韓 蘋(píng)，田學(xué)東

(河北大學(xué) 網(wǎng)絡(luò)空間安全與計(jì)算機(jī)學(xué)院，河北 保定 071002)

1 引 言

傳統(tǒng)面向一維文本的檢索方法很難對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式這種特殊的信息表現(xiàn)形式進(jìn)行檢索和處理，且數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索的查詢(xún)式和檢索結(jié)果會(huì)因?yàn)閿?shù)學(xué)表達(dá)式豐富的語(yǔ)法語(yǔ)義變換特性而存在需求偏離的情況，導(dǎo)致檢索性能降低.因此，有必要針對(duì)以數(shù)學(xué)表達(dá)式為查詢(xún)關(guān)鍵詞的數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索結(jié)果排序.

國(guó)內(nèi)外針對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索的研究取得了一定的進(jìn)展.在公式檢索結(jié)果排序方面，Mansouri等人[1]為使排序更為準(zhǔn)確、有效，引入了一種新的外觀(guān)符號(hào)布局樹(shù)(Symbol Layout Trees，SLTs)、運(yùn)算符樹(shù)(Operator Trees，OPTs)兩個(gè)分層的公式嵌入模型，提高公式間相似性的精確度.Math-aware[2]是一種能夠結(jié)合數(shù)學(xué)公式布局和語(yǔ)義特征的三層公式搜索模型，結(jié)合并行索引和相似度評(píng)價(jià)方法，在公式的檢索結(jié)果排名中能夠提高檢索的排序效果和質(zhì)量.Dallas等人[3]融合數(shù)學(xué)表達(dá)式符號(hào)布局樹(shù)的特征作為關(guān)鍵搜索詞，并使用BM25文本排序方法，實(shí)現(xiàn)基于數(shù)學(xué)和文本之間的搜索.DLMF(Digital Library of Mathematical Functions)Search[4]主要是針對(duì)數(shù)學(xué)圖書(shū)館而建立的數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索系統(tǒng)在檢索結(jié)果排序方面先后改進(jìn)了TF-IDF[5]算法，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)檢索內(nèi)容的檢索.

宰新宇等人[6]在對(duì)科技文檔檢索時(shí)融入了一種詞嵌入語(yǔ)言模型，彌補(bǔ)了單一的公式對(duì)文檔檢索造成絕對(duì)性的影響，結(jié)合上下文語(yǔ)義特征構(gòu)建了一種融合公式和語(yǔ)義特征的科技文檔檢索模型，從而實(shí)現(xiàn)檢索結(jié)果更為有效、合理的排序.孟祥福等人[7]提出一種空間關(guān)鍵字個(gè)性化語(yǔ)義查詢(xún)方法，該方法能夠完整顯示原有信息的個(gè)性化查詢(xún)，提高個(gè)性化查詢(xún)程度和準(zhǔn)確率.黃鶯等人[8]利用用戶(hù)的個(gè)性化信息，融合擴(kuò)展檢索技術(shù)，優(yōu)化了檢索結(jié)果排序，減少用戶(hù)獲取資源的時(shí)間.崔曉娟等人[9]在提取數(shù)學(xué)表達(dá)式的檢索特征上構(gòu)建了分層結(jié)構(gòu)索引表，采用TF-IDF對(duì)文檔向量賦予權(quán)值，利用余弦相似度來(lái)計(jì)算檢索向量和文檔之間的相似度，最終實(shí)現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)表達(dá)式的科技文檔檢索結(jié)果的有序輸出.

