寇雯博 董灝? 鄒岷強(qiáng) 韓均言 賈西西

1) (西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,西安 710071)

2) (西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,西安 710071)

3) (西安電子科技大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,西安 710071)

混雜復(fù)合材料是一種新型復(fù)合材料,其復(fù)雜的細(xì)觀結(jié)構(gòu)導(dǎo)致預(yù)測(cè)其等效熱傳導(dǎo)性能極富挑戰(zhàn)性.本文結(jié)合漸近均勻化方法、小波變換方法和機(jī)器學(xué)習(xí)方法發(fā)展了一種新的可以有效預(yù)測(cè)混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法.該方法主要包括離線多尺度建模和在線機(jī)器學(xué)習(xí)兩部分.首先借助漸近均勻化方法通過(guò)離線多尺度建模建立了混雜復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)性能材料數(shù)據(jù)庫(kù),然后利用小波變換方法對(duì)離線的材料數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行預(yù)處理,接下來(lái)分別運(yùn)用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量回歸方法建立混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能預(yù)測(cè)的在線機(jī)器學(xué)習(xí)模型.最后通過(guò)對(duì)周期和隨機(jī)混雜復(fù)合材料進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法的有效性,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法具有最優(yōu)的預(yù)測(cè)效果和抗噪能力.此外,需要強(qiáng)調(diào)的是對(duì)于具有高維大規(guī)模數(shù)據(jù)特征的隨機(jī)混雜復(fù)合材料,小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法不僅可以提取離線材料數(shù)據(jù)庫(kù)的重要特征,還可以顯著減少在線監(jiān)督學(xué)習(xí)的輸入數(shù)據(jù)規(guī)模并提高機(jī)器學(xué)習(xí)模型的訓(xùn)練效率及抗噪性能.本文建立的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法不僅適用于混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的預(yù)測(cè),還可進(jìn)一步推廣應(yīng)用于復(fù)合材料等效物理、力學(xué)性能的預(yù)測(cè).

1 引 言

混雜復(fù)合材料是一種在同一基體或多個(gè)基體中增加兩種或兩種以上夾雜材料制成的新型復(fù)合材料[1],如碳纖維-玻璃纖維混雜復(fù)合材料、碳纖維-芳綸纖維混雜復(fù)合材料等,若混雜得當(dāng)可使得混雜復(fù)合材料具備優(yōu)異的熱學(xué)、力學(xué)性能.近年來(lái),隨著航天、航空工業(yè)的快速發(fā)展,混雜復(fù)合材料由于具有良好的熱穩(wěn)定性和抗疲勞性被廣泛應(yīng)用于制造飛行器的機(jī)身、機(jī)翼、隔熱結(jié)構(gòu)等.總之,混雜復(fù)合材料的應(yīng)用正處于蓬勃發(fā)展的階段,但是有關(guān)混雜復(fù)合材料基礎(chǔ)性的理論研究還比較少,為了給新型飛行器的隔熱結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和性能優(yōu)化提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)理論和高性能算法,研究混雜復(fù)合材料熱傳導(dǎo)性能的有效預(yù)測(cè)方法具有重要的應(yīng)用價(jià)值和理論意義.

相比傳統(tǒng)的復(fù)合材料,混雜復(fù)合材料的組成成分和微觀結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜,預(yù)測(cè)其等效熱傳導(dǎo)性能需要發(fā)展更加高精度、高效率的方法.為了預(yù)測(cè)復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能,數(shù)學(xué)家和工程師已經(jīng)發(fā)展出了多種解析方法[2?4]來(lái)研究其等效熱傳導(dǎo)性能,但是這些解析方法僅僅能夠預(yù)測(cè)具有簡(jiǎn)單微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)性能,無(wú)法分析具有復(fù)雜微觀結(jié)構(gòu)的混雜復(fù)合材料.此外,研究人員還提出了預(yù)測(cè)復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)系數(shù)的數(shù)值方法[5?9],使得具有復(fù)雜微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能能夠得到精確的預(yù)測(cè)和分析.其中,漸近均勻化方法具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),且能夠很好地與有限元方法結(jié)合[10],在實(shí)際工程應(yīng)用中得到了廣泛的應(yīng)用.漸近均勻化方法通過(guò)建立周期單胞(unit cell,UC)或者代表體積元(representative volume element,RVE)來(lái)精細(xì)刻畫(huà)復(fù)合材料的微觀構(gòu)造,之后通過(guò)求解UC 或RVE 上的輔助單胞問(wèn)題得到捕捉復(fù)合材料微觀振蕩信息的輔助單胞函數(shù).最后,通過(guò)在UC 或RVE 上做積分得到復(fù)合材料的宏觀等效材料參數(shù)和宏觀均勻化問(wèn)題,漸近均勻化方法可以有效預(yù)測(cè)復(fù)合材料的宏觀等效性能[10].但是對(duì)于混雜復(fù)合材料,不同的微觀結(jié)構(gòu)導(dǎo)致需要重新計(jì)算輔助單胞問(wèn)題,然后重新計(jì)算混雜復(fù)合材料的等效材料參數(shù),這導(dǎo)致了計(jì)算資源的極大耗費(fèi),因此有必要發(fā)展一種高效率、可避免重復(fù)計(jì)算的混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能預(yù)測(cè)方法.

