秦春艷

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽宿州,234000

近年來，在非線性光學(xué)中，光纖孤子一直是廣泛研究的課題，光纖孤子包括亮孤子型和暗孤子型脈沖，可以分別在一般色散介質(zhì)和非一般色散介質(zhì)中傳播。它們?cè)诠饫w通信領(lǐng)域引起了強(qiáng)烈的反響，如今各種通信方式，如電信和互聯(lián)網(wǎng)傳輸工具已經(jīng)變得越來越發(fā)達(dá),這可能要?dú)w功于光孤子領(lǐng)域的研究[1-2]。非線性薛定諤方程在這些研究中具有重要的理論意義，它可以描述光脈沖的一些動(dòng)態(tài)行為。這類方程包括一些重要的性質(zhì)，如皮秒脈沖、群速度色散和自相位調(diào)制等。此外,在薛定諤方程族中，存在許多不同的類型，主要包括Kerr非線性、三次方程非線性和對(duì)數(shù)非線性等。這些非線性薛定諤方程可以表示一些光學(xué)傳播中非常有趣的現(xiàn)象，例如水波、玻色-愛因斯坦凝聚和等離子體物理學(xué)[3-4]。幾種經(jīng)典類型的薛定諤方程引起了數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家們的關(guān)注,這些方程主要包括與三次-五次非線性相關(guān)的廣義薛定諤方程、與任意非線性相關(guān)的強(qiáng)制薛定諤方程和與非Kerr項(xiàng)相關(guān)的高階薛定諤方程[5-7]。事實(shí)上，它不同于普通的非線性薛定諤方程,那些存在非Kerr效應(yīng)的方程被驗(yàn)證為不完全可積系統(tǒng)，不能使用反散射變換構(gòu)造精確解。

本文研究如下形式的非線性薛定諤方程[8]

i(ψt+Cgψx)+μψxx+ν|ψ|2ψ=0

(1)

1 穩(wěn)定性分析解

(2)

(3)

這里dω=dtdx,λ是實(shí)常數(shù)。把(2)式與(3)式結(jié)合起來，可得

由此得到一個(gè)拉格朗日算符L：

為了驗(yàn)證后面的計(jì)算，將拉格朗日算符L應(yīng)用到如下系統(tǒng)：

接下來為構(gòu)造方程(1)的光纖解，引入文獻(xiàn)[5,15]中的假設(shè)：

ψ=Ω(x,t)eiφ(x,t),φ(x,t)=k1x-ωt+θ

(4)

這里Ω=Ω(x,t)表示脈沖的形狀，φ(x,t)表示孤子的相位部分。其中k1,ω和θ分別是波數(shù)、頻率和相位中心。因此，從方程(4)可求出它的偏導(dǎo)數(shù)，把這些偏導(dǎo)數(shù)代入到方程(1)中，最后從所得到的方程中分別收集實(shí)部和虛部，即

2μk1Ωx+Ωt+CgΩx=0,vΩ3-μk12Ω-k1CgΩ+ωΩ+μΩxx=0

(5)

1.1 亮孤子解

亮光纖孤子被熟知為bell-型孤子,而且由于對(duì)長(zhǎng)的空間距離沒有相變化,所以也被熟知為非拓?fù)涔伦印?/p>

定理1非線性薛定諤方程(1)的亮孤子解為

ei[k1x+(B12μ-k12μ-Cgk1)t+θ]

證明：對(duì)亮孤子解，基于文獻(xiàn)[15]的假設(shè)，取

Ω(x,t)=Asechpτ

(6)

其中τ=B1(x-rt),A為波幅，B1為孤子的逆寬度,r是波速。通過(6)式，可以得到關(guān)于Ω的一些導(dǎo)數(shù)，這樣系統(tǒng)(5)就可以寫成：

2ApB1k1μsechp(B1(x-rt))tanh(B1(x-rt))-ApB1rsechp(B1(x-rt))·tanh(B1(x-rt))+CgApB1sechp(B1(x-rt))tanh(B1(x-rt))=0

(7)

(8)

