基于定位概率和收縮機(jī)制的電力系統(tǒng)拓?fù)溲莼Ｐ?/h1>
2021-01-29 12:45:22葛賢軍汪惟源孫文濤
孫 珂，王 丹，葛賢軍，汪惟源，孫文濤
（1.國網(wǎng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院有限公司，北京 102209；2.電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和仿真國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（清華大學(xué)電機(jī)系），北京 100084；3.國網(wǎng)江蘇省電力有限公司，南京 210019；4.國網(wǎng)江蘇省電力有限公司經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，南京 210008）
隨著可再生能源、綜合能源和能源互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展和接入電網(wǎng)，泛在電力物聯(lián)網(wǎng)、數(shù)字電網(wǎng)時(shí)代正在成為可能。傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和運(yùn)行方式已發(fā)生了非常大的變化，源-網(wǎng)-荷-儲(chǔ)等多類型參數(shù)不確定性越來越多，電網(wǎng)的運(yùn)行特性和動(dòng)態(tài)行為特征更為復(fù)雜，系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)分析和控制難度大大增加，尤其是電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性變強(qiáng)，值得深入研究。
為有效實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的定量分析，通常的做法是：首先，對電力系統(tǒng)的電壓、電流等物理原理進(jìn)行定性分析；然后結(jié)合電力系統(tǒng)母線、變壓器、線路、開關(guān)、斷路器等各類型器件的運(yùn)行特性和彼此的關(guān)聯(lián)關(guān)系，以頻率和電壓穩(wěn)定為基礎(chǔ)，構(gòu)建擬分析電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，并設(shè)定邊界條件后應(yīng)用數(shù)學(xué)求解算法進(jìn)行仿真分析；最后實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)各個(gè)組成元件之間關(guān)系定量描述，完成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析。然而，當(dāng)前以上方法不再完全適用，其主要原因是：①電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)具有動(dòng)態(tài)性，即網(wǎng)絡(luò)中的分布式電源、微電網(wǎng)、綜合能源系統(tǒng)等電源，電動(dòng)汽車、儲(chǔ)能等柔性負(fù)荷，以及它們之間的連接是動(dòng)態(tài)的，從而導(dǎo)致電力系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)方程或者數(shù)學(xué)模型也隨之動(dòng)態(tài)；②具有電源和負(fù)荷雙重特性的電動(dòng)汽車、儲(chǔ)能、微電網(wǎng)、綜合能源系統(tǒng)等元件或子系統(tǒng)規(guī)?；尤腚娏ο到y(tǒng)，電源和負(fù)荷之間的變換成為常態(tài)，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)建模面臨多源-多網(wǎng)-多荷的動(dòng)態(tài)運(yùn)行挑戰(zhàn)；③根據(jù)電力系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行情況，所構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型極其龐大、維度高，對其計(jì)算分析的難度相當(dāng)高，而且對計(jì)算精度和速度等性能的要求也極高，難以滿足實(shí)時(shí)要求；④為滿足電力系統(tǒng)運(yùn)行實(shí)時(shí)性需求，在電力系統(tǒng)建模過程中，通常會(huì)對電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的部分元件或者子系統(tǒng)進(jìn)行一些等值簡化，從而降低了結(jié)果精度，無法全面體現(xiàn)系統(tǒng)的運(yùn)行特性；因此，建立一種合理有效的電網(wǎng)動(dòng)態(tài)模型，實(shí)現(xiàn)對它的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析，非常必要。
在電力系統(tǒng)拓?fù)浞治鼋７矫?，國?nèi)外專家和學(xué)者們基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論[1-10]提出了一些分析模型，主要包括NW（Newman-Watts）隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型、WS（Watts-Strogatz）小世界模型、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型等。另外，一些學(xué)者也通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論來尋找電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的薄弱點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)對電力系統(tǒng)的魯棒性和脆弱性分析，以及探索可能存在的大規(guī)模斷電故障、系統(tǒng)奔潰等問題[11-19]，其核心目標(biāo)是保證電力系統(tǒng)的可靠、安全、經(jīng)濟(jì)、穩(wěn)定運(yùn)行。但是整體而言，目前基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的算法和模型，主要聚焦于系統(tǒng)的“生長”過程，較少考慮系統(tǒng)的精確描述，無法較好從電力系統(tǒng)的規(guī)劃設(shè)計(jì)、網(wǎng)架堅(jiān)強(qiáng)性提升、故障精準(zhǔn)預(yù)測與恢復(fù)等方面，實(shí)現(xiàn)對電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)宏觀特性的定量分析；當(dāng)電力系統(tǒng)運(yùn)行過程中由于故障、經(jīng)濟(jì)調(diào)度等導(dǎo)致拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)，現(xiàn)有的分析模型已經(jīng)較難實(shí)現(xiàn)有效分析，有些模型甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)果。
1 電網(wǎng)拓?fù)鋭?dòng)態(tài)演化建模
電力系統(tǒng)中含有分布式電源和可再生能源、電動(dòng)汽車等多類型用戶負(fù)荷和鉛酸、鋰電等不同類型儲(chǔ)能等，這些新型源-荷-儲(chǔ)元素在實(shí)際運(yùn)行過程中并網(wǎng)或者離網(wǎng)具有實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)性，使得對電力系統(tǒng)中任意節(jié)點(diǎn)的拓?fù)渥兓M(jìn)行準(zhǔn)確地定量分析難度大。為有效實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)的資源優(yōu)化配置和運(yùn)行效率提升，本文擬采用“位置鏈接概率”來分析電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞某跏寄Ｐ?，下面進(jìn)行詳細(xì)闡述。
1.1 位置連接概率
為對任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的位連接概率進(jìn)行表征，先設(shè)定歐式問題空間中任意的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和j，它們的坐標(biāo)分別為(xi,yi)和(xj,yj)，則該兩點(diǎn)之間的歐氏距離為
式中，N為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的總個(gè)數(shù)。
同時(shí)，設(shè)定歐式網(wǎng)絡(luò)空間中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最大歐氏空間距離，如式（2）所示。
歐式網(wǎng)絡(luò)空間中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和j之間的位置鏈接概率p（i，j）為
式中，α、β是取值范圍為(0,1]的調(diào)節(jié)參數(shù)。
