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        低誤碼率時短信息幀的CRC漏檢率定量對比分析

        2021-02-03 07:36:36吳炳昊董俊超阮秋琦
        鐵道學(xué)報 2021年1期
        關(guān)鍵詞:數(shù)據(jù)位誤碼誤碼率

        吳炳昊,董俊超,阮秋琦

        (1.北京全路通信信號研究設(shè)計院集團(tuán)有限公司,北京 100070; 2.通號城市軌道交通技術(shù)有限公司,北京 100070; 3.北京交通大學(xué) 信息科學(xué)研究所,北京 100081)

        CRC校驗是常用的信息錯誤檢測方法,其檢錯能力與選用的CRC生成多項式有關(guān)。IEEE 802.3使用的CRC-32(0x104c11db7)是眾多CRC生成多項式中著名的一個[1],也因其著名而被廣泛使用。北京S1線也采用CRC校驗來檢測車地通信的信息錯誤,但因其信息幀僅有128 bit,需在消耗盡量少校驗位的同時,擁有較高的信息檢錯能力,因此,選擇適合的CRC生成多項式,是一個需要攻克的技術(shù)難點。本文的研究,為此提供了基礎(chǔ),并說明:應(yīng)根據(jù)數(shù)據(jù)位bit數(shù)、信道誤碼率,而非CRC生成多項式的著名程度,去選擇適合檢錯能力要求的CRC生成多項式。

        1 分析前提與基礎(chǔ)

        1.1 BSC信道與通信場景

        本文采用低誤碼率的二進(jìn)制對稱信道(Binary Symmetric Channel,BSC)作為通信信道模型,對CRC檢錯能力(即漏檢率)進(jìn)行分析與實驗。

        BSC信道的特點[2-3]:

        (1)無記憶。每個bit發(fā)生錯誤相互獨立、概率相等。

        (2)對稱。每個bit從“0”錯為“1”的概率,和從“1”錯為“0”的概率相等。

        BSC信道中,任一個bit發(fā)生錯誤的概率與BSC信道的誤碼率相等。BSC信道的誤碼率在本文中記為e,有e< 1/2[4-5]。

        設(shè)傳輸信息幀的bit數(shù)為l,其中包含nbit數(shù)據(jù)位和kbit校驗位,即l=n+k。本文考慮的通信場景是低誤碼率BSC信道中的l=128 bit信息幀。

        1.2 CRC漏檢情況分析

        設(shè)某信息幀有nbit的數(shù)據(jù)位Data(x),使用的CRC生成多項式為CRC(x),則信源傳輸?shù)男畔S(x)為[6]

        MS(x)=Data(x)×xk+(Data(x)×xk)modCRC(x)

        (1)

        式中:Data(x)×xk為前nbit數(shù)據(jù)位;(Data(x)×xk)modCRC(x)為后kbit校驗位;MS(x)為這兩部分之和。MS(x)必能被CRC(x)整除,即

        0≡MS(x)modCRC(x)

        (2)

        基于BSC信道的特點,用多項式E(x)表示BSC信道產(chǎn)生的誤碼,用多項式MD(x)表示信宿接收到的信息,則MD(x)可表示為

        MD(x)=MS(x)+E(x)

        (3)

        式(3)中多項式E(x)中非0項的個數(shù),即為MS(x)通過BSC信道發(fā)生錯誤的bit數(shù),也就是誤碼的碼重。信宿判斷收到信息正確的條件為[6]

        MD(x)modCRC(x)=MS(x)modCRC(x)+

        E(x)modCRC(x)=0

        (4)

        根據(jù)模運算規(guī)則[7],信宿通過CRC校驗的條件也可表示為

        E(x)modCRC(x)=0

        (5)

        在式(5)得到滿足時,如果還有E(x)≠0,則意味著信息發(fā)生錯誤,且信宿未檢出。因此,BSC信道的CRC漏檢決定于:信息幀包含的數(shù)據(jù)位bit數(shù)n,BSC信道的誤碼率e,以及使用的CRC生成多項式CRC(x)。該推論與Philip Koopman教授[8]的研究結(jié)果相符。

        1.3 CRC生成多項式檢錯特性

        一些影響CRC生成多項式檢錯能力的特性有[9]:

        (1)若CRC(x)為本原多項式(Primitive Polynomial),可得到指定k時可防護(hù)最多的信息bit數(shù)(2k-1,含數(shù)據(jù)位和校驗位),且可檢出所有單bit錯誤和兩bit錯誤。

