馬小輝> 張志斌 孫中苗 袁 野 孫正雄 王廣利

(1 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院鄭州450001)

(2 西安測繪研究所西安710054)

(3 地理信息工程國家重點(diǎn)實(shí)驗室西安710054)

(4 中國科學(xué)院上海天文臺上海200030)

(5 中國科學(xué)院大學(xué)天文與空間科學(xué)學(xué)院北京100049)

(6 中國科學(xué)院新疆天文臺烏魯木齊830011)

1 引言

射電天線的指向改正模型決定了天線能否正常跟蹤目標(biāo)， 對觀測具有決定性作用.盡管天線在出廠前會對其指向作硬件校準(zhǔn)， 但因軸系誤差、重力形變、熱形變以及其他隨機(jī)因素的相互耦合， 造成了天線指向偏差及其指向改正的復(fù)雜性. 特別是， 對于大口徑高頻射電天線， 為保證射電流量的測量精度， 一般要求射電望遠(yuǎn)鏡的指向誤差應(yīng)小于1/10波束寬度. 例如針對13 m甚長基線干涉測量全球觀測系統(tǒng)(Very Long Baseline Interferometry (VLBI) Global Observing System， VGOS)天線， 最高觀測頻段為15 GHz， 其波束寬度為317′′， 天線指向精度應(yīng)確保在30′′內(nèi)， 才能滿足觀測需求. 對于用來對大質(zhì)量黑洞成像的30 m口徑事件望遠(yuǎn)鏡[1]天線而言， 其在345 GHz的頻段上， 指向精度要求為0.6′′， 這便對亞角秒級的指向改正方法提出了挑戰(zhàn)， 當(dāng)前還未有涉及亞角秒級的指向改正模型.

為了進(jìn)一步改正指向， 當(dāng)前射電天線廣泛采用的辦法是軟件校準(zhǔn)， 即利用指向模型校準(zhǔn)天線指向: 通過對天區(qū)分布均勻的致密強(qiáng)點(diǎn)源開展掃描觀測， 記錄這些源的理論指向與實(shí)測最強(qiáng)流量指向間的差異， 結(jié)合天線指向改正模型[2-10]， 通過平差計算得出指向改正模型多項式系數(shù)， 再通過回代這些參數(shù)， 便可完成對天線指向的軟件改正. 天線指向測量及改正工作是一個迭代的過程， 特別對于新建天線， 先通過觀測面源校正較大誤差項[4]， 然后通過對點(diǎn)源開展逐步迭代測量及模型驗證， 確保指向模型對盲指精度無貢獻(xiàn)后方能確定天線指向改正模型. 該工作需重復(fù)進(jìn)行， 每年至少需開展1-2次才能基本保證天線指向精度[5].

除天線跟蹤誤差、蒙氣差、天線溫度形變誤差和隨機(jī)誤差(統(tǒng)稱為動態(tài)指向誤差)外， 天線指向改正模型中所考慮的系統(tǒng)性誤差(靜態(tài)指向誤差)包括: 軸系誤差、天線重力形變、天線鋼軌形變等. 對于廣泛應(yīng)用的方位俯仰型天線來說， 天線重力形變主要作用在主副面上， 會影響天線的俯仰指向， 可通過對主副面開展多項式建模來實(shí)現(xiàn)模型改正[3，11]; 對蒙氣差對指向影響研究[12-13]， 如上海天馬65 m天線所用的實(shí)時蒙氣差參數(shù)改正， 可將Ku頻段的指向精度提高到5′′， 相較此前低高度角指向測量的RMS (Root Mean Square)減少了～60%[13]; 對于天線鋼軌形變的研究目前僅限于輪軌座架式天線， 例如鋼軌不規(guī)則形變一次項改正[14]、傅里葉級數(shù)改正[15]以及鋼軌不平改正表改正[16-17]等; 當(dāng)前針對VLBI時延改正天線溫度形變已有成熟模型[18-19]， 對指向改正則需結(jié)合有限元分析開展研究[20].

