梁金寶，戴公連，唐 宇，楊凌皓

(1. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075；2. 中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430063)

無(wú)砟軌道由于其穩(wěn)定性高、平順性好、維修工作量少等眾多優(yōu)點(diǎn)已被廣泛應(yīng)用于我國(guó)高速鐵路建設(shè)[1]，其中CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道技術(shù)在我國(guó)京津、京滬、寧杭及滬昆等客運(yùn)專線得到廣泛應(yīng)用[2]。由于混凝土結(jié)構(gòu)的導(dǎo)熱系數(shù)較小[3-5]，自然環(huán)境下的軌道結(jié)構(gòu)受太陽(yáng)輻射和對(duì)流換熱等熱邊界耦合影響，結(jié)構(gòu)內(nèi)外溫度表現(xiàn)不均衡，其中豎向溫度梯度作用是導(dǎo)致結(jié)構(gòu)上拱變形和層間黏結(jié)性能疲勞減弱的主要原因[6-7]；其次，在季節(jié)性的氣候周期下，軌道結(jié)構(gòu)均勻溫度隨大氣均勻溫度變化而變化，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)季節(jié)周期性的伸縮變形[8]。

針對(duì)無(wú)砟軌道溫度作用取值，國(guó)內(nèi)學(xué)者通過(guò)試驗(yàn)測(cè)試、理論計(jì)算的方法開展了廣泛而深入的研究，試驗(yàn)研究主要集中在對(duì)典型天氣或季節(jié)結(jié)構(gòu)溫度測(cè)試數(shù)據(jù)的處理分析[9-10]，測(cè)試數(shù)據(jù)時(shí)間較短，缺乏結(jié)構(gòu)溫度長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)樣本，難以精確描述軌道結(jié)構(gòu)最大溫度作用的實(shí)際特征；理論計(jì)算主要集中在對(duì)軌道結(jié)構(gòu)溫度場(chǎng)氣象參數(shù)的分析[11-12]，建立熱傳導(dǎo)方程，施加氣象參數(shù)邊界條件進(jìn)行計(jì)算，由于自然環(huán)境下的軌道結(jié)構(gòu)熱邊界復(fù)雜，影響因素較多，計(jì)算結(jié)果存在一定的局限性。已有的研究對(duì)象中對(duì)曲線段CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道溫度時(shí)程規(guī)律的研究甚少，對(duì)軌道結(jié)構(gòu)年均勻溫度作用討論較少；同時(shí)對(duì)于軌道結(jié)構(gòu)溫度梯度而言，偏離主體的最大梯度樣本部分為工程設(shè)計(jì)所關(guān)注，單一極值分布并不能對(duì)梯度樣本“高尾”情況進(jìn)行很好地?cái)M合。

本文以橋上曲線段CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，通過(guò)三年的數(shù)據(jù)采集，采用時(shí)間序列差分法將溫度時(shí)程曲線趨勢(shì)變化和短周期變化進(jìn)行分解，得到受大氣環(huán)境影響的結(jié)構(gòu)均勻溫度時(shí)程，并用傅里葉級(jí)數(shù)擬合，通過(guò)建立GPD(Generalized Pareto Distribution)模型對(duì)尾部數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，提出適用于橋上曲線段CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道的豎向溫度梯度擬合模式。

1 工程背景與測(cè)點(diǎn)布置

以滬昆高速鐵路某簡(jiǎn)支梁橋上曲線段CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道為工程背景，該橋位于東經(jīng)115°、北緯28°，橋梁軸線方位角為87.5°，軌道結(jié)構(gòu)超高38 cm。通過(guò)預(yù)埋溫度計(jì)的方法單側(cè)布置測(cè)點(diǎn)，將溫度元件全部接入數(shù)據(jù)采集儀中實(shí)現(xiàn)自動(dòng)采集存儲(chǔ)，測(cè)試截面位于箱梁固定支座軌道板接縫處，見圖1。