由于數(shù)學(xué)表達(dá)式屬于多種符號(hào)構(gòu)成的復(fù)雜二維模式，如何將其在符號(hào)、語(yǔ)法、語(yǔ)義等方面的屬性合理融合，獲取符合用戶(hù)需求的數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索結(jié)果，成為一項(xiàng)關(guān)鍵問(wèn)題.本文將數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索結(jié)果排序問(wèn)題轉(zhuǎn)化成模糊信息決策問(wèn)題，利用IVHFS理論在多屬性決策上的優(yōu)勢(shì)，求得數(shù)學(xué)表達(dá)式間的相似性距離，從而得到排序結(jié)果.其中，該理論的優(yōu)勢(shì)主要概括為3個(gè)方面：

1)保留信息的猶豫性和模糊性，貼合人類(lèi)描述信息形式，確保了數(shù)學(xué)表達(dá)式屬性信息的有效性和完整性；

2)將屬性信息映射為多個(gè)區(qū)間值的評(píng)價(jià)指標(biāo)，擴(kuò)展了決策信息的不定性描述，從而削弱數(shù)學(xué)表達(dá)式屬性評(píng)價(jià)指標(biāo)的不確定因素，提高描述信息的靈活性，使得檢索結(jié)果更加合理化；

3)區(qū)間的左右端點(diǎn)，分別代表屬性指標(biāo)的最小和最大值，避免評(píng)估信息的主觀(guān)性，很好地解決了不完全信息中的決策問(wèn)題.

2 相關(guān)工作

區(qū)間值猶豫模糊集

在多屬性決策問(wèn)題中，為了描述信息中的不確定性，表達(dá)人們對(duì)事物的刻畫(huà)，1965年Zadeh[10]提出了模糊集的概念，來(lái)描述人們對(duì)于事物的評(píng)判.2010年Torra[11]提出了猶豫模糊集，拓展了描述隸屬度函數(shù)方面的局限.2013年陳樹(shù)偉等人[12]提出了區(qū)間值猶豫模糊集理論，進(jìn)一步完善了隸屬度函數(shù)的取值范圍.因此，引入?yún)^(qū)間值來(lái)增強(qiáng)決策信息的猶豫偏好程度，可以使決策結(jié)果更加合理并貼合實(shí)際.

定義 1[12，13].設(shè)非空集合為X={x1，x2，…，xn}，則關(guān)于X的區(qū)間值猶豫模糊集為：

(1)

(2)

偏差函數(shù)為：

(3)

根據(jù)得分函數(shù)和偏差函數(shù)可以比較兩個(gè)區(qū)間值猶豫模糊元素的大小，它們之間的比較法則[12，14]為：

3 數(shù)學(xué)表達(dá)式相似度評(píng)價(jià)方法

(4)

4 基于IVHFS的數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索結(jié)果排序方法

在對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式屬性特征信息描述中，一般的描述方法是將屬性評(píng)價(jià)信息用某一精確的數(shù)值來(lái)描述.但是，當(dāng)某一對(duì)象的屬性評(píng)價(jià)值有多個(gè)時(shí)，精確值則無(wú)法完全概括，導(dǎo)致部分信息丟失，影響排序效果.因此，采用IVHFS理論對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，將某一對(duì)象屬性以多個(gè)可能的區(qū)間值集合的形式表示出來(lái)，可以更好描述評(píng)估屬性信息，解決數(shù)學(xué)表達(dá)式評(píng)價(jià)中的不確定性問(wèn)題，從而判斷數(shù)學(xué)表達(dá)式之間的相似度，實(shí)現(xiàn)以數(shù)學(xué)表達(dá)式為查詢(xún)關(guān)鍵字的數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索結(jié)果排序.故將其引入數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索結(jié)果排序問(wèn)題.本文主要對(duì)包含式查詢(xún)，且主要分為兩個(gè)部分：確定數(shù)學(xué)表達(dá)式區(qū)間值屬性以及對(duì)IVHFS集合進(jìn)行相似度評(píng)價(jià).

4.1 數(shù)學(xué)表達(dá)式的多屬性評(píng)價(jià)指標(biāo)

IVHFS對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行多屬性描述，其優(yōu)勢(shì)主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：1)利用IVHFS的模糊性和猶豫特性，貼近人類(lèi)語(yǔ)言表述形式，諸如“好”，“壞”等態(tài)度詞匯，能更加靈活地描述屬性信息；2)利用區(qū)間值可以減少重復(fù)出現(xiàn)的子式以及符號(hào)屬性的描述，從而形成基于數(shù)學(xué)表達(dá)式的綜合評(píng)價(jià)屬性的IVHFS集合.數(shù)學(xué)表達(dá)式屬性評(píng)價(jià)指標(biāo)如圖1所示.

