鄭寶杰， 段宇軒

(河南財政金融學院 統(tǒng)計與數(shù)學學院，河南 鄭州 450046)

0 引言

常用的定積分計算方法有牛頓-萊布尼茨公式，換元積分法和分部積分法。對于一些復雜的定積分，其計算方法通常具有很強的靈活性和技巧性[1-4]。本文主要對一類被積函數(shù)是三角函數(shù)的定積分的計算做了進一步的推廣和應用。

引例1計算

解當n=2m時，

當n=2m+1時，

因而這兩個定積分是等值的。

重復使用遞推公式可得

(1)

當m或n為0時，即為引例1的結(jié)果。

1 推廣和應用

1)當m或n至少有一個為奇數(shù)時。

解法1令F(x)=cosmx·sinnx(x∈[0,2π])。

解法2

①當m、n均為奇數(shù)或m為偶數(shù)，n為奇數(shù)時，

②當m為奇數(shù)，n為偶數(shù)時，

2)當m、n均為偶數(shù)時。

由周期性可知

綜合上面的討論結(jié)果可得定積分計算公式如定理1所示。

定理1設m和n為正整數(shù)，則有

(2)

特別地，從上面的討論過程中發(fā)現(xiàn)，由于sinx和cosx均為周期為2π的周期函數(shù)，則當積分區(qū)間上下限之差為2π時，計算公式也為式(2)。

推論設m和n為正整數(shù)，對任意α∈R，有

(3)

2 另一公式的推廣和應用

文獻[5]有這樣一個證明題：

引例2設f為連續(xù)函數(shù)，證明

(4)

下面通過sinx與cosx之間的變換對公式(4)進行推廣，可得定理2。

定理2設f為連續(xù)函數(shù)，證明

(5)

因此

有時sinx或者cosx難以計算，這樣計算的好處是通過互換后相加或者其他運算得到更簡單的運算,計算出結(jié)果。

3 小結(jié)