電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)演化，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)連接關(guān)系變化具有以下常識(shí)：①電源、負(fù)荷及網(wǎng)絡(luò)中任意的一個(gè)節(jié)點(diǎn)都會(huì)根據(jù)自身運(yùn)行的不同需求進(jìn)行并網(wǎng)、離網(wǎng)等重構(gòu)工作；②依據(jù)電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)運(yùn)行特點(diǎn)，新的電源或者負(fù)荷節(jié)點(diǎn)加入網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，具有隨機(jī)性；③網(wǎng)絡(luò)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)均可能隨時(shí)由于故障原因，實(shí)時(shí)斷開與它連接的所有節(jié)點(diǎn)，自身形成孤島運(yùn)行。因此，以概率p1、p2和p3分別表示電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中增加節(jié)點(diǎn)、重連節(jié)點(diǎn)、斷開和孤立節(jié)點(diǎn)等三種重構(gòu)行為，并且p、p2和p3需滿足式（4）、（5）的約束。
其中，式（5）確保了電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中總節(jié)點(diǎn)數(shù)目為增長的趨向，從而可確保電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)不會(huì)隨著演化的過程解裂為離散點(diǎn)，導(dǎo)致無法構(gòu)成正常運(yùn)行的網(wǎng)絡(luò)，式（5）的約束也正好反映了真實(shí)的電網(wǎng)在演化過程中可一直保持電網(wǎng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定平衡。
1.2 電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化模型
在實(shí)現(xiàn)對電力系統(tǒng)任意節(jié)點(diǎn)連接概率定量表征的基礎(chǔ)上，為有效分析電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中所有節(jié)點(diǎn)的推演變化，設(shè)計(jì)了電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的收縮機(jī)制推演模型，實(shí)現(xiàn)的主要步驟如下：
（1）初始化網(wǎng)絡(luò)。首先，構(gòu)建出擁有Nstart個(gè)節(jié)點(diǎn)和M條邊的初始網(wǎng)絡(luò)，而且節(jié)點(diǎn)之間的連接概率應(yīng)該滿足式（3），且電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的邊數(shù)M應(yīng)滿足
（2）新增節(jié)點(diǎn)。以概率p1新添一個(gè)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)，且該節(jié)點(diǎn)與原來已存在的節(jié)點(diǎn)彼此連接，并形成m1條邊；
（3）重連節(jié)點(diǎn)。以概率p2隨機(jī)挑選電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中原有一些節(jié)點(diǎn)的m2條邊，讓這m2條邊與其他節(jié)點(diǎn)發(fā)生隨機(jī)的重連操作；
（4）刪除節(jié)點(diǎn)。以概率p3隨機(jī)刪掉電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)，且刪除與該節(jié)點(diǎn)相連的所有邊；
（5）終止操作。在每一次的操作過程中，以概率p1、p2和p3，挑選以上（2）、（3）、（4）中的任意一個(gè)步驟來執(zhí)行操作，并一直進(jìn)行收縮循環(huán)執(zhí)行，直到所操作的次數(shù)達(dá)到電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲械墓?jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)預(yù)先設(shè)定值Nend為止。
按照以上基于收縮機(jī)制的電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化模型步驟，設(shè)定位置連接概率的調(diào)節(jié)參數(shù)α,β初始值分別為0.1和0.3，總節(jié)點(diǎn)數(shù)為Nstart=20，分析節(jié)點(diǎn)為20的初始電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的推演過程，其結(jié)果如圖1所示。
依次類推，按照電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化規(guī)律的步驟，分別對終止節(jié)點(diǎn)總數(shù)的IEEE 57、118和300的三種電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行推演，其結(jié)果如圖2所示。
圖2 IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)模型演化結(jié)果Fig.2 Evolution results of IEEE 57，118，and 300 node network models
2 動(dòng)態(tài)演化模型拓?fù)涮匦苑治?/h2>
圖1和圖2的結(jié)果，可以一定程度上說明電力系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)整體節(jié)點(diǎn)總數(shù)的基本演化過程，但無法完成網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)變化情況描述，缺乏有效的定量分析指標(biāo)。為此，為有效衡量動(dòng)態(tài)演化模型的量化特征，提出相關(guān)的評價(jià)指標(biāo)，主要包括平均路徑長度、聚類系數(shù)、節(jié)點(diǎn)度和網(wǎng)絡(luò)的度分布等4個(gè)指標(biāo)。
（1）平均路徑長度L為
式中：di,j為系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我鈨蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)為i和j之間的距離；N是電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞目偣?jié)點(diǎn)數(shù)。
（2）設(shè)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我庖粋€(gè)節(jié)點(diǎn)i與ki個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，即節(jié)點(diǎn)i擁有ki條邊，則該節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)C為
式中：Ei為其他ki個(gè)節(jié)點(diǎn)它們之間相連接的總邊數(shù)；Ci為節(jié)點(diǎn)i自身的聚類系數(shù)。
（3）設(shè)定節(jié)點(diǎn)度k是指電力系統(tǒng)中任意節(jié)點(diǎn)i擁有邊的條數(shù)k；網(wǎng)絡(luò)的度分布P(k)是指電力系統(tǒng)任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)其節(jié)點(diǎn)度為k的概率。由公式（4）不難發(fā)現(xiàn)，整個(gè)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲兴泄?jié)點(diǎn)度分布的之和應(yīng)當(dāng)滿足，其中，Pi(k)表示網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我夤?jié)點(diǎn)i的度分布。為此，從常識(shí)可知在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)度k的值越高，說明該節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)連接越多，也說明與該節(jié)點(diǎn)相連的邊越多。
2.1 節(jié)點(diǎn)度分布特性分析
進(jìn)一步，為了表征本文所提動(dòng)態(tài)演化模型中度分布的時(shí)變規(guī)律。假設(shè)任意時(shí)刻t，度分布值為k的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我夤?jié)點(diǎn)度分布概率為P(k,t)。針對新增節(jié)點(diǎn)，設(shè)定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲行绿砑尤我庖粋€(gè)節(jié)點(diǎn)，有且僅有帶入一條邊，由參考文獻(xiàn)[15]可知，該節(jié)點(diǎn)的度分布概率Pa(k,t)為
式中：N（t-1）為電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中(t-1)時(shí)刻節(jié)點(diǎn)的總數(shù)目；P（k-1，t-1）為電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中該節(jié)點(diǎn)上一個(gè)（t-1）時(shí)間的節(jié)點(diǎn)度分布概率。
