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        作為2-扭自由σ-素環(huán)上的右(θ,θ)-導(dǎo)子的一個(gè)研究

        2021-02-01 06:11:23李泓竹
        關(guān)鍵詞:導(dǎo)子同態(tài)吉林

        李泓竹

        (吉林師范大學(xué) 研究生院,吉林 長(zhǎng)春 130000)

        1957年,Posner[1]給出了一些交換環(huán)的一些定理證明,這個(gè)定理給了后人研究環(huán)上性質(zhì)新的方向.1989年,Bell和Kappe[2]證明出如果d為R上的導(dǎo)子,在R的非零右理想上作為同態(tài)或反同態(tài),則d=0.2006年,Oukhtite和Salhi[3]提出σ-素環(huán)的一般性質(zhì),2008年,Asma Ali和Deepak Kumar給出了2-扭自由素環(huán)上廣義(θ,θ)-導(dǎo)子的性質(zhì).本文主要是推廣了Oukhtite[4]的相關(guān)結(jié)果到右(θ,θ)-導(dǎo)子上.

        1 預(yù)備知識(shí)

        設(shè)R是環(huán),若aRb=0,有a=0或b=0,則稱R為素環(huán).設(shè)R是一個(gè)帶對(duì)合σ的環(huán),若aRb=aRσ(b)=0,有a=0或者b=0,并且2x=0,?x∈R,都有x=0,則稱R為2-扭自由σ-素環(huán).設(shè)R是結(jié)合環(huán),d是R上的可加映射,如果對(duì)于?x,y∈R,都有d(xy)=d(x)y+xd(y),那么就稱d是R上的導(dǎo)子.設(shè)環(huán)R,θ是R上自同態(tài),d是R→R上的可加映射,若滿足d(xy)=θ(x)d(y)+θ(y)d(x),?x,y∈R,則稱d是R上的左(θ,θ)-導(dǎo)子.根據(jù)左(θ,θ)-導(dǎo)子的定義,定義出右(θ,θ)-導(dǎo)子,即在相同條件下,滿足d(xy)=d(x)θ(y)+d(y)θ(x),?x,y∈R.設(shè)環(huán)R,J是R的可加子群,?u∈J,r∈R,有u°r∈J,則稱J是R的Jordan理想.若R是σ-素環(huán),J是R的Jordan理想,若滿足σ(J)?J,則稱J是R的σ-Jordan理想.在R上任意x,y,定義Jordan乘:x°y=xy+yx.

        2 主要結(jié)果

        引理1設(shè)R是2-扭自由σ-素環(huán),J是R的非零σ-Jordan理想,d是R上的導(dǎo)子,如果d(J)=0,那么d=0或J∈Z(R).

        定理設(shè)R是2-扭自由σ-素環(huán),J是R上的非零σ-Jordan理想,θ是R上可與σ交換的一個(gè)自同構(gòu),d是R上的右(θ,θ)-導(dǎo)子,如果d(J)=0,那么d=0.

        證明:?j∈J,r∈R,因?yàn)閖°r∈J,d(J)=0,

        所以

        由d(J)=0,故2d(r)θ(j)=0,又由于R是2-扭自由σ-素環(huán),所以

        d(r)θ(j)=0

        (1)

        在(1)中,用j°s替換j,得

        d(r)θ(j°s)=0?d(r)θ(j)θ(s)+d(r)θ(s)θ(j)=0?d(r)θ(s)θ(j)=0

        又可表示為d(r)Rθ(j)=0

        (2)

        由J是R的非零Jordan理想,有J∈σ(J),結(jié)合(2),有d(r)Rθ(σ(j))=0,所以d(r)Rσ(θ(j))=0=d(r)Rθ(j)

        故有d(r)=0或θ(j)=0,所以d=0或J=0.因?yàn)镴是非零的,矛盾.

        因此,得出結(jié)論,d=0

        3 結(jié) 語(yǔ)

        本文主要研究了2-扭自由σ-素環(huán)上σ-Jordan理想上的右(θ,θ)-導(dǎo)子的性質(zhì),把Oukhtite的相關(guān)結(jié)果推廣到了右(θ,θ)-導(dǎo)子上.希望對(duì)以后研究右(θ,θ)-導(dǎo)子上關(guān)于同態(tài)和反同態(tài)的性質(zhì)有幫助.

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