軌道結(jié)構(gòu)溫度作用研究選取具有一定代表性的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)(2013-10-03T00:00：00—2016-10-03T00:00：00時(shí))進(jìn)行分析，各測(cè)點(diǎn)采樣周期為30 min，除儀器故障等原因?qū)е聰?shù)據(jù)缺失，三年共采集41 268組數(shù)據(jù)，以截面Ⅱ測(cè)點(diǎn)L為例，其溫度時(shí)程曲線見圖2。

2 GPD模型估計(jì)理論

2.1 GPD模型參數(shù)計(jì)算

極值理論指出，對(duì)于廣義極值分布，當(dāng)有足夠大的臨界點(diǎn)u，即x>u時(shí)，超越u的X樣本服從GPD模型，即

(1)

式中：ξ為形狀參數(shù)；σ為尺度參數(shù)；u為設(shè)定閾值。在閾值u確定的情況下，隨機(jī)變量Ti*的累計(jì)概率函數(shù)可表示為

(2)

閾值u越大，則尾部樣本數(shù)據(jù)越少，數(shù)據(jù)方差越大；反之閾值u越大，尾部概率分布與GPD模型不吻合，尾部樣本量成為有偏估計(jì)。目前通常采用平均剩余壽命圖法來(lái)確定閾值，該方法較大程度上存在一定的主觀性，本文在平均剩余壽命圖法的基礎(chǔ)上，采用MSE(Minimum Squared Error)方法來(lái)確定尾部樣本量，即

(3)

隨機(jī)過(guò)程中對(duì)參數(shù)估計(jì)的方法主要有極大似然法、矩估計(jì)法等，也有部分參數(shù)估計(jì)法基于這兩種方法進(jìn)行改進(jìn)。通過(guò)對(duì)以上兩種方法進(jìn)行適用性比較，可以發(fā)現(xiàn)，矩估計(jì)法在形狀參數(shù)ξ趨近于0時(shí)，對(duì)具有少量的尾部樣本估計(jì)準(zhǔn)確率最佳[13-14]，本文主要采用矩估計(jì)法對(duì)參數(shù)ξ進(jìn)行估計(jì)，即

(4)

利用經(jīng)驗(yàn)累積概率分布函數(shù)，在閾值u確定之后構(gòu)造散點(diǎn)，其表達(dá)式為

(5)

(6)

式中：j=n-k+1,…,n。利用程序?qū)ξ膊可Ⅻc(diǎn)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，采用線性回歸法對(duì)尺度參數(shù)σ進(jìn)行估計(jì)。

2.2 GPD模型溫度梯度極值計(jì)算

(1)根據(jù)曲線段軌道結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)截面實(shí)測(cè)溫度數(shù)據(jù)，分別取差值得到梯度數(shù)據(jù)樣本，將對(duì)應(yīng)t時(shí)間段內(nèi)的梯度樣本以間隔時(shí)期ΔT(1 d)進(jìn)行劃分，統(tǒng)計(jì)對(duì)應(yīng)時(shí)間段樣本的最大值Ti，得到梯度最值樣本{Ti}(i=1,2,…,n)，將最值樣本{Ti}進(jìn)行排序得出順序統(tǒng)計(jì)量{Ti*}，其中T1*≤T2*≤…≤Tn*。

(2)構(gòu)造經(jīng)驗(yàn)累積概率分布函數(shù)為

f(Ti*)=i/(n+1) 1≤i≤n

(7)

(3)確定模型參數(shù)取值。

(4)建立GPD數(shù)學(xué)模型對(duì)尾部樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，考慮到溫度梯度數(shù)據(jù)樣本以間隔ΔT(1 d)來(lái)劃分溫差最值，故取對(duì)應(yīng)重現(xiàn)期Tre年的概率分位值為1/(365×Tre)，結(jié)合ξ值的正負(fù)情況，對(duì)應(yīng)不同概率需求的溫差值Tc可表示為

(8)

(9)