同理類推，針對重連節(jié)點(diǎn)，假設(shè)任意時(shí)刻t，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)i的一條邊從節(jié)點(diǎn)i與另一個(gè)節(jié)點(diǎn)j相連，則此時(shí)該節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)度分布概率Pr(k,t)為
進(jìn)一步，假設(shè)任意時(shí)刻t電力網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)i，將與該節(jié)點(diǎn)i相連接的所有邊都被刪除，則該節(jié)點(diǎn)刪除連接后的網(wǎng)絡(luò)度分布概率[15]為
聯(lián)合節(jié)點(diǎn)連接概率約束方程（4）、（5），任意t時(shí)刻，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)度分布概率P(k,t)的遞推表達(dá)式為
此處需要說明的是，為了確保式（12）的普便適用價(jià)值而不失一般性的特征，進(jìn)行如下約定：①假定任意時(shí)刻t內(nèi)，任意新添的節(jié)點(diǎn)i僅僅相應(yīng)的增加一條邊；②每一個(gè)節(jié)點(diǎn)i也都僅有一條邊從該節(jié)點(diǎn)重新連接到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)j；③一旦電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中存在多條邊的變化，可將其視為分多步執(zhí)行。
根據(jù)2.1的原理，分別對IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)進(jìn)行度分布特性分析，結(jié)果如圖3所示。從圖3不難發(fā)現(xiàn)，該模型的網(wǎng)絡(luò)度分布具有冪律分布的特性，即IEEE三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中均出現(xiàn)某些節(jié)點(diǎn)度要比其他節(jié)點(diǎn)大得多。這些度分布比較大的節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)中的其他節(jié)點(diǎn)連接相對緊密，跟其他節(jié)點(diǎn)的能量交換相對比較容易，是網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中相對“特別重要”的節(jié)點(diǎn)；這些節(jié)點(diǎn)一旦受到攻擊或者損壞，將可能導(dǎo)致電力系統(tǒng)的奔潰、解裂等，它們對電力系統(tǒng)魯棒性提升、安全性加強(qiáng)等意義重大。
圖3 IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的度分布情況Fig.3 Degree distribution of IEEE 57，118and 300 node networks
2.2 動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型評估
為驗(yàn)證節(jié)點(diǎn)連接概率在電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)推演過程中的作用，選取節(jié)點(diǎn)連接概率調(diào)節(jié)參數(shù)α,β為0.1和0.3，分別對IEEE 39、IEEE 57、IEEE 118、IEEE 162和IEEE 300等不同標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)進(jìn)行分析，其結(jié)果數(shù)據(jù)見表1。從表1中不難發(fā)現(xiàn)，通過選取不同的調(diào)節(jié)參數(shù)，不同的標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)具有一定的規(guī)律。
表1 IEEE標(biāo)準(zhǔn)電力系統(tǒng)和本文推演模型評價(jià)指標(biāo)值對比Tab.1 Comparison of evaluation index values between IEEE standard power system and the proposed evolution model
表1中：Ne、＜k＞、L、C分別為IEEE 標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)總邊數(shù)、平均度數(shù)、平均路徑長度和網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)；、＜k′＞、L′、C′分別本文所提出的推演模型仿真所得的相對應(yīng)結(jié)果。
設(shè)定調(diào)節(jié)參數(shù)α和β分別為0.2和0.3，初始網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)為Nstart=20，則IEEE 57、118和300標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的總度數(shù)如圖4和圖5所示。
圖4 IEEE 57、118和300網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的聚類系數(shù)Fig.4 Clustering coefficients of IEEE 57，118 and 300 node networks
圖5 IEEE 57、118和300網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)度數(shù)Fig.5 Node degrees of IEEE 57，118 and 300node networks
從圖4不難發(fā)現(xiàn)，在三種標(biāo)準(zhǔn)測試算例的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲杏幸恍┕?jié)點(diǎn)的聚類系數(shù)為0，即這樣的節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)相連的邊數(shù)非常少，從而也印證了這樣節(jié)點(diǎn)的外部連接非常弱、魯棒性較差，最好不要作為電源節(jié)點(diǎn)，特別是當(dāng)將其作為重要的供電電源節(jié)點(diǎn)時(shí)，一旦受到攻擊，風(fēng)險(xiǎn)較大。反之，擁有高聚類系數(shù)的節(jié)點(diǎn)，說明該節(jié)點(diǎn)與電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點(diǎn)聯(lián)系緊密，當(dāng)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中此類節(jié)點(diǎn)受到攻擊，可以通過與它有密切彼此聯(lián)系節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)供，實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)的穩(wěn)定運(yùn)行，相對比較適合選作電網(wǎng)的樞紐點(diǎn)，能有效提升系統(tǒng)供電可靠性。當(dāng)然，當(dāng)分布式能源出力過大，還可考慮將分布式電源產(chǎn)生的多余能量，利用鉛酸、鋰電池等儲(chǔ)能設(shè)備先將它們儲(chǔ)存起來，然后在系統(tǒng)負(fù)荷高峰時(shí)，進(jìn)行放電補(bǔ)充電網(wǎng)缺口，從而達(dá)到系統(tǒng)可靠供電。
同理，在圖5中，也存在一些節(jié)點(diǎn)的度分布值比較高，這些度分布值較高的節(jié)點(diǎn)也是其電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行中的“重要節(jié)點(diǎn)”，從系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行角度出發(fā)，可選作為主要供電電源或重要用電負(fù)荷的安放點(diǎn)。
2.3 模型可靠性分析
電力系統(tǒng)運(yùn)行過程中故障、運(yùn)行調(diào)度等將會(huì)使一些節(jié)點(diǎn)與系統(tǒng)解列，即刪除節(jié)點(diǎn)。為此，為分析在電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋭?dòng)態(tài)演化過程中，概率p3刪除節(jié)點(diǎn)變化對電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞倪\(yùn)行特性的影響大小，下面詳細(xì)闡述。
依然以IEEE 57、IEEE118、IEEE162和IEEE300節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)為例，圖6、7、8、9分別是IEEE 57、118、162和300標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)的總邊數(shù)、網(wǎng)絡(luò)平均路徑長度、網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)及總節(jié)點(diǎn)度數(shù)等4個(gè)指標(biāo)的變化趨勢曲線，按照概率p3刪除節(jié)點(diǎn)，分析其變化趨勢。
從圖6～圖9，不難發(fā)現(xiàn)：