近年來(lái),隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展,機(jī)器學(xué)習(xí)方法被廣泛應(yīng)用到各個(gè)工程領(lǐng)域.在材料科學(xué)領(lǐng)域,Sundararaghavan 和Nicholas[11]采用支持向量機(jī)方法實(shí)現(xiàn)了三維復(fù)合材料的分類和重構(gòu).Liu 等[12]基于支持向量機(jī)方法預(yù)測(cè)了高對(duì)比三維復(fù)合材料彈性應(yīng)變場(chǎng)的分布.Sun 等[13]利用支持向量機(jī)方法預(yù)測(cè)和理解塊體非晶合金的玻璃形成能力.Kondo 等[14]借助卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法建立了陶瓷材料微觀結(jié)構(gòu)和離子導(dǎo)電率之間的映射關(guān)系.Cang 等[15]發(fā)展了形態(tài)感知生成模型并借助圖像數(shù)據(jù)和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法預(yù)測(cè)了復(fù)合材料的物理性質(zhì).Bessa 等[16]基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建立了分析復(fù)合材料力學(xué)響應(yīng)和設(shè)計(jì)復(fù)合材料微觀結(jié)構(gòu)的計(jì)算框架.Benyelloul和Aourag[17]采用混合的遺傳算法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法預(yù)測(cè)了奧氏體不銹鋼的體積模量.基于圖像建模和深度學(xué)習(xí),Li 等[18]成功地預(yù)測(cè)了頁(yè)巖復(fù)合材料的有效力學(xué)性質(zhì).Balokas 等[19]結(jié)合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和多尺度分析預(yù)測(cè)了三維編織復(fù)合材料的彈性性能.Liu 和Wu[20]研究了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的多尺度力學(xué)中深度材料網(wǎng)絡(luò)的三維結(jié)構(gòu).Rong等[21]結(jié)合二維截面圖像和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)了三維復(fù)合材料的有效熱傳導(dǎo)系數(shù).但是,對(duì)于預(yù)測(cè)混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的高精度、高效率的機(jī)器學(xué)習(xí)方法缺乏充分的研究.

本文主要研究了預(yù)測(cè)具有周期型或隨機(jī)型微觀結(jié)構(gòu)的混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的機(jī)器學(xué)習(xí)方法.混雜復(fù)合材料通常由兩種以上的不同成分組成,其熱傳導(dǎo)性能與各組成材料的性能及其微觀結(jié)構(gòu)密切相關(guān),要建立混雜復(fù)合材料宏觀等效熱傳導(dǎo)性能與各組成材料的性能以及微觀結(jié)構(gòu)之間的顯式關(guān)系或公式十分復(fù)雜.本文通過(guò)結(jié)合漸近均勻化方法、小波變換方法和機(jī)器學(xué)習(xí)方法各自的優(yōu)勢(shì),建立了一種新的有效預(yù)測(cè)混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的機(jī)器學(xué)習(xí)框架.本研究的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)有三方面: 第一,借助于漸近均勻化方法建立了混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫(kù),該材料數(shù)據(jù)庫(kù)可以準(zhǔn)確提取混雜復(fù)合材料各組分的材料參數(shù)和微觀結(jié)構(gòu)信息,并包含準(zhǔn)確計(jì)算的混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)系數(shù).第二,基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(artificial neural network,ANN)方法和支持向量回歸(support vector regression,SVR)方法對(duì)建立的混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行了數(shù)據(jù)挖掘和監(jiān)督學(xué)習(xí),建立了能夠有效預(yù)測(cè)混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)系數(shù)的機(jī)器學(xué)習(xí)模型.第三,借助小波變換方法解決了具有復(fù)雜微觀結(jié)構(gòu)的隨機(jī)混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫(kù)在線機(jī)器學(xué)習(xí)的困難.基于小波變換方法的預(yù)處理策略不僅可以大大減少機(jī)器學(xué)習(xí)模型的輸入數(shù)據(jù)規(guī)模,保證機(jī)器學(xué)習(xí)模型的成功訓(xùn)練,而且可以提取原始材料數(shù)據(jù)庫(kù)中的主要特征并自動(dòng)過(guò)濾原始數(shù)據(jù)中的噪聲.最后,本文成功建立了可以有效預(yù)測(cè)混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法,所建立的機(jī)器學(xué)習(xí)框架具有極強(qiáng)的擴(kuò)展性,可以應(yīng)用于混雜復(fù)合材料其他物理、力學(xué)性能的預(yù)測(cè)和分析.

2 離線多尺度建模

本節(jié)首先給出三種代表性混雜復(fù)合材料的微觀結(jié)構(gòu)的計(jì)算機(jī)建模.隨后基于建立的混雜復(fù)合材料微觀幾何結(jié)構(gòu),利用漸近均勻化方法建立其熱傳導(dǎo)問(wèn)題的多尺度模型,得到混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)系數(shù)的計(jì)算公式.最后選取混雜復(fù)合材料的特征數(shù)據(jù),并將計(jì)算得到的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)值作為用于機(jī)器學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)標(biāo)簽,建立混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫(kù),完成混雜復(fù)合材料的離線多尺度建模.

2.1 混雜復(fù)合材料計(jì)算機(jī)模型及其熱傳導(dǎo)問(wèn)題的漸近均勻化方法

本文主要研究三種混雜復(fù)合材料,包括兩種周期型混雜復(fù)合材料和一種隨機(jī)型混雜復(fù)合材料,三種混雜復(fù)合材料的微觀結(jié)構(gòu)計(jì)算機(jī)模型如圖1所示.

對(duì)于這三種混雜復(fù)合材料,其計(jì)算機(jī)幾何模型具體生成算法如下:

1) 對(duì)于周期型混雜復(fù)合材料I 和II,如圖1(a)和圖1(b)所示,首先生成混雜復(fù)合材料的內(nèi)部夾雜邊界和整個(gè)材料的外部邊界,然后建立該混雜復(fù)合材料的有限元網(wǎng)格.

2) 對(duì)于隨機(jī)型混雜復(fù)合材料,如圖1(c)所示,采用文獻(xiàn)[22,23]中的概率分布模型和網(wǎng)格生成算法來(lái)創(chuàng)建其微觀結(jié)構(gòu).

需要說(shuō)明的是,本文研究的所有混雜復(fù)合材料的微觀結(jié)構(gòu)均基于Freefem++軟件二次開(kāi)發(fā)生成.基于上述算法,我們成功地建立了周期型和隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的計(jì)算機(jī)幾何模型和有限元計(jì)算網(wǎng)格.

