陳元千，劉 攀,2，雷丹鳳

（1.中國(guó)石油勘探開(kāi)發(fā)研究院，北京100083；2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院，北京100083）

Bear[1]和Fatt[2]利用室內(nèi)巖心模擬的測(cè)試資料，分別于1972年和1952年提出了啟動(dòng)壓力梯度和壓敏效應(yīng)。在2000年以后，隨著鄂爾多斯盆地致密低滲（K=0.1～10 mD，1 mD=0.986 9×10-3μm2）油氣藏的開(kāi)發(fā)，啟動(dòng)壓力梯度和壓敏效應(yīng)被中國(guó)有關(guān)專(zhuān)家學(xué)者視為兩大重要課題，列入國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展項(xiàng)目（973計(jì)劃）、國(guó)家重大科技項(xiàng)目和國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目等。大量的室內(nèi)模擬實(shí)驗(yàn)研究表明對(duì)于低滲砂巖儲(chǔ)層啟動(dòng)壓力梯度和壓敏效應(yīng)是存在的。在近二十年間，盡管發(fā)表了諸如文獻(xiàn)[3～32]的數(shù)百篇文章，但在理論上并沒(méi)有太大的進(jìn)展，仍停留在初期的感性認(rèn)識(shí)階段。甚至，將線(xiàn)性流的常數(shù)啟動(dòng)壓力梯度直接用于平面徑向流方程。同時(shí)，還將壓敏效應(yīng)直接用于產(chǎn)量公式。這些不正確的做法，在近一兩年的期刊上仍然可見(jiàn)[30-32]，因此，可以說(shuō)已到了必須指出和改正的時(shí)候。

1.對(duì)啟動(dòng)壓力梯度的反思與推導(dǎo)

Bear[1]于1972年，通過(guò)利用一維巖心進(jìn)行室內(nèi)模擬實(shí)驗(yàn)，研究低滲透地層達(dá)西定律應(yīng)用的下限時(shí)，提出了啟動(dòng)壓力梯度的概念及啟動(dòng)壓力梯度存在的示意圖（圖1）。

圖1 Bear的壓力梯度示意圖[1]Fig.1 The sketch graph of q vs.J of Bear[1]

Bear由圖1提出了如下的關(guān)系式：

當(dāng)J=J0時(shí)，（1）式中的q=0；當(dāng)J＞J0時(shí)，q＞0，即表明流體發(fā)生流動(dòng)。

汪全林[5]發(fā)表的巖心測(cè)試資料（圖2）表明，多數(shù)巖心并不具有啟動(dòng)壓力梯度，而是通過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。

1.1 線(xiàn)性流的推導(dǎo)

對(duì)于均質(zhì)、單相、穩(wěn)定、恒溫和層流的一維線(xiàn)性流動(dòng)，Darcy（1856）根據(jù)實(shí)驗(yàn)建立的流量與壓力梯度關(guān)系的微分式為：

圖2 流量與壓力梯度的關(guān)系[5]Fig.2 Relation between q and ΔP/L[5]

（2）式中壓力梯度前的負(fù)號(hào)表示壓力沿流體流動(dòng)的方向是下降的。對(duì)（2）式分離變量，代入積分上下限后為：

由（3）式積分后得達(dá)西的線(xiàn)性流壓力梯度與流量的正比關(guān)系為：

其中：

對(duì)于同一個(gè)巖心，若進(jìn)行多次流量測(cè)試（一般為4次），可以得到多個(gè)相應(yīng)的壓力梯度與流量數(shù)據(jù)。將這些數(shù)據(jù)點(diǎn)按（4）式關(guān)系繪于直角坐標(biāo)系中，可以得到一條通過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)。這表明該巖心不存在啟動(dòng)壓力梯度。如果兩者是一條具有截距的直線(xiàn)，則表示存在啟動(dòng)壓力梯度（圖3），而且直線(xiàn)的截距就是啟動(dòng)壓力梯度。因此，當(dāng)存在啟動(dòng)壓力梯度時(shí)，由（4）式可得：

圖3 線(xiàn)性流測(cè)試的ΔP/L與q的關(guān)系Fig.3 Relation between ΔP/L vs.q for the linear flow testing

由于線(xiàn)性流動(dòng)的壓力梯度和啟動(dòng)壓力梯度均為常數(shù)，若將ΔP/L寫(xiě)為dP/dx時(shí)，（6）式又可寫(xiě)為：