（1）由圖6知，刪除概率p3值越大，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞目傔厰?shù)就越少；反之，如果刪除概率p3值越小，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞目傔厰?shù)相對較多，刪掉電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)對其影響相對較小。
圖6 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測試算例的網(wǎng)絡(luò)總邊數(shù)隨p3變化情況Fig.6 Changes in the total number of edges in IEEE standard test example withp3
圖7 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測試算例的平均路徑長度隨p3變化情況Fig.7 Changes in average path length of IEEE standard test example withp3
圖8 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測試算例的聚類系數(shù)隨p3變化情況Fig.8 Changes in clustering coefficient of IEEE standard test example withp3
圖9 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測試算例的總節(jié)點(diǎn)度數(shù)隨p3變化情況Fig.9 Changes in total node degree of IEEE standard test example withp3
（2）從圖6還可知，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)數(shù)越多，它的斜率比節(jié)點(diǎn)數(shù)少電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的斜率要大，其主要原因是最終節(jié)點(diǎn)數(shù)多的網(wǎng)絡(luò)，它的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)會(huì)與電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)有相對較多的相連，從而會(huì)得到更大的度分布值。說明刪除節(jié)點(diǎn)對網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溆绊懘蟆?/p>
（3）從圖7可知，刪除節(jié)點(diǎn)的概率p3值越大，網(wǎng)絡(luò)中平均路徑長度越短，但其曲線的波動(dòng)范圍相對較小，表明網(wǎng)絡(luò)中刪除節(jié)點(diǎn)，對節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑距離影響相對小。
（4）從圖8可知，概率p3的刪除節(jié)點(diǎn)變化對電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)的影響并無明顯規(guī)律，是一種毫無明顯特征的波動(dòng)曲線，僅僅呈現(xiàn)一定的波動(dòng)規(guī)律，即電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)越多，其曲線波動(dòng)相對較小，因此說明：節(jié)點(diǎn)總數(shù)較大的電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相對比較復(fù)雜，此時(shí)一些節(jié)點(diǎn)的刪除或者退出運(yùn)行對網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲泄?jié)點(diǎn)之間的交叉聯(lián)系影響不大，也印證了電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)越復(fù)雜，一旦節(jié)點(diǎn)失電，實(shí)現(xiàn)對該節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)供電概率相對越高。
進(jìn)一步，近年來國內(nèi)外的專家和學(xué)者們通過大量的仿真實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)，節(jié)點(diǎn)刪除概率p3值不能無限擴(kuò)大至1（全部刪掉，系統(tǒng)停運(yùn)），其上限應(yīng)小于0.32，即p3＜0.32，一旦刪除節(jié)點(diǎn)概率值大于0.32，網(wǎng)絡(luò)解裂的速度就會(huì)大于連接的速度，將會(huì)導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)崩潰，此時(shí)無論電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)多復(fù)雜，其最終結(jié)果將是系統(tǒng)的不穩(wěn)定，從而也印證了作為剛性特點(diǎn)的電力系統(tǒng)，其穩(wěn)定是有邊界的。
當(dāng)然，電力系統(tǒng)在運(yùn)行過程中一般擁有一定面對多類型故障的承受和自愈能力，即電力系統(tǒng)的魯棒性。進(jìn)一步，結(jié)合現(xiàn)在電力物聯(lián)網(wǎng)的特點(diǎn)，下面從系統(tǒng)抗隨機(jī)故障、抗主動(dòng)攻擊等兩個(gè)維度，應(yīng)用本文所提出的電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化模型來分析系統(tǒng)的魯棒性。分別模擬系統(tǒng)抗隨機(jī)故障和抗主動(dòng)攻擊兩種故障類型，計(jì)算IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)中受影響節(jié)點(diǎn)數(shù)量，其曲線如圖10所示。
圖10 隨機(jī)故障與主動(dòng)攻擊對IEEE標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的影響Fig.10 Effects of random failures and active attacks on nodes of IEEE standard test systems
從圖10不難發(fā)現(xiàn)。
（1）主動(dòng)攻擊的對象選取最大度數(shù)的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)為最佳，一旦此類電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)受到攻擊，與其連接的節(jié)點(diǎn)變?yōu)閯h除節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)的整體魯棒性大大降低。因此，在實(shí)際電力系統(tǒng)主網(wǎng)架結(jié)構(gòu)搭建過程中，在這些關(guān)鍵網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)上配置冗余和保護(hù)機(jī)制，可有效提升系統(tǒng)可靠性。
（2）隨機(jī)故障與主動(dòng)攻擊相比，系統(tǒng)的魯棒性更強(qiáng)。其主要原因是隨機(jī)故障具有強(qiáng)突發(fā)性，故障點(diǎn)大概率發(fā)生在一些非重要節(jié)點(diǎn)，此時(shí)對電力系統(tǒng)的影響有限。這也印證了電力系統(tǒng)具有一定的彈性。
（3）隨著IEEE 57、IEEE118和IEEE300節(jié)點(diǎn)總數(shù)增多，其網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的魯棒性會(huì)相應(yīng)的增強(qiáng)，這與2.3節(jié)中刪除節(jié)點(diǎn)對電力系統(tǒng)影響的作用所獲得的結(jié)論基本一致，從而也印證了互聯(lián)互通的復(fù)雜電力系統(tǒng)穩(wěn)定性更強(qiáng)。
（4）在電力系統(tǒng)主網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的規(guī)劃和設(shè)計(jì)階段，應(yīng)盡可能減少對個(gè)別重要節(jié)點(diǎn)的依賴作用，通過增加節(jié)點(diǎn)之間的互聯(lián)互通，形成電力系統(tǒng)多個(gè)樞紐節(jié)點(diǎn)共存態(tài)勢，實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)可靠性提升。
（5）本文所提模型可定量分析電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)對可靠性的作用。根據(jù)計(jì)算結(jié)果對關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)安裝設(shè)備和加強(qiáng)保護(hù)，實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)整體運(yùn)行的安全性提升，并節(jié)約了投資建設(shè)成本。
3 結(jié)語