基于建立的混雜復(fù)合材料微觀結(jié)構(gòu)計(jì)算機(jī)幾何模型,建立混雜復(fù)合材料熱傳導(dǎo)問(wèn)題的漸近均勻化方法,得到混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)系數(shù)的計(jì)算公式.首先考慮如下的混雜復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)問(wèn)題:

其中?是一個(gè) RN(N=2,3) 中的有界凸區(qū)域并具有邊界??=??T ∪??q; 小參數(shù)ε代表混雜復(fù)合材料的周期單胞(UC) 或代表體積元(RVE)的特征尺寸;Tε(x) 是待求解的溫度場(chǎng);kiεj(x) 代表二階熱傳導(dǎo)系數(shù)張量;h(x) 是混雜復(fù)合材料的內(nèi)部熱源;T︿(x) 是邊界??T上的溫度場(chǎng);qˉ(x) 是邊界??q上的熱流場(chǎng).此外,我們強(qiáng)調(diào)所有周期型和隨機(jī)型混雜復(fù)合材料都用RVE 來(lái)統(tǒng)一描述其微觀結(jié)構(gòu).

根據(jù)漸近均勻化方法的理論[10],令y=x/ε為代表體積元Q=(0,1)N的微觀坐標(biāo),于是可以得到如下的鏈?zhǔn)椒▌t:

對(duì)于(1)式的多尺度熱傳導(dǎo)問(wèn)題,假設(shè)其精確解Tε(x)具有如下的漸近展開(kāi)形式:

接下來(lái),將(3)式代入(1)式,并借助鏈?zhǔn)椒▌t(2)式,可以得到用于求解輔助單胞函數(shù)Mα1(y)的具有齊次狄利克雷邊界條件的輔助單胞問(wèn)題如下所示:

然后在代表體積元Q上做積分并利用高斯定理,得到混雜復(fù)合材料的宏觀均勻化熱傳導(dǎo)問(wèn)題為

圖1 混雜復(fù)合材料計(jì)算機(jī)模型 (a) 周期混雜復(fù)合材料I; (b) 周期混雜復(fù)合材料II; (c) 隨機(jī)混雜復(fù)合材料Fig.1.Computer geometric models: (a) Periodic hybrid composite material I; (b) periodic hybrid composite material II;(c) random hybrid composite material.

(6)式被應(yīng)用于預(yù)測(cè)研究的三種混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能.

2.2 混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫(kù)

針對(duì)所研究的三種混雜復(fù)合材料,首先建立其計(jì)算機(jī)幾何模型和有限元計(jì)算網(wǎng)格.然后采用漸近均勻化方法計(jì)算其等效均勻化材料參數(shù).通過(guò)離線多尺度建模,可以得到混雜復(fù)合材料包含數(shù)據(jù)特征和數(shù)據(jù)標(biāo)簽的材料數(shù)據(jù)庫(kù).該材料數(shù)據(jù)庫(kù)的數(shù)據(jù)特征包括混雜復(fù)合材料組成成分的材料參數(shù)和微觀結(jié)構(gòu)幾何參數(shù),該數(shù)據(jù)庫(kù)中的數(shù)據(jù)標(biāo)簽為混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)系數(shù),數(shù)據(jù)庫(kù)的建立對(duì)在線機(jī)器學(xué)習(xí)建立預(yù)測(cè)混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的機(jī)器學(xué)習(xí)模型至關(guān)重要.

假設(shè)本文研究的混雜復(fù)合材料的夾雜材料和基體材料都是各向同性的.對(duì)于圖1(a)和圖1(b)所示的周期型混雜復(fù)合材料I 和II,數(shù)據(jù)特征設(shè)置為夾雜材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)kc1和kc2,基體材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)km和夾雜物1 的半徑r1與夾雜物2 的半徑r2.為便于建模分析,采用歸一化的思想,將代表體積元Q的邊長(zhǎng)設(shè)置為1,熱傳導(dǎo)系數(shù)kc1,kc2和km均在(0,1)中隨機(jī)生成并服從均勻分布,夾雜物半徑r1和r2均在(0,0.25)中隨機(jī)生成并服從均勻分布.對(duì)于圖1(c)所示的隨機(jī)型混雜復(fù)合材料,數(shù)據(jù)特征的選擇比周期型混雜復(fù)合材料更為復(fù)雜.為了解決這一問(wèn)題,引入了等間距矩形網(wǎng)格作為背景網(wǎng)格來(lái)提取機(jī)器學(xué)習(xí)需要的數(shù)據(jù)特征.需要強(qiáng)調(diào)的是,用于提取材料特征的背景網(wǎng)格與漸近均勻化方法中的有限元計(jì)算網(wǎng)格不同.然后定義隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的夾雜材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)kc1,kc2和基體材料的熱傳導(dǎo)系數(shù)km仍在(0,1)中服從均勻分布隨機(jī)生成.隨后,選取背景網(wǎng)格上各個(gè)節(jié)點(diǎn)的熱傳導(dǎo)系數(shù)為隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的數(shù)據(jù)特征.需要注意的是,背景網(wǎng)格法也可以應(yīng)用于周期型混雜復(fù)合材料.但是周期型混雜復(fù)合材料的數(shù)據(jù)特征十分明顯,沒(méi)有必要采用這種方法.將所有混雜復(fù)合材料的數(shù)據(jù)標(biāo)簽統(tǒng)一設(shè)定為利用漸近均勻化方法計(jì)算得到的混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)系數(shù).

據(jù)此,建立周期型和隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫(kù),具體的材料數(shù)據(jù)庫(kù)構(gòu)成詳見(jiàn)表1 和表2.

表1 周期型混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫(kù)Table 1.Database for periodic hybrid composite material.

表2 隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫(kù)Table 2.Database for random hybrid composite material.

