梁金寶，戴公連，唐 宇，楊凌皓

(1. 中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075；2. 中鐵第四勘察設(shè)計院集團有限公司，湖北 武漢 430063)

無砟軌道由于其穩(wěn)定性高、平順性好、維修工作量少等眾多優(yōu)點已被廣泛應(yīng)用于我國高速鐵路建設(shè)[1]，其中CRTSⅡ型板式無砟軌道技術(shù)在我國京津、京滬、寧杭及滬昆等客運專線得到廣泛應(yīng)用[2]。由于混凝土結(jié)構(gòu)的導熱系數(shù)較小[3-5]，自然環(huán)境下的軌道結(jié)構(gòu)受太陽輻射和對流換熱等熱邊界耦合影響，結(jié)構(gòu)內(nèi)外溫度表現(xiàn)不均衡，其中豎向溫度梯度作用是導致結(jié)構(gòu)上拱變形和層間黏結(jié)性能疲勞減弱的主要原因[6-7]；其次，在季節(jié)性的氣候周期下，軌道結(jié)構(gòu)均勻溫度隨大氣均勻溫度變化而變化，導致結(jié)構(gòu)季節(jié)周期性的伸縮變形[8]。

針對無砟軌道溫度作用取值，國內(nèi)學者通過試驗測試、理論計算的方法開展了廣泛而深入的研究，試驗研究主要集中在對典型天氣或季節(jié)結(jié)構(gòu)溫度測試數(shù)據(jù)的處理分析[9-10]，測試數(shù)據(jù)時間較短，缺乏結(jié)構(gòu)溫度長期監(jiān)測樣本，難以精確描述軌道結(jié)構(gòu)最大溫度作用的實際特征；理論計算主要集中在對軌道結(jié)構(gòu)溫度場氣象參數(shù)的分析[11-12]，建立熱傳導方程，施加氣象參數(shù)邊界條件進行計算，由于自然環(huán)境下的軌道結(jié)構(gòu)熱邊界復(fù)雜，影響因素較多，計算結(jié)果存在一定的局限性。已有的研究對象中對曲線段CRTSⅡ型板式無砟軌道溫度時程規(guī)律的研究甚少，對軌道結(jié)構(gòu)年均勻溫度作用討論較少；同時對于軌道結(jié)構(gòu)溫度梯度而言，偏離主體的最大梯度樣本部分為工程設(shè)計所關(guān)注，單一極值分布并不能對梯度樣本“高尾”情況進行很好地擬合。

本文以橋上曲線段CRTSⅡ型板式無砟軌道結(jié)構(gòu)為研究對象，通過三年的數(shù)據(jù)采集，采用時間序列差分法將溫度時程曲線趨勢變化和短周期變化進行分解，得到受大氣環(huán)境影響的結(jié)構(gòu)均勻溫度時程，并用傅里葉級數(shù)擬合，通過建立GPD(Generalized Pareto Distribution)模型對尾部數(shù)據(jù)進行擬合，提出適用于橋上曲線段CRTSⅡ型板式無砟軌道的豎向溫度梯度擬合模式。

1 工程背景與測點布置

以滬昆高速鐵路某簡支梁橋上曲線段CRTSⅡ型板式無砟軌道為工程背景，該橋位于東經(jīng)115°、北緯28°，橋梁軸線方位角為87.5°，軌道結(jié)構(gòu)超高38 cm。通過預(yù)埋溫度計的方法單側(cè)布置測點，將溫度元件全部接入數(shù)據(jù)采集儀中實現(xiàn)自動采集存儲，測試截面位于箱梁固定支座軌道板接縫處，見圖1。

軌道結(jié)構(gòu)溫度作用研究選取具有一定代表性的監(jiān)測數(shù)據(jù)(2013-10-03T00:00：00—2016-10-03T00:00：00時)進行分析，各測點采樣周期為30 min，除儀器故障等原因?qū)е聰?shù)據(jù)缺失，三年共采集41 268組數(shù)據(jù)，以截面Ⅱ測點L為例，其溫度時程曲線見圖2。

2 GPD模型估計理論

2.1 GPD模型參數(shù)計算

極值理論指出，對于廣義極值分布，當有足夠大的臨界點u，即x>u時，超越u的X樣本服從GPD模型，即

(1)