本文提出了一種基于定位概率和收縮機(jī)制的的新型網(wǎng)絡(luò)建模方法，通過采用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)度量來評估和揭示電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞年P(guān)鍵統(tǒng)計(jì)學(xué)特性。所提出的動(dòng)態(tài)演化建模方法可從拓?fù)浣嵌葘﹄娏ο到y(tǒng)的演化特征和復(fù)雜動(dòng)態(tài)行為進(jìn)行分析。此外，所提出的網(wǎng)絡(luò)模型，也可以對電網(wǎng)的系統(tǒng)魯棒性和脆弱性進(jìn)行系統(tǒng)化的評價(jià)和分析。
著眼未來，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渫蒲菽Ｐ涂芍貜囊韵聝蓚€(gè)方面進(jìn)行開展深入研究：一方面是基于真實(shí)的電力系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)對所提出的模型進(jìn)行驗(yàn)證和分析；另一方面，可將電網(wǎng)的可靠性分析和級聯(lián)故障傳播機(jī)制納入所提出的模型，從而有效提升電網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃的有效性和運(yùn)行的可靠性。
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孫 珂，王 丹，葛賢軍，汪惟源，孫文濤
（1.國網(wǎng)經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院有限公司，北京 102209；2.電力系統(tǒng)及發(fā)電設(shè)備控制和仿真國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（清華大學(xué)電機(jī)系），北京 100084；3.國網(wǎng)江蘇省電力有限公司，南京 210019；4.國網(wǎng)江蘇省電力有限公司經(jīng)濟(jì)技術(shù)研究院，南京 210008）
隨著可再生能源、綜合能源和能源互聯(lián)網(wǎng)的快速發(fā)展和接入電網(wǎng)，泛在電力物聯(lián)網(wǎng)、數(shù)字電網(wǎng)時(shí)代正在成為可能。傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和運(yùn)行方式已發(fā)生了非常大的變化，源-網(wǎng)-荷-儲(chǔ)等多類型參數(shù)不確定性越來越多，電網(wǎng)的運(yùn)行特性和動(dòng)態(tài)行為特征更為復(fù)雜，系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)分析和控制難度大大增加，尤其是電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性變強(qiáng)，值得深入研究。
為有效實(shí)現(xiàn)對復(fù)雜電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的定量分析，通常的做法是：首先，對電力系統(tǒng)的電壓、電流等物理原理進(jìn)行定性分析；然后結(jié)合電力系統(tǒng)母線、變壓器、線路、開關(guān)、斷路器等各類型器件的運(yùn)行特性和彼此的關(guān)聯(lián)關(guān)系，以頻率和電壓穩(wěn)定為基礎(chǔ)，構(gòu)建擬分析電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，并設(shè)定邊界條件后應(yīng)用數(shù)學(xué)求解算法進(jìn)行仿真分析；最后實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)各個(gè)組成元件之間關(guān)系定量描述，完成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析。然而，當(dāng)前以上方法不再完全適用，其主要原因是：①電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)具有動(dòng)態(tài)性，即網(wǎng)絡(luò)中的分布式電源、微電網(wǎng)、綜合能源系統(tǒng)等電源，電動(dòng)汽車、儲(chǔ)能等柔性負(fù)荷，以及它們之間的連接是動(dòng)態(tài)的，從而導(dǎo)致電力系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)方程或者數(shù)學(xué)模型也隨之動(dòng)態(tài)；②具有電源和負(fù)荷雙重特性的電動(dòng)汽車、儲(chǔ)能、微電網(wǎng)、綜合能源系統(tǒng)等元件或子系統(tǒng)規(guī)?；尤腚娏ο到y(tǒng)，電源和負(fù)荷之間的變換成為常態(tài)，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)建模面臨多源-多網(wǎng)-多荷的動(dòng)態(tài)運(yùn)行挑戰(zhàn)；③根據(jù)電力系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行情況，所構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型極其龐大、維度高，對其計(jì)算分析的難度相當(dāng)高，而且對計(jì)算精度和速度等性能的要求也極高，難以滿足實(shí)時(shí)要求；④為滿足電力系統(tǒng)運(yùn)行實(shí)時(shí)性需求，在電力系統(tǒng)建模過程中，通常會(huì)對電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中的部分元件或者子系統(tǒng)進(jìn)行一些等值簡化，從而降低了結(jié)果精度，無法全面體現(xiàn)系統(tǒng)的運(yùn)行特性；因此，建立一種合理有效的電網(wǎng)動(dòng)態(tài)模型，實(shí)現(xiàn)對它的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析，非常必要。
在電力系統(tǒng)拓?fù)浞治鼋７矫?，國?nèi)外專家和學(xué)者們基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論[1-10]提出了一些分析模型，主要包括NW（Newman-Watts）隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型、WS（Watts-Strogatz）小世界模型、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型等。另外，一些學(xué)者也通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論來尋找電網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的薄弱點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)對電力系統(tǒng)的魯棒性和脆弱性分析，以及探索可能存在的大規(guī)模斷電故障、系統(tǒng)奔潰等問題[11-19]，其核心目標(biāo)是保證電力系統(tǒng)的可靠、安全、經(jīng)濟(jì)、穩(wěn)定運(yùn)行。但是整體而言，目前基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的算法和模型，主要聚焦于系統(tǒng)的“生長”過程，較少考慮系統(tǒng)的精確描述，無法較好從電力系統(tǒng)的規(guī)劃設(shè)計(jì)、網(wǎng)架堅(jiān)強(qiáng)性提升、故障精準(zhǔn)預(yù)測與恢復(fù)等方面，實(shí)現(xiàn)對電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)宏觀特性的定量分析；當(dāng)電力系統(tǒng)運(yùn)行過程中由于故障、經(jīng)濟(jì)調(diào)度等導(dǎo)致拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化時(shí)，現(xiàn)有的分析模型已經(jīng)較難實(shí)現(xiàn)有效分析，有些模型甚至出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)果。
1 電網(wǎng)拓?fù)鋭?dòng)態(tài)演化建模
電力系統(tǒng)中含有分布式電源和可再生能源、電動(dòng)汽車等多類型用戶負(fù)荷和鉛酸、鋰電等不同類型儲(chǔ)能等，這些新型源-荷-儲(chǔ)元素在實(shí)際運(yùn)行過程中并網(wǎng)或者離網(wǎng)具有實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)性，使得對電力系統(tǒng)中任意節(jié)點(diǎn)的拓?fù)渥兓M(jìn)行準(zhǔn)確地定量分析難度大。為有效實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)的資源優(yōu)化配置和運(yùn)行效率提升，本文擬采用“位置鏈接概率”來分析電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞某跏寄Ｐ?，下面進(jìn)行詳細(xì)闡述。
1.1 位置連接概率
為對任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的位連接概率進(jìn)行表征，先設(shè)定歐式問題空間中任意的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和j，它們的坐標(biāo)分別為(xi,yi)和(xj,yj)，則該兩點(diǎn)之間的歐氏距離為
