檀大林周濟(jì)福王 旭

(1.中國(guó)科學(xué)院 力學(xué)研究所流固耦合重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100190;2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 工學(xué)院,北京100049)

海水密度是海洋物理學(xué)最重要的參數(shù)之一,準(zhǔn)確地描述不同時(shí)空下的海水密度剖面對(duì)海洋基礎(chǔ)研究,如內(nèi)波演化、大洋環(huán)流、氣候變化等具有重要意義[1-2]。然而海水密度為四維時(shí)空變量,數(shù)據(jù)量巨大且難以像溫度、鹽度等參數(shù)被直接測(cè)得[3]。目前主要通過現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用CTD等觀測(cè)設(shè)備間接測(cè)量海水密度剖面[4],但現(xiàn)場(chǎng)觀測(cè)耗資巨大,且所獲得的海水密度數(shù)據(jù)是離散的。如果通過有限的離散數(shù)據(jù)或者幾個(gè)特征參數(shù),可以獲得近似于真實(shí)海水密度垂向分布的解析剖面,那么參數(shù)化的海水密度剖面將會(huì)為相關(guān)海洋現(xiàn)象的定量建模和研究提供便利。例如:在對(duì)海洋內(nèi)波的研究中,往往需要分析浮頻率的變化,這時(shí)需對(duì)海水密度沿垂向坐標(biāo)求導(dǎo)數(shù),解析剖面比離散剖面無疑更高效、更精確;另外,內(nèi)波演化與海水密度分布息息相關(guān),海洋內(nèi)波的演化特征(波幅、速度等)極大地依賴于海水密度躍層的深度、厚度、密度差。海水密度分布解析模型為研究這種依賴關(guān)系提供了極大的方便。

真實(shí)海洋中往往存在密度躍層,盡管躍層厚度占水深的比例一般很小,但海水的密度變化主要集中在躍層內(nèi)[5]。因此,準(zhǔn)確把握密度躍層特征參數(shù)是建立合理的海水密度剖面模型的關(guān)鍵[6]。目前常用的密度剖面模型有多層型、指數(shù)型和雙曲型。項(xiàng)偉征和沈國(guó)光通過建立三層密度分層模型,進(jìn)行了潛體內(nèi)波尾跡的形態(tài)分析[7]。Chen和Song則研究了三層至N層密度分層的隨機(jī)波解[8]。然而對(duì)于實(shí)際密度剖面,多層模型所需參數(shù)過多且往往需要進(jìn)行層間密度匹配。蘇曉冰等采用指數(shù)型的Holmboe分層模式來描述流體的密度分布[9],但未與真實(shí)海水的密度剖面進(jìn)行對(duì)比。Lamb和Xiao利用雙曲正切函數(shù)的性質(zhì),引入海水平均密度及海洋躍層深度、厚度、密度差四個(gè)特征參數(shù),提出了雙曲正切密度剖面模型,通過改變相關(guān)參數(shù)研究了海水密度差、躍層深度和躍層厚度與內(nèi)孤立波相速度、波幅和波能間的定量關(guān)系[10]。然而,我們?cè)谘芯磕虾?nèi)波分裂演化規(guī)律時(shí),試圖應(yīng)用該模型對(duì)南海真實(shí)海洋密度剖面進(jìn)行模擬,發(fā)現(xiàn)該模型對(duì)雙凹向的“S”型密度剖面模擬效果較好,但對(duì)單一凹向的“7”型密度剖面模擬效果很差。

鑒于此,本文以雙曲正切模型為基礎(chǔ),通過引入一個(gè)修正系數(shù),提出了一個(gè)改進(jìn)的海洋密度剖面模型,使其既可以刻畫雙凹向的“S”型密度剖面,也可以刻畫單一凹向的“7”型密度剖面。同時(shí),利用不同海域、不同月份的密度分布數(shù)據(jù),論證了該改進(jìn)模型廣泛的時(shí)空適用性。

1 海水密度剖面模型

基于海水密度的分層特點(diǎn),常用的雙曲正切密度剖面模型[10]為

我們運(yùn)用雙曲正切密度剖面模型式(1)來模擬真實(shí)海水密度剖面。為了評(píng)價(jià)該密度剖面模型對(duì)真實(shí)海水密度剖面的擬合程度,借鑒統(tǒng)計(jì)學(xué)中方差的概念,我們引入了評(píng)估因子S:

