吳 冬 暉

(安徽理工大學(xué) 電氣與信息工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

0 引 言

步進(jìn)頻率連續(xù)波探地雷達(dá)(SFCW-GPR)是探地雷達(dá)系統(tǒng)的一種，探地雷達(dá)是一種電磁、高分辨率、物探性、非侵入性的技術(shù)，被用于掃描地下物體進(jìn)行成像。由于GPR接收器通常具有超寬帶寬，因此GPR信號(hào)很容易受到隨機(jī)噪聲的破壞。雷達(dá)分辨率取決于所使用的帶寬，SFCW-GPR比脈沖雷達(dá)更具成本效益，因?yàn)樗恍枰^多的瞬時(shí)帶寬[1-2]。因?yàn)镾FCW-GPR工作頻率采用的是階梯方式步進(jìn)，實(shí)現(xiàn)工作帶寬相對(duì)所需的時(shí)間也比較長(zhǎng)，成像速度比較慢[3]。如何有效地縮短SFCW-GPR系統(tǒng)的數(shù)據(jù)采集時(shí)間，提高成像效率是亟待解決的問題。提出的CS理論可以來解決這些問題，CS理論證明當(dāng)信號(hào)在變換域內(nèi)是稀疏的時(shí)，采樣頻率不必依賴于信號(hào)帶寬，信號(hào)帶寬主要依賴于兩個(gè)基本:稀疏性和不相關(guān)性[4-5]。

對(duì)來自同一情況下的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)性分析。提出了一種基于稀疏貝葉斯學(xué)習(xí)的多任務(wù)貝葉斯壓縮感知(MT-BCS)算法。該算法針對(duì)不同的任務(wù)采用了一種通用的先驗(yàn)層次貝葉斯分層模型，充分利用了任務(wù)之間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性，對(duì)系數(shù)向量的每個(gè)元素進(jìn)行先驗(yàn)概率分布，限制了模型的復(fù)雜度，引入了超參數(shù)[6-8]。仿真結(jié)果表明，基于MT-BCS改進(jìn)的重構(gòu)算法可以同時(shí)滿足計(jì)算效率和重構(gòu)精度。

1 信號(hào)模型

SFCW-GPR模型如圖1所示[9]，假設(shè)發(fā)射天線、接收天線和成像區(qū)域處于同一平面上，在平面沿水平方向x軸和深度方向z軸的成像，區(qū)域內(nèi)的目標(biāo)均勻劃分為K×L網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格對(duì)應(yīng)一個(gè)像素點(diǎn)[10]。

圖1 SFCW-GPR成像模型Fig. 1 SFCW-GPR imaging model

假定選取天線測(cè)量的位置M個(gè)，頻率從f0到fN-1為發(fā)射天線的一個(gè)掃描周期，其中共有N個(gè)掃描頻點(diǎn)，P個(gè)實(shí)際散射目標(biāo)數(shù)存在于檢測(cè)區(qū)域[10]。在每個(gè)天線測(cè)量位置得到的復(fù)信號(hào)為

(1)

其中，m∈1,2…M,n∈1,2…N，ρp為第p個(gè)點(diǎn)的復(fù)反射系數(shù)，τp,m代表從第m個(gè)天線測(cè)量的位置至第p個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的往返傳輸延時(shí)。圖1可以通過圖2所示的列堆棧轉(zhuǎn)換成KL×1維向量，記作wx。式(1)也可以用基矩陣Bm和反射系數(shù)向量wx來表示:

Sm=Bmwx

(2)

圖2 網(wǎng)格劃分示意圖Fig. 2 Grid division diagram

式(2)中Sm=[s0(f0),s1(f1),…,sm(fN-1)]T是N×1維頻域測(cè)量數(shù)據(jù)向量?；仃嘊m∈N×KL，sm(fn)是天線位置在M點(diǎn)，工作頻率為fn的回波數(shù)據(jù)?；仃嘊m的第j列可以如下表示:

[Bm]j=[e-j2πf0τm,j,e-j2πf1τm,j,…,e-j2πfN-1τm,j]T

(3)

Sx=Bxwx

(4)

一般情況下，式(4)中反射系數(shù)向量wx是稀疏的，從天線測(cè)量位置M中任意選取Q1個(gè)位置，再?gòu)囊呀?jīng)選擇的測(cè)量位置中再任意選取Q2個(gè)數(shù)據(jù)。由此可以構(gòu)造一個(gè)測(cè)量矩陣Ψ∈Q1Q2×NM且Q1Q2?NM，得到的測(cè)量矩陣Ψ對(duì)Sx的投影tx可以表示為

tx=ΨSx=ΨBxwx=Φxwx

(5)

