黃俊革，漆玉茂，劉 宇，張 彧，盧思同

(上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué) 城市建設(shè)與安全工程學(xué)院，上海 201418)

0 引言

鋼筋銹蝕會(huì)對(duì)混凝土結(jié)構(gòu)造成巨大破壞，給人民的生產(chǎn)、安全帶來嚴(yán)重影響，為了了解混凝土內(nèi)部介質(zhì)腐蝕、鋼筋銹蝕程度、深度及位置等情況，需對(duì)混凝土內(nèi)部鋼筋進(jìn)行檢測(cè)，目前鋼筋銹蝕檢測(cè)的方法主要有化學(xué)分析法[1-2]、電化學(xué)和物理法三種方法。電化學(xué)法[3]包括電化學(xué)阻抗譜法、半電池電位法、線性極化法等；物理法包括紅外熱像技術(shù)法[4]、超聲波檢測(cè)法[5]、電阻率法[3]等。

半電位電池法[6]利用鋼筋銹蝕的電化學(xué)過程中陽極區(qū)和陰極區(qū)之間存在電位差,使電子流動(dòng)并導(dǎo)致鋼筋的腐蝕，通過測(cè)定鋼筋、混凝土與在混凝土表面上參考電極之間的電位差，定性評(píng)定鋼筋的銹蝕狀態(tài)。線性極化法[7]通過對(duì)混凝土內(nèi)部鋼筋加一個(gè)很小的電化學(xué)擾動(dòng)并測(cè)量混凝土內(nèi)鋼筋線性極化區(qū)的極化電阻，再使用Stern-Geary公式計(jì)算出鋼筋腐蝕速率。超聲波方法檢測(cè)方便簡(jiǎn)單，內(nèi)部缺陷檢測(cè)能力強(qiáng)、檢測(cè)速度快[8]，但對(duì)鋼筋截面積的減小測(cè)量不準(zhǔn)確，一般用來檢測(cè)結(jié)構(gòu)內(nèi)鋼筋的位置[9]。電阻率法是近年來測(cè)試混凝土結(jié)構(gòu)性能的新方法，其按接觸方式可分為接觸式和非接觸式兩類[10]，接觸式又可分為二電極法和四電極法[11-12]，采用二電極法測(cè)量混凝土電阻率時(shí)，易受電極與混凝土的接觸面積影響[13-15]。四電極法所測(cè)得混凝土電阻率值受骨料尺寸影響較小，測(cè)量結(jié)果較二極法準(zhǔn)確，但直流電流的極化作用對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響無法消除[16-17]。電阻率法的基礎(chǔ)在于對(duì)混凝土內(nèi)部電場(chǎng)分布的了解，是根據(jù)人工電流場(chǎng)下混凝土內(nèi)部產(chǎn)生的電場(chǎng)分布，來分析混凝土內(nèi)部介質(zhì)腐蝕及鋼筋銹蝕的情況與位置，因此對(duì)混凝土內(nèi)部電場(chǎng)分布的理論進(jìn)行研究十分必要。而混凝土結(jié)構(gòu)、構(gòu)件、試塊大都為有限空間介質(zhì)，對(duì)混凝土內(nèi)部電場(chǎng)，很難套用半空間或全空間的邊值問題進(jìn)行分析，給出解析解。為此，筆者采用物理模型試驗(yàn)、鏡像法和數(shù)值模擬的方法進(jìn)行研究，并相互印證，得出混凝土內(nèi)部有限空間電場(chǎng)分布規(guī)律。

1 電阻率法基礎(chǔ)

1.1 電流源的正常電場(chǎng)

地下人工直流電場(chǎng)建立時(shí)，電極A(+I) 和電極B(-I) 接地，直流電源通過電極A將電流輸入地下，電流通過電極B從地中流出，構(gòu)成閉合回路。電極A、B稱為供電電極。供電電極大小跟供電電極到觀測(cè)點(diǎn)的距離相比很小，可看作兩個(gè)“點(diǎn)”，因此又稱A、B為點(diǎn)電流源。而直流電源通過電極A向地下供電，電極B放置于在無窮遠(yuǎn)處，B極電場(chǎng)對(duì)電極A附近的電場(chǎng)影響不大，甚至可以忽略不計(jì)，即為一個(gè)點(diǎn)電源的電場(chǎng)[18]。

1.2 單個(gè)點(diǎn)電流源的電場(chǎng)

