呂 甜， 張雪霞

(西南交通大學(xué)唐山研究生院，河北 唐山 063000)

作為新型的混合電容器，鋰離子電容器(LIC)是一項(xiàng)進(jìn)入能量存儲(chǔ)市場的創(chuàng)新技術(shù)。鋰離子電容的陽極由類似于鋰離子電池的預(yù)先摻雜鋰的碳基材料制成，陰極采用超級(jí)電容所用的活性炭材料。正是由于這種混合架構(gòu)，鋰離子電容相比于傳統(tǒng)的雙電層電容和鋰離子動(dòng)力電池有著更高的能量密度及功率密度，并且自放電率極低(雙電層電容靜置一個(gè)月后，電壓減少了30%，而鋰離子電容電壓僅僅下降了2%)。在未來幾年中，進(jìn)一步的技術(shù)開發(fā)和批量生產(chǎn)將使鋰離子電容器在能量存儲(chǔ)市場中得到大規(guī)模應(yīng)用[1]。鋰離子超級(jí)電容的荷電狀態(tài)(SOC)表征著該器件的剩余容量，SOC的準(zhǔn)確估計(jì)對(duì)機(jī)車的安全運(yùn)行和能量的利用效率有著重要影響。

目前，比較常用的SOC估計(jì)方法主要有：安時(shí)積分法[2]、開路電壓法[3]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[4-5]和基于模型的濾波算法[6]。安時(shí)積分法依賴設(shè)備精度和初始SOC值，誤差容易累積增大；開路電壓法需要長時(shí)間靜置才能達(dá)到穩(wěn)態(tài)，不適用在線估計(jì)；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法雖然能獲得一個(gè)精確估計(jì)，但計(jì)算成本太高。而且模型訓(xùn)練需要大量的時(shí)間，訓(xùn)練數(shù)據(jù)的數(shù)量和質(zhì)量是這類智能算法估算精度的重要影響因素?；谀Ｐ偷乃惴?，例如廣泛應(yīng)用的擴(kuò)展卡爾曼濾波和無跡卡爾曼濾波算法，是將安時(shí)積分法與開路電壓法與非線性濾波技術(shù)結(jié)合以達(dá)到最佳的SOC估計(jì)?？柭鼮V波法是基于精確的等效模型進(jìn)行迭代運(yùn)算，可以有效縮小累計(jì)誤差，并且可以實(shí)時(shí)估計(jì)SOC。擴(kuò)展卡爾曼濾波(extend Kalman filter，EKF)是在KF的基礎(chǔ)上的改進(jìn)，適用于非線性系統(tǒng)，其實(shí)質(zhì)就是通過泰勒級(jí)數(shù)展開將非線性系統(tǒng)近似線性化，再對(duì)線性化系統(tǒng)進(jìn)行卡爾曼濾波[7]。然而，其雅可比矩陣估計(jì)不準(zhǔn)確會(huì)導(dǎo)致濾波發(fā)散，影響其穩(wěn)定性。無跡卡爾曼濾波克服了EKF的近似線性化問題，狀態(tài)向量的估計(jì)精度更高，穩(wěn)定性更好[8]。在實(shí)際算法運(yùn)行過程中，很難獲得過程噪聲和測量噪聲的協(xié)方差。為了改進(jìn)KF算法的濾波精度，消除噪聲影響，Rahimi-Eichi等[9]提出Sage-Husa自適應(yīng)濾波方法，令噪聲方差自適應(yīng)調(diào)整，提高了算法的估計(jì)精度。但是，很少有學(xué)者對(duì)新型混合電容器——鋰離子電容進(jìn)行SOC估計(jì)算法的研究。