天線指向改正中的軸系誤差改正項是天線指向改正中的主項， 其推導(dǎo)方法包括球諧函數(shù)改正模型和基本參數(shù)改正模型[7]. 球諧函數(shù)改正模型方法簡單， 但其參數(shù)多、參數(shù)間相關(guān)性強(qiáng)、模型穩(wěn)定性差且參數(shù)缺少物理意義[7]. 而基本參數(shù)改正模型則采用球面幾何法分項推導(dǎo)[3，21]， 并在改正模型中以多項式方式合并實(shí)現(xiàn). 這實(shí)質(zhì)上是一種間接推導(dǎo)，會忽略掉軸系誤差高次項對指向的影響， 同時也帶來兩個問題: (1)軸系誤差模型精度無法評判， 使得高精度軸系誤差改正模型難以實(shí)現(xiàn); (2)由于傳統(tǒng)指向模型中僅關(guān)注多項式系數(shù)， 而這些系數(shù)的物理意義(包括指向定義)并不完全明確， 這在很大程度上也限制了天線指向模型所解算的天線結(jié)構(gòu)參數(shù)在測地中的應(yīng)用.

由于赤道式天線與方位俯仰型天線軸系誤差改正模型的結(jié)果間僅需進(jìn)行坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換， 為簡化問題， 本文僅針對應(yīng)用廣泛的方位俯仰型天線進(jìn)行討論. 對指向模型中軸系誤差改正展開推導(dǎo)及討論， 以回復(fù)上一段所提出的兩個問題. 以0.1′′軸系誤差為限，在天線具備足夠剛度的條件下， 利用更為直觀的矢量推導(dǎo)法， 對天線軸系誤差指向改正模型作直接推導(dǎo).

2 天線軸系誤差指向改正模型的直接推導(dǎo)

2.1 定義

2.1.1 坐標(biāo)系定義

本文共用到3套坐標(biāo)系， 分別為站心坐標(biāo)系OENU(Orgin East North Up)、天線坐標(biāo)系Oxyz以及天線指向切面坐標(biāo)系OA′RE′(Orgin Azimuth Radial Elevation)， 3套坐標(biāo)系均為笛卡爾坐標(biāo)系(右手系)， 均以參考點(diǎn)為原點(diǎn)O， 如圖1所示. 天線參考點(diǎn)定義為天線主動軸與包含從動軸運(yùn)動平面的交點(diǎn)[22]， 具有代表性、統(tǒng)計性、時變性與多源性等特點(diǎn)[23]. 站心坐標(biāo)系OENU3軸指向分別對應(yīng)“東、北、上”方向， 注意指向模型建模中的“上”近似于參考點(diǎn)相對參考橢球法線的反方向; 天線坐標(biāo)系Oxyz第1軸為天線俯仰軸x， 第2軸為天線指向方向y， 與兩軸均垂直過O點(diǎn)的為z軸; 天線指向切面坐標(biāo)系OA′RE′， 第2軸R為指向方向， 第1軸A′和第3軸E′分別對應(yīng)方位和俯仰方向.圖1中E和A分別表示天線俯仰角(或高度角)和方位角，-σA和-σE分別表示方位和俯仰方向上的指向改正量.

圖1 3套坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Three coordinate systems

本文所用旋轉(zhuǎn)矩陣共有兩種: 第1種用以描述質(zhì)點(diǎn)在同一坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)，用R1/2/3表示， 下標(biāo)分別表示繞第1、2、3軸的旋轉(zhuǎn); 第2種用以描述新坐標(biāo)系相對舊坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)[24]， 用R1/2/3表示， 下標(biāo)意義同上.

2.1.2 正角負(fù)角定義

在笛卡爾坐標(biāo)系中， 坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)實(shí)質(zhì)是軸系以某一角度旋轉(zhuǎn)， 角度正方向定義如下:固定x軸， 由y旋轉(zhuǎn)至z為正; 固定y軸， 由z旋轉(zhuǎn)至x為正; 固定z軸， 由x旋轉(zhuǎn)至y為正. 反之為負(fù). 本文涉及到的正角包括α、β、γ、δ、μ和E， 負(fù)角包括λ和A， 符號的具體意義見2.1.3節(jié).