由于v=q/A，故（7）式可寫(xiě)為：

應(yīng)該指出，線(xiàn)性流的上述推導(dǎo)，各項(xiàng)參數(shù)的單位均為SI 制基礎(chǔ)單位，當(dāng)改為巖心測(cè)試的室內(nèi)實(shí)用單位（見(jiàn)符號(hào)注釋?zhuān)┍硎緯r(shí)，（4）式和（8）式分別為：

盡管，在理論分析上可以存在啟動(dòng)壓力梯度λs，但正如圖2所示，大多數(shù)巖心的測(cè)試資料并不能反映啟動(dòng)壓力的存在。也就是說(shuō)，個(gè)別低滲透巖心是存在啟動(dòng)壓力梯度的。

1.2 平面徑向流的反思與推導(dǎo)

對(duì)于均質(zhì)、單相、恒溫、穩(wěn)定和層流的達(dá)西定律，在地層條件下，流量的微分式為：

已知平面徑向流不同徑向位置的滲流面積為：

將（12）式代入（11）式得平面徑向流的壓力梯度為：

由（13）式看出，平面徑向流的壓力梯度與徑向半徑r為反比的函數(shù)關(guān)系，隨r數(shù)值的增加，壓力梯度會(huì)顯著的下降?，F(xiàn)將（11）式改寫(xiě)為下式：

由（14）式看出，平面徑向流的壓力梯度與流速成正比。但應(yīng)當(dāng)指出，達(dá)西定律的這一正比關(guān)系，在低速流動(dòng)時(shí)是正確的。然而，在高速流動(dòng)條件下，就會(huì)偏離這一正比關(guān)系。Forccheimer（1901）通過(guò)實(shí)驗(yàn)與理論研究提出了如下的二項(xiàng)式模型：

在（15）式中a和b兩個(gè)常數(shù)，分別稱(chēng)為達(dá)西流動(dòng)常數(shù)和非達(dá)西流動(dòng)常數(shù)[33-34]，a=μ/K和b=ρβ，這樣（15）式可寫(xiě)為：

應(yīng)當(dāng)注意的是，對(duì)于平面徑向流，（16）式等號(hào)右邊的第1項(xiàng)為達(dá)西流動(dòng)項(xiàng)，發(fā)生在遠(yuǎn)井地帶；第2項(xiàng)為非達(dá)西流動(dòng)項(xiàng)，發(fā)生在近井地帶，因滲流面積的減小，流速的增加所引起的湍流影響。式中β為高速湍流系數(shù)，或慣性阻力系數(shù)，或Forccheimer系數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意的是，由于平面徑向流的壓力梯度不是常數(shù)，而是徑向半徑r的函數(shù)，因此，其啟動(dòng)壓力梯度也不是常數(shù)，而是徑向半徑r的函數(shù)。當(dāng)以ηs（r）表示啟動(dòng)壓力梯度時(shí)，由（16）式可得：

上述平面徑向流的推導(dǎo)中各項(xiàng)參數(shù)的單位均為SI制基礎(chǔ)單位。當(dāng)改為礦場(chǎng)實(shí)用單位（見(jiàn)符號(hào)注釋?zhuān)┍硎緯r(shí)，（17）式可寫(xiě)為：

應(yīng)當(dāng)注意的是，由于在（18）式中非常數(shù)的ηs（r）的存在，該式是不能求解的。然而，對(duì)于高滲透性的油氣井，并不存在啟動(dòng)壓力梯度，即使對(duì)低滲透性的油氣井，經(jīng)過(guò)壓裂，也不存在啟動(dòng)壓力梯度。因此，在進(jìn)行礦場(chǎng)產(chǎn)能測(cè)試時(shí)，均采用如下的二項(xiàng)式Quadractic Formula，求解油氣井的絕對(duì)無(wú)阻流量和流入動(dòng)態(tài)產(chǎn)能曲線(xiàn)（IPR）：

對(duì)于氣藏，（19）式中氣體在地層條件下的密度，由下式計(jì)算[35]：

在（19）式中的高速湍流系數(shù)，可由如下的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)公式確定[36]：

2.對(duì)壓敏效應(yīng)的反思與推導(dǎo)