本文提出將在線參數(shù)辨識(shí)與自適應(yīng)平方根無跡卡爾曼濾波聯(lián)合估計(jì)算法應(yīng)用于鋰離子電容的SOC估計(jì)中。為獲得LIC精確的等效電路模型，基于LIC的工作特性，進(jìn)而建立等效二階RC模型，該模型既能反映超級(jí)電容的儲(chǔ)能特性，又表征了鋰離子電池的內(nèi)部反應(yīng)機(jī)理；然后，采用FFRLS在線辨識(shí)LIC的等效模型參數(shù)；最后，基于實(shí)時(shí)的參數(shù)辨識(shí)結(jié)果，運(yùn)用ASR-UKF對(duì)SOC進(jìn)行估計(jì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，聯(lián)合估計(jì)算法具備較高的精度。

1 鋰離子電容的等效模型

傳統(tǒng)的超級(jí)電容等效模型有很多種，如一階RC模型、三支路模型和傳輸線模型等[10]。但是這些模型大多是依據(jù)雙電層電容結(jié)構(gòu)特點(diǎn)建立的，并不適用本文提出的新型電容器。文獻(xiàn)[11]分析了鋰離子電容的工作特性，本文根據(jù)LIC的內(nèi)部反應(yīng)機(jī)理的特殊性，在此基礎(chǔ)上建立了如圖1所示的鋰離子超級(jí)電容的等效模型。

圖1 等效電路模型

通過基爾霍夫定律，可得到圖1的二階RC等效電路模型電氣特性的表達(dá)式為：

式中：定義電池放電時(shí)的電流方向?yàn)檎?，充電時(shí)的電流方向?yàn)樨?fù)。

由文獻(xiàn)[11]中的特性分析可知，鋰離子電容自放電率極低，因此忽略自放電效應(yīng)對(duì)等效電路模型的影響。定義Qn為電池的實(shí)際容量，通過安時(shí)積分法可以表示電容的SOC值，得到式(2)：

令等效電路模型的輸入u和輸出y分別為電流I和端電壓UL，狀態(tài)變量為SOC、Ua、Ub，離散化后的狀態(tài)空間方程如式(3)所示：

2 在線參數(shù)辨識(shí)

2.1 開路電壓和荷電狀態(tài)關(guān)系的建立

本研究在NEWARE公司電池測試系統(tǒng)平臺(tái)上對(duì)Taiyo 3200F的單體鋰離子電容進(jìn)行混合脈沖功率性能實(shí)驗(yàn)(hybrid pulse power characteristic,HPPC)測試，通過實(shí)測數(shù)據(jù)來獲得開路電壓和荷電狀態(tài)(SOC)的關(guān)系曲線，如圖2所示。

圖2 開路電壓和SOC關(guān)系曲線

開路電壓和荷電狀態(tài)存在一定的函數(shù)關(guān)系，本文調(diào)用MATLAB中的帶最小二乘意義的Polyfit函數(shù)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，經(jīng)過多個(gè)階次實(shí)驗(yàn)對(duì)比后，確定用7次多項(xiàng)式擬合效果更好。Uoc與SOC函數(shù)關(guān)系如式(4)所示。

2.2 基于遺忘因子的遞推最小二乘法在線參數(shù)辨識(shí)

模型參數(shù)精度決定SOC估計(jì)精度，本文選用帶遺忘因子的遞推最小二乘法(forgetting factor recursive least-squares，F(xiàn)FRLS)對(duì)鋰離子電容等效模型進(jìn)行在線參數(shù)辨識(shí)[12-13]，將原有靜態(tài)模型動(dòng)態(tài)化，提高電容模型精度。

基于獲得的HPPC實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，運(yùn)用FFRLS算法進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，在線辨識(shí)的參數(shù)結(jié)果如圖3所示。由圖3可以看出，參數(shù)辨識(shí)值變化較為劇烈，這是因?yàn)長IC是一個(gè)非線性系統(tǒng)，在不同工況下，它的內(nèi)部參數(shù)會(huì)受到諸多因素影響而不斷變化。當(dāng)HPPC工況下脈沖電流充放電變化時(shí)，F(xiàn)FRLS算法會(huì)不斷迭代更新，快速辨識(shí)出最優(yōu)匹配等效電路模型的參數(shù)值，從而修正因電流變化而引起的波動(dòng)。