        (2)若CRC(x)包含(x+1)因子,可檢出所有奇數(shù)bit錯誤。

        (3)所有的CRC(x)均可檢出誤碼長度不超過k(含k)的錯誤。

        需要說明的是,上述第(3)項中的誤碼長度不同于誤碼bit數(shù),而是指傳輸信息中第一個錯誤bit到最后一個錯誤bit之間的距離。如:若10101100錯為11111110,則誤碼數(shù)為3,誤碼長度為6;若10101100錯為00101101,則誤碼數(shù)為2,誤碼長度為8。

        本文的分析對象是CRC-24(0x1974f0b)與CRC-32(0x104c11db7)對l=128 bit信息幀的檢錯能力。根據(jù)Philip Koopman[8]的研究成果,CRC-24(0x1974f0b)是其列出的所有CRC-24生成多項式中,可檢出128 bit信息幀中最多錯誤bit數(shù)的多項式;而CRC-32(0x104c11db7)為IEEE 802.3使用的CRC-32生成多項式[1]。通過Wolfram Alpha[10]可發(fā)現(xiàn):CRC-24(0x1974f0b)含(x+1)因子,因此可檢出所有奇數(shù)bit錯誤;CRC-32(0x104c11db7)為本原多項式(不可分解為各因子相乘的形式),因此可在低誤碼率的環(huán)境下用來防護(hù)較多bit的數(shù)據(jù)位[1,11]。它們對l=128 bit信息幀的檢錯能力對比見表1。

        表1 CRC-24(0x1974f0b)與CRC-32(0x104c11db7)對128 bit信息幀的檢錯能力對比[8]

        2 檢錯能力推導(dǎo)

        CRC-24(0x1974f0b)和CRC-32(0x104c11db7)的檢錯能力推導(dǎo)分以下2種情況:

        情況1,可完全檢錯情況:信息錯誤bit數(shù)在可完全檢錯范圍內(nèi)。

        情況2,不能完全檢錯情況:信息錯誤bit數(shù)在可完全檢錯范圍外,即情況1以外的情況。

        可見,情況1和情況2互不重疊,并且完整考慮了CRC校驗的所有誤碼情況,其中也包含本文1.3節(jié)中的第(3)項。因此,通過對上述兩種情況的分析,再進(jìn)行綜合,即可得出CRC生成多項式的總體檢錯能力。

        2.1 CRC生成多項式檢錯能力的推導(dǎo)

        (6)

        對于情況1,由表1可知:

        (7)

        CRC-32(0x104c11db7)可檢出所有1~6 bit錯誤,其可完全檢錯情況的總概率P32a(e)為

        (8)

        比較式(7)和式(8)可知,P32a(e)

        對于情況2,由表1可知:

        (9)

        (10)

        λm×em×(1-e)l-m

        (11)

        (12)

        (13)

        (14)

        βm×em×(1-e)l-m

        (15)

        (16)

        綜上,在情況2下,CRC-24 (0x1974f0b)與CRC-32(0x104c11db7)檢錯能力的強(qiáng)弱取決于λm和βm。

        綜合情況1與情況2,可被CRC-24(0x1974f0b)檢出錯誤的總概率P24(e)為

        (17)

        (18)

        同樣,對于CRC-32(0x104c11db7),綜合情況1與情況2,可被其檢出錯誤的總概率P32(e)為

        (19)

        (20)

        2.2 CRC生成多項式檢錯能力推導(dǎo)的驗證

        情況1、情況2以及無錯誤發(fā)生情況的概率總和應(yīng)為1,可以此驗證之前分析的正確性。

        對于CRC-24(0x1974f0b):

        對于CRC-32(0x104c11db7):

        3 低誤碼率區(qū)間的檢錯能力比較分析

        3.1 可用數(shù)據(jù)

        針對CRC-24(0x1974f0b)和CRC-32(0x104c11db7),Philip Koopman教授[8]的研究結(jié)果給出了一些可用數(shù)據(jù)。l=128 bit時,結(jié)合表1,CRC-24(0x1974f0b)和CRC-32(0x104c11db7)有以下可用數(shù)據(jù):

