石 榮，鄧 科，閻 劍

(電子信息控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610036)

0 引言

雷達(dá)信號(hào)脈沖描述字(Pulse Description Word，PDW)是雷達(dá)偵察信號(hào)處理中最基本的數(shù)據(jù)單元[1-2]，PDW中脈沖到達(dá)時(shí)間、脈沖寬度和脈沖幅度這3個(gè)時(shí)域參數(shù)的測(cè)量都依賴于脈沖信號(hào)包絡(luò)的有效提取[3-4]。不僅如此，脈沖包絡(luò)在雷達(dá)信號(hào)分選、型號(hào)和個(gè)體識(shí)別等應(yīng)用中發(fā)揮著關(guān)鍵作用[5-7]。脈沖包絡(luò)提取的傳統(tǒng)方法通常采用平方率檢波[8-9]，按照輸入信號(hào)的不同，又可細(xì)分為：① 射頻信號(hào)的平方率檢波，采用模擬電路實(shí)現(xiàn)，如各種頻段的模擬檢波器；② 中頻信號(hào)的平方率檢波，在ADC采樣之后，利用FPGA處理來實(shí)現(xiàn)數(shù)字檢波。無論是模擬方式，還是數(shù)字方式，其基本數(shù)學(xué)模型都是對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行平方運(yùn)算，然后再經(jīng)過低通濾波器輸出檢波結(jié)果。除此之外，在中頻數(shù)字信號(hào)處理中還可以通過希爾伯特變換來獲得實(shí)信號(hào)對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)形式，而解析信號(hào)的模值就直接對(duì)應(yīng)了該實(shí)信號(hào)的包絡(luò)分量[10]，所以該檢波方法又被稱為基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波。

隨著高速寬度ADC器件及數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展[11-12]，在現(xiàn)今的各種信號(hào)處理中普遍采用數(shù)字檢波器來完成脈沖信號(hào)的包絡(luò)提取[13]，而最典型的2種方法就是平方率包絡(luò)檢波與基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波。盡管經(jīng)典教科書與部分文獻(xiàn)對(duì)上述方法都進(jìn)行過比較詳細(xì)的介紹與分析，但是已有文獻(xiàn)所給出的平方率包絡(luò)檢波的數(shù)學(xué)模型并不具備普遍性，僅針對(duì)脈沖信號(hào)的頻率位于檢波帶寬的正中央這一特殊情況進(jìn)行了分析[8,14]，而實(shí)際上脈沖信號(hào)的頻率在整個(gè)檢波帶寬范圍內(nèi)是隨機(jī)分布的。針對(duì)這一問題，本文進(jìn)行了模型的改進(jìn)，并給出新的理論分析模型。另一方面，已有文獻(xiàn)并沒有對(duì)上述2種典型的脈沖信號(hào)包絡(luò)提取方法之間的聯(lián)系展開研究[8-9]，而本文通過理論分析后指出，基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波是平方率包絡(luò)檢波的一個(gè)特例，從而為上述2種方法的工程選用提供了理論指導(dǎo)。最后在此基礎(chǔ)上，利用構(gòu)建的數(shù)字檢波模型，給出了雷達(dá)信號(hào)偵察靈敏度的新計(jì)算公式，從而為雷達(dá)偵察數(shù)字接收機(jī)的設(shè)計(jì)以及偵察性能的準(zhǔn)確度量與評(píng)估提供了重要參考。

1 平方率包絡(luò)檢波的模型

檢波器輸入端的信號(hào)sin(t)為：

sin(t)=sa(t)+n(t)，

(1)

式中，sa(t)=A·cos(ω0t+θ)表示幅度為A、載波頻率為ω0、初相為θ的雷達(dá)脈沖信號(hào)；n(t)表示帶寬為Bn的零均值帶限高斯白噪聲，其上下限頻率分別記為ωn,up，ωn,down，顯然Bn=ωn,up-ωn,down。在上述信號(hào)模型中，sa(t)與n(t)互不相關(guān)，且ω0>Bn，這一條件通?？梢栽谥蓄l信號(hào)采樣之后通過頻譜搬移來實(shí)現(xiàn)。于是輸入信號(hào)sin(t)的功率譜密度Pin(ω)可表示為：

Pin(ω)=A2π/2[δ(ω-ω0)+δ(ω+ω0)]+

(2)

式中，n0表示噪聲譜密度；δ(·)表示狄拉克函數(shù)。對(duì)sin(t)實(shí)施平方運(yùn)算之后進(jìn)行低通濾波，可得檢波器的輸出信號(hào)sout,sq(t)為：

(3)