3 在線機(jī)器學(xué)習(xí)

本節(jié)首先介紹小波變換方法的理論基礎(chǔ)及其在我們建立的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法中的應(yīng)用.然后介紹我們建立的混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能預(yù)測(cè)的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法.需要強(qiáng)調(diào)的是,新引入的小波預(yù)處理策略對(duì)于保證機(jī)器學(xué)習(xí)模型的成功訓(xùn)練至關(guān)重要,而且可以在很大程度上提高學(xué)習(xí)的效率,此外小波預(yù)處理具有自動(dòng)過(guò)濾噪聲的功能.

3.1 小波變換方法

訓(xùn)練過(guò)程是成功建立機(jī)器學(xué)習(xí)模型至關(guān)重要的部分,但是如果訓(xùn)練集中輸入數(shù)據(jù)規(guī)模較大會(huì)對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)模型的結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很大影響,并導(dǎo)致訓(xùn)練效率降低和監(jiān)督學(xué)習(xí)難度增加,因此我們創(chuàng)新地采用小波變換方法對(duì)具有大規(guī)模數(shù)據(jù)特征的混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理.已有研究表明,小波變換方法是信號(hào)和圖像處理領(lǐng)域中數(shù)據(jù)壓縮和特征提取的強(qiáng)有力工具[24?27].

小波變換方法的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)是能夠從輸入數(shù)據(jù)中提取多尺度信息.通過(guò)對(duì)輸入數(shù)據(jù)遞歸使用,小波變換會(huì)得到輸入數(shù)據(jù)的多層小波分解[25,28].接下來(lái)給出三層小波分解過(guò)程的示意圖,如圖2 所示,原始數(shù)據(jù)經(jīng)一次小波分解后得到近似系數(shù)CA1和細(xì)節(jié)系數(shù)CD1兩部分; 然后將近似系數(shù)CA1作為輸入進(jìn)行下一次小波分解,得到近似系數(shù)CA2和細(xì)節(jié)系數(shù)CD2; 最后將CA2作為輸入進(jìn)行下一次小波分解,得到近似系數(shù)CA3和細(xì)節(jié)系數(shù)CD3.三層小波分解得到的最終結(jié)果為[CA3,CD3,CD2,CD1].針對(duì)原始數(shù)據(jù)特征進(jìn)行多層小波分解的主要優(yōu)點(diǎn)有兩點(diǎn): 1) 從小波分解得到的結(jié)果中選取合適的小波系數(shù)作為新的監(jiān)督學(xué)習(xí)輸入數(shù)據(jù),能顯著減小用于機(jī)器學(xué)習(xí)模型訓(xùn)練的輸入數(shù)據(jù)規(guī)模,保證機(jī)器學(xué)習(xí)模型的成功訓(xùn)練并提高訓(xùn)練效率; 2) 通過(guò)小波分解可以過(guò)濾原始數(shù)據(jù)中的噪聲,提高訓(xùn)練得到的機(jī)器學(xué)習(xí)模型的準(zhǔn)確率.此外,需要強(qiáng)調(diào)的是,通常選取小波近似系數(shù)和最高層次的小波細(xì)節(jié)系數(shù)作為新的輸入數(shù)據(jù),這樣選擇的根本原因是較低層的細(xì)節(jié)系數(shù)包括來(lái)自原始數(shù)據(jù)特征的噪聲和小的數(shù)據(jù)波動(dòng).

圖2 三層小波分解示意圖Fig.2.Schematic of three-level wavelet decomposition.

在隨后的數(shù)值實(shí)驗(yàn)中,針對(duì)隨機(jī)型混雜復(fù)合材料,采用99×99 的背景網(wǎng)格提取樣本各節(jié)點(diǎn)的材料參數(shù)作為原始數(shù)據(jù)集樣本的特征.在此背景網(wǎng)格下,總共有10000 個(gè)節(jié)點(diǎn),即10000個(gè)原始數(shù)據(jù)特征,若直接采用如此大規(guī)模的數(shù)據(jù)特征作為機(jī)器學(xué)習(xí)模型輸入數(shù)據(jù),要保證機(jī)器學(xué)習(xí)模型的成功訓(xùn)練相對(duì)困難,因此采用上述小波變換方法對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理,以減小輸入數(shù)據(jù)的特征規(guī)模.選用小波函數(shù)“db1”,對(duì)原始數(shù)據(jù)特征進(jìn)行三層小波分解,將得到的1250 個(gè)小波系數(shù)CA3作為新的輸入數(shù)據(jù)特征,建立隨機(jī)型混雜復(fù)合材料新的材料數(shù)據(jù)庫(kù),如表3 所列.

表3 隨機(jī)型混雜復(fù)合材料新的材料數(shù)據(jù)庫(kù)Table 3.New database for random hybrid composite material.

3.2 小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法

在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域,ANN 方法和支持向量機(jī)(support vector machine,SVM)方法是兩種廣泛應(yīng)用的經(jīng)典方法.首先對(duì)ANN 方法的基本原理做簡(jiǎn)單介紹.ANN 是一種應(yīng)用類似于大腦神經(jīng)突觸連接的結(jié)構(gòu)進(jìn)行信息處理的數(shù)學(xué)模型,ANN 方法中最基本的組成單元是神經(jīng)元[29],圖3(a)給出了一個(gè)神經(jīng)元模型.多個(gè)神經(jīng)元按一定的層級(jí)結(jié)構(gòu)連接起來(lái)就得到了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是一種常用的ANN 模型,其基本構(gòu)架如圖3(b)所示.通常,ANN 的第一層為輸入層,最后一層為輸出層,中間可包含若干隱藏層,每一層中的每一個(gè)圓圈代表一個(gè)神經(jīng)元.