并對(duì)ΔT的分布函數(shù)進(jìn)行對(duì)應(yīng)100 a重現(xiàn)期的溫度梯度極值計(jì)算。

3 軌道結(jié)構(gòu)溫度作用取值分析

3.1 溫度時(shí)間序列分解

對(duì)于軌道結(jié)構(gòu)的溫度監(jiān)測(cè)而言，其溫度時(shí)程曲線主要包括整體趨勢(shì)變化與局部短周期變化的兩種時(shí)程成分。趨勢(shì)變化主要為結(jié)構(gòu)測(cè)點(diǎn)溫度隨四季氣溫變化的趨勢(shì)，代表溫度時(shí)程曲線的整體走向；短周期變化表示為結(jié)構(gòu)測(cè)點(diǎn)溫度在以日照為主的作用下，以日為周期發(fā)生的升、降溫過(guò)程。

采用時(shí)間序列差分法將時(shí)程曲線的整體趨勢(shì)變化和局部短周期變化進(jìn)行分解[15]，以日為單位，對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行時(shí)間序列分解，得出其趨勢(shì)變化的時(shí)程曲線。考慮到數(shù)據(jù)差分使用了平均處理的方法，因此可將測(cè)點(diǎn)溫度整體趨勢(shì)變化的時(shí)程曲線定義為均勻溫度曲線。測(cè)點(diǎn)L的均勻溫度時(shí)程見圖3。

圖3 測(cè)點(diǎn)L均勻溫度時(shí)程曲線圖

由圖3可知，測(cè)點(diǎn)L均勻溫度時(shí)程反映了該測(cè)點(diǎn)位置的均勻溫度隨四季氣候變化的基本規(guī)律，測(cè)點(diǎn)均溫夏季高，冬季低，整體趨勢(shì)呈三角函數(shù)規(guī)律變化，年周期性表現(xiàn)明顯。

將測(cè)點(diǎn)L的原始溫度樣本減去其對(duì)應(yīng)的均勻溫度，可得到具有以天為周期變化的波動(dòng)溫度，波動(dòng)曲線變化可理解為受到日照等因素引起的日溫度升、降溫過(guò)程，見圖4。

圖4 測(cè)點(diǎn)L波動(dòng)溫度時(shí)程曲線圖

由圖4可知，波動(dòng)溫度在0 ℃線附近以日為周期上下波動(dòng)，符合太陽(yáng)輻射變化周期的自然規(guī)律。

3.2 均勻溫度分析

結(jié)構(gòu)均勻溫度變化一般影響著結(jié)構(gòu)的軸向變形，其軸向伸縮量可能控制著結(jié)構(gòu)整體設(shè)計(jì)。為研究軌道結(jié)構(gòu)整體均勻溫度時(shí)程變化規(guī)律，采用上述方法計(jì)算軌道結(jié)構(gòu)各測(cè)點(diǎn)的均勻溫度，結(jié)果顯示各測(cè)點(diǎn)的均勻溫度變化規(guī)律基本一致，可用一條統(tǒng)一的時(shí)程曲線來(lái)描述軌道結(jié)構(gòu)整體均勻溫度特征，故將各測(cè)點(diǎn)均勻溫度時(shí)程取平均得到軌道結(jié)構(gòu)整體的均勻溫度時(shí)程。

考慮到軌道結(jié)構(gòu)整體均勻溫度時(shí)程曲線是一種周期性變化過(guò)程，故可用傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)該曲線進(jìn)行擬合，并對(duì)周期進(jìn)行物理意義修正，擬合方程為

(10)

式中：Tu為結(jié)構(gòu)均勻溫度；t表示時(shí)間日序號(hào)，以1月1日為第一天；N表示一年總天數(shù)，取365；a0、an、bn為擬合參數(shù)，其中a0代表測(cè)點(diǎn)年均勻溫度。

在實(shí)際擬合中，一階擬合優(yōu)度已達(dá)0.9以上，滿足擬合精度要求，式(10)可表示為

(11)

采用三角函數(shù)變換對(duì)式(11)進(jìn)行簡(jiǎn)化，即

(12)