式中，N為網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的總個(gè)數(shù)。
同時(shí)，設(shè)定歐式網(wǎng)絡(luò)空間中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的最大歐氏空間距離，如式（2）所示。
歐式網(wǎng)絡(luò)空間中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i和j之間的位置鏈接概率p（i，j）為
式中，α、β是取值范圍為(0,1]的調(diào)節(jié)參數(shù)。
電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)發(fā)生變化實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)演化，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)連接關(guān)系變化具有以下常識(shí)：①電源、負(fù)荷及網(wǎng)絡(luò)中任意的一個(gè)節(jié)點(diǎn)都會(huì)根據(jù)自身運(yùn)行的不同需求進(jìn)行并網(wǎng)、離網(wǎng)等重構(gòu)工作；②依據(jù)電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)運(yùn)行特點(diǎn)，新的電源或者負(fù)荷節(jié)點(diǎn)加入網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?，具有隨機(jī)性；③網(wǎng)絡(luò)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)均可能隨時(shí)由于故障原因，實(shí)時(shí)斷開與它連接的所有節(jié)點(diǎn)，自身形成孤島運(yùn)行。因此，以概率p1、p2和p3分別表示電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中增加節(jié)點(diǎn)、重連節(jié)點(diǎn)、斷開和孤立節(jié)點(diǎn)等三種重構(gòu)行為，并且p、p2和p3需滿足式（4）、（5）的約束。
其中，式（5）確保了電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中總節(jié)點(diǎn)數(shù)目為增長的趨向，從而可確保電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)不會(huì)隨著演化的過程解裂為離散點(diǎn)，導(dǎo)致無法構(gòu)成正常運(yùn)行的網(wǎng)絡(luò)，式（5）的約束也正好反映了真實(shí)的電網(wǎng)在演化過程中可一直保持電網(wǎng)的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定平衡。
1.2 電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化模型
在實(shí)現(xiàn)對電力系統(tǒng)任意節(jié)點(diǎn)連接概率定量表征的基礎(chǔ)上，為有效分析電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中所有節(jié)點(diǎn)的推演變化，設(shè)計(jì)了電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的收縮機(jī)制推演模型，實(shí)現(xiàn)的主要步驟如下：
（1）初始化網(wǎng)絡(luò)。首先，構(gòu)建出擁有Nstart個(gè)節(jié)點(diǎn)和M條邊的初始網(wǎng)絡(luò)，而且節(jié)點(diǎn)之間的連接概率應(yīng)該滿足式（3），且電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的邊數(shù)M應(yīng)滿足
（2）新增節(jié)點(diǎn)。以概率p1新添一個(gè)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)，且該節(jié)點(diǎn)與原來已存在的節(jié)點(diǎn)彼此連接，并形成m1條邊；
（3）重連節(jié)點(diǎn)。以概率p2隨機(jī)挑選電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中原有一些節(jié)點(diǎn)的m2條邊，讓這m2條邊與其他節(jié)點(diǎn)發(fā)生隨機(jī)的重連操作；
（4）刪除節(jié)點(diǎn)。以概率p3隨機(jī)刪掉電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)，且刪除與該節(jié)點(diǎn)相連的所有邊；
（5）終止操作。在每一次的操作過程中，以概率p1、p2和p3，挑選以上（2）、（3）、（4）中的任意一個(gè)步驟來執(zhí)行操作，并一直進(jìn)行收縮循環(huán)執(zhí)行，直到所操作的次數(shù)達(dá)到電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲械墓?jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)預(yù)先設(shè)定值Nend為止。
按照以上基于收縮機(jī)制的電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化模型步驟，設(shè)定位置連接概率的調(diào)節(jié)參數(shù)α,β初始值分別為0.1和0.3，總節(jié)點(diǎn)數(shù)為Nstart=20，分析節(jié)點(diǎn)為20的初始電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的推演過程，其結(jié)果如圖1所示。
依次類推，按照電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化規(guī)律的步驟，分別對終止節(jié)點(diǎn)總數(shù)的IEEE 57、118和300的三種電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行推演，其結(jié)果如圖2所示。
圖2 IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)模型演化結(jié)果Fig.2 Evolution results of IEEE 57，118，and 300 node network models
2 動(dòng)態(tài)演化模型拓?fù)涮匦苑治?/h2>
圖1和圖2的結(jié)果，可以一定程度上說明電力系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)整體節(jié)點(diǎn)總數(shù)的基本演化過程，但無法完成網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)變化情況描述，缺乏有效的定量分析指標(biāo)。為此，為有效衡量動(dòng)態(tài)演化模型的量化特征，提出相關(guān)的評價(jià)指標(biāo)，主要包括平均路徑長度、聚類系數(shù)、節(jié)點(diǎn)度和網(wǎng)絡(luò)的度分布等4個(gè)指標(biāo)。
（1）平均路徑長度L為
式中：di,j為系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我鈨蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)為i和j之間的距離；N是電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞目偣?jié)點(diǎn)數(shù)。
（2）設(shè)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我庖粋€(gè)節(jié)點(diǎn)i與ki個(gè)節(jié)點(diǎn)相連，即節(jié)點(diǎn)i擁有ki條邊，則該節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)C為
式中：Ei為其他ki個(gè)節(jié)點(diǎn)它們之間相連接的總邊數(shù)；Ci為節(jié)點(diǎn)i自身的聚類系數(shù)。
（3）設(shè)定節(jié)點(diǎn)度k是指電力系統(tǒng)中任意節(jié)點(diǎn)i擁有邊的條數(shù)k；網(wǎng)絡(luò)的度分布P(k)是指電力系統(tǒng)任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)其節(jié)點(diǎn)度為k的概率。由公式（4）不難發(fā)現(xiàn)，整個(gè)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲兴泄?jié)點(diǎn)度分布的之和應(yīng)當(dāng)滿足，其中，Pi(k)表示網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我夤?jié)點(diǎn)i的度分布。為此，從常識(shí)可知在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)度k的值越高，說明該節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)連接越多，也說明與該節(jié)點(diǎn)相連的邊越多。
