陳瓊 薛春霞 王勛

(中北大學(xué)理學(xué)院工程力學(xué)系,太原 030051)

利用有限變形理論,以無限長壓電圓桿為研究對象,考慮了在橫向慣性、等效泊松比效應(yīng)以及在熱電彈耦合共同作用下,基于Hamilton 原理,并引入Euler 方程推導(dǎo)出壓電圓桿的縱向波動(dòng)方程.采用Jacobi 橢圓函數(shù)展開法,求解壓電圓桿的波動(dòng)方程和對應(yīng)的解.最后,通過Matlab 軟件得到不同波速比下的色散曲線,以及溫度場對壓電圓桿的波形、波幅和波數(shù)的影響曲線.數(shù)值分析結(jié)果表明: 隨著溫度的升高,波速逐漸降低,溫度場的改變可影響和控制孤立波的傳播特性.

1 引 言

隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展,壓電材料因其獨(dú)特的性能而被廣泛應(yīng)用[1].在航空航天、智能結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域,裝備工作環(huán)境惡劣,差異大,特別是溫度變化比較大,對實(shí)施控制有著非常大的影響.因此在實(shí)際工況條件的精確建模過程中,需要考慮電場和溫度場的耦合作用.而桿作為常用的構(gòu)件,也吸引了不少學(xué)者的關(guān)注.劉延柱等[2]和He 等[3]利用廣義熱-彈耦合理論求解并研究了半無限壓電桿的邊值問題.目前對于波動(dòng)的問題,主要采用多尺度法、齊次平衡法等展開了對壓電圓桿波動(dòng)的研究[4,5].馮依虎[6]利用泛函分析變分迭代的方法求出各次孤子波近似解,進(jìn)而研究了強(qiáng)非線性波動(dòng)方程的行波解.Guo 等[7]利用Hamilton 變分原理,根據(jù)有限變形理論的拉格朗日描述,推導(dǎo)出彈性細(xì)桿的非線性波動(dòng)方程,利用多尺度法得到了穩(wěn)定的行波解.李敏等[8]通過對薛定諤方程的相平面分析,約化得到其同異宿軌道,并在相應(yīng)條件下得到方程的明、暗孤立波解.

然而上述求解方法具有一定的局限性,只能求出波動(dòng)方程的沖擊波解、孤波解和初等函數(shù)的周期解[9?11].但采用Jacobi 橢圓函數(shù)法便可求出波動(dòng)方程的廣義周期解和對應(yīng)的孤立波解[12,13],劉志芳和張善元[14?16]利用Jacobi 橢圓函數(shù)展開法求得了無限長圓桿的非線性扭轉(zhuǎn)波解、孤波解以及非圓截面桿的行波解、周期解.

由于壓電結(jié)構(gòu)在工程領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用,壓電介質(zhì)中波的傳播吸引了很多學(xué)者的關(guān)注.鄧慶田等[17]用逐步近似法對位移函數(shù)進(jìn)行了假設(shè)并通過變動(dòng)參數(shù)法求解,對壓電層和圓桿中的幾何非線性波進(jìn)行了研究.Seadawy 和Manafian[18]通過擴(kuò)展嘗試方程法和積分方法,推導(dǎo)出了磁電彈圓桿縱波方程的暗孤子、亮孤子、孤波、周期孤波、有理函數(shù)解和橢圓函數(shù)解等不同形式的新的顯式精確解.Baskonus 等[19,20]利用Sin-gordon 展開法對磁電彈性圓桿的縱波方程的解析解進(jìn)行了研究,得到了更多新的解析解,給出了所有解的數(shù)值模擬,很好地解釋了一些實(shí)際物理問題.Wang[21]研究了壓電耦合圓柱殼結(jié)構(gòu)中波的傳播,從理論上得到了雙模殼模型的頻散曲線,推導(dǎo)出波數(shù)極限情況下的截止頻率和相速度.Xue 和Pan[22]考慮幾何非線性以及橫向泊松比引起的彌散效應(yīng)對無限長磁電彈圓桿進(jìn)行了研究,建立了縱波方程,并通過Jacobi橢圓函數(shù)法對其進(jìn)行了求解.Samsonov[23]首先報(bào)道了桿中存在孤波的實(shí)驗(yàn)研究,利用聚苯乙烯的彈性介質(zhì),設(shè)計(jì)了一套通過光學(xué)原理構(gòu)造和記錄孤波的實(shí)驗(yàn)方法,用全息照相法記錄下了孤波軌跡,從事實(shí)上證實(shí)了彈性固體中孤波的存在.2013 年,Toffoli 等[24]在一個(gè)大的定向波池實(shí)驗(yàn)中探究了平面波對斜攝動(dòng)的調(diào)制和有限水深下異常波動(dòng)的產(chǎn)生,并采集了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),對流體中的波動(dòng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)探究.