在電阻率為ρ的均勻各向同性介質(zhì)中，電流強(qiáng)度為I的點(diǎn)電流源的電位表達(dá)式如式1所示[19]；若點(diǎn)電流源位于電阻率為ρ的均勻半空間表面，其電場(chǎng)則相當(dāng)于均勻全空間中2倍電流強(qiáng)度的點(diǎn)電流源的電場(chǎng)，其電位表達(dá)式為式(2)。[19]。

(1)

(2)

式中：r為觀測(cè)點(diǎn)到點(diǎn)電流源的距離。

1.3 兩個(gè)異性點(diǎn)電流源的電場(chǎng)

設(shè)地表點(diǎn)電源A( +I)和點(diǎn)電源B(-I)相距 2L，根據(jù)電位疊加原理，可得到A、B兩電極在M、N點(diǎn)的電位公式為[18-19]：

(3)

(4)

式中：rAM、rAN分別為A到M、N的距離；rBM、rBN分別為B到M、N的距離。

1.4 均勻大地電阻率的測(cè)定

進(jìn)行均勻大地電阻率的測(cè)量時(shí)，電極排列形式可任意選擇，在地表任意兩點(diǎn)(A、B)供電，然后在任意兩點(diǎn)(M、N)來測(cè)量其間的電位差。求M、N兩點(diǎn)之間的電位差見公式5[19-20]，地表采用任意電極排列形式測(cè)量的均勻大地電阻率基本公式見式(6)、式(7)[19-20]，其中K為電極裝置系數(shù)，K是一個(gè)只與電極的空間位置有關(guān)的物理量。圖1為對(duì)稱四極裝置的測(cè)量示意圖[19]，該裝置的特點(diǎn)是rAM=rBN，rAN=rBM。

(5)

(6)

(7)

圖1 對(duì)稱四極法的電極排列方式示意圖Fig.1 Schematic diagram of electrode arrangement of symmetrical quadrupole method

圖2 測(cè)定標(biāo)本電阻率裝置原理圖Fig.2 Schematic diagram of specimen resistivity measurement device

1.5 巖石標(biāo)本電阻率的測(cè)定

用標(biāo)本法測(cè)定巖石的電阻率方法較多，采用與露頭法相似的方法，小尺度的對(duì)稱四極裝置即用小對(duì)稱四極法測(cè)量；也可采用以下方法進(jìn)行測(cè)量，以四極法為例，其原理圖如2所示[20]。在長(zhǎng)方形巖、礦石標(biāo)本兩端，其橫截面積為S，金屬片狀電極A和B與標(biāo)本緊密接觸，A、B極的外路與電流表、干電池等聯(lián)成回路。在巖石標(biāo)本的中部，繞有兩個(gè)相距為L(zhǎng)的環(huán)形電極M和N，其由金屬絲做成并與標(biāo)本緊靠，M、N的外路與電位計(jì)和導(dǎo)電線連通。測(cè)量時(shí)，A、B回路中供電電流為I，若M、N極間測(cè)的的電位差為ΔUMN，則計(jì)算巖石標(biāo)本電阻率的公式為式(8)[20]。

(8)

而用上述測(cè)定巖石標(biāo)本電阻率的方法測(cè)定混凝土試塊電阻率時(shí)，小對(duì)稱四極法的測(cè)量結(jié)果與四極法的測(cè)量結(jié)果相差較大。由于混凝土試塊為有限空間介質(zhì)，采用對(duì)稱四極法在其表面觀測(cè)時(shí)，受其內(nèi)部電場(chǎng)分布的影響，使其觀測(cè)結(jié)果與半空間觀測(cè)結(jié)果存在較大差異，為了探究?jī)?nèi)部電場(chǎng)分布是如何對(duì)觀測(cè)點(diǎn)進(jìn)行影響，需對(duì)有限體內(nèi)部的電場(chǎng)分布進(jìn)行研究，為現(xiàn)場(chǎng)實(shí)驗(yàn)提供理論基礎(chǔ)。實(shí)驗(yàn)采用四極法測(cè)定混凝土試塊電阻率的裝置如圖3所示，采用重慶奔騰數(shù)控技術(shù)研究所研制的WDCB-1巖石標(biāo)本電性測(cè)試儀配合PDJB-1 巖石標(biāo)本電性測(cè)試架進(jìn)行混凝土試塊的測(cè)量，其測(cè)定巖石標(biāo)本電阻率原理同四極法測(cè)定巖礦石標(biāo)本電阻率方法原理一致，通過測(cè)量試塊兩端的電壓和電流值，根據(jù)歐姆定律計(jì)算試塊的電阻值，從而計(jì)算電阻率。其左邊為巖石標(biāo)本電性測(cè)試架，測(cè)試架上放置的是兩個(gè)復(fù)合電極罐，兩復(fù)合電極罐之間放置所需觀測(cè)標(biāo)本，右邊為WDCB-1巖石標(biāo)本電性測(cè)試儀，可完成供電、發(fā)射、接收功能。