根據(jù)式(11)對(duì)軌道結(jié)構(gòu)整體均勻溫度時(shí)程進(jìn)行擬合得到參數(shù)a0、a1、b1分別為21.38、3.659、-10.69，相關(guān)系數(shù)平方為0.930 4，利用三角函數(shù)變換得到軌道結(jié)構(gòu)整體均勻溫度時(shí)程表達(dá)式為

(13)

由式(13)可知，軌道結(jié)構(gòu)年均勻溫度為21.38 ℃，年均溫的變化幅值為11.3 ℃。

由于實(shí)測(cè)結(jié)構(gòu)整體均勻溫度時(shí)程曲線存在上下波動(dòng)的“毛刺”現(xiàn)象，因此將均勻溫度實(shí)測(cè)值與傅里葉擬合值做差作為結(jié)構(gòu)均溫波動(dòng)統(tǒng)計(jì)樣本，得到軌道結(jié)構(gòu)均溫波動(dòng)正負(fù)溫差最大值分別為8.27、-8.69 ℃，根據(jù)均溫波動(dòng)實(shí)測(cè)最值對(duì)式(13)傅里葉擬合曲線上下平移，得到軌道結(jié)構(gòu)均勻溫度最值包絡(luò)線，見圖5。

圖5 軌道結(jié)構(gòu)均勻溫度曲線圖

3.3 溫度梯度分析

考慮到軌道結(jié)構(gòu)受溫度梯度變化，將產(chǎn)生一定的豎向撓曲變形，從而影響軌道結(jié)構(gòu)的平順性。為研究軌道結(jié)構(gòu)豎向溫度梯度變化規(guī)律，選取位于結(jié)構(gòu)中部相關(guān)位置測(cè)點(diǎn)，且對(duì)軌道結(jié)構(gòu)有良好代表性的截面Ⅱ進(jìn)行梯度模式分析，同時(shí)刻結(jié)構(gòu)豎向溫度梯度可用方程表示為

ΔT=(Ti-Tu)-(Tj-Tu)=Ti-Tj

(14)

式中：ΔT為不同位置溫度梯度；Ti與Tj為不同測(cè)點(diǎn)原始溫度；Ti-Tu為i測(cè)點(diǎn)波動(dòng)溫度，j點(diǎn)亦同。

為確定軌道結(jié)構(gòu)豎向溫度基準(zhǔn)點(diǎn)，采用時(shí)間序列分解法計(jì)算截面Ⅱ各測(cè)點(diǎn)的波動(dòng)溫度，見圖6，由圖6可知，從上到下各測(cè)點(diǎn)的波動(dòng)變化范圍逐漸減小并趨于穩(wěn)定，因此選用波動(dòng)最小的測(cè)點(diǎn)P作為溫度基準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行溫差計(jì)算。

圖6 截面Ⅱ波動(dòng)溫度范圍圖

利用三年共41 268組數(shù)據(jù)進(jìn)行軌道結(jié)構(gòu)豎向溫度梯度研究，將截面Ⅱ測(cè)點(diǎn)L、M、N、O分別與P點(diǎn)溫度數(shù)據(jù)樣本做差，得出相應(yīng)的溫差樣本，并進(jìn)行正負(fù)溫差分類。根據(jù)截面Ⅱ測(cè)點(diǎn)L與測(cè)點(diǎn)P日最大溫差樣本，利用極值概率理論得到對(duì)應(yīng)溫差統(tǒng)計(jì)量與累積分布之間的關(guān)系，見圖7。

圖7 極值理論溫差概率分位圖

由圖7可知，高尾部分的線性趨勢(shì)明顯偏離主體數(shù)據(jù)樣本，極值尾部數(shù)據(jù)展現(xiàn)出一定的線性趨勢(shì)，但線性規(guī)律卻存在不同，對(duì)其極值分布模擬時(shí)應(yīng)采用不同的分布參數(shù)，尤其是偏離主體的最大溫差極值樣本為工程設(shè)計(jì)所關(guān)注。根據(jù)2.1與2.2節(jié)所述，對(duì)截面Ⅱ溫差統(tǒng)計(jì)樣本采用GPD模型進(jìn)行模擬，得到對(duì)應(yīng)不同概率需求的溫差表達(dá)式參數(shù)見表1和表2。