其中，Φx=ΨBx是一個(gè)Q1Q2×KL的投影矩陣。

2 多任務(wù)貝葉斯壓縮感知成像算法

采用層次貝葉斯模型，通過相關(guān)任務(wù)實(shí)現(xiàn)信息共享，充分利用任務(wù)的統(tǒng)計(jì)特性，使重構(gòu)結(jié)果更加精準(zhǔn)[11-13]。因?yàn)镸T-BCS的構(gòu)建是基于實(shí)值信號(hào)模型，故式(5)的變化矩陣和向量為

鑒于測(cè)量噪聲對(duì)結(jié)果存在影響，式(5)可改寫為

t=Φw+n

(6)

n為測(cè)量噪聲，故其中的元素可以近似為均值為0、方差為σ2的正態(tài)分布。故t的高斯似然函數(shù)[14]可以在參數(shù)w和σ2下表示:

(7)

(8)

其中，α=[α1,α2,…，α2KL]T，超參數(shù)α和方差σ2是假定服從伽馬分布。根據(jù)貝葉斯規(guī)則，w的后驗(yàn)正態(tài)分布服從多維高斯分布[15]。

(9)

其中，μ代表的是均值向量，而Σ代表的是協(xié)方差矩陣:

μ=α0ΣΦTt

(10)

Σ=(α0ΦTΦ+A)T

(11)

其中，A=diag(α1,α2,…,α2KL)，diag(·)為對(duì)角矩陣。對(duì)超參數(shù)α的求解可以進(jìn)一步計(jì)算均值向量μ和協(xié)方差矩陣Σ，系數(shù)向量w可以由式(10)和式(11)解決。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

電磁波初始頻率選取1 GHz，終端頻率選取 3 GHz，頻率步進(jìn)點(diǎn)選取N=101，因此頻率步進(jìn)間隔為20 MHz，天線測(cè)量的位置總數(shù)M=30。假設(shè)3個(gè)目標(biāo)的坐標(biāo)分別為(10,40)，(20,40)，(30,40)(cm)。成像區(qū)域沿x軸從1 cm到40 cm，沿z軸從30 cm到50 cm，劃分20×40均勻的空間網(wǎng)格。探地雷達(dá)圖像分為30個(gè)任務(wù)根據(jù)不同測(cè)量孔徑發(fā)射和接收天線，每個(gè)任務(wù)的回波數(shù)據(jù)來自當(dāng)前測(cè)量孔徑，和每個(gè)任務(wù)對(duì)應(yīng)于不同的測(cè)量矩陣，將高斯白噪聲的信噪比10 dB添加到頻域回波數(shù)據(jù)。圖3和圖4為BCS的重構(gòu)結(jié)果。圖5和圖6為MT-BCS的重構(gòu)結(jié)果。

圖3 測(cè)量比例為15%Fig. 3 The measurement ratio is 15%

圖4 測(cè)量比例為25%Fig. 4 The measurement ratio is 25%

圖5 測(cè)量比例為15%Fig. 5 The measurement ratio is 15%

圖6 測(cè)量比例為25%Fig. 6 The measurement ratio is 25%

通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出，該算法具有較多的噪聲點(diǎn)和假目標(biāo)。兩種算法的重構(gòu)目標(biāo)反射系數(shù)和計(jì)算時(shí)間如表1所示。

圖7為不同測(cè)量比下的重構(gòu)效果。根據(jù)仿真圖的結(jié)果，可以總結(jié)出:在相同的觀測(cè)數(shù)據(jù)下，MT-BCS算法的重構(gòu)值大大優(yōu)于多次獨(dú)立應(yīng)用BCS算法所得到的重構(gòu)值。

表1 兩種算法的比較Table 1 Comparison of two algorithms

圖7 比較不同測(cè)量比下的重構(gòu)效果Fig. 7 Comparison of reconstruction effects under different measurement ratio.

4 結(jié)束語

介紹了MT-BCS算法，當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)有限的情況下，該算法對(duì)于每組任務(wù)的重構(gòu)都是獨(dú)立的。但是在具體的實(shí)際應(yīng)用中，難免會(huì)出現(xiàn)存在N組觀測(cè)數(shù)據(jù)是關(guān)聯(lián)的，尤其是在相同條件下做的重復(fù)觀測(cè)。MT-BCS算法則利用多次觀測(cè)數(shù)據(jù)之間所具有的相關(guān)性特征，同時(shí)完成了多個(gè)相關(guān)信號(hào)的重構(gòu)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，MT-BCS的重構(gòu)性能良好，在較少觀測(cè)數(shù)據(jù)的情況下，MT-BCS的重構(gòu)性能優(yōu)于BCS算法。