圖1中評(píng)價(jià)指標(biāo)的設(shè)計(jì)主要圍繞查詢(xún)式、運(yùn)算符和運(yùn)算數(shù)3方面屬性.其中，屬性提取規(guī)則是根據(jù)FDS(Formula Description Structure)[15-17]做了改進(jìn)，可簡(jiǎn)單描述為：提取查詢(xún)子式、運(yùn)算符和運(yùn)算數(shù)中的FDS屬性特征.

圖1 數(shù)學(xué)表達(dá)式屬性評(píng)價(jià)指標(biāo)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of formula attribute evaluation index

4.1.1 子式空間結(jié)構(gòu)屬性

將Q作為一個(gè)整體，將其看成單獨(dú)的“運(yùn)算符”或“運(yùn)算數(shù)”，利用改進(jìn)的FDS方法提取子式屬性特征.

1)長(zhǎng)度指標(biāo)

定義 4.子式長(zhǎng)度指標(biāo)隸屬函數(shù)為：

(5)

lenQ、lenRQt分別為Q和RQt的符號(hào)總數(shù)；Q在RQt中所占比例越大，相似度越高，兩個(gè)公式越相似.

2)位置指標(biāo)

Q在RQt中的位置越靠前，Q對(duì)于RQt越重要，公式的相似度越高.當(dāng)RQt中有多個(gè)Q時(shí)，pos的指標(biāo)函數(shù)可以用區(qū)間值的形式來(lái)表示，取位于RQt中靠前的Q所在位置函數(shù)值為區(qū)間值的左端點(diǎn)，RQt中最后一個(gè)Q的位置函數(shù)值為區(qū)間的右端點(diǎn).

定義 5.位置指標(biāo)隸屬函數(shù)可以表示為：

(6)

其中，e-β(pos-1)是位置屬性權(quán)重函數(shù)，pos(1，2，3，…)表示解析公式Q在RQt中的位置，β是位置屬性權(quán)重系數(shù)，該區(qū)間越接近[1，1]，RQt和Q的相似度越高.

所以，相似度大小為：sim(Q1，RQ1)>sim(Q1，RQ2)

3)標(biāo)志位指標(biāo)

數(shù)學(xué)表達(dá)式特殊的二維結(jié)構(gòu)關(guān)系可以用標(biāo)志位表示其所

圖2 公式標(biāo)志位示意圖Fig.2 Schematic diagram of formula flag

在空間位置關(guān)系情況，圖2為標(biāo)志位示意圖，0-8數(shù)字依次代表8種位置狀態(tài)關(guān)系.其中，每個(gè)標(biāo)志位所在的重要程度不同，標(biāo)志位權(quán)重越高，說(shuō)明公式在該標(biāo)志位的可能性越大，公式間相似度越高.

定義 6.標(biāo)志位隸屬函數(shù)為：

(7)

4)層次指標(biāo)

RQt中Q層次越接近主基線(xiàn)位置，相似度越高，排序越靠前.

定義 7.層次隸屬函數(shù)為：

(8)

圖3 RQ3改進(jìn)的FDS示意圖Fig.3 Improved FDS diagram of RQ3

表1 RQ3的子式空間結(jié)構(gòu)屬性區(qū)間值Table 1 Interval values of subspace structure attribute of RQ3

4.1.2 符號(hào)關(guān)聯(lián)評(píng)價(jià)指標(biāo)

符號(hào)關(guān)聯(lián)度評(píng)價(jià)指標(biāo)反映了符號(hào)在數(shù)據(jù)集中出現(xiàn)的頻度以及符號(hào)所在層次和標(biāo)志位特征分布權(quán)重的關(guān)聯(lián)屬性信息.該指標(biāo)利用TF-IDF-ICD[18]特征提取算法，構(gòu)造了屬性隸屬函數(shù).