在神經(jīng)元模型中,來(lái)自其他n個(gè)神經(jīng)元的輸入信號(hào)xi分別和權(quán)重wi相乘后傳遞至當(dāng)前神經(jīng)元,神經(jīng)元接收到的總輸入疊加求和后再加上一個(gè)偏置b,然后用激活函數(shù)σ(·) 對(duì)其進(jìn)行作用產(chǎn)生當(dāng)前神經(jīng)元的輸出f,其中偏置b可等效為一個(gè)固定輸入x0=1 和權(quán)重w0=b相乘后傳遞至當(dāng)前神經(jīng)元.從數(shù)學(xué)上講,ANN 方法的最終目標(biāo)是學(xué)習(xí)得到一個(gè)最佳的映射函數(shù)φ(·) ,以便在給定輸入x時(shí)能夠獲得其對(duì)應(yīng)標(biāo)簽y的近似值[29],即:

通常ANN 采用鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu),映射φ(·) 由函數(shù)f層層嵌套生成,即:

式中,函數(shù)fi(x)=σ(Wix+bi),i=0,1,··· ,n,其中Wi為權(quán)重矩陣,bi為偏置,σ(·) 為激活函數(shù).ANN 方法的本質(zhì)即通過(guò)不斷學(xué)習(xí),更新權(quán)重和偏置參數(shù)求解如下極值問(wèn)題,使得φ(·) 能夠更好地模擬輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系.

圖3 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法示意圖 (a) 神經(jīng)元模型; (b) 多層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型Fig.3.Schematic of artificial neural network: (a) The neuron model; (b) the multilayer feedforward ANN model.

圖4 機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法流程圖Fig.4.Flowchart of hybrid wavelet-based learning method.

其中θk=(Wk,bk),θ=(θ0,··· ,θn) ,L為損失函數(shù),ψ為正則函數(shù).ANN 方法訓(xùn)練過(guò)程中常用的激活函數(shù)有ReLU 函數(shù):σ(z)=max(0,z) 和Sigmoid函數(shù):σ(z)=1/(1+e?z) ,常用的損失函數(shù)有均方誤差(mse) 和絕對(duì)誤差(mae) 等,常用的優(yōu)化算法有隨機(jī)梯度下降算法(SGD)、自適應(yīng)梯度算法(AdaGrad)和自適應(yīng)矩估計(jì)算法(Adam)等.

SVR 方法是基于SVM 方法發(fā)展而來(lái)的一種回歸方法,在實(shí)際應(yīng)用中,許多問(wèn)題都不是線性可分的,SVR 通過(guò)使用核函數(shù)把不能夠線性可分的原始樣本空間映射到一個(gè)新的高維的樣本空間,使得新得到的高維樣本空間可能是線性可分的,一些數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明了對(duì)于一個(gè)有限維樣本空間,必然存在一個(gè)高維的特征空間使得樣本可分[30].SVR 方法的具體數(shù)學(xué)模型[30]為給定訓(xùn)練集D={(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xm,ym)},其中xi ∈Rn和yi ∈R ,定義相似性函數(shù)?(·) 和核函數(shù)κ(xi,xj) ,κ(xi,xj)=〈?(mxi),?(xj)〉=?(xi)T?(xj) ,其中〈·,·〉為高維特征空間中的內(nèi)積.然后得到?(x) 為原始向量x經(jīng)過(guò)映射后得到的特征向量,SVR 方法的數(shù)學(xué)模型就是確定一個(gè)函數(shù)F(x)=θT?(x)+b,該函數(shù)滿足如下極值問(wèn)題:

其中θ和b為模型參數(shù),C為正則化參數(shù),?ε為ε-i nsensitive 損失函數(shù)并滿足如下的關(guān)系式:

需要強(qiáng)調(diào)的是,SVR 模型的數(shù)值精度取決于核函數(shù)選擇的合適程度,然而如何選擇一個(gè)SVR 模型最優(yōu)的核函數(shù)仍是一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題.

通過(guò)離線多尺度建模,建立了周期型和隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫(kù).接下來(lái),對(duì)隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫(kù)應(yīng)用小波變換方法得到新的材料數(shù)據(jù)庫(kù).然后利用經(jīng)典的ANN 方法和SVR 方法對(duì)周期型和隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行在線機(jī)器學(xué)習(xí),具體的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法預(yù)測(cè)混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能的流程圖如圖4 所示.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證提出的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法的有效性和可行性.通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn),成功訓(xùn)練了三種混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)系數(shù)預(yù)測(cè)的ANN 模型和SVR 模型.三種混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫(kù)均由1000 組樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成,在每種材料的數(shù)據(jù)庫(kù)中隨機(jī)選取800 組樣本數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練集,剩下的200 組作為測(cè)試集用來(lái)評(píng)估訓(xùn)練得到的機(jī)器學(xué)習(xí)模型.

圖5 三種混雜復(fù)合材料1000 個(gè)隨機(jī)樣本的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分布圖 (a) 周期混雜復(fù)合材料I; (b) 周期混雜復(fù)合材料II; (c) 隨機(jī)混雜復(fù)合材料Fig.5.Effective thermal conductivity distribution of 1000 RVE samples of three kinds of hybrid composite materials: (a) Periodic hybrid composite material I; (b) periodic hybrid composite material II; (c) random hybrid composite material.

圖6 十折交叉驗(yàn)證過(guò)程示意圖Fig.6.Schematic of 10-fold cross-validation.

首先給出三種混雜復(fù)合材料的1000 個(gè)隨機(jī)樣本等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分布圖,如圖5 所示.圖5(a)為周期混雜復(fù)合材料I 的1000 個(gè)隨機(jī)樣本無(wú)量綱等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分布圖,其中最小和最大等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分別為0.001114 和0.989869.圖5(b)為周期混雜復(fù)合材料II 的1000 個(gè)隨機(jī)樣本無(wú)量綱等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分布圖,其中最小和最大等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分別為0.001331 和0.989154.圖5(c)為隨機(jī)混雜復(fù)合材料的1000 個(gè)隨機(jī)樣本無(wú)量綱等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分布圖,其中最小和最大等效熱傳導(dǎo)系數(shù)分別為0.034763 和0.986564.