綜上所述,由于非線性波的激發(fā)和觀測是非常困難的,導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)上工作比較少.所以本文采用建立模型和數(shù)值分析的方法,研究不同溫度場下的非線性波動(dòng)問題.通過Hamilton 變分原理,引入Euler 方程,采用Jacobi 橢圓函數(shù)展開法,推導(dǎo)出壓電圓桿的波動(dòng)方程和對應(yīng)的解,并討論溫度變化對壓電介質(zhì)的波形、波幅以及波速等的影響.

2 建立壓電圓桿的波動(dòng)方程

圖1 為無限長壓電圓桿示意圖,建立圓柱坐標(biāo)系 (r,θ,z) ,z是沿著桿的軸向,也是波傳播的方向.θ= [0,2π],0 ≤r≤R,其中R為壓電圓桿半徑.為了研究方便,假設(shè): 1)變形后,板中初始狀態(tài)垂直于中心平面的點(diǎn)仍然垂直于中心平面; 2)桿的截面是軸對稱的,即Uθ=0和?/?θ=0 ,其中Uθ為θ方向位移; 3)考慮泊松比效應(yīng),縱向位移U和徑向位移Ur之間滿足Ur=veffr?U/?z,其中veff是有效泊松比.

對于橫觀各向同性的壓電材料圓桿,在考慮溫度效應(yīng)時(shí)的本構(gòu)方程如下[25]:

圖1 壓電圓桿示意圖Fig.1.Schematic diagram of piezoelectric rod.

其中σi是法向應(yīng)力;τij是切向應(yīng)力;εi是法向應(yīng)變;γij是切向應(yīng)變;Ei是電場;Di是電位移;cij是彈性常數(shù);εij是介電常數(shù);eij是壓電耦合系數(shù);di是熱電耦合系數(shù);λii是熱機(jī)耦合系數(shù)[26,27],λ11=(c11+c12+c13)α1,λ33=(2c13+c33)α3;αi為熱膨脹系數(shù);Θ為相對于初始溫度T0的溫度增量.

有限(非線性)彈性應(yīng)變位移關(guān)系為

由于這是一維問題,桿的橫向邊界的牽引力應(yīng)該為零.因此可以得出σr=0 ,τrz=0 ,τrθ=0 ,Dr=0,從中可以得到如下關(guān)系:

根據(jù)廣義Hamilton 變分原理可得

式中L為Lagrange 密度函數(shù),T為系統(tǒng)的動(dòng)能,EP為系統(tǒng)的勢能,We為系統(tǒng)的電能,具體表達(dá)式分別為

這里ρ為壓電材料的密度,V為壓電材料的體積,S={εr,εθ,γrθ}T和Q={σθ,σz,τθz}T分別表示材料的應(yīng)變向量和應(yīng)力向量,E={0,0,Ez}T表示電場向量,D={0,0,Dz}T表示電位移向量.

根 據(jù)Euler 方 程,若L=L(U,Uz,Ut,Uzz,Utt,Uzt,···),則

根據(jù)以上關(guān)系可以得到如下表達(dá)式:

其中

其中,c0是壓電圓桿的線性縱向波速;α為耗散系數(shù),β為彌散系數(shù),兩者都由材料的性質(zhì)和幾何參數(shù)決定.值得說明的是,如果忽略電場、熱-電耦合,考慮純彈性桿,結(jié)果與文獻(xiàn)[16]一致.

在推導(dǎo)方程(12)時(shí),使用了有效泊松比veff[28].可以得到

3 縱波方程的孤波解

假設(shè)方程(12)的行波解為

將方程(15)代入方程(12)可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)常微分方程:

其中k和c分別是波數(shù)和波速.用下列Jacobi 橢圓函數(shù)表示方程(16)的解:

可以看出u(ξ) 的最高階數(shù)是n,即

為了討論方便,列出三種Jacobi 橢圓函數(shù)之間的關(guān)系以及漸近值

其 中 c nξ為Jacobi 橢 圓 余 弦 函 數(shù),d nξ為 第 三 類Jacobi 橢圓函數(shù),m為模數(shù) ( 0 ≤m≤1) .

根據(jù)上述微分關(guān)系,很容易有

類似地,可以推出:

因此,將方程(16)進(jìn)一步化為

其中

對ξ積分兩次,為計(jì)算方便,令積分常數(shù)為零.可以得到

通過諧波平衡法,使方程(25)中的非線性項(xiàng)次數(shù)和微分項(xiàng)最高階數(shù)相等,結(jié)合方程(22)可以確定方程(18)中的最高階數(shù)n= 2.