2.1.3 軸系誤差定義

本文提出的軸系誤差名稱與符號如表1所示. 其中， 天線準(zhǔn)直差反映了天線實(shí)際指向與設(shè)計指向在空間中的固定差異， 文中δ表示該差異在空間中的水平分量， 其對方位角的影響ΔA隨天線高度角不同而不同， 區(qū)別如圖2所示; 天線準(zhǔn)直差垂直方向分量與俯仰度盤差耦合， 本文將其合并稱為俯仰度盤差. 表1中前6項稱為軸線傾斜， 用角度來描述，后一項e為方位俯仰軸軸線偏差， 用距離來衡量.e的正向為天線的水平指向方向.

2.2 推導(dǎo)過程

如圖3所示， 推導(dǎo)步驟為:

(1)設(shè)置初始狀態(tài)，坐標(biāo)系Oxyz與OENU重合，此時天線方位俯仰角度均為0，定義點(diǎn)p位于天線指向上， 距離參考點(diǎn)(原點(diǎn)O)為無量綱的單位矢量P1:

表1 各類軸系誤差及其符號Table 1 The axis related errors (AREs) and their symbols

圖2 天線準(zhǔn)直差對方位角的影響Fig.2 The effect of telescope collimation error on the azimuth angle

圖3 天線軸系改正模型推導(dǎo)過程Fig.3 Derivation process of correction model of telescope axes

(2)考慮天線水平準(zhǔn)直差δ， 此時天線指向上點(diǎn)p的位置P2表示為1矩陣中已作小角近似， 下同:

(3)考慮俯仰角E和俯仰度盤差μ， 此時天線指向上點(diǎn)p的位置P3表示為:

(4)考慮軸線偏差e， 該值定義在天線水平指向方向， 與天線俯仰變化無關(guān)， 此時點(diǎn)p的位置P4表示為:

(5)考慮俯仰軸傾角γ， 此時點(diǎn)p的位置P5表示為:

(6)考慮方位角A和方位度盤差λ， 此時天線指向上點(diǎn)p的位置P6表示為:

(7)考慮方位軸傾角α、β， 點(diǎn)p在OENU坐標(biāo)系中的位置P7表示為:

通過以上7個步驟， 即可求出考慮天線軸系誤差的p點(diǎn)在任意方位俯仰下的位置.

以上依次考慮了天線準(zhǔn)直差δ、俯仰角E、俯仰度盤差μ、軸線偏差e、俯仰軸傾角γ、方位角A、方位度盤差λ、方位軸傾角α和β. 為后續(xù)表示方便， 令P=P1且P′=P7， 則有p點(diǎn)在OENU坐標(biāo)系下考慮軸系誤差的指向下位置P′與初始位置P的關(guān)系，如(8)式所示:

其中， 軸線偏差矢量e=(0e0)T.

設(shè)此時通過掃描法所測定的射電目標(biāo)的真實(shí)位置為Ao與Eo， 則P′在OA′RE′坐標(biāo)系中位置用P′′表示， 可由(9)式計算得到:

如上所述，p點(diǎn)固定于天線指向上， 相對天線某一指向下在OA′RE′系中的理論位置仍可用P表示， 由此得到天線指向改正模型完全表達(dá)式C， 見(10)式:

令A(yù)o=A，Eo=E， 且對軸線傾角開展小角近似簡化， 即令α、β等小角參數(shù)的正弦量為對應(yīng)小角值， 余弦量為1， 同時為方便描述系數(shù)矩陣， (10)式可分解為(11)式:

其中，A= (1 1 1 1 1); 式中A(M)AT形式用來計算矩陣M5×5中所有元素之和; 符號“·”表示矩陣點(diǎn)積， 即兩個矩陣對應(yīng)位置元素相乘;CC表示諧項矩陣;C中從左到右的3個元素依次表示: 天線在方位方向、徑向以及俯仰方向上的偏移量， 3者的正方向與圖1(右)中定義相同. 對C中的3個元素加以負(fù)號即可用以改正天線指向.