本節(jié)數(shù)值實(shí)驗(yàn)中提到的驗(yàn)證(集)誤差、訓(xùn)練(集)誤差和測(cè)試(集)誤差均為平均絕對(duì)相對(duì)誤差.

4.1 小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法

用小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法對(duì)三種混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能進(jìn)行預(yù)測(cè),在訓(xùn)練過(guò)程中,用于訓(xùn)練的損失函數(shù)被設(shè)定為均方誤差函數(shù)(mse),應(yīng)用Adam 優(yōu)化算法來(lái)更新所有權(quán)重并進(jìn)行迭代,激活函數(shù)采用ReLU 函數(shù).為了避免過(guò)擬合現(xiàn)象的發(fā)生,采用十折交叉驗(yàn)證(cross-validation,Cv)的方法對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的過(guò)擬合行為進(jìn)行抑制.在十折交叉驗(yàn)證中將訓(xùn)練集隨機(jī)分為10 份,并且分別以這10 份中的1 份為驗(yàn)證集,其余9 份為訓(xùn)練集進(jìn)行10 次訓(xùn)練,最后以這10 次訓(xùn)練中驗(yàn)證集誤差的平均值作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型過(guò)擬合程度的判斷標(biāo)準(zhǔn),十折交叉驗(yàn)證過(guò)程如圖6 所示.

最終將整個(gè)訓(xùn)練集輸入調(diào)試好的模型進(jìn)行訓(xùn)練,并在測(cè)試集上對(duì)模型進(jìn)行評(píng)估,給出建立的模型在整個(gè)訓(xùn)練集和測(cè)試集上的相對(duì)誤差分布圖及其平均值.對(duì)周期型混雜復(fù)合材料I 和II,將其材料數(shù)據(jù)庫(kù)中的 k c1,k c2,k m ,r1和 r2定義為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層的5 個(gè)神經(jīng)元,等效熱傳導(dǎo)系數(shù)作為輸出層的1 個(gè)神經(jīng)元,對(duì)周期混雜復(fù)合材料I 建立5-128-128-1 的前饋ANN 模型,設(shè)定迭代次數(shù)為250 次; 對(duì)周期混雜復(fù)合材料II 建立5-128-64-32-1的前饋ANN 模型,設(shè)定迭代次數(shù)為500 次; 對(duì)隨機(jī)型混雜復(fù)合材料以材料數(shù)據(jù)庫(kù)中原始數(shù)據(jù)特征經(jīng)三層小波分解后得到的1250 個(gè)小波系數(shù) C A3作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層的1250 個(gè)神經(jīng)元,等效熱傳導(dǎo)系數(shù)作為輸出層的1 個(gè)神經(jīng)元,對(duì)隨機(jī)混雜復(fù)合材料建立1250-1024-512-512-256-1 的前饋ANN模型,設(shè)定迭代次數(shù)為500 次.

數(shù)值實(shí)驗(yàn)完成后,給出最終的數(shù)值結(jié)果如圖7和圖8 所示.

圖7(a)—(c)分別給出了三種混雜材料的訓(xùn)練集誤差和驗(yàn)證集誤差隨迭代次數(shù)的變化.從圖7 可以清楚地看到,由于權(quán)重和偏置的初始值是隨機(jī)生成的,因此剛開(kāi)始迭代的訓(xùn)練誤差很大.隨著迭代的進(jìn)行,權(quán)重和偏置會(huì)根據(jù)Adam算法逐漸更新,訓(xùn)練誤差和驗(yàn)證誤差均迅速下降,趨于收斂.最終,周期混雜復(fù)合材料I 經(jīng)10 折交叉驗(yàn)證得到的訓(xùn)練集誤差為1.7656%,驗(yàn)證集誤差為3.2645%; 周期混雜復(fù)合材料II 經(jīng)10 折交叉驗(yàn)證得到的訓(xùn)練集誤差為1.6503%,驗(yàn)證集誤差為4.1921%; 隨機(jī)混雜復(fù)合材料經(jīng)10 折交叉驗(yàn)證的訓(xùn)練集誤差為1.7080%,驗(yàn)證集誤差為5.7597%.說(shuō)明對(duì)于研究的三種混雜復(fù)合材料,訓(xùn)練過(guò)程中沒(méi)有出現(xiàn)明顯的過(guò)擬合情況,因此可以將訓(xùn)練得到的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)一步在測(cè)試集上進(jìn)行評(píng)估.重新將800 組訓(xùn)練集作為已經(jīng)確定網(wǎng)絡(luò)構(gòu)架的ANN 模型的輸入,用訓(xùn)練得到的ANN 模型對(duì)測(cè)試集中每個(gè)樣本的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè),并與用漸近均勻化方法計(jì)算得到的數(shù)據(jù)標(biāo)簽進(jìn)行對(duì)比,最終三種混雜復(fù)合材料的3 個(gè)模型在整個(gè)訓(xùn)練集和測(cè)試集上的相對(duì)誤差分布分別如圖8(a)—(c)所示.在圖8(a)和圖8(b)中,周期混雜復(fù)合材料I 和II 的訓(xùn)練集和測(cè)試集中絕大部分樣本的相對(duì)誤差都小于2%.最終,材料I 的ANN 模型在訓(xùn)練集和測(cè)試集上的誤差分別為1.4954%和2.2164%; 材料II 的ANN 模型在訓(xùn)練集和測(cè)試集上的誤差分別為1.4745%和1.4533%.在圖8(c)中,隨機(jī)混雜復(fù)合材料的訓(xùn)練集和測(cè)試集中絕大部分樣本的相對(duì)誤差都小于 3%.最終,隨機(jī)混雜復(fù)合材料訓(xùn)練集和測(cè)試集的誤差分別為1.3596%和3.9731%.總而言之,我們建立的小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法可以高精度、高效地預(yù)測(cè)周期型和隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能.