定義 8.符號(hào)關(guān)聯(lián)指標(biāo)隸屬函數(shù)為：

(9)

μsk是符號(hào)s的關(guān)聯(lián)度隸屬函數(shù)；TFs為s的頻度公式，描述Q中s個(gè)數(shù)nQs和RQt中s個(gè)數(shù)nRQts之比；IDFs是公式逆頻率，N為數(shù)據(jù)庫(kù)中公式總數(shù)，NsRQt為Q中出現(xiàn)任意符號(hào)的公式總數(shù)；ICDsk是符號(hào)頻度和符號(hào)類(lèi)別分布公式，當(dāng)符號(hào)處于不同層次或標(biāo)志位時(shí)，其權(quán)重不同；α是IDF與ICD之間的調(diào)和因子，α越大符號(hào)屬性權(quán)重分布越高，ICD值越大，說(shuō)明IDF對(duì)該函數(shù)影響越小.

圖4 RQ4的運(yùn)算符關(guān)聯(lián)屬性示意圖Fig.4 Schematic diagram of operator association properties for RQ4

4.2 數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索結(jié)果排序方法

對(duì)數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索結(jié)果進(jìn)行排序的算法如算法1所示.

算法1.IVHFS的數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索結(jié)果排序算法

輸入：LaTeX數(shù)學(xué)表達(dá)式Q

輸出：結(jié)果表達(dá)式的排序集合rank

1.doublef[j][3]

//存放待查詢(xún)式的關(guān)鍵字j的屬性指標(biāo)特征flag(f[j][0])、level(f[j][1])、len(f[j][2])、pos(f[j][3])

2.IVHFSR

//待查詢(xún)式的區(qū)間值猶豫模糊集合

3.ifQ?RQtthen//RQt中存在子式Q

4. 按FDS解析公式

5.whilelength(Q)≠0do

6.key(i)//將Q、Q中所包含符號(hào)填入到關(guān)鍵詞字典

7.forj=1∶4

8.f[j][i]//關(guān)鍵字i的屬性特征矩陣

9.ifi=keythen

/*key為Q中關(guān)鍵字子式Q、運(yùn)算符o和運(yùn)算數(shù)n*/

//關(guān)鍵字隸屬度區(qū)間值

/*子式空間結(jié)構(gòu)屬性隸屬度區(qū)間值集合，將特征帶入式(5)-式(8)所得*/

/*運(yùn)算符屬性隸屬度區(qū)間值集合，將特征帶入式(9)所得*/

/*運(yùn)算數(shù)屬性隸屬度區(qū)間值集合，將特征帶入式(9)所得*/

15.dis(Q，RQ)=dis(IVHFSQ，IVHFSRQ)

//Q和RQ之間的距離測(cè)度值

16.sim(Q，RQ)=1-dis(Q，RQ)

//Q和RQ的相似度，根據(jù)公式(4)所得

17.endif

18.endfor

19.endwhile

20.endif

21.RQ={RQ1，RQ2，RQ3，…}

//按相似度對(duì)結(jié)果式進(jìn)行排序

22.if(sim(Q，RQt)=sim(Q，RQg))

23.e(RQ)、h(RQ)

/*待查詢(xún)式的得分函數(shù)值和偏差函數(shù)值，

將IVHFSR代入公式(2)和公式(3)所得*/

24. 確定RQt、RQg的排序順序

//按照得分和偏差值的比較法則排序

//結(jié)果表達(dá)式排序集合

26.endif

27.returnrank

在算法1中，子式屬性關(guān)鍵字只有一個(gè)，當(dāng)待查詢(xún)式中存在多個(gè)Q時(shí)，僅取屬性指標(biāo)的最大值和最小值構(gòu)成子式屬性集合；但是，對(duì)于某些公式運(yùn)算符和運(yùn)算數(shù)的關(guān)鍵字不止一個(gè)，選取公式中運(yùn)算符或運(yùn)算數(shù)屬性評(píng)價(jià)指標(biāo)的最大值和最小值作為屬性隸屬度區(qū)間值集合即可.