所謂的壓敏效應(yīng)，是指地層滲透率隨地層壓力的下降而降低的現(xiàn)象。Fatt[2]于1952年利用室內(nèi)巖心模擬實(shí)驗(yàn)研究結(jié)果得到了滲透率隨上覆壓力（Overburden Pressure）的增加而減小的現(xiàn)象（圖4）。對(duì)此，后人稱(chēng)為壓敏效應(yīng)（Pressure Sensitivity）。在20世紀(jì)70年代美國(guó)巖心公司（Core Lab）提出用凈上覆壓力（Net Overburden Pressure）代替上覆壓力，進(jìn)行壓敏效應(yīng)的解釋。我國(guó)的專(zhuān)家學(xué)者采用美國(guó)的方法，繪制壓敏效應(yīng)的關(guān)系圖，但其實(shí)這樣的做法是缺少理論依據(jù)的。因此，本文給出如下的推導(dǎo)。

圖4 Fatt的KD與POB關(guān)系[2]（1 MPa=145.04 psi）Fig.4 Relation between KD and POB of Fatt[2]

圖5為滲透率K隨地層壓力P的變化關(guān)系。

由圖5可以看出，隨著地層壓力的下降滲透率是降低的。假設(shè)滲透率隨壓力的遞減率采用Arps（1945）的定義為：

由于滲透率隨壓力的下降而降低，因此，（22）式中的dK/dP為正號(hào)。

將（22）式分離變量，代入積分上下限為：

由（23）式積分可得下式：

由（24）式看出，滲透率K 與地層壓力降ΔP 呈指數(shù)下降的關(guān)系。為了對(duì)壓敏效應(yīng)的滲透率與地層壓降進(jìn)行無(wú)因次分析，設(shè)無(wú)因次滲透率和無(wú)因次地層壓力降分別為：

圖5 K與P的關(guān)系Fig.5 Relation between K and P

將（25）式和（26）式代入（24）式得無(wú)因次壓敏效應(yīng)關(guān)系式為：

給予不同的ΔPD值，由（27）式求得的無(wú)因次壓敏效應(yīng)圖（圖6）。由圖6看出，當(dāng)ΔPD＞3時(shí)，壓敏效應(yīng)的影響很小。

圖6 無(wú)因次壓敏效應(yīng)圖Fig.6 Dimensionless pressure sensitivity effects

國(guó)外將凈上覆壓力定義為上覆壓力與地層壓力的差值，即：

由于POB為常數(shù)，對(duì)（28）式微分得：

將（29）式代入（22）式得：

對(duì)（30）式分離變量，代入積分上下限為：

由（31）式積分可得，利用凈上覆壓力表示的壓敏效應(yīng)關(guān)系式為：

將（32）式改寫(xiě)為下式：

其中：

由（33）式看出，KD與ΔPNOB成指數(shù)下降關(guān)系，見(jiàn)圖7。如果改為KD與PNOB作圖，則在KD=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的PNOB≠0，而應(yīng)等于PNOB（i）（圖8）。在文獻(xiàn)[13]中已清楚地看到這一問(wèn)題的存在，如圖9所示，因此，利用KD與PNOB作圖是不正確的。

如果將壓敏效應(yīng)的滲透率下降關(guān)系，代入平面徑向流達(dá)西微分式為：

圖7 KD與ΔPNOB的關(guān)系Fig.7 Relation between KD and ΔPNOB

圖8 KD與PNOB關(guān)系Fig.8 Relation between KD and PNOB

圖9 KD與PNOB關(guān)系[13]Fig.9 Relation between KD and PNOB[13]

由于在（35）式中存在變量P，不但導(dǎo)致該式的無(wú)解，而且動(dòng)搖了以常數(shù)滲透率為根基的達(dá)西定律。

3.結(jié)論

通過(guò)本文的理論研究，對(duì)于啟動(dòng)壓力梯度和壓敏效應(yīng)可以得到如下的初步結(jié)論。

1）對(duì)于達(dá)西的線(xiàn)性流動(dòng)，壓力梯度和啟動(dòng)壓力梯度都是常量。Bear（1972）基于一維巖心模擬實(shí)驗(yàn)研究，提出了啟動(dòng)壓力梯度的概念，而且線(xiàn)性流的壓力梯度與流量成正比的直線(xiàn)關(guān)系。通過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)不存在啟動(dòng)壓力梯度，當(dāng)直線(xiàn)具有截距時(shí)，則存在啟動(dòng)壓力梯度。并且直線(xiàn)的截距就是啟動(dòng)壓力梯度。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)指出，啟動(dòng)壓力梯度只存在于致密低滲油氣藏。