2.3 天線指向改正模型

經(jīng)推導(dǎo)、合并及化簡， 所得系數(shù)陣各組成項的表示如(12)-(14)式所示. 限于篇幅，(13)和(14)式采用拆分矩陣表示:

天線指向模型軸系影響系數(shù)矩陣為CA和CE項， 矩陣中的系數(shù)即為天線指向中， 軸系誤差改正模型C的完全表達(dá)式的系數(shù). 文中我們將兩系數(shù)之積， 例如等稱為2次項， 可知模型中最多包含5次項. 如舍去2次及以上的系數(shù)項， 則天線指向改正模型如下:

(15)式即為常用的9項天線指向改正模型[3]中軸系誤差的表達(dá)式. 因9項模型中包括兩項殘余大氣映射和重力形變改正， 針對軸系誤差僅7項， 本文稱其為7項模型， 這也是22項天線指向改正模型[7]中與軸系誤差有關(guān)的主項. 22項模型如下:

本文研究對象為方位俯仰型天線， 故舍去了22項模型中針對赤道式天線的P2項， 其余各系數(shù)項的擬合方法見文獻(xiàn)[7]. 實(shí)際上7項和22項模型的推導(dǎo)是通過對主要軸系誤差開展分析合并得到的， 是一種分項間接組合模型， 并無本文中交叉諧項和高次項的考慮，其指向模型中有關(guān)軸系誤差的改正則是本文模型的簡化形式. (15)式中， 因明確定義了軸系誤差方向，δ和e在式中系數(shù)為負(fù); 同時， 可知方位軸傾角α和β對方位和俯仰角度改正均有影響， 其余參數(shù)項， 如δ、λ、γ僅影響方位， 而μ和e僅影響俯仰.

22項天線指向改正模型((16)式)中包含明顯的倍角項級數(shù)系數(shù)(如P19和P20)， 線性項系數(shù)(如P9和P12)， 用以表示度盤尺度差或天線副面形變對指向的影響以及個別重復(fù)項系數(shù)(如P10、P21和P22). 在開展系數(shù)求解時為避免矩陣奇異，P10、P21和P22均設(shè)為0.該模型軸系誤差改正項與本文所推模型的簡化形式一致.

3 模型精度評估

3.1 量級評估

因軸系誤差具有方向性， 不同的軸系誤差參數(shù)組合會對指向產(chǎn)生不同影響， 考慮到這些諧項均以線性的方式組合， 這里可用定性評估的方法來代替仿真分析. 即通過評估本文中軸系參數(shù)高次項(2次及以上項)對指向影響的量級來對模型精度開展定性分析.

由(12)-(14)式可知， 模型精度與軸系誤差具體大小有關(guān). 表2給出對2011年南山25 m天線指向觀測結(jié)果利用22項指向改正模型擬合所求系數(shù)的值， 該模型擬后殘差約7′′[25]， 已遠(yuǎn)大于1′′模型精度， 但并不影響用此例來評估軸系誤差高次項對指向的影響.

表3對軸系誤差2次項對指向影響的量級進(jìn)行了評估. 可知對于南山25 m天線， 與軸線偏差e、方位度盤差λ和俯仰度盤差μ有關(guān)的2次項的量級均要大于與這些誤差無關(guān)的2次項量級. 考慮多項累加效應(yīng)， 若要實(shí)現(xiàn)1′′甚至亞角秒水平的軸系指向精度， 可考慮保留所有與e、λ和μ有關(guān)的2次項來改正因軸系誤差引起的指向偏差; 3次以上項如等， 其影響量級均可忽略. 以上分析同時也說明了因忽略了軸系誤差高次諧項，7項和22項軸系誤差指向改正的模型精度在1′′左右. 不同天線高次項對指向影響具體大小還需結(jié)合各自軸系誤差值來判定.