對(duì)于方程(7)，將sechp(B1(x-rt))tanh(B1(x-rt))的系數(shù)設(shè)為零。在(8)式中,令指數(shù)3p等于p+2，然后得到p=1.通過把相同的項(xiàng)組合起來，容易得到：

(9)

最后，得出方程(1)的一個(gè)亮孤子解由下式給出:

ei[k1x+(B12μ-k12μ-Cgk1)t+θ]

其中振幅A、寬度B1、速度r和頻率ω分別由(9)式確定相應(yīng)的約束條件,而這些約束參數(shù)確保孤子的存在。為更好地分析光纖孤子的性質(zhì)，通過選取合適的參數(shù)，亮孤子解的圖片繪制如圖1。

圖1 亮孤子解的圖像

1.2 暗孤子解

暗孤子解，在非線性光學(xué)內(nèi)容中，它被熟知為非拓?fù)涔伦?。類似地，為獲得方程(1)暗孤波解，基于文獻(xiàn)[15]中的假設(shè)，取Ω(x,t)=Atanhpτ,其中τ與亮孤子解的部分相同。根據(jù)同樣的計(jì)算得到：

因此,非線性薛定諤方程(1)的暗孤子解形式如下：

為更好地分析光纖孤子的性質(zhì)，非線性薛定諤方程(1)在參數(shù)條件g=1,k0=ln(1/2),k1=1,h=1,c=1,B1=1,θ=0下，暗孤子解的圖片繪制如圖2。

圖2 暗孤子解的圖像

2 復(fù) 解

定理2非線性薛定諤方程的復(fù)解為:

證明：在這一部分，考慮了非線性薛定諤方程的復(fù)解問題?；谖墨I(xiàn)[9]中的性質(zhì)，ψ(x,t)表示為

ψ(x,t)=f(ξ)exp(iφ)

ξ=α1x-βt+θ0,φ=l1x-vt+θ1

把上述表達(dá)式代入到方程(1)，然后可以得到：

(10)

平衡非線性項(xiàng)f3和最高階導(dǎo)數(shù)f″的線性項(xiàng)，并假設(shè)常微分方程(10)解的形式是:

f=a0+a1Y,Y=tanhξ.把f代入到方程(10)，通過計(jì)算可以得到下面的一些限制條件

則非線性薛定諤方程(1)的復(fù)解：

3 調(diào)制不穩(wěn)定性

一些研究表明許多非線性薛定諤方程都存在一個(gè)不穩(wěn)定性因子，這就導(dǎo)致了在穩(wěn)定狀態(tài)下的一個(gè)調(diào)制，從而在非線性項(xiàng)和色散效應(yīng)之間產(chǎn)生一個(gè)相互作用。所以，有必要構(gòu)造與非線性系統(tǒng)(1)相關(guān)的調(diào)制不穩(wěn)定性。利用文獻(xiàn)[16]中的結(jié)果，引入一個(gè)穩(wěn)態(tài)函數(shù)：

(11)

(12)

其中a1,a2分別表示擾動(dòng)的波數(shù)和波頻率。從線性演化方程(11)很容易得出一個(gè)色散關(guān)系a1=a1(a2)，它決定了關(guān)于波數(shù)a1的時(shí)間振蕩eia1x如何與空間振蕩eia2t相關(guān)。把式(12)代入方程(11)，得到色散關(guān)系如下：

(13)

4 結(jié) 論

研究了非線性薛定諤方程，該方程可用于表征與弱非線性恢復(fù)力相關(guān)的長(zhǎng)波水波?；跀M設(shè)方法，推導(dǎo)出它的亮解和暗解。同時(shí)，通過考慮雙曲正切函數(shù)，提供了一種方法來找到它的復(fù)解。此外，構(gòu)造了方程(1)的拉格朗日形式和不變變分原理。最后，對(duì)于所得到的結(jié)果使用調(diào)制不穩(wěn)定方法。通過應(yīng)用穩(wěn)定性分析，得到了相應(yīng)的穩(wěn)定和不穩(wěn)定的條件，希望此結(jié)論對(duì)光纖通信的發(fā)展有所幫助。