式中：ξ為形狀參數(shù)；σ為尺度參數(shù)；u為設(shè)定閾值。在閾值u確定的情況下，隨機變量Ti*的累計概率函數(shù)可表示為

(2)

閾值u越大，則尾部樣本數(shù)據(jù)越少，數(shù)據(jù)方差越大；反之閾值u越大，尾部概率分布與GPD模型不吻合，尾部樣本量成為有偏估計。目前通常采用平均剩余壽命圖法來確定閾值，該方法較大程度上存在一定的主觀性，本文在平均剩余壽命圖法的基礎(chǔ)上，采用MSE(Minimum Squared Error)方法來確定尾部樣本量，即

(3)

隨機過程中對參數(shù)估計的方法主要有極大似然法、矩估計法等，也有部分參數(shù)估計法基于這兩種方法進行改進。通過對以上兩種方法進行適用性比較，可以發(fā)現(xiàn)，矩估計法在形狀參數(shù)ξ趨近于0時，對具有少量的尾部樣本估計準確率最佳[13-14]，本文主要采用矩估計法對參數(shù)ξ進行估計，即

(4)

利用經(jīng)驗累積概率分布函數(shù)，在閾值u確定之后構(gòu)造散點，其表達式為

(5)

(6)

式中：j=n-k+1,…,n。利用程序?qū)ξ膊可Ⅻc樣本數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，采用線性回歸法對尺度參數(shù)σ進行估計。

2.2 GPD模型溫度梯度極值計算

(1)根據(jù)曲線段軌道結(jié)構(gòu)對應(yīng)截面實測溫度數(shù)據(jù)，分別取差值得到梯度數(shù)據(jù)樣本，將對應(yīng)t時間段內(nèi)的梯度樣本以間隔時期ΔT(1 d)進行劃分，統(tǒng)計對應(yīng)時間段樣本的最大值Ti，得到梯度最值樣本{Ti}(i=1,2,…,n)，將最值樣本{Ti}進行排序得出順序統(tǒng)計量{Ti*}，其中T1*≤T2*≤…≤Tn*。

(2)構(gòu)造經(jīng)驗累積概率分布函數(shù)為

f(Ti*)=i/(n+1) 1≤i≤n

(7)

(3)確定模型參數(shù)取值。

(4)建立GPD數(shù)學模型對尾部樣本數(shù)據(jù)進行擬合，考慮到溫度梯度數(shù)據(jù)樣本以間隔ΔT(1 d)來劃分溫差最值，故取對應(yīng)重現(xiàn)期Tre年的概率分位值為1/(365×Tre)，結(jié)合ξ值的正負情況，對應(yīng)不同概率需求的溫差值Tc可表示為

(8)

(9)

并對ΔT的分布函數(shù)進行對應(yīng)100 a重現(xiàn)期的溫度梯度極值計算。

3 軌道結(jié)構(gòu)溫度作用取值分析

3.1 溫度時間序列分解

對于軌道結(jié)構(gòu)的溫度監(jiān)測而言，其溫度時程曲線主要包括整體趨勢變化與局部短周期變化的兩種時程成分。趨勢變化主要為結(jié)構(gòu)測點溫度隨四季氣溫變化的趨勢，代表溫度時程曲線的整體走向；短周期變化表示為結(jié)構(gòu)測點溫度在以日照為主的作用下，以日為周期發(fā)生的升、降溫過程。

采用時間序列差分法將時程曲線的整體趨勢變化和局部短周期變化進行分解[15]，以日為單位，對原始數(shù)據(jù)進行時間序列分解，得出其趨勢變化的時程曲線?？紤]到數(shù)據(jù)差分使用了平均處理的方法，因此可將測點溫度整體趨勢變化的時程曲線定義為均勻溫度曲線。測點L的均勻溫度時程見圖3。

圖3 測點L均勻溫度時程曲線圖

由圖3可知，測點L均勻溫度時程反映了該測點位置的均勻溫度隨四季氣候變化的基本規(guī)律，測點均溫夏季高，冬季低，整體趨勢呈三角函數(shù)規(guī)律變化，年周期性表現(xiàn)明顯。