2.1 節(jié)點(diǎn)度分布特性分析
進(jìn)一步，為了表征本文所提動(dòng)態(tài)演化模型中度分布的時(shí)變規(guī)律。假設(shè)任意時(shí)刻t，度分布值為k的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲腥我夤?jié)點(diǎn)度分布概率為P(k,t)。針對新增節(jié)點(diǎn)，設(shè)定網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲行绿砑尤我庖粋€(gè)節(jié)點(diǎn)，有且僅有帶入一條邊，由參考文獻(xiàn)[15]可知，該節(jié)點(diǎn)的度分布概率Pa(k,t)為
式中：N（t-1）為電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中(t-1)時(shí)刻節(jié)點(diǎn)的總數(shù)目；P（k-1，t-1）為電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中該節(jié)點(diǎn)上一個(gè)（t-1）時(shí)間的節(jié)點(diǎn)度分布概率。
同理類推，針對重連節(jié)點(diǎn)，假設(shè)任意時(shí)刻t，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)i的一條邊從節(jié)點(diǎn)i與另一個(gè)節(jié)點(diǎn)j相連，則此時(shí)該節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)度分布概率Pr(k,t)為
進(jìn)一步，假設(shè)任意時(shí)刻t電力網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)i，將與該節(jié)點(diǎn)i相連接的所有邊都被刪除，則該節(jié)點(diǎn)刪除連接后的網(wǎng)絡(luò)度分布概率[15]為
聯(lián)合節(jié)點(diǎn)連接概率約束方程（4）、（5），任意t時(shí)刻，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)度分布概率P(k,t)的遞推表達(dá)式為
此處需要說明的是，為了確保式（12）的普便適用價(jià)值而不失一般性的特征，進(jìn)行如下約定：①假定任意時(shí)刻t內(nèi)，任意新添的節(jié)點(diǎn)i僅僅相應(yīng)的增加一條邊；②每一個(gè)節(jié)點(diǎn)i也都僅有一條邊從該節(jié)點(diǎn)重新連接到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)j；③一旦電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中存在多條邊的變化，可將其視為分多步執(zhí)行。
根據(jù)2.1的原理，分別對IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)進(jìn)行度分布特性分析，結(jié)果如圖3所示。從圖3不難發(fā)現(xiàn)，該模型的網(wǎng)絡(luò)度分布具有冪律分布的特性，即IEEE三種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中均出現(xiàn)某些節(jié)點(diǎn)度要比其他節(jié)點(diǎn)大得多。這些度分布比較大的節(jié)點(diǎn)與網(wǎng)絡(luò)中的其他節(jié)點(diǎn)連接相對緊密，跟其他節(jié)點(diǎn)的能量交換相對比較容易，是網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中相對“特別重要”的節(jié)點(diǎn)；這些節(jié)點(diǎn)一旦受到攻擊或者損壞，將可能導(dǎo)致電力系統(tǒng)的奔潰、解裂等，它們對電力系統(tǒng)魯棒性提升、安全性加強(qiáng)等意義重大。
圖3 IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)的度分布情況Fig.3 Degree distribution of IEEE 57，118and 300 node networks
2.2 動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型評估
為驗(yàn)證節(jié)點(diǎn)連接概率在電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)推演過程中的作用，選取節(jié)點(diǎn)連接概率調(diào)節(jié)參數(shù)α,β為0.1和0.3，分別對IEEE 39、IEEE 57、IEEE 118、IEEE 162和IEEE 300等不同標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)進(jìn)行分析，其結(jié)果數(shù)據(jù)見表1。從表1中不難發(fā)現(xiàn)，通過選取不同的調(diào)節(jié)參數(shù)，不同的標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)具有一定的規(guī)律。
表1 IEEE標(biāo)準(zhǔn)電力系統(tǒng)和本文推演模型評價(jià)指標(biāo)值對比Tab.1 Comparison of evaluation index values between IEEE standard power system and the proposed evolution model
表1中：Ne、＜k＞、L、C分別為IEEE 標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)總邊數(shù)、平均度數(shù)、平均路徑長度和網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)；、＜k′＞、L′、C′分別本文所提出的推演模型仿真所得的相對應(yīng)結(jié)果。
設(shè)定調(diào)節(jié)參數(shù)α和β分別為0.2和0.3，初始網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)為Nstart=20，則IEEE 57、118和300標(biāo)準(zhǔn)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)與網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的總度數(shù)如圖4和圖5所示。
圖4 IEEE 57、118和300網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的聚類系數(shù)Fig.4 Clustering coefficients of IEEE 57，118 and 300 node networks
圖5 IEEE 57、118和300網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)度數(shù)Fig.5 Node degrees of IEEE 57，118 and 300node networks
從圖4不難發(fā)現(xiàn)，在三種標(biāo)準(zhǔn)測試算例的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲杏幸恍┕?jié)點(diǎn)的聚類系數(shù)為0，即這樣的節(jié)點(diǎn)與其他節(jié)點(diǎn)相連的邊數(shù)非常少，從而也印證了這樣節(jié)點(diǎn)的外部連接非常弱、魯棒性較差，最好不要作為電源節(jié)點(diǎn)，特別是當(dāng)將其作為重要的供電電源節(jié)點(diǎn)時(shí)，一旦受到攻擊，風(fēng)險(xiǎn)較大。反之，擁有高聚類系數(shù)的節(jié)點(diǎn)，說明該節(jié)點(diǎn)與電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中其他節(jié)點(diǎn)聯(lián)系緊密，當(dāng)電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中此類節(jié)點(diǎn)受到攻擊，可以通過與它有密切彼此聯(lián)系節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)供，實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)的穩(wěn)定運(yùn)行，相對比較適合選作電網(wǎng)的樞紐點(diǎn)，能有效提升系統(tǒng)供電可靠性。當(dāng)然，當(dāng)分布式能源出力過大，還可考慮將分布式電源產(chǎn)生的多余能量，利用鉛酸、鋰電池等儲(chǔ)能設(shè)備先將它們儲(chǔ)存起來，然后在系統(tǒng)負(fù)荷高峰時(shí)，進(jìn)行放電補(bǔ)充電網(wǎng)缺口，從而達(dá)到系統(tǒng)可靠供電。
同理，在圖5中，也存在一些節(jié)點(diǎn)的度分布值比較高，這些度分布值較高的節(jié)點(diǎn)也是其電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)行中的“重要節(jié)點(diǎn)”，從系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行角度出發(fā)，可選作為主要供電電源或重要用電負(fù)荷的安放點(diǎn)。
2.3 模型可靠性分析