4.2 小波-支持向量混合方法

用小波-支持向量混合方法對(duì)三種混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能進(jìn)行預(yù)測(cè),訓(xùn)練過(guò)程中,將SVR 方法的核函數(shù)設(shè)置為高斯核函數(shù)并通過(guò)調(diào)節(jié)另外兩個(gè)參數(shù)C 和 ε 來(lái)確定最優(yōu)的SVR 模型,并且仍采用十折交叉驗(yàn)證的方法來(lái)避免過(guò)擬合現(xiàn)象的發(fā)生.為了確定SVR 模型中參數(shù)C 和 ε 的值,在十折交叉驗(yàn)證的基礎(chǔ)上結(jié)合了網(wǎng)格搜索的方法.在網(wǎng)格搜索過(guò)程中,將不同參數(shù)值C 和 ε 進(jìn)行組合,然后進(jìn)行十折交叉驗(yàn)證,最后比較不同組合下十折交叉驗(yàn)證的結(jié)果,以最小誤差對(duì)應(yīng)的參數(shù)值作為最終選擇的參數(shù)值,三種材料的網(wǎng)格搜索的誤差結(jié)果與最終選擇的參數(shù)組合如圖9 所示.

圖7 三種混雜復(fù)合材料訓(xùn)練集誤差和驗(yàn)證集誤差隨迭代次數(shù)變化曲線圖 (a) 周期混雜復(fù)合材料I; (b) 周期混雜復(fù)合材料II;(c) 隨機(jī)混雜復(fù)合材料Fig.7.Training error and cross-validation error descend as the training iteration increases for three kinds of hybrid composite materials: (a) Periodic hybrid composite material I; (b) periodic hybrid composite material II; (c) random hybrid composite material.

圖8 三種混雜復(fù)合材料訓(xùn)練集和測(cè)試集上的相對(duì)誤差分布圖 (a) 周期混雜復(fù)合材料I; (b) 周期混雜復(fù)合材料II; (c) 隨機(jī)混雜復(fù)合材料Fig.8.Frequency distribution of training error and test error of three kinds of hybrid composite materials: (a) Periodic hybrid composite material I; (b) periodic hybrid composite material II; (c) random hybrid composite material.

在圖9(a)中,對(duì)周期混雜復(fù)合材料I,確定了最優(yōu)參數(shù)組合為C = 1500 和 ε =10?5,此時(shí)訓(xùn)練集誤差為0.20%,驗(yàn)證集誤差為2.7018%; 在圖9(b)中,對(duì)于周期混雜復(fù)合材料II,確定了參數(shù)組合為C = 10 和 ε =10?3,此時(shí)訓(xùn)練集誤差為1.7727%,驗(yàn)證集誤差為2.7741%; 在圖9(c)中,對(duì)于隨機(jī)混雜復(fù)合材料,確定了參數(shù)組合為C =1 和 ε =10?2,此時(shí)訓(xùn)練集誤差為2.6578%,驗(yàn)證集誤差為9.2572%.上述結(jié)果表明,對(duì)周期型混雜復(fù)合材料均沒(méi)有出現(xiàn)明顯的過(guò)擬合行為,對(duì)隨機(jī)型混雜復(fù)合材料出現(xiàn)了一定程度的過(guò)擬合行為.接下來(lái)將800 組訓(xùn)練集作為已經(jīng)確定參數(shù)的SVR 模型的輸入,再用訓(xùn)練后的SVR 模型預(yù)測(cè)測(cè)試集中每個(gè)樣本的等效熱傳導(dǎo)系數(shù),并與用漸近均勻化方法計(jì)算得到的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)進(jìn)行對(duì)比,最終三種混雜復(fù)合材料的訓(xùn)練集和測(cè)試集的相對(duì)誤差分布如圖10所示.

圖9 三種混雜復(fù)合材料參數(shù)網(wǎng)格搜索示意圖,其中標(biāo)記√處為最終確定的最優(yōu)參數(shù)組合 (a) 周期混雜復(fù)合材料I; (b) 周期混雜復(fù)合材料II; (c) 隨機(jī)混雜復(fù)合材料Fig.9.Grid search diagram of three kinds of hybrid composite materials’ parameters,where the final optimal combination of parameters is marked with √: (a) Periodic hybrid composite material I; (b) periodic hybrid composite material II; (c) random hybrid composite material.

從圖10 可以發(fā)現(xiàn),對(duì)周期混雜復(fù)合材料I 和II的訓(xùn)練集和測(cè)試集中除個(gè)別樣本的相對(duì)誤差高于10%外,絕大部分樣本的相對(duì)誤差都小于2%.材料I 最終的訓(xùn)練集和測(cè)試集的誤差分別為0.2462%和1.2712%,材料II 最終的訓(xùn)練集和測(cè)試集的誤差分別為1.4252%和1.7516%.而對(duì)隨機(jī)混雜復(fù)合材料的訓(xùn)練集和測(cè)試集中絕大部分樣本的相對(duì)誤差都小于8%,且其最終的訓(xùn)練集和測(cè)試集誤差分別為2.6636%和8.1561%.總而言之,對(duì)于周期型混雜復(fù)合材料,小波-支持向量混合方法是高精度、高效率的,但對(duì)于隨機(jī)型混雜復(fù)合材料,該方法的預(yù)測(cè)精度沒(méi)有周期型混雜復(fù)合材料高.

4.3 小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法抗噪性能分析

圖10 三種混雜復(fù)合材料訓(xùn)練集和測(cè)試集上的相對(duì)誤差分布圖 (a) 周期混雜復(fù)合材料I; (b) 周期混雜復(fù)合材料II; (c) 隨機(jī)混雜復(fù)合材料Fig.10.Frequency distribution of training error and test error of three kinds of hybrid composite materials: (a) Periodic hybrid composite material I; (b) periodic hybrid composite material II; (c) random hybrid composite material.