        (1)CRC-24漏檢數(shù)λm:0≤m≤7或m為奇數(shù)時,λm=0;另外有λ8=176 516,λ10=26 989 715。

        (2)CRC-32漏檢數(shù)βm:0≤m≤6時,βm=0;另外有β7=5,β8=360,β9=4 726。

        3.2 漏檢率比較分析

        通過CRC-24(0x1974f0b)和CRC-32(0x104c11db7)的漏檢情況數(shù)λm和βm,可得到漏檢比例,分別記為am和bm。l=128 bit時,am和bm可表示為

        (21)

        結(jié)合式(21)和λm、βm的可用數(shù)據(jù),可以得到:

        (1)CRC-24漏檢比例am。0≤m≤7或m為奇數(shù)時,am=0;另外有a8=1.234 6×10-7,a10=1.189 8×10-7。

        (2)CRC-32漏檢比例bm。0≤m≤6時,bm=0;另外有b7=5.289 6×10-11,b8=2.518 0×10-10,b9=2.479 2×10-10。

        對于CRC-24(0x1974f0b),將上述數(shù)據(jù)代入式(18),并結(jié)合式(21),可得到

        (22)

        (23)

        對于CRC-32(0x104c11db7),將已知的CRC-32漏檢比例bm代入式(20),并結(jié)合式(21),可得到

        (24)

        (25)

        圖與的比較

        3.3 誤碼率e趨近于0時的進(jìn)一步論證

        由于前文的計算基于誤碼率e的離散采樣點,為說明分析結(jié)果對低誤碼率區(qū)間連續(xù)誤碼率的適用性,采用極限運算進(jìn)行分析。

        由式(6)可以得到:

        (26)

        結(jié)合式(18)和式(20),分別有

        (27)

        (28)

        對它們的比值取對數(shù)可以得到

        (29)

        因此,在e趨近于0時,本文的分析結(jié)果仍然成立;且e越小,CRC-24(0x1974f0b)相比CRC-32(0x104c11db7)的檢錯能力的優(yōu)勢就越顯著。

        3.4 誤碼率臨界點e0準(zhǔn)確度分析

        圖2 e0的精準(zhǔn)度分析

        綜上,本文得到的e0具有高準(zhǔn)確度,即實際的臨界誤碼率與e0=2.838 41×10-5非常接近。

        4 誤碼率的測量方案

        信息幀bit數(shù)l,BSC信道誤碼率e與錯誤信息幀概率(記為pf)的關(guān)系可表示為

        pf=1-(1-e)l

        (30)

        在實踐中,可通過統(tǒng)計得到CRC校驗未通過的信息幀數(shù)量占總信息幀數(shù)量的比率。CRC校驗的漏檢概率可按2-k進(jìn)行估計[3],對于CRC-24和CRC-32,它們漏檢的錯誤信息幀數(shù)量相比檢出的錯誤信息幀數(shù)量可忽略。因此,經(jīng)過統(tǒng)計可得到CRC校驗未通過的信息幀數(shù)量占總信息幀數(shù)量的比率,該值約等于pf,統(tǒng)計數(shù)量越大、誤差越小。因此,可通過式(30)和已知的l、統(tǒng)計得到的pf,計算BSC信道的誤碼率e。后續(xù)可通過上述方法對BSC信道誤碼率進(jìn)行測量。

        5 結(jié)論

        (1)本文基于BSC信道,針對北京S1線車地通信128 bit信息幀(包含數(shù)據(jù)位、校驗位)的場景,對CRC-24(0x1974f0b)與IEEE 802.3使用的CRC-32(0x104c11db7)的漏檢率進(jìn)行了分析和定量比較,并給出了誤碼率的測量方法。

        (2)本文在Philip Koopman教授研究成果的基礎(chǔ)上,測算出CRC-24(0x1974f0b)的檢錯能力優(yōu)于CRC-32(0x104c11db7)的臨界誤碼率e0近似為2.838 41×10-5,且誤差很小??烧J(rèn)為128 bit信息幀在BSC信道誤碼率低于e0=2.838 41×10-5時,CRC-24(0x1974f0b)不但比CRC-32(0x104c11db7)少消耗8 bit校驗位,還能提供更優(yōu)的檢錯能力,并且誤碼率越低優(yōu)勢越顯著。

        (3)在實踐中,應(yīng)根據(jù)需防護(hù)的數(shù)據(jù)位bit數(shù)、信道誤碼率、以及對檢錯能力的要求等因素選擇合適的CRC生成多項式。

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