根據(jù)Jacobi 橢圓余弦函數(shù)展開法,方程(17)的解有如下表達(dá)形式:

方程(26)對ξ微分兩次可求得

將方程(26)和方程(27)代入方程(25),并比較 c nξ相同次冪的系數(shù),可得

因此方程(23)的精確周期解為

其中m為模數(shù)(0

由于此處只討論波的特性,令常數(shù)項(xiàng)為零.即

將方程(31)代入方程(30),得到方程(25)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)孤波解:

式中A為波幅,Λ是波長,

其中c>c0是孤立波存在的條件.

利用Jacobi 橢圓正弦函數(shù)展開法,方程(17)的解有如下表達(dá)形式:

將方程(34)對ξ微分兩次求得

將方程(34)和方程(35)代入方程(25),并比較 s nξ相同次冪的系數(shù),可得

因此方程(23)的精確周期解為

將方程(19)代入到方程(37)求得

這就是方程(23)的另一個(gè)精確周期解,可以觀察到取m= 1 時(shí),方程(38)退化為與方程(29)同樣的形式.

4 數(shù)值計(jì)算和討論

本文通過Matlab 軟件,對如圖1 所示的模型進(jìn)行數(shù)值模擬,取無限長壓電圓桿為BaTiO3材料,初始溫度為T0= 20 ℃,桿的半徑分別為R1=0.025 m,R2= 0.05 m 和R3= 0.075 m.將這些參數(shù)代入相關(guān)方程進(jìn)行計(jì)算,通過改變溫度及波速比值,得到相應(yīng)的模擬結(jié)果.

根據(jù)表1 所列參數(shù),通過改變溫差Θ的大小,可以計(jì)算出不同溫度下波速c0的大小.如表2 所列,可以看出,當(dāng)溫差Θ= 10 ℃時(shí),波速c0最大,隨著溫度的升高,波速c0逐漸減小,但也可以看出波速c0并沒有存在大幅度的衰減.

通過改變波速比c/c0的大小,可求得在不同比值下的波幅A、波長Λ和波數(shù)k.如表3 所列,可以看出,隨著波速比的增大,波幅A和波數(shù)k增大,而波長Λ隨之減小.同樣地,如表4 所列,固定波速比c/c0= 1.1,改變壓電圓桿的半徑,分別取R1= 0.025 m,R2= 0.05 m 和R3= 0.075 m.能夠發(fā)現(xiàn)隨著壓電圓桿半徑R的增大,波長Λ隨之增大,而波數(shù)k隨之減小.

圖2 給出了在不考慮溫度影響時(shí)不同波速比c/c0下,孤波波速u和變量ξ的關(guān)系.可以看出,當(dāng)ξ= 0 時(shí),u達(dá)到最大值,并且幅值關(guān)于ξ= 0對稱,同時(shí)可以觀察到,隨著c/c0的增大,孤波幅值增大,波長減小.簡而言之,孤波振幅越大,波長越小,這體現(xiàn)了非線性孤波的彌散特性.

表1 鈦酸鋇材料參數(shù)[29]Table 1.Material parameters of BaTiO3[29].

表2 不同溫度下波速比較Table 2.Comparison of the wave velocities at different temperature.

表3 R = 0.05 m 時(shí)不同波速比下參數(shù)比較Table 3.Comparison of parameters under different wave velocity ratios when R = 0.05 m.

表4 波速比c/c0 = 1.1 時(shí)不同半徑下參數(shù)比較Table 4.Comparison of parameters under different radii when c/c0 = 1.1.

圖2 不同波速比c/c0 下孤波波速u 與變量ξ 的關(guān)系Fig.2.Relationship between solitary wave u and variable ξ under different wave velocity ratio c/c0 values.

圖3給出了在波速比c/c0= 1.3,時(shí)間固定在t= 0.01 s 時(shí),當(dāng)Θ分別取10,50,90 ℃三種不同溫度下的波形[30],觀察到隨著溫度Θ的改變,孤立波在傳播過程中波形并沒有發(fā)生改變,體現(xiàn)了其穩(wěn)定性.同時(shí)可以看出,當(dāng)波速比c/c0一定時(shí)它們的波幅非常接近,溫度的改變對波幅的影響并不是很明顯,但是隨著溫度的逐漸升高,波速卻逐漸降低,這一點(diǎn)也與表2 的數(shù)據(jù)相符合.

圖3 波速比c/c0 = 1.3 時(shí)三種不同溫度下的波形Fig.3.Three waveforms at different temperatures when the velocity ratio of c/c0 = 1.3.

圖4 給出了當(dāng)溫差Θ= 50 ℃時(shí),波速比c/c0分別取為1.1,1.2 和1.3 時(shí)的波形,可知,孤立波的能量主要集中在中間有效區(qū)域,并且沒有因?yàn)椴ㄋ俦鹊母淖兌鴶U(kuò)散,體現(xiàn)了孤立波的穩(wěn)定性.而當(dāng)溫度一定時(shí),隨著波速比c/c0的升高,波幅增大,波長減小.這一點(diǎn)與圖2 表示的孤波特性相一致.