式中，fliterL[·]表示截止頻率為ωlow的低通濾波運(yùn)算，且ωlow≤Bn。在理想低通濾波條件下，輸出信號(hào)sout,sq(t)可以看成是一個(gè)廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，其功率譜密度Pout(ω)為：

Pout(ω)=Paa(ω)+Pan(ω)+Pnn(ω)，

(4)

式中，Paa(ω)為信號(hào)自身相互作用產(chǎn)生的分量；Pan(ω)為信號(hào)與噪聲相互作用產(chǎn)生的分量；Pnn(ω)為噪聲之間相互作用產(chǎn)生的分量。當(dāng)ωlow=Bn時(shí)，上述各分量分別表示為：

Paa(ω)=A4π/2·δ(ω)，

(5)

(6)

(7)

(a)本文的結(jié)果

2 基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波模型

一個(gè)實(shí)信號(hào)sin(t)對(duì)應(yīng)的希爾伯特變換為：

(8)

式中，*表示卷積運(yùn)算，于是該實(shí)信號(hào)sin(t)對(duì)應(yīng)復(fù)值形式的解析信號(hào)zin(t)為[15]：

(9)

記實(shí)信號(hào)的sin(t)的頻譜為Sin(ω)，則解析信號(hào)zin(t)對(duì)應(yīng)的頻譜Zin(ω)為：

(10)

于是該實(shí)信號(hào)sin(t)的包絡(luò)envin(t)就是解析信號(hào)zin(t)的模值：

envin(t)=|zin(t)|。

(11)

在實(shí)際工程應(yīng)用中可利用式(10)的性質(zhì)，通過快速傅里葉變換(FFT)與逆變換(IFFT)來獲得一個(gè)實(shí)信號(hào)所對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)，然后由信號(hào)的模值來求取該信號(hào)的包絡(luò)，主要步驟如下：

① 對(duì)采樣后的離散實(shí)信號(hào)x(n)進(jìn)行FFT得到其頻域信號(hào)X(k)，其中n,k∈{0,1,2,…,N-1}；

③ 對(duì)Y(k)做IFFT，即可得到離散實(shí)信號(hào)x(n)對(duì)應(yīng)的復(fù)解析信號(hào)y(n)；

④ 復(fù)解析信號(hào)y(n)的模值|y(n)|即對(duì)應(yīng)了離散實(shí)信號(hào)x(n)的包絡(luò)。

3 2種檢波方法的聯(lián)系與性能分析

3.1 2種檢波方法之間的聯(lián)系

前面分別對(duì)平方率檢波與基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波這2種工程上常用的典型方法進(jìn)行了簡要介紹。雖然它們?cè)诠こ虒?shí)現(xiàn)步驟上各不相同，但本質(zhì)上它們之間的聯(lián)系是非常緊密的，因?yàn)檠芯亢蟀l(fā)現(xiàn)，基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波是平方率包絡(luò)檢波的一個(gè)特例，詳細(xì)解釋如下。

雷達(dá)脈沖信號(hào)sa(t)對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)za(t)為：

zr(t)=A·exp[j(ω0t+θ)]，

(12)

高斯噪聲n(t)對(duì)應(yīng)的解析信號(hào)zn(t)為：

zn(t)=nc(t)cos(ω0t)+jns(t)sin(ω0t)，

(13)

式中，nc(t)，ns(t)分別為高斯噪聲的同相與正交分量，該噪聲信號(hào)的帶寬為Bn。將zin(t)=zr(t)+zn(t)代入式(11)，即可求得輸入信號(hào)sin(t)的包絡(luò)envin(t)。在這一求模過程中自然去除了信號(hào)載頻的影響，將結(jié)果與前面的式(3)對(duì)比后可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)ωlow=Bn時(shí)有下式成立：

(14)

式中，β為一個(gè)比例系數(shù)。

由于平方率包絡(luò)檢波中低通濾波器的帶寬ωlow(又稱為視頻帶寬)可以隨不同的應(yīng)用，在ωlow≤Bn范圍內(nèi)進(jìn)行調(diào)整取值，所以其檢波結(jié)果也是隨帶寬ωlow不同取值而變化的。由式(14)可知，在ωlow=Bn，即在低通濾波器的帶寬等于輸入端的接收帶寬(又稱為射頻帶寬)時(shí)，平方率包絡(luò)檢波的結(jié)果與基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波結(jié)果的平方成正比。由此說明，基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波是平方率包絡(luò)檢波的一個(gè)特例。二者之間的關(guān)系可由圖2形象地表示。