5 實(shí)驗(yàn)分析

5.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

在visual studio 2017和SQL2012環(huán)境下，采用C#編程語(yǔ)言實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索模型.以公共數(shù)據(jù)集NTCIR-12_MathIR_Wikipedia_Corpus[19]的31742個(gè)LaTeX格式的HTML科技文獻(xiàn)集合中獲取的528188個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)集.

5.2 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)定

1)黃駿等人[18]通過(guò)實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)調(diào)和因子α=2時(shí)，可以有效增加分類(lèi)屬性的準(zhǔn)確率；

2)通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)庫(kù)中的數(shù)學(xué)表達(dá)式分析、統(tǒng)計(jì)、歸納屬性信息，確定了位置權(quán)重系數(shù)β=0.66；數(shù)學(xué)表達(dá)式標(biāo)志位和層次指標(biāo)值分別如表2、表3所示，其中，x可以代表查詢(xún)公式Q、運(yùn)算符o以及運(yùn)算數(shù)n；

表2 數(shù)學(xué)表達(dá)式標(biāo)志位指標(biāo)Table 2 Mathematical expressions of flag indicators

表3 數(shù)學(xué)表達(dá)式層次指標(biāo)Table 3 Mathematical expressions of level indicators

所以，對(duì)μslevel和μsflag分別除以7.3、7.7方便排序.

5.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

本實(shí)驗(yàn)主要對(duì)528188個(gè)數(shù)學(xué)公式進(jìn)行分析和檢索實(shí)驗(yàn)，以查詢(xún)公式“Q2=x+y”為例，得到一個(gè)有序的有限結(jié)果表達(dá)式集合RQ2={RQ21，RQ22，RQ23，…}.其中，RQ21是集合RQ2中與Q2相似度最高的公式，且集合內(nèi)相似度依次降低.表4為檢索Q2時(shí)部分表達(dá)式的區(qū)間值猶豫模糊集合以及相似度.

表4 部分表達(dá)式的區(qū)間值猶豫模糊集以及相似度Table 4 Partial interval valued hesitation fuzzy sets and similarity of expression

ID是公式序號(hào)，其中，查詢(xún)式的ID=1；根據(jù)公式(4)，選擇不同的相似測(cè)度對(duì)表4中數(shù)據(jù)處理，當(dāng)λ=1、2、3時(shí)，對(duì)應(yīng)的排序結(jié)果序列分別為：

E1=(1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18)

E2=(1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，14，16，17，18)

E3=(1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，13，12，15，14，16，17，18)

專(zhuān)家的排序結(jié)果序列為：

EV=(1，3，2，4，5，6，7，9，8，10，11，12，14，13，15，16，17，18)

采用皮爾遜相關(guān)系數(shù)計(jì)算專(zhuān)家評(píng)價(jià)和本方法的排序結(jié)果序列間的相關(guān)度，兩個(gè)排序結(jié)果序列之間的相關(guān)度越高，說(shuō)明該評(píng)判方法越接近專(zhuān)家的判斷.其中，皮爾遜相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式為：

(10)

其中，ρ的取值范圍為[-1，1]；

NV代表實(shí)驗(yàn)算法排序結(jié)果序列；

EV代表專(zhuān)家排序結(jié)果序列.

當(dāng)λ取不同值時(shí)，部分?jǐn)?shù)學(xué)表達(dá)式相似度取值如圖5所示，皮爾遜相關(guān)系數(shù)分別為：

ρE1，EV=0.9938、ρE2，EV=0.9897、ρE3，EV=0.9856

通過(guò)皮爾遜相關(guān)系數(shù)和圖5折線(xiàn)圖中決策結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析觀(guān)察可以得出，當(dāng)λ取不同的值時(shí)，相似度的相對(duì)大小趨勢(shì)不變，因此該方法在一定程度上具有較高的普適性和可靠性.