式中,ρmodel為密度模型的計(jì)算值;ρobs為觀測(cè)值;i表示不同深度處對(duì)應(yīng)的密度值;N為垂線上觀測(cè)點(diǎn)的數(shù)目,不同垂線上N不同。由式(2)可知,S越小,意味著密度剖面模型的擬合程度越高,當(dāng)S=0時(shí),密度模型能夠精確模擬真實(shí)的海水密度。

圖2為密度剖面模型的模擬結(jié)果與真實(shí)海水位密剖面的對(duì)比,圖中黑色實(shí)線為對(duì)應(yīng)中國(guó)南海的實(shí)測(cè)位密剖面[11],其平均密度為=1025.25 kg/m3,躍層密度差為Δρ=6.5 kg/m3,其他彩色實(shí)線為僅改變密度躍層深度和厚度(具體參數(shù)見表1),采用雙曲正切剖面模型模擬的剖面。無論是直觀上,還是通過比較評(píng)估因子數(shù)值,均可以發(fā)現(xiàn)該模型的模擬結(jié)果與真實(shí)海水密度之間存在較大差距,并且調(diào)整相關(guān)參數(shù)也不能得到更準(zhǔn)確的模擬剖面,其中Case5為該模型所能達(dá)到的最佳擬合結(jié)果,其對(duì)應(yīng)的評(píng)估因子S取最小值。從圖2可以推知,由于雙曲正切函數(shù)的性質(zhì),該模型可能較適用于雙凹向的“S”型分布(形如Case3和Case4的分布曲線)的模擬,但對(duì)單一凹向的“7”型密度剖面(圖中的實(shí)測(cè)剖面)的模擬效果則很差(Case1,Case2和Case5)。

圖1 密度剖面模型示意圖Fig.1 Sketch diagram of density profile

圖2 雙曲正切模型結(jié)果與實(shí)測(cè)海水位密剖面對(duì)比Fig.2 Fitting with hyperbolic tangent model vs.measured potential density profile

表1 算例參數(shù)Table 1 Parameters of different cases

由于雙曲正切密度剖面模型各參數(shù)物理意義明確,并被廣泛用于模擬流體的密度分層結(jié)構(gòu)。因此,我們保留該模型的各項(xiàng)參數(shù),僅在方程中引入一個(gè)修正系數(shù),得到如下密度模型

式中,λ為修正系數(shù)。當(dāng)λ=1.000時(shí),改進(jìn)后的密度剖面模型即等價(jià)于原模型。

圖3為修正后的密度剖面模型與海水密度剖面的對(duì)比結(jié)果。模型中各項(xiàng)參數(shù)設(shè)置如下:密度差和平均密度依然分別為Δρ=6.5 kg/m3和=1025.25 kg/m3,密度躍層所處深度zpyc=10 m,密度躍層厚度dpyc=200 m。比較評(píng)估因子S的大小可以發(fā)現(xiàn),通過調(diào)整引入的修正系數(shù),改進(jìn)后的密度剖面模型的擬合精度大幅提高,這表明改進(jìn)后的模型能夠更好地反映真實(shí)的海水密度分布。

圖3 改進(jìn)后的模型結(jié)果與真實(shí)海水密度剖面對(duì)比Fig.3 Comparison between the fitted profile by the modified model vs.in-situ density profile

2 改進(jìn)密度剖面模型的適用性

上述研究表明,改進(jìn)后的密度剖面模型能夠更為精確地模擬中國(guó)南海實(shí)測(cè)密度剖面。然而,真實(shí)海洋中海水密度隨著時(shí)間和所處海域的不同可能存在較大差異,改進(jìn)后的密度剖面模型對(duì)于描述不同時(shí)空條件下的海水密度剖面是否依然適用?我們進(jìn)一步開展了研究。