圖3 巖石標(biāo)本電性測(cè)試架測(cè)量裝置圖Fig.3 Measurement device of electrical test stand for rock specimen

2 有限體模型構(gòu)建及觀測(cè)

2.1 構(gòu)建物理模型

采用標(biāo)本架法及對(duì)稱四極法測(cè)量試塊模型的電阻率和電位等數(shù)據(jù)時(shí)，實(shí)驗(yàn)采用的為鋼筋混凝土模型。為了使試塊模型與標(biāo)本架尺相適應(yīng)，試塊模型的大小設(shè)定為90 mm×70 mm×70 mm，試塊配合比為水：水泥：砂：碎石=0.44:1:1.312:2.666。

2.2 數(shù)據(jù)觀測(cè)及處理

用標(biāo)本測(cè)試儀測(cè)量試塊電阻率時(shí)，將試塊放置在標(biāo)本支撐座適當(dāng)位置，通過調(diào)整旋轉(zhuǎn)螺母使試塊中心與兩個(gè)復(fù)合電極罐上的標(biāo)本測(cè)量區(qū)域接觸良好，測(cè)試前連接好電極，并在測(cè)試儀面板上輸入模型尺寸、供電周期、疊加次數(shù)等參數(shù)，點(diǎn)擊開始測(cè)量，一定時(shí)間后，儀器面板上出現(xiàn)電壓、電流、電阻率等參數(shù)。記錄好電壓、電流、電阻率參數(shù)。對(duì)同一試塊測(cè)量10次，取其平均值作為測(cè)量數(shù)據(jù)。標(biāo)本架測(cè)量混凝土試塊時(shí)，試塊兩端與供電電極A、B接觸，電流從試塊兩端流入或流出，可消除邊界效應(yīng)的影響，因此可認(rèn)為標(biāo)本架法測(cè)量試塊模型的電阻率值為試塊的正常電阻率值。

利用對(duì)稱四極法測(cè)量試塊電阻率時(shí)，按照順序連接好供電電極與觀測(cè)電極，以AM=MN=NB=2 cm，在混凝土表面上按照A—M—N—B的次序進(jìn)行觀測(cè)為例。圖4以A(2,3,0)、M(4,3,0)、N(6,3,0)、B(8,3,0)的位置進(jìn)行排列觀測(cè)。測(cè)量結(jié)束后，記錄測(cè)試儀面板上的VP(一次場(chǎng))、IP(電流)、ρ(電阻率)等測(cè)量數(shù)據(jù)。由于混凝土內(nèi)部介質(zhì)為非均勻介質(zhì)，在混凝土表面用對(duì)稱四極法測(cè)量的電阻率值電場(chǎng)影響范圍內(nèi)各種碎石、水泥等介質(zhì)電阻率的一種綜合反映，觀測(cè)的電阻率值為視電阻率。

圖4 對(duì)稱四極法在混凝土表面的觀測(cè)點(diǎn)圖Fig.4 Observation points of symmetrical quadrupole method on concrete surface