將測點L的原始溫度樣本減去其對應(yīng)的均勻溫度，可得到具有以天為周期變化的波動溫度，波動曲線變化可理解為受到日照等因素引起的日溫度升、降溫過程，見圖4。

圖4 測點L波動溫度時程曲線圖

由圖4可知，波動溫度在0 ℃線附近以日為周期上下波動，符合太陽輻射變化周期的自然規(guī)律。

3.2 均勻溫度分析

結(jié)構(gòu)均勻溫度變化一般影響著結(jié)構(gòu)的軸向變形，其軸向伸縮量可能控制著結(jié)構(gòu)整體設(shè)計。為研究軌道結(jié)構(gòu)整體均勻溫度時程變化規(guī)律，采用上述方法計算軌道結(jié)構(gòu)各測點的均勻溫度，結(jié)果顯示各測點的均勻溫度變化規(guī)律基本一致，可用一條統(tǒng)一的時程曲線來描述軌道結(jié)構(gòu)整體均勻溫度特征，故將各測點均勻溫度時程取平均得到軌道結(jié)構(gòu)整體的均勻溫度時程。

考慮到軌道結(jié)構(gòu)整體均勻溫度時程曲線是一種周期性變化過程，故可用傅里葉級數(shù)對該曲線進行擬合，并對周期進行物理意義修正，擬合方程為

(10)

式中：Tu為結(jié)構(gòu)均勻溫度；t表示時間日序號，以1月1日為第一天；N表示一年總天數(shù)，取365；a0、an、bn為擬合參數(shù)，其中a0代表測點年均勻溫度。

在實際擬合中，一階擬合優(yōu)度已達0.9以上，滿足擬合精度要求，式(10)可表示為

(11)

采用三角函數(shù)變換對式(11)進行簡化，即

(12)

根據(jù)式(11)對軌道結(jié)構(gòu)整體均勻溫度時程進行擬合得到參數(shù)a0、a1、b1分別為21.38、3.659、-10.69，相關(guān)系數(shù)平方為0.930 4，利用三角函數(shù)變換得到軌道結(jié)構(gòu)整體均勻溫度時程表達式為

(13)

由式(13)可知，軌道結(jié)構(gòu)年均勻溫度為21.38 ℃，年均溫的變化幅值為11.3 ℃。

由于實測結(jié)構(gòu)整體均勻溫度時程曲線存在上下波動的“毛刺”現(xiàn)象，因此將均勻溫度實測值與傅里葉擬合值做差作為結(jié)構(gòu)均溫波動統(tǒng)計樣本，得到軌道結(jié)構(gòu)均溫波動正負溫差最大值分別為8.27、-8.69 ℃，根據(jù)均溫波動實測最值對式(13)傅里葉擬合曲線上下平移，得到軌道結(jié)構(gòu)均勻溫度最值包絡(luò)線，見圖5。

圖5 軌道結(jié)構(gòu)均勻溫度曲線圖

3.3 溫度梯度分析

考慮到軌道結(jié)構(gòu)受溫度梯度變化，將產(chǎn)生一定的豎向撓曲變形，從而影響軌道結(jié)構(gòu)的平順性。為研究軌道結(jié)構(gòu)豎向溫度梯度變化規(guī)律，選取位于結(jié)構(gòu)中部相關(guān)位置測點，且對軌道結(jié)構(gòu)有良好代表性的截面Ⅱ進行梯度模式分析，同時刻結(jié)構(gòu)豎向溫度梯度可用方程表示為

ΔT=(Ti-Tu)-(Tj-Tu)=Ti-Tj

(14)

式中：ΔT為不同位置溫度梯度；Ti與Tj為不同測點原始溫度；Ti-Tu為i測點波動溫度，j點亦同。

為確定軌道結(jié)構(gòu)豎向溫度基準點，采用時間序列分解法計算截面Ⅱ各測點的波動溫度，見圖6，由圖6可知，從上到下各測點的波動變化范圍逐漸減小并趨于穩(wěn)定，因此選用波動最小的測點P作為溫度基準點進行溫差計算。