圖2 2種檢波器之間的關(guān)系Fig.2 Relationship between the two detectors

3.2 在ωlow=Bn情況下的性能分析

對(duì)平方率檢波器中視頻帶寬與射頻帶寬相等，即ωlow=Bn，這一條件下的檢波性能進(jìn)行分析。顯然，由前一小節(jié)的結(jié)論可知，該分析結(jié)果同樣適用于基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波。

記檢波器輸入端信號(hào)的全頻段功率信噪比為S/N|in,sq，即：

(15)

由于平方運(yùn)算屬于非線性變換，所以在輸出的視頻脈沖信號(hào)中將Paa(ω)看成是有效的信號(hào)分量；對(duì)于Pan(ω)來講，只有在信號(hào)存在時(shí)才會(huì)出現(xiàn)，再考慮到式(6)與圖1，將Pan(ω)中位于零頻的沖激脈沖分量看成是有效信號(hào)分量，而將其他分量看成是噪聲分量；對(duì)于Pnn(ω)來講，其中位于零頻的沖激脈沖分量無論是否有信號(hào)出現(xiàn)始終一直存在，所以在輸出信噪比計(jì)算中不予考慮，而將Pnn(ω)中其他分量看成是噪聲分量。于是輸出端的信噪比S/N|out,sq可定義為視頻帶寬內(nèi)信號(hào)分量與噪聲分量的功率之比：

(16)

將式(5)～式(7)帶入式(16)，并取ωlow=Bn，再對(duì)比式(15)，可得檢波器的輸出端信噪比與輸入端信噪比之間的關(guān)系為：

(17)

由式(17)可知，當(dāng)S/N|in,sq?1時(shí)：

S/N|out,sq≈0.5·S/N|in,sq，

(18)

當(dāng)S/N|in,sq?1時(shí)：

S/N|out,sq≈2·S/N|in,sq。

(19)

由上可知，在ωlow=Bn條件下，當(dāng)輸入信號(hào)的全頻段功率信噪比較高時(shí)，輸出信號(hào)的信噪比相對(duì)于輸入信號(hào)的信噪比大約惡化3 dB；當(dāng)輸入信號(hào)的全頻段功率信噪比較低時(shí)，輸出信號(hào)的信噪比相對(duì)于輸入信號(hào)的信噪比大約提升3 dB。將式(17)的特性繪制于圖3中(如實(shí)線所示)，圖3中的虛線是輸入與輸出相等時(shí)的參考直線。為了便于展示，圖3全部采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，單位dB。由于平方率包絡(luò)檢波器在視頻帶寬與射頻帶寬相等時(shí)與基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波等價(jià)，此時(shí)由圖3可見，在ωlow=Bn時(shí)二者的輸入信噪比與輸出信噪比之間差異并不大。

圖3 ωlow=Bn時(shí)輸出信噪比與輸入信噪比之間的關(guān)系Fig.3 Relationship between output SNR and input SNRwhen ωlow=Bn

3.3 提升平方率檢波器性能的方法

提升平方率檢波器在較低的全頻段功率信噪比條件下的性能，主要有2種方法：

① 減小平方率檢波器的視頻帶寬

該方法等價(jià)于降低平方率檢波器中的低通濾波器的截止頻率ωlow，ωlow減小的下限等于信號(hào)帶寬的一半，當(dāng)ωlow=0.5Bs時(shí)，由式(16)可計(jì)算出檢波器的輸出信噪比S/N|out,sqwlow=0.5Bs：

(20)

式中，γ=Bn/Bs，表示檢波器輸入端射頻帶寬與信號(hào)帶寬的比值，在γ?1時(shí)式(20)可近似為：

(21)

對(duì)比式(21)與式(17)，并參照?qǐng)D1可知，相對(duì)于原來較寬的視頻帶寬來講，其性能提升是非常明顯的，即檢波之后的信噪比提升了大約γ倍。

② 減少平方率檢波器輸入端的射頻帶寬

該方法等價(jià)于減小輸入端的噪聲帶寬Bn，而Bn能夠減小的下限等于脈沖信號(hào)的帶寬Bs。由于信號(hào)的全頻段功率信噪比S/N|in,sq與其帶內(nèi)功率信噪比S/N|in,sqinband之間的關(guān)系為[16]：

(22)

由式(22)可知，當(dāng)Bn→Bs時(shí)，檢波器輸入端信號(hào)的全頻段功率信噪比為S/N|in,sq將提升至信號(hào)的帶內(nèi)功率信噪比S/N|in,sqinband，提升的倍數(shù)同樣為γ倍。在工程上實(shí)現(xiàn)檢波器射頻帶寬減小的主要方法是信道化處理，將一個(gè)較寬的射頻帶寬劃分成帶寬更小的信道；另一方面，也可以采用在頻域檢測(cè)脈沖信號(hào)的載頻與帶寬等參數(shù)之后，再引導(dǎo)時(shí)域檢波的方法來實(shí)現(xiàn)。