圖5 給出了孤立波的三維曲面,圖6 給出了壓電圓桿的孤波特性.可以看出,當(dāng)給定某一時(shí)間t和z之后,孤立子就會(huì)出現(xiàn),這說明了孤立波不是單獨(dú)關(guān)于時(shí)間或空間的單一變量,而是以時(shí)間和空間為組合的變量,隨著時(shí)間的變化,波在傳播.并且相同的波形在給定t 和z 的組合后會(huì)重復(fù)出現(xiàn),且能量比較集中,這與孤波的穩(wěn)定性相符合.因此它在當(dāng)代通信技術(shù)、缺陷檢測等許多方面有很大的研究意義和應(yīng)用潛力.

圖7 給出了在三種不同溫度下,壓電圓桿的波速c 和波數(shù)k 的關(guān)系圖.可以看出,當(dāng)溫度一定時(shí),隨著波數(shù)k 的增加,波速c 也呈增加趨勢,同樣地,當(dāng)波數(shù)k 一定時(shí),隨著溫度的升高波速c 反而呈減小趨勢,這與表2 以及圖3 和圖4 的模擬結(jié)果相符合.

圖4 當(dāng)Θ = 50 ℃時(shí)不同波速比c/c0 下的波形Fig.4.Waveforms under different wave velocity ratio c/c0 values when Θ = 50 ℃.

圖5 當(dāng)波速比c/c0 = 1.3,Θ = 50 ℃時(shí)三維曲面圖Fig.5.Three-dimensional surface figure when the wave ratio c/c0 = 1.3,Θ = 50 ℃.

圖6 壓電圓桿的孤波特性Fig.6.Solitariness of piezoelectric rod.

圖7 三種不同溫度下波速c 和波數(shù)k 的關(guān)系圖Fig.7.Graph of wave velocity c and wave number k at three different temperatures.

5 結(jié) 論

孤立波在數(shù)學(xué)上是一類非線性偏微分方程的局部行波解,這類方程可表示為運(yùn)動(dòng)項(xiàng)+色散項(xiàng)+非線性項(xiàng)+(耗散項(xiàng)) = 0.從物理本質(zhì)上講,非線性效應(yīng)使得波形在傳播過程中出現(xiàn)陡突(能量聚集).孤立子就是由非線性場激發(fā)的、能量不彌散的、形態(tài)上穩(wěn)定的粒子.本文研究了溫度效應(yīng)下無限長壓電圓桿的孤波問題,由于結(jié)構(gòu)的有限變形(如軸向壓縮等)可引起非線性效應(yīng),而二次運(yùn)動(dòng)和變形(如橫向泊松效應(yīng)等)可分散這些效應(yīng).相互作用在非線性效應(yīng)和色散效應(yīng)之間,在一定條件下就產(chǎn)生了孤波這一穩(wěn)定傳播的行波.利用Hamilton變分及Euler 方程推導(dǎo)出圓桿的波動(dòng)方程,并采用Jacobi 橢圓余弦函數(shù)展開法和橢圓正弦函數(shù)展開法對推導(dǎo)出的波動(dòng)方程進(jìn)行求解.通過Matlab 軟件進(jìn)行數(shù)值模擬,發(fā)現(xiàn)壓電圓桿中不僅有孤波存在,而且在不同溫度下具有不同的性質(zhì).可以得到如下結(jié)論:

1)由計(jì)算結(jié)果可分析得到,當(dāng)固定波速比時(shí),溫度的改變對波速的影響比較明顯,隨著溫度的升高,波速逐漸降低.

2)當(dāng)固定溫度時(shí),波速比的改變對孤波的幅值影響比較明顯,隨著波速比的增大,波幅逐漸升高,這也是孤波的特點(diǎn)之一.

3)溫度的改變雖然對孤立波有一定的影響,但在傳播的過程中,孤立波仍然是關(guān)于ξ 對稱的鐘型波,這也體現(xiàn)了非線性和色散效應(yīng)共同作用下孤立波的穩(wěn)定特性.另外,利用Jacobi 橢圓函數(shù)求解得到壓電圓桿的精確周期解,周期解可退化為孤波解,從理論上也證明了壓電圓桿中可能有穩(wěn)定傳播的孤波.目前,波動(dòng)理論在結(jié)構(gòu)的無損檢測和提高信息傳輸質(zhì)量等方面得到了較為廣泛的應(yīng)用.因此,將波動(dòng)理論運(yùn)用到壓電材料中具有現(xiàn)實(shí)工程意義和理論研究價(jià)值.