠ABP= 2∠P2，∠APB= 140°- ∠P1- ∠P2，在ΔABP中，∠APB=180°- ∠BAP-∠ABP= 180°- 2∠P1- 2∠P2，解得∠P1+ ∠P2= 40°，從而∠APB= 100°。

小結(jié)：當(dāng)一個(gè)角變成平角時(shí)，其角平分線就變成了垂線。因此對(duì)有直角或垂直條件的問題，可考慮利用軸反射變換尋求解題策略。

4 結(jié)論

平移問題主要抓住平移的點(diǎn)，找出部分平移得以解決問題。平移變換在幾何證題中常用在證明線段相等、平行及角的相等等問題中；用旋轉(zhuǎn)變換解幾何題，首先應(yīng)考慮有無(wú)做旋轉(zhuǎn)變換的條件，一般要有等腰三角形，旋轉(zhuǎn)保持一邊變到另一邊；正n邊形繞中心旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形不變；含有45°的正方形問題是典型的夾半角問題，其典型解法是利用90°的旋轉(zhuǎn)變換。應(yīng)注意伴隨著每一個(gè)90°的旋轉(zhuǎn)變換均有一個(gè)軸反射變換。