3 有限空間電場(chǎng)分布理論求解

在混凝土表面提供點(diǎn)電源A時(shí)，有限體四周的空氣形成固有的邊界，可用鏡像法[21-22]求解，研究混凝土內(nèi)部點(diǎn)電源鏡像的方法和成像次數(shù)，得到有限體內(nèi)部電場(chǎng)分布規(guī)律。鏡像對(duì)稱規(guī)則如下：混凝土模型為長(zhǎng)方體，點(diǎn)電源A在混凝土模型的上表面，將長(zhǎng)方體上表面的4條邊編號(hào)為1號(hào)邊、2號(hào)邊、3號(hào)邊、4號(hào)邊，點(diǎn)電源A在1號(hào)邊鏡像，得到A1，在2號(hào)邊鏡像得到A2、在3號(hào)邊鏡像得到A3、在4號(hào)邊鏡像得到A4，再考慮每個(gè)邊在同次鏡像產(chǎn)生的點(diǎn)形成的角部點(diǎn)，所有在同一個(gè)位置重復(fù)的鏡像只算一個(gè)鏡像，得到A12(21)、A23(32)、A34(43)、A14(41)(圖5)，邊鏡像點(diǎn)加上角部鏡像點(diǎn)則為上平面某次鏡像產(chǎn)生的鏡像點(diǎn)，然后將上述點(diǎn)、原點(diǎn)A關(guān)于底面鏡面對(duì)稱得到上表面邊與角的鏡像點(diǎn)在底部的鏡像點(diǎn)，得到A底、A1底、A2底、A3底、A4底、A12(21)底、A23(32)底、A34(43)底、A14(41)底(圖6)，上平面關(guān)于邊與角部的鏡像點(diǎn)加上上平面邊與角部的鏡像點(diǎn)在底部的鏡像點(diǎn)共17個(gè)鏡像點(diǎn)，此為第一次鏡面對(duì)稱產(chǎn)生的所有鏡像點(diǎn)。之后的第二次鏡面對(duì)稱在第一次鏡面對(duì)稱產(chǎn)生的上平面鏡像點(diǎn)基礎(chǔ)上按照上述規(guī)則再次鏡像，如點(diǎn)A1在三號(hào)邊鏡像得到A13，點(diǎn)A3在一號(hào)邊鏡像得到A31，點(diǎn)A4在二號(hào)邊鏡像得到A42，…，同時(shí)，第一次的底面所有鏡像點(diǎn)關(guān)于有限體頂面再次鏡像，得到的鏡像點(diǎn)則為第二次鏡面對(duì)稱產(chǎn)生的所有鏡像點(diǎn)。以此類推，第N次鏡像為第N-1次上平面鏡像點(diǎn)按照上述規(guī)則鏡像對(duì)稱，加上第N-1次的底面鏡像關(guān)于頂面再次鏡像，加上第N-2次的頂面鏡像關(guān)于底面再次鏡像，…，直至第一次，上述所有這些點(diǎn)則為第N次鏡像對(duì)稱的全部點(diǎn)。計(jì)算點(diǎn)電源A、B經(jīng)過N次鏡面對(duì)稱后分別在點(diǎn)M、N的電位，預(yù)設(shè)MN兩點(diǎn)間的電位差變化量作為限定值，當(dāng)MN兩點(diǎn)間的電位差變化量小于0.001 mV，可停止運(yùn)算，最后輸出ΔUMN。圖5為混凝土模型上表面按照邊和角的鏡像規(guī)則經(jīng)過3次鏡像后的鏡像點(diǎn)圖，rA為點(diǎn)A到觀測(cè)電極M的距離，rA′為A在底部的鏡像電源A′到觀測(cè)電極的距離。圖6是點(diǎn)電源A第一次鏡像產(chǎn)生的所有鏡像點(diǎn)圖的位置圖。

圖5 混凝土模型上表面3次折射鏡像點(diǎn)圖Fig.5 Mirror image of 3 times refraction on the upper surface of concrete model

圖6 混凝土模型鏡像1次后的所有鏡像點(diǎn)圖Fig.6 All mirror points after one mirror image of concrete model

根據(jù)上述鏡像規(guī)則，在編好的程序中輸入A(2,3,0)、M(4,3,0)、N(6,3,0)、B(8,3,0)的觀測(cè)點(diǎn)，標(biāo)本架法所測(cè)混凝土試塊電阻率、電流值，運(yùn)行計(jì)算點(diǎn)電源A、B經(jīng)過25次鏡面對(duì)稱后，MN兩點(diǎn)間的電位差變化量小于0.001 mv，截止運(yùn)算。上述觀測(cè)點(diǎn)鏡像25次的鏡像過程結(jié)果如表1所示，UAM0、UAN0、UBM0、UBN0、UMN0為邊界影響下的電位值。

表1 混凝土模型鏡面對(duì)稱25次后的電位表Tab.1 Potential table of concrete model after mirror symmetry 25 times

4 有限體電場(chǎng)分布有限元數(shù)值解計(jì)算

有限單元法是將穩(wěn)定電流場(chǎng)的微分求解方程問題看成泛函求極值問題，將整個(gè)區(qū)域按X、Y、Z三個(gè)方向剖分為六面體網(wǎng)格，其中有限體位于剖分區(qū)域的中部，尺寸為90 mm×70 mm×70 mm。將每個(gè)網(wǎng)格賦予電阻率值。有限體單元剖分示意圖如圖7所示，圖中灰色網(wǎng)格代表混凝土試塊，白色網(wǎng)格代表空氣，在有限元模擬程序中，對(duì)代表空氣介質(zhì)的網(wǎng)格賦予電阻率值為10 000 000或者更大。有限單元異常電位法的線性方程組為式(9)[23-24]。

圖7 有限體有限單元剖分示意圖Fig.7 Finite element subdivision diagram

(9)