表2 2011年南山站22項指向改正模型系數(shù)(單位: ′′)Table 2 The applied 22-polynomial coefficients of Nanshan station in 2011 (unit: ′′)

表3 軸系誤差2次項對指向影響量級評估以南山站25 m天線軸系誤差為例(單位: ′′)Table 3 Magnitude evaluation on the pointing of the ARE quadratic terms in the case of 25 m telescope in Nanshan (unit: ′′)

3.2 其他影響

表4 (1-14行為針對方位角的改正項， 15-36行為針對俯仰角的改正項)中給出了不同指向改正模型中各誤差改正項所對應(yīng)的與軸系誤差有關(guān)項系數(shù)的物理意義. 其中軸系誤差項中與重力形變和鋼軌形變的重合諧項系數(shù)用*號標(biāo)示， 這說明不同誤差源在不同諧項的系數(shù)上體現(xiàn)出一定耦合性. 這里與軸系誤差相關(guān)的項所對應(yīng)系數(shù)為3次項， 其量級可以忽略， 將其列于表中用以對照. 表2給出對2011年南山25 m天線指向觀測結(jié)果利用22項指向改正模型擬合所求系數(shù)的值， 該模型擬后殘差約7′′[25]， 已遠(yuǎn)大于1′′模型精度. 即便如此， 仍考慮將此例用于參考， 來評價軸系誤差以外的誤差源對指向的影響.從表4可知， 僅從軸系誤差角度來看， 所求P15和P16的值近似等于0， 但P16實(shí)際擬合結(jié)果為-8.71′′， 僅與軸系誤差計算結(jié)果正負(fù)號相同， 該差異接近擬后殘差值. 這同時也說明該天線并非嚴(yán)格的剛體， 還存在其他與軸系誤差耦合的誤差源.

表4中增加的補(bǔ)充項為針對四輪座架式方位俯仰型天線的鋼軌不規(guī)則形變改正項.需要注意的是， 鋼軌整體傾斜已被參數(shù)α和β吸收[11]， 而不規(guī)則形變則反映了鋼軌變化的復(fù)雜性， 對于南山25 m天線來說， 其鋼軌不規(guī)則形變(表4中32行)對指向的影響可達(dá)24′′.

表4 指向改正模型中各項的意義Table 4 The meaning of each item in different pointing correction models

4 討論

為保證天線指向模型的1′′指向精度， 除本文所推亞角秒精度的軸系誤差指向改正模型外， 指向模型中還應(yīng)包括重力形變、蒙氣差、熱形變、風(fēng)載形變等， 對四輪座架式天線， 還應(yīng)加入鋼軌不規(guī)則形變改正模型.

天線結(jié)構(gòu)具備一定強(qiáng)度， 方位及俯仰碼盤指向與跟蹤均能保證一定精度， 這才能確保天線指向和跟蹤穩(wěn)定度在1′′或更高， 這是本研究工作科學(xué)應(yīng)用的前提. 如在指向或跟蹤時出現(xiàn)幾個角秒的隨機(jī)效應(yīng)， 這將會限制模型的應(yīng)用.

指向模型建立時， 必須保證射電源相對本地測站的天區(qū)分布足夠均勻. 南北天區(qū)射電源覆蓋不均勻會導(dǎo)致方位與俯仰指向模型所得β不一致， 會引起參數(shù)相關(guān)性， 進(jìn)而使得所解參數(shù)出現(xiàn)較大誤差. 射電源俯仰采樣數(shù)目有限則會導(dǎo)致天線水平準(zhǔn)直差δ與方位軸度盤差λ系數(shù)強(qiáng)相關(guān)， 盡管此時法方程矩陣非奇異. 具體建模時， 可結(jié)合觀測增減表4中的各改正項， 從而建立高精度軸系誤差指向改正模型.

5 結(jié)論

本文采用直接推導(dǎo)法給出了射電天線軸系誤差指向改正模型的完全表達(dá)式， 明確了天線指向改正模型中各系數(shù)的物理意義， 評估出傳統(tǒng)靜態(tài)指向模型中軸系指向改正模型精度可能在1′′左右， 具體需結(jié)合不同天線的軸系誤差量級確定， 這些為今后大口徑高頻天線高精度指向模型建立提供參考.

致謝感謝審稿人提出的寶貴意見. 感謝王錦清、趙融冰兩位研究員對有關(guān)天線指向測量所做的有益討論.