研究采用的海水密度(位密)剖面的觀測(cè)數(shù)據(jù)均選自WOD 2013數(shù)據(jù)庫(kù)[12]。為達(dá)到模型框架下對(duì)實(shí)測(cè)海水密度剖面的最佳擬合效果,將評(píng)估因子S設(shè)為參考指標(biāo),通過改變密度剖面模型的各項(xiàng)參數(shù)計(jì)算S的最小值,S達(dá)到最小值所對(duì)應(yīng)的密度剖面即為該模型下的最佳擬合結(jié)果。

首先研究改進(jìn)后的密度剖面模型對(duì)同一海域不同時(shí)間海水密度分布的適用性。為此,選取中國(guó)南海12個(gè)月的觀測(cè)數(shù)據(jù),對(duì)應(yīng)的12個(gè)觀測(cè)點(diǎn)如圖4所示。圖5為改進(jìn)后的密度剖面模型對(duì)1月至12月典型海水密度剖面的擬合結(jié)果。

此外,為研究改進(jìn)后的密度剖面模型對(duì)不同海域同一時(shí)間海水密度分布的適用性。選取全球不同海域的9個(gè)觀測(cè)點(diǎn)(圖6),所有觀測(cè)點(diǎn)的密度剖面數(shù)據(jù)均為5月份觀測(cè)得到。圖7為改進(jìn)后的密度剖面模型對(duì)各觀測(cè)密度數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果。

圖4 中國(guó)南海選取的12個(gè)月份的密度剖面觀測(cè)點(diǎn)Fig.4 Observation sites of twelve months in the South China Sea

圖5 改進(jìn)后的密度剖面模型對(duì)12個(gè)月份的模擬結(jié)果Fig.5 The measured potential density profiles in the South China Sea in twelve months and the corresponding fitted profiles by the modified model

圖6 不同海域的密度剖面觀測(cè)點(diǎn)Fig.6 Selected observation sites in global oceans

圖7 改進(jìn)后的密度剖面模型對(duì)不同海域觀測(cè)點(diǎn)的模擬結(jié)果Fig.7 The measured potential density profiles in different oceans and the fitted profiles by the modified model

同一海域不同月份(一月～十二月)和同一月份不同觀測(cè)點(diǎn)(a點(diǎn)～i點(diǎn))密度剖面數(shù)據(jù)的最小評(píng)估因子分別如表2和表3所示。對(duì)比模型改進(jìn)前后的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),改進(jìn)后的密度剖面模型所對(duì)應(yīng)的評(píng)估因子S都大幅減小。表明改進(jìn)后的密度剖面模型能夠很好地適用于典型時(shí)間和海域的海洋密度模擬。此外,從圖5和圖7還可以看出,改進(jìn)的模型既適用于雙凹向的“S”型分布,也適用于單一凹向的“7”型密度分布。

表2 十二個(gè)月份改進(jìn)前后的密度剖面模型的擬合誤差Table 2 Fitting errors of the modified model and Lamb's model in twelve months

表3 不同海域觀測(cè)點(diǎn)改進(jìn)前后的密度剖面模型的擬合誤差Table 3 Fitting errors of the modified model and Lamb's model in different oceans

3 結(jié) 論

利用海水密度分布的特征參數(shù)解析刻畫海水密度分布,可以為研究海洋內(nèi)波等現(xiàn)象提供方便。在對(duì)真實(shí)海水密度剖面進(jìn)行參數(shù)化分析的過程中發(fā)現(xiàn),以往常用的雙曲正切密度剖面模型僅對(duì)雙凹向的“S”型密度剖面具有較好的擬合精度,對(duì)于更為常見的“7”型密度剖面則效果不佳。本文以常用的雙曲正切密度剖面模型為基礎(chǔ),通過引入一個(gè)修正系數(shù),提出了一個(gè)改進(jìn)的密度剖面模型。該改進(jìn)的模型在完全繼承了原模型優(yōu)點(diǎn)的同時(shí),大大提高了對(duì)真實(shí)海洋密度剖面的擬合精度,使得改進(jìn)以后的密度剖面模型不僅能夠描述雙凹向的“S”型密度剖面,而且能夠描述更為常見的單一凹向的“7”型密度剖面。利用全球多個(gè)典型海域和月份的實(shí)際密度剖面觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行論證,表明該改進(jìn)模型具有廣泛的適用性。