3 鋰離子電容的SOC估計(jì)算法

3.1 平方根無跡卡爾曼

無跡卡爾曼濾波是采用Kalman線性濾波框架，通過無跡變換來處理均值和協(xié)方差的非線性傳遞問題，選用一系列確定樣本來逼近已知狀態(tài)變量的概率分布。UKF沒有忽略高階項(xiàng)，因此在處理非線性系統(tǒng)問題方面有較高的計(jì)算精度。但由于實(shí)際工況復(fù)雜多變，算法運(yùn)行后期協(xié)方差矩陣Pk負(fù)定的問題會(huì)逐漸顯現(xiàn)出來，影響濾波器收斂效果[14]。

圖3 在線辨識(shí)參數(shù)結(jié)果

因此，本文采用平方根無跡卡爾曼算法，運(yùn)用QR分解和Cholesky更新的線性代數(shù)技術(shù)獲取協(xié)方差平方根，利用協(xié)方差平方根來代替協(xié)方差矩陣進(jìn)行迭代運(yùn)算[15]，從而保證狀態(tài)變量協(xié)方差矩陣的半正定性和數(shù)值的穩(wěn)定性，克服濾波發(fā)散和算法穩(wěn)定性差的問題。

平方根無跡卡爾曼算法流程如下：

首先，選擇初始協(xié)方差和狀態(tài)估計(jì)。然后，遞歸地處理步驟2到11，直到實(shí)驗(yàn)結(jié)束(或輸入數(shù)據(jù))。

3.2 噪聲自適應(yīng)算法

在標(biāo)準(zhǔn)的無跡卡爾曼濾波器算法中，實(shí)際的噪聲方差是未知的。通常，過程噪聲和測量噪聲的協(xié)方差設(shè)置為固定值。這樣的人為設(shè)置有時(shí)會(huì)影響算法的估計(jì)精度，甚至導(dǎo)致濾波器發(fā)散。因此，為了減少噪聲影響，本文采用自適應(yīng)噪聲濾波算法對(duì)噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整和迭代更新，以提高算法的估計(jì)精度[16]。本文利用濾波器的新息和殘差估計(jì)更新濾波器噪聲的統(tǒng)計(jì)特性。因此，Q和R的估計(jì)與迭代更新如下：

其中，新息e(k)的協(xié)方差函數(shù)E(k)和殘差r(k)的協(xié)方差函數(shù)R(k)可以通過開窗法得到：

式中：W為數(shù)據(jù)的滑動(dòng)窗口長度，它的取值對(duì)算法的靈敏度和穩(wěn)定性影響較大。本文經(jīng)過多次嘗試，確定了W的取值約為15。

通過以上方法便可實(shí)現(xiàn)未知噪聲方差的在線更新，相應(yīng)地實(shí)時(shí)更新平方根無跡卡爾曼濾波算法的增益K，實(shí)現(xiàn)不斷修正和濾波的功能以獲得狀態(tài)變量中SOC的最優(yōu)估計(jì)。

3.3 聯(lián)合估計(jì)算法

圖4 聯(lián)合算法估算示意圖

本文是運(yùn)用FFRLS和ASR-UKF聯(lián)合估計(jì)SOC，聯(lián)合算法估算示意圖如圖4所示。在聯(lián)合算法中，基于FFRLS的在線參數(shù)識(shí)別和ASR-UKF濾波算法交替迭代進(jìn)行完成SOC估計(jì)。首先，基于收集到的電流和電壓數(shù)據(jù)，運(yùn)用FFRLS來完成LIC等效模型參數(shù)的在線識(shí)別。然后，將識(shí)別出的參數(shù)結(jié)果代入模型的狀態(tài)空間，以通過ASR-UKF獲得SOC估計(jì)值。再從開路電壓與荷電狀態(tài)關(guān)系中獲得開路電壓，以便可以使用FFRLS更新模型參數(shù)。通過整個(gè)更新迭代過程，可以自動(dòng)校正由于初始參數(shù)引起的一些誤差，最終可以獲得精度更高的SOC估計(jì)值。