2）對(duì)于平面徑向流，壓力梯度和啟動(dòng)壓力梯度都不是常數(shù)，而是徑向半徑r的函數(shù)，因此，得不到像線(xiàn)性流那樣表述啟動(dòng)壓力梯度的方法。特別指出，絕不能將線(xiàn)性流的啟動(dòng)壓力梯度，用于平面徑向流方程，筆者曾就此發(fā)表過(guò)專(zhuān)文[37]。對(duì)于致密低滲透地層的油氣井，由于沒(méi)有自然產(chǎn)能，必須經(jīng)過(guò)壓裂才能投產(chǎn)。因此，在這種情況下，啟動(dòng)壓力梯度已失去實(shí)際意義。目前在國(guó)外的文獻(xiàn)中，均看不到有關(guān)啟動(dòng)壓力梯度引用的內(nèi)容。

3）國(guó)內(nèi)外大量的室內(nèi)巖心模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，不同滲透率的巖心均存在壓敏效應(yīng)現(xiàn)象。通過(guò)本文的研究表明，壓敏效應(yīng)滲透率與地層壓力降，或與凈上覆壓力降成指數(shù)的下降關(guān)系。在國(guó)內(nèi)外的文獻(xiàn)中常用的無(wú)因次滲透率KD與凈上覆壓力PNOB的作圖方法是不正確的。這樣做的結(jié)果表明，在KD=1時(shí)，PNOB≠0，而應(yīng)當(dāng)?shù)扔赑NOB（i）。應(yīng)強(qiáng)調(diào)指出，如果承認(rèn)滲透率隨壓力而改變，那將會(huì)動(dòng)搖達(dá)西定律建立的基礎(chǔ)。

符號(hào)注釋

（圓括號(hào)內(nèi)為實(shí)用單位）

q—測(cè)試條件和地層條件的流量和產(chǎn)量，m3/s，（巖心cm3/min，礦場(chǎng)m3/d）；

A—滲流面積，m2，（巖心cm2，礦場(chǎng)m2）；

D—滲透率隨壓降的遞減率，Pa-1，（MPa-1）；

h—厚度，m，（巖心cm）；

K—滲透率，m2，（mD）；

Ki—初始滲透率，m2，（mD）；

KD—無(wú)因次滲透率，frac，（frac）；

μ—巖心測(cè)試流體的黏度或地層流體黏度，Pa·s，（mPa·s）；

L—巖心長(zhǎng)度，m，（巖心cm）；

r—徑向半徑，m，（m）；

x—線(xiàn)性流動(dòng)距離，m，（巖心cm）；

P—壓力或目前地層壓力，Pa，（MPa）；

Pi—原始地層壓力，Pa，（MPa）；

P1—巖心的入口壓力，Pa，（MPa）；

P2—巖心的出口壓力，Pa，（MPa）；

POB—上覆壓力，Pa，（MPa）；

PNOB—P壓力下的凈上覆壓力，Pa，（MPa）；

PNOB（i）—Pi壓力下的凈上覆壓力，Pa，（MPa）；

ΔP—巖心的測(cè)試壓差，Pa，（MPa）；

ΔPD—無(wú)因次壓降，dim，（dim）；

ΔP/L—巖心的壓力梯度，Pa/m，（巖心MPa/cm，礦場(chǎng)MPa/m）；

dP/dx—線(xiàn)性流的壓力梯度，Pa/m，（礦場(chǎng)MPa/m）；

dP/dr—平面徑向流的壓力梯度，Pa/m，（礦場(chǎng)MPa/m）；

ΔPNOB—凈上覆壓力降，Pa，（MPa）；

J—Bear的壓力梯度，Pa/m，（巖心MPa/cm，礦場(chǎng)MPa/m）；

J0—Bear的啟動(dòng)壓力梯度，Pa/m，（巖心MPa/cm）；

λs—線(xiàn)性流的啟動(dòng)壓力梯度，Pa/m，（巖心MPa/cm）；

ηs（r）—平面徑向流的啟動(dòng)壓力梯度，Pa/m，（MPa/m）；

v—滲流速度，m/s，（cm/s）；

ρ—流體密度，kg/m3，（g/cm3）；

ρg—地層氣體密度，kg/m3，（g/cm3）；

γg—?dú)怏w的相對(duì)密度，（dim）；

Z—?dú)怏w偏差系數(shù)，（dim）；

T—?dú)怏w絕對(duì)溫度，K，（K）；

β—高速湍流系數(shù)，m-1，（m-1）。