表1 截面Ⅱ正溫差表達(dá)式參數(shù)統(tǒng)計(jì)值

表2 截面Ⅱ負(fù)溫差表達(dá)式參數(shù)統(tǒng)計(jì)值

根據(jù)ξ值的正負(fù)情況，將表1和表2所得參數(shù)值帶入式(8)、式(9)，取Tre=100 a得出其對(duì)應(yīng)100 a重現(xiàn)期的正負(fù)溫差估計(jì)值，結(jié)果見表3。

表3 截面Ⅱ豎向各測(cè)點(diǎn)溫差統(tǒng)計(jì)值

由表3可知，測(cè)點(diǎn)L與測(cè)點(diǎn)P最大正負(fù)溫差分別為18.8、-10 ℃，采用GPD統(tǒng)計(jì)模型對(duì)樣本進(jìn)行計(jì)算，得出百年一遇的正負(fù)溫差代表值分別為26.8、-16.7 ℃。對(duì)軌道結(jié)構(gòu)豎向?qū)崪y(cè)與估計(jì)梯度參照我國(guó)鐵路規(guī)范的指數(shù)曲線形式進(jìn)行擬合，擬合度均在0.98以上，截面Ⅱ正負(fù)實(shí)測(cè)值與百年一遇估計(jì)值擬合指數(shù)曲線見圖8。

圖8 截面Ⅱ豎向溫度梯度擬合曲線

由圖8可知，曲線段軌道結(jié)構(gòu)豎向溫度梯度實(shí)測(cè)最大升溫模式為Ty=25.23·e-5.943y，百年一遇升溫模式為Ty=36.21·e-5.615y；實(shí)測(cè)最大降溫模式為Ty=-13.13·e-5.367y，百年一遇降溫模式為Ty=-21.74·e-5.307y。

4 結(jié)論

本文基于曲線段CRTSⅡ型板式無(wú)砟軌道三年的溫度實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，采用溫度時(shí)間序列分解與GPD極值統(tǒng)計(jì)等方法對(duì)軌道結(jié)構(gòu)均勻溫度與梯度進(jìn)行分析，得到如下結(jié)論：

(1) GPD數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)模型可以計(jì)算對(duì)應(yīng)不同重現(xiàn)期內(nèi)的溫度梯度代表值。通過(guò)對(duì)各類統(tǒng)計(jì)尾部樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算處理，預(yù)估不同概率需求的溫度梯度模式。

(2) 采用時(shí)間序列差分法對(duì)軌道結(jié)構(gòu)溫度數(shù)據(jù)時(shí)程的均溫趨勢(shì)變化和短周期日變化進(jìn)行分解，并采用一階傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)其擬合得到均勻溫度時(shí)程表達(dá)式，見式(13)，得到軌道結(jié)構(gòu)年均勻溫度為21.38 ℃，年均溫的變化幅值為11.3 ℃；對(duì)均勻溫度波動(dòng)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到軌道結(jié)構(gòu)均溫波動(dòng)正負(fù)溫差最值分別為8.27、-8.69 ℃。

(3)截面Ⅱ從上到下各測(cè)點(diǎn)的波動(dòng)變化范圍逐漸減小并趨于穩(wěn)定，通過(guò)對(duì)軌道結(jié)構(gòu)日溫差最值統(tǒng)計(jì)樣本進(jìn)行分析，得出截面Ⅱ最大正溫差的實(shí)測(cè)值與估計(jì)值分別為18.8、26.8 ℃，采用指數(shù)形式對(duì)結(jié)構(gòu)豎向溫度梯度實(shí)測(cè)最值與估計(jì)值進(jìn)行擬合，可為無(wú)砟軌道結(jié)構(gòu)溫度作用取值提供參考。