表4 兩種小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法抗噪性能分析Table 4.Anti-noise performance analysis of two kinds of hybrid wavelet-based learning methods.

在實(shí)際工程應(yīng)用中,各種各樣的噪聲無(wú)法避免,小波方法天然地具有一定的去噪能力,接下來(lái)對(duì)我們建立的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法的抗噪性能進(jìn)行分析.由于隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的原始數(shù)據(jù)特征是由背景網(wǎng)格中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的材料參數(shù)定義,因此通過(guò)分別向背景網(wǎng)格各節(jié)點(diǎn)隨機(jī)添加三種不同強(qiáng)度的高斯噪聲N(0,0.0012),N(0,0.012) 和N(0,0.12),再分別應(yīng)用建立的小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法和小波-支持向量混合方法對(duì)加噪后的隨機(jī)混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能進(jìn)行預(yù)測(cè)分析.數(shù)值實(shí)驗(yàn)完成后,對(duì)不同強(qiáng)度的噪聲最終的預(yù)測(cè)效果見(jiàn)表4,其中ANN 和SVR 代表沒(méi)有噪聲時(shí)兩種小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法的預(yù)測(cè)結(jié)果,ANN-I,ANNII,ANN-III 和SVR-I,SVR-II,SVR-III 分別代表添加噪聲N(0,0.0012),N(0,0.012) ,N(0,0.12) 時(shí)兩種小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

由表4 可知,小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法和小波-支持向量混合方法對(duì)于三種不同強(qiáng)度的噪聲都是不敏感的,不同強(qiáng)度的噪聲不會(huì)對(duì)兩種方法的精度造成較大的影響.此外,相比小波-支持向量混合方法,小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法在噪聲干擾下表現(xiàn)出更好的數(shù)值精度,訓(xùn)練集和測(cè)試集的誤差精度均控制在5%以內(nèi),同時(shí)樣本測(cè)試時(shí)間很短,這對(duì)于實(shí)際工程應(yīng)用具有重要的意義.從表4 還可以看出,小波-支持向量混合方法對(duì)于無(wú)噪聲污染和有噪聲污染的隨機(jī)型混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能預(yù)測(cè)均出現(xiàn)了一定程度的過(guò)擬合現(xiàn)象,因?yàn)樵摲椒ń徊骝?yàn)證得到的訓(xùn)練集誤差很小而驗(yàn)證集誤差偏大.綜上所述,在實(shí)際工程應(yīng)用中采用小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法來(lái)預(yù)測(cè)隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)系數(shù)更為有效,不僅預(yù)測(cè)精度高而且預(yù)測(cè)效率高.

5 結(jié) 論

為了有效預(yù)測(cè)混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能,本文結(jié)合多尺度分析提出了一種新的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法.在該方法中,基于Freefem++軟件二次開(kāi)發(fā),建立了三種典型混雜復(fù)合材料的計(jì)算機(jī)幾何模型.利用漸近均勻化方法離線計(jì)算得到了三種混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)系數(shù),然后以混雜復(fù)合材料組成成分的微觀結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)作為數(shù)據(jù)特征,其等效熱傳導(dǎo)系數(shù)作為數(shù)據(jù)標(biāo)簽,建立混雜復(fù)合材料的離線材料數(shù)據(jù)庫(kù).對(duì)于隨機(jī)型混雜復(fù)合材料,創(chuàng)造性地利用小波變換方法對(duì)其建立在背景網(wǎng)格上的數(shù)據(jù)特征進(jìn)行預(yù)處理,建立了新的材料數(shù)據(jù)庫(kù).最后,利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和支持向量回歸方法對(duì)周期型和隨機(jī)型混雜復(fù)合材料的材料數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行在線監(jiān)督學(xué)習(xí),得到混雜復(fù)合材料等效熱傳導(dǎo)性能預(yù)測(cè)的機(jī)器學(xué)習(xí)模型.

本文建立的新的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法充分利用了小波變換方法的數(shù)據(jù)壓縮、特征提取和去噪能力,以及機(jī)器學(xué)習(xí)方法優(yōu)異的數(shù)據(jù)擬合能力.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,在無(wú)噪聲的情形下,對(duì)于周期型混雜復(fù)合材料,小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法和小波-支持向量回歸混合方法均表現(xiàn)出很高的數(shù)值精度,并且穩(wěn)定高效; 對(duì)于隨機(jī)型混雜復(fù)合材料,小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法的預(yù)測(cè)精度高于小波-支持向量回歸混合方法.在加入噪聲的情形下,兩種混合方法均表現(xiàn)出很好的抗噪能力,其中小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)混合方法數(shù)值精度更高,樣本測(cè)試時(shí)間更短,小波-支持向量混合方法的數(shù)值精度較低,且表現(xiàn)出一定程度的過(guò)擬合行為.綜上所述,本文建立的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合方法可以有效預(yù)測(cè)混雜復(fù)合材料的等效熱傳導(dǎo)性能,特別是小波-神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法具有高精度、高效率的預(yù)測(cè)能力和優(yōu)異的抗噪性能.本文建立的統(tǒng)一的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合框架可以很容易地?cái)U(kuò)展到預(yù)測(cè)混雜復(fù)合材料的其他物理、力學(xué)性能,為新型復(fù)合材料的開(kāi)發(fā)提供了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)理論和高性能算法.在未來(lái),希望能夠進(jìn)一步利用我們建立的小波-機(jī)器學(xué)習(xí)混合框架對(duì)混雜復(fù)合材料的其他非線性物理、力學(xué)性能進(jìn)行深入研究.

感謝阿爾伯塔大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)科學(xué)系Yaushu Wong教授和Yile Zhang 博士的討論.