4 仿真分析

為了驗(yàn)證FFRLS在線參數(shù)辨識(shí)和ASR-UKF聯(lián)合算法的有效性和估計(jì)效果，本文在NEWARE公司電池測試系統(tǒng)平臺(tái)上對(duì)Taiyo 3200F的單體鋰離子電容進(jìn)行HPPC工況和模擬工況實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)選用恒溫箱BPHJS-060A為溫濕度可調(diào)實(shí)驗(yàn)箱。所測試的單體電容的初始SOC為1，在初始值準(zhǔn)確的情況下，本文使用安時(shí)積分法來計(jì)算實(shí)際工況各個(gè)時(shí)間點(diǎn)的SOC作為真值與ASR-UKF估計(jì)值進(jìn)行對(duì)比。

4.1 HPPC工況仿真分析

聯(lián)合算法的SOC估計(jì)效果波形如圖5所示。將其局部放大可以看出，放電初期由于給定的初始SOC不準(zhǔn)確，所以估計(jì)誤差較大。但ASR-UKF算法很快就能夠修正由于初值不準(zhǔn)確所帶來的誤差，之后便能收斂至真實(shí)的SOC附近，跟隨理論值效果良好。由誤差波形圖6可以看出，放電初期鋰離子電容內(nèi)部極化效應(yīng)較強(qiáng)，ASR-UKF算法的估計(jì)誤差比后期要大，最大誤差約為0.82%，但在后期，算法估計(jì)誤差非常小，估計(jì)精度很高。

圖5 HPPC工況下聯(lián)合算法的SOC估計(jì)圖

圖6 HPPC工況下聯(lián)合算法的SOC估計(jì)誤差圖

4.2 模擬工況分析

在車輛實(shí)際運(yùn)行過程中，鋰離子電容一般不以恒流方式充放電，因此本文設(shè)計(jì)一種綜合模擬工況進(jìn)行仿真分析，驗(yàn)證算法在動(dòng)態(tài)工況下的估計(jì)效果。圖7為該工況下電流變化脈譜圖，在該工況下對(duì)鋰離子電容進(jìn)行10次循環(huán)充放，得到的SOC估計(jì)效果如圖8所示。

圖7 模擬工況的電流變化脈譜圖

圖8 模擬工況下聯(lián)合算法的SOC估計(jì)圖

圖9為誤差波形。由圖9可知，算法在實(shí)驗(yàn)初期誤差較大，約為1.5%。但算法很快(200 s)能夠逼近理論值，即使在電流不斷變化的情況下，聯(lián)合算法的估計(jì)值仍能夠很好地跟隨真實(shí)的SOC。并且算法估計(jì)曲線波動(dòng)很小，這說明該算法在電流變化劇烈的工況下能夠有效降低噪聲的影響，具有良好的魯棒性和抗干擾性能。

圖9 模擬工況下聯(lián)合算法的SOC估計(jì)誤差圖

5 結(jié)論

本文基于鋰離子電容的二階等效電路模型，采用FFRLS方法進(jìn)行模型參數(shù)的在線辨識(shí)，避免參數(shù)不精確引起的誤差。然后根據(jù)動(dòng)態(tài)更新的模型，采用ASR-UKF算法對(duì)鋰離子電容SOC進(jìn)行估算。實(shí)驗(yàn)和仿真表明，聯(lián)合算法在HPPC工況下，最大誤差約0.82%。即使在電流變化劇烈的動(dòng)態(tài)工況中，仍然能夠?qū)崟r(shí)更新模型參數(shù)和SOC，算法估計(jì)誤差在1.5%以內(nèi)。聯(lián)合估計(jì)算法估計(jì)精度高，并且能夠快速有效地消除初始誤差，收斂至SOC真值附近，抗擾動(dòng)性能優(yōu)良。