由上可見，從理論模型上講，上述2種提升平方率檢波器在較低的全頻段信噪比條件下性能的方法，其效果近似一樣。但是從工程實(shí)現(xiàn)的便捷性上講，第1種方法優(yōu)于第2種方法，因?yàn)闊o論是信道化還是頻域檢測(cè)后引導(dǎo)檢波，都會(huì)增加偵察設(shè)備的軟硬件復(fù)雜度，這也是第1種方法在工程上應(yīng)用更加廣泛的重要原因。

4 偵察靈敏度的計(jì)算

一般情況下，雷達(dá)偵察接收機(jī)的偵察靈敏度Pr,min是指滿足偵察接收機(jī)對(duì)接收信號(hào)能量正常檢測(cè)條件下，在偵察接收機(jī)輸入端的最小信號(hào)功率。雷達(dá)偵察接收機(jī)通過平方率檢波輸出的最小信號(hào)功率與信噪比緊密相關(guān)，由前可知，這一信噪比與輸入信號(hào)帶寬Bs是緊密關(guān)聯(lián)在一起的，即在不同信號(hào)帶寬條件下，接收機(jī)的靈敏度也是不同的。所以在定義一個(gè)雷達(dá)偵察接收機(jī)的靈敏度Pr,min時(shí)，一定要明確指出對(duì)應(yīng)的能夠檢測(cè)的信號(hào)帶寬Bs的準(zhǔn)確數(shù)值，否則將給設(shè)備使用方造成極大誤解。

在檢波器的視頻輸出端的脈沖疊加噪聲之后輸出信號(hào)的底部與僅有噪聲時(shí)信號(hào)的頂部近似在一條直線上(相切)時(shí)，輸出端的信噪比大約為8 dB，即S/N|out,sq≈8 dB。由式(22)可知，雷達(dá)偵察接收機(jī)要達(dá)到最高靈敏度需要包絡(luò)檢波器輸入的射頻帶寬等于被檢測(cè)信號(hào)的信號(hào)帶寬；如果在此條件下即使包絡(luò)檢波器輸出端的視頻帶寬也同樣與射頻帶寬相同，即ωlow=Bn=Bs，此時(shí)的S/N|in,sq也應(yīng)該是比較大的，于是由式(18)可知，檢波器輸入端的信噪比S/N|in,sq可表示為：

S/N|in,sq≈S/N|out,sq+3 dB=11 dB，

(23)

于是可計(jì)算出在此條件下，雷達(dá)偵察接收機(jī)的靈敏度Pr,min(單位：dBm)為：

Pr,min=-114+10lg(Bs)+Fr+S/N|in,sq=

-114+10lg(Bs)+Fr+11=

-103+10lg(Bs)+Fr，

(24)

式中，F(xiàn)r表示偵察接收機(jī)的噪聲系數(shù)，單位dB；信號(hào)帶寬Bs的單位為MHz。由上可見，對(duì)于不同帶寬的脈沖信號(hào)，雷達(dá)偵察接收機(jī)的最高靈敏度也是各不相同的。下面以噪聲系數(shù)Fr=3 dB為例，根據(jù)式(24)計(jì)算出，在ωlow=Bn=Bs條件下，針對(duì)不同脈寬的雷達(dá)脈沖的偵察靈敏度如表1所示。這同時(shí)也是采用基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波的雷達(dá)偵察接收機(jī)所能達(dá)到的最高偵察靈敏度。由表1可見，同一部雷達(dá)偵察接收機(jī)在不同脈寬條件下，偵察靈敏度差異竟高達(dá)17 dB。

表1 在ωlow=Bn=Bs下不同脈沖信號(hào)的偵察靈敏度

另一方面，由式(20)可知，在上述檢波的ωlow=Bn=Bs基礎(chǔ)上通過進(jìn)一步減少視頻帶寬，即ωlow=0.5Bs，還可以提升靈敏度，但提升的幅度極為有限，基本可以忽略。

5 仿真驗(yàn)證

以工程中最常見的脈寬1 μs單頻脈沖信號(hào)為例對(duì)前述理論分析的結(jié)果進(jìn)行仿真驗(yàn)證。該脈沖信號(hào)的載頻設(shè)置為300 MHz，信號(hào)帶寬Bs=1 MHz，輸入平方率檢波器的整個(gè)頻率范圍為275～475 MHz，這意味著Bn=200 MHz。在全頻段功率信噪比S/N|in,sq= -2 dB條件下進(jìn)行平方率包絡(luò)檢波，當(dāng)檢波器輸出端的視頻帶寬ωlow=Bn時(shí)，經(jīng)過50 000次蒙特卡洛仿真平均之后得到的信號(hào)功率譜如圖4所示。