圖6 截面Ⅱ波動溫度范圍圖

利用三年共41 268組數(shù)據(jù)進行軌道結(jié)構(gòu)豎向溫度梯度研究，將截面Ⅱ測點L、M、N、O分別與P點溫度數(shù)據(jù)樣本做差，得出相應(yīng)的溫差樣本，并進行正負溫差分類。根據(jù)截面Ⅱ測點L與測點P日最大溫差樣本，利用極值概率理論得到對應(yīng)溫差統(tǒng)計量與累積分布之間的關(guān)系，見圖7。

圖7 極值理論溫差概率分位圖

由圖7可知，高尾部分的線性趨勢明顯偏離主體數(shù)據(jù)樣本，極值尾部數(shù)據(jù)展現(xiàn)出一定的線性趨勢，但線性規(guī)律卻存在不同，對其極值分布模擬時應(yīng)采用不同的分布參數(shù)，尤其是偏離主體的最大溫差極值樣本為工程設(shè)計所關(guān)注。根據(jù)2.1與2.2節(jié)所述，對截面Ⅱ溫差統(tǒng)計樣本采用GPD模型進行模擬，得到對應(yīng)不同概率需求的溫差表達式參數(shù)見表1和表2。

表1 截面Ⅱ正溫差表達式參數(shù)統(tǒng)計值

表2 截面Ⅱ負溫差表達式參數(shù)統(tǒng)計值

根據(jù)ξ值的正負情況，將表1和表2所得參數(shù)值帶入式(8)、式(9)，取Tre=100 a得出其對應(yīng)100 a重現(xiàn)期的正負溫差估計值，結(jié)果見表3。

表3 截面Ⅱ豎向各測點溫差統(tǒng)計值

由表3可知，測點L與測點P最大正負溫差分別為18.8、-10 ℃，采用GPD統(tǒng)計模型對樣本進行計算，得出百年一遇的正負溫差代表值分別為26.8、-16.7 ℃。對軌道結(jié)構(gòu)豎向?qū)崪y與估計梯度參照我國鐵路規(guī)范的指數(shù)曲線形式進行擬合，擬合度均在0.98以上，截面Ⅱ正負實測值與百年一遇估計值擬合指數(shù)曲線見圖8。

圖8 截面Ⅱ豎向溫度梯度擬合曲線

由圖8可知，曲線段軌道結(jié)構(gòu)豎向溫度梯度實測最大升溫模式為Ty=25.23·e-5.943y，百年一遇升溫模式為Ty=36.21·e-5.615y；實測最大降溫模式為Ty=-13.13·e-5.367y，百年一遇降溫模式為Ty=-21.74·e-5.307y。

4 結(jié)論

本文基于曲線段CRTSⅡ型板式無砟軌道三年的溫度實測數(shù)據(jù)，采用溫度時間序列分解與GPD極值統(tǒng)計等方法對軌道結(jié)構(gòu)均勻溫度與梯度進行分析，得到如下結(jié)論：

(1) GPD數(shù)學統(tǒng)計模型可以計算對應(yīng)不同重現(xiàn)期內(nèi)的溫度梯度代表值。通過對各類統(tǒng)計尾部樣本數(shù)據(jù)進行計算處理，預(yù)估不同概率需求的溫度梯度模式。

(2) 采用時間序列差分法對軌道結(jié)構(gòu)溫度數(shù)據(jù)時程的均溫趨勢變化和短周期日變化進行分解，并采用一階傅里葉級數(shù)對其擬合得到均勻溫度時程表達式，見式(13)，得到軌道結(jié)構(gòu)年均勻溫度為21.38 ℃，年均溫的變化幅值為11.3 ℃；對均勻溫度波動樣本進行統(tǒng)計，得到軌道結(jié)構(gòu)均溫波動正負溫差最值分別為8.27、-8.69 ℃。

(3)截面Ⅱ從上到下各測點的波動變化范圍逐漸減小并趨于穩(wěn)定，通過對軌道結(jié)構(gòu)日溫差最值統(tǒng)計樣本進行分析，得出截面Ⅱ最大正溫差的實測值與估計值分別為18.8、26.8 ℃，采用指數(shù)形式對結(jié)構(gòu)豎向溫度梯度實測最值與估計值進行擬合，可為無砟軌道結(jié)構(gòu)溫度作用取值提供參考。