圖5 部分表達(dá)式的相似度Fig.5 Partial similarity of expression

5.4 對(duì)比實(shí)驗(yàn)

表5 Top-5檢索結(jié)果Table 5 Top-5 search results

于查詢(xún)式中的符號(hào)時(shí)，兩個(gè)公式相似度相同，無(wú)法確定兩個(gè)公式的先后關(guān)系.比如，本文系統(tǒng)中第3個(gè)和第4個(gè)檢索結(jié)果為并列關(guān)系，這是本實(shí)驗(yàn)未考慮到的地方，未來(lái)會(huì)增加包含查詢(xún)公式以外符號(hào)屬性的指標(biāo)函數(shù)，不斷完善排序效果.

5.5 檢索分析

選取表4中ID值為前10的公式作為查詢(xún)關(guān)鍵字檢索，利用公式(11)得到如圖6所示的查全率(Recall)和查準(zhǔn)率(Precision).

查全率=(檢索出的相關(guān)公式個(gè)數(shù)/ 系統(tǒng)中相關(guān)公式總數(shù))*100%

查準(zhǔn)率=(檢索出的相關(guān)公式個(gè)數(shù)/ 檢索出的公式總數(shù))*100%

(11)

本文的平均查全率為75.8%，平均查準(zhǔn)率為66.4%.當(dāng)查詢(xún)公式越簡(jiǎn)單時(shí)，系統(tǒng)中相關(guān)公式的數(shù)量就越多，公式的查全率就越高；而當(dāng)查詢(xún)公式越復(fù)雜，其系統(tǒng)中的相關(guān)公式數(shù)量

圖6 系統(tǒng)檢索查全率和查準(zhǔn)率Fig.6 Retrieval recall and precision

就越少，所以，公式查詢(xún)結(jié)果越容易產(chǎn)生錯(cuò)誤，其查準(zhǔn)率越低.

6 結(jié)論與展望

本文利用數(shù)學(xué)表達(dá)式的符號(hào)、語(yǔ)法和語(yǔ)義特征信息，引入一種IVHFS的數(shù)學(xué)表達(dá)式檢索結(jié)果排序方法.該方法融合決策分析領(lǐng)域技術(shù)，對(duì)表達(dá)式進(jìn)行多屬性描述.提取表達(dá)式的子式空間結(jié)構(gòu)屬性、運(yùn)算符關(guān)聯(lián)屬性以及運(yùn)算數(shù)關(guān)聯(lián)屬性作為表達(dá)式的屬性特征，并且在每個(gè)屬性下都又各自增添了不同指標(biāo)，從而增強(qiáng)屬性描述的多面性和靈活性.最終為滿(mǎn)足使用需求，獲取了全面和詳細(xì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式評(píng)估信息.

本實(shí)驗(yàn)方法也存在一些不足:1)該實(shí)驗(yàn)主要針對(duì)包含式查詢(xún)，所以，導(dǎo)致系統(tǒng)無(wú)法對(duì)其它比如在結(jié)構(gòu)、語(yǔ)義等方面相似的公式進(jìn)行查詢(xún)，因此，具有一定的局限性;2)為了靈活滿(mǎn)足用戶(hù)查詢(xún)公式的需求，在實(shí)驗(yàn)中可以增設(shè)其它文字信息的關(guān)鍵字進(jìn)行以文字和公式相互融合的查詢(xún)，當(dāng)用戶(hù)對(duì)公式認(rèn)識(shí)不清時(shí)，增加文字信息來(lái)引導(dǎo)公式的查詢(xún)，增強(qiáng)公式描述的準(zhǔn)確性，使得排序結(jié)果更加合理有效.除此之外，還有其它的缺陷，在以后會(huì)不斷完善實(shí)驗(yàn)，提高實(shí)驗(yàn)的排序效果.