圖4 平方率檢波輸出信號(hào)的功率譜密度仿真結(jié)果Fig.4 Simulation results of power spectral density forsquare rate detection output signal

與式(5)～式(7)的理論值比對(duì)，并對(duì)照?qǐng)D4與圖1(a)可知，仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果完全吻合，說明前述平方率檢波理論模型構(gòu)建的正確性。

為了驗(yàn)證平方率檢波與基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波之間的聯(lián)系，下面在切線靈敏度條件下用這2種檢波方法對(duì)同一段信號(hào)進(jìn)行檢波，該段信號(hào)時(shí)長2 μs，其中0.5～1.5 μs為單頻脈沖持續(xù)時(shí)間，脈沖信號(hào)載頻仍然為300 MHz，即Bs=1 MHz，輸入檢波器的頻率范圍仍然為275～475 MHz，平方率檢波器的視頻端的接收帶寬Bn相等，即ωlow=Bn=200 MHz。根據(jù)前面的理論分析，此時(shí)輸入信號(hào)的全頻段信噪比約11 dB，信號(hào)的時(shí)域波形如圖5所示。

圖5 檢波前信號(hào)的時(shí)域波形Fig.5 Diagram of signal waveform in time domain before detection

對(duì)圖5所示脈沖信號(hào)進(jìn)行平方率檢波，輸出結(jié)果如圖6(a)所示，采用基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波的輸出結(jié)果如圖6(b)所示(對(duì)信號(hào)模值進(jìn)行平方處理之后繪制于圖6(b)中)。

(a)平方率檢波

由圖6可知，在ωlow=Bn=200 MHz條件下，2種脈沖包絡(luò)檢波結(jié)果是完全相同的，這與前面式(14)的理論分析結(jié)果也是完全吻合的，即基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波是平方率包絡(luò)檢波的一個(gè)特例。

為了進(jìn)一步提高檢波靈敏度，可在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步縮減平方率檢波器的視頻帶寬ωlow至10 MHz，雖然此時(shí)檢波器的視頻帶寬ωlow是信號(hào)帶寬Bs的10倍，但是射頻帶寬Bn是信號(hào)帶寬Bs的200倍，參照式(21)可近似認(rèn)為相對(duì)于圖6中檢波結(jié)果信噪比提升了13 dB，其檢波結(jié)果如圖7所示，與圖6對(duì)比，其信噪比提升是十分明顯的。

圖7 在縮減視頻帶寬時(shí)平方率檢波的輸出結(jié)果Fig.7 Output of square rate detection when videobandwidth is reduced

6 結(jié)束語

在經(jīng)典的雷達(dá)對(duì)抗教科書與傳統(tǒng)的雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)文獻(xiàn)中大多以二極管模擬檢波器為例來構(gòu)建并闡釋平方率檢波器的數(shù)學(xué)模型與雷達(dá)偵察接收機(jī)的靈敏度計(jì)算公式。但隨著寬帶高速數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展，數(shù)字檢波器的應(yīng)用越來越普遍。本文對(duì)中頻數(shù)字平方率檢波與基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波這2種工程中常用的典型脈沖數(shù)字信號(hào)包絡(luò)提取方法之間的聯(lián)系與性能進(jìn)行了分析，指出了基于希爾伯特變換的包絡(luò)檢波是平方率包絡(luò)檢波的一個(gè)特例，分析了在提升平方率檢波器性能過程中輸入信噪比與輸出信噪比之間的定量關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，利用上述結(jié)果對(duì)雷達(dá)偵察數(shù)字接收機(jī)的偵察靈敏度進(jìn)行了計(jì)算，指出了在評(píng)估與度量雷達(dá)偵察接收機(jī)的靈敏度時(shí)，一定要明確聲明對(duì)應(yīng)的能夠檢測(cè)信號(hào)帶寬的準(zhǔn)確數(shù)值的必要性。以上分析結(jié)果是對(duì)傳統(tǒng)雷達(dá)信號(hào)檢測(cè)理論的擴(kuò)展與補(bǔ)充，相對(duì)于傳統(tǒng)理論來講具有向后兼容性，也具有更廣的普適性，這為雷達(dá)偵察數(shù)字接收機(jī)的方案論證、系統(tǒng)設(shè)計(jì)與指標(biāo)分析提供了新的理論指導(dǎo)。