其中:K、K′為積分系數(shù)矩陣;u為待求的各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的異常電位向量;u0為各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的正常電位向量，

(10)

式中:ρA為電源所在單元的電阻率值；rA為點(diǎn)A到觀測(cè)電極的距離，求解線性代數(shù)方程式(9)，得到各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的異常電位ui，用式(11)計(jì)算各觀測(cè)點(diǎn)的視電阻率值：

(11)

其中:K為裝置系數(shù)；u0i和ui分別為第i個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的正常電位和異常電位。

求解各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的電位，最終得到某一觀測(cè)點(diǎn)的總電位。輸入實(shí)際的觀測(cè)點(diǎn)，在模擬程序中設(shè)定好混凝土試塊的電阻率值與電流值，經(jīng)過有限元程序的模擬計(jì)算，得到電位的模擬解。將實(shí)際觀測(cè)值、理論值、數(shù)值模擬值進(jìn)行對(duì)比分析，從以上3方面進(jìn)行對(duì)比認(rèn)證，得出有限空間電場(chǎng)分布規(guī)律，具體對(duì)比結(jié)果表2。其表2中試塊電阻率為標(biāo)本架測(cè)試的試塊真實(shí)電阻率，UMN0為邊界影響場(chǎng)，UMN25為鏡像25次后的鏡像結(jié)果，模擬解為有限單元法模擬結(jié)果，模型實(shí)測(cè)為對(duì)稱四極法有限體的表面觀測(cè)值。

表2 有限空間電位差理論解、解析解、實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)Tab.2 Theoretical solution,analytical solution and measured data of finite space potential difference

從表2中可看出：有限空間的電場(chǎng)較本征電場(chǎng)值大；有限空間電場(chǎng)的模擬解與鏡像解的相對(duì)誤差很??；對(duì)稱四極法模型實(shí)測(cè)電位值與鏡像解、模擬解之間的差異較大。表2第一個(gè)觀測(cè)位置的鏡像解與模擬解的相對(duì)誤差為0.59%，表2第二個(gè)觀測(cè)位置的鏡像解與模擬解的相對(duì)誤差為1.48%，按照上述有限空間的分布理論編程計(jì)算25次鏡像后的鏡像解與按有限元程序模擬的模擬解相對(duì)誤差很小，吻合度高，表明有限空間電場(chǎng)分布符合上述鏡像對(duì)稱規(guī)則，采用鏡像法計(jì)算有限空間的電場(chǎng)分布正確可行。表2第一個(gè)觀測(cè)位置的鏡像解與模型實(shí)測(cè)的相對(duì)誤差為16.50%，表2第二個(gè)觀測(cè)位置的鏡像解與模型實(shí)測(cè)的相對(duì)誤差為17.21%，不同觀測(cè)位置的鏡像解與模型實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)之間的誤差較大，一方面與混凝土試塊為非均勻介質(zhì)，加上測(cè)試時(shí)電極位置的稍微偏差以及導(dǎo)線與電極、電極與混凝土之間的接觸電阻有關(guān)，另一方面是鋼筋混凝土內(nèi)部的極化效應(yīng)會(huì)影響電阻率觀測(cè)結(jié)果，鋼筋混凝土試塊極化率觀測(cè)值為10.54%，極化效應(yīng)明顯，導(dǎo)致電阻率觀測(cè)值偏高，兩者綜合表現(xiàn)為模型實(shí)測(cè)值較鏡像解、模擬解偏大。對(duì)比上表不同觀測(cè)位置的鏡像解、模擬解以及模型實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，在有限體表面上進(jìn)行觀測(cè)時(shí)，不同觀測(cè)點(diǎn)之間的電位差會(huì)有一定差距，表明有限空間的電場(chǎng)受邊界條件的影響，進(jìn)行有限體電阻率值觀測(cè)時(shí)應(yīng)該綜合考慮有限體表面的觀測(cè)位置。

5 結(jié)論

為研究有限空間的電場(chǎng)分布規(guī)律，利用鏡像法進(jìn)行理論分析，同時(shí)采用有限元程序進(jìn)行模擬分析，驗(yàn)證解析解的正確性。通過構(gòu)建一定尺寸的實(shí)體模型進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，最終得出的結(jié)論：采用鏡像法計(jì)算有限空間的電場(chǎng)分布正確可行；受邊界條件的影響，有限體表面觀測(cè)的電位差、視電阻率，與供電和觀測(cè)電極位置關(guān)系密切，直接觀測(cè)的視電阻率不能視為有限體的電性參數(shù)。