電力系統(tǒng)運(yùn)行過程中故障、運(yùn)行調(diào)度等將會(huì)使一些節(jié)點(diǎn)與系統(tǒng)解列，即刪除節(jié)點(diǎn)。為此，為分析在電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋭?dòng)態(tài)演化過程中，概率p3刪除節(jié)點(diǎn)變化對電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞倪\(yùn)行特性的影響大小，下面詳細(xì)闡述。
依然以IEEE 57、IEEE118、IEEE162和IEEE300節(jié)點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)為例，圖6、7、8、9分別是IEEE 57、118、162和300標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)的總邊數(shù)、網(wǎng)絡(luò)平均路徑長度、網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)及總節(jié)點(diǎn)度數(shù)等4個(gè)指標(biāo)的變化趨勢曲線，按照概率p3刪除節(jié)點(diǎn)，分析其變化趨勢。
從圖6～圖9，不難發(fā)現(xiàn)：
（1）由圖6知，刪除概率p3值越大，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞目傔厰?shù)就越少；反之，如果刪除概率p3值越小，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞目傔厰?shù)相對較多，刪掉電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)對其影響相對較小。
圖6 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測試算例的網(wǎng)絡(luò)總邊數(shù)隨p3變化情況Fig.6 Changes in the total number of edges in IEEE standard test example withp3
圖7 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測試算例的平均路徑長度隨p3變化情況Fig.7 Changes in average path length of IEEE standard test example withp3
圖8 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測試算例的聚類系數(shù)隨p3變化情況Fig.8 Changes in clustering coefficient of IEEE standard test example withp3
圖9 IEEE標(biāo)準(zhǔn)測試算例的總節(jié)點(diǎn)度數(shù)隨p3變化情況Fig.9 Changes in total node degree of IEEE standard test example withp3
（2）從圖6還可知，網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)數(shù)越多，它的斜率比節(jié)點(diǎn)數(shù)少電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)的斜率要大，其主要原因是最終節(jié)點(diǎn)數(shù)多的網(wǎng)絡(luò)，它的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)會(huì)與電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)有相對較多的相連，從而會(huì)得到更大的度分布值。說明刪除節(jié)點(diǎn)對網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溆绊懘蟆?/p>
（3）從圖7可知，刪除節(jié)點(diǎn)的概率p3值越大，網(wǎng)絡(luò)中平均路徑長度越短，但其曲線的波動(dòng)范圍相對較小，表明網(wǎng)絡(luò)中刪除節(jié)點(diǎn)，對節(jié)點(diǎn)之間的最短路徑距離影響相對小。
（4）從圖8可知，概率p3的刪除節(jié)點(diǎn)變化對電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)聚類系數(shù)的影響并無明顯規(guī)律，是一種毫無明顯特征的波動(dòng)曲線，僅僅呈現(xiàn)一定的波動(dòng)規(guī)律，即電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)越多，其曲線波動(dòng)相對較小，因此說明：節(jié)點(diǎn)總數(shù)較大的電力系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相對比較復(fù)雜，此時(shí)一些節(jié)點(diǎn)的刪除或者退出運(yùn)行對網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲泄?jié)點(diǎn)之間的交叉聯(lián)系影響不大，也印證了電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)越復(fù)雜，一旦節(jié)點(diǎn)失電，實(shí)現(xiàn)對該節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)供電概率相對越高。
進(jìn)一步，近年來國內(nèi)外的專家和學(xué)者們通過大量的仿真實(shí)驗(yàn)還發(fā)現(xiàn)，節(jié)點(diǎn)刪除概率p3值不能無限擴(kuò)大至1（全部刪掉，系統(tǒng)停運(yùn)），其上限應(yīng)小于0.32，即p3＜0.32，一旦刪除節(jié)點(diǎn)概率值大于0.32，網(wǎng)絡(luò)解裂的速度就會(huì)大于連接的速度，將會(huì)導(dǎo)致整個(gè)網(wǎng)絡(luò)崩潰，此時(shí)無論電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)多復(fù)雜，其最終結(jié)果將是系統(tǒng)的不穩(wěn)定，從而也印證了作為剛性特點(diǎn)的電力系統(tǒng)，其穩(wěn)定是有邊界的。
當(dāng)然，電力系統(tǒng)在運(yùn)行過程中一般擁有一定面對多類型故障的承受和自愈能力，即電力系統(tǒng)的魯棒性。進(jìn)一步，結(jié)合現(xiàn)在電力物聯(lián)網(wǎng)的特點(diǎn)，下面從系統(tǒng)抗隨機(jī)故障、抗主動(dòng)攻擊等兩個(gè)維度，應(yīng)用本文所提出的電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)演化模型來分析系統(tǒng)的魯棒性。分別模擬系統(tǒng)抗隨機(jī)故障和抗主動(dòng)攻擊兩種故障類型，計(jì)算IEEE 57、118和300節(jié)點(diǎn)電力系統(tǒng)中受影響節(jié)點(diǎn)數(shù)量，其曲線如圖10所示。
圖10 隨機(jī)故障與主動(dòng)攻擊對IEEE標(biāo)準(zhǔn)測試系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)的影響Fig.10 Effects of random failures and active attacks on nodes of IEEE standard test systems
從圖10不難發(fā)現(xiàn)。
（1）主動(dòng)攻擊的對象選取最大度數(shù)的電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)為最佳，一旦此類電力系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)受到攻擊，與其連接的節(jié)點(diǎn)變?yōu)閯h除節(jié)點(diǎn)，系統(tǒng)的整體魯棒性大大降低。因此，在實(shí)際電力系統(tǒng)主網(wǎng)架結(jié)構(gòu)搭建過程中，在這些關(guān)鍵網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)上配置冗余和保護(hù)機(jī)制，可有效提升系統(tǒng)可靠性。
（2）隨機(jī)故障與主動(dòng)攻擊相比，系統(tǒng)的魯棒性更強(qiáng)。其主要原因是隨機(jī)故障具有強(qiáng)突發(fā)性，故障點(diǎn)大概率發(fā)生在一些非重要節(jié)點(diǎn)，此時(shí)對電力系統(tǒng)的影響有限。這也印證了電力系統(tǒng)具有一定的彈性。
（3）隨著IEEE 57、IEEE118和IEEE300節(jié)點(diǎn)總數(shù)增多，其網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的魯棒性會(huì)相應(yīng)的增強(qiáng)，這與2.3節(jié)中刪除節(jié)點(diǎn)對電力系統(tǒng)影響的作用所獲得的結(jié)論基本一致，從而也印證了互聯(lián)互通的復(fù)雜電力系統(tǒng)穩(wěn)定性更強(qiáng)。
（4）在電力系統(tǒng)主網(wǎng)架結(jié)構(gòu)的規(guī)劃和設(shè)計(jì)階段，應(yīng)盡可能減少對個(gè)別重要節(jié)點(diǎn)的依賴作用，通過增加節(jié)點(diǎn)之間的互聯(lián)互通，形成電力系統(tǒng)多個(gè)樞紐節(jié)點(diǎn)共存態(tài)勢，實(shí)現(xiàn)電力系統(tǒng)可靠性提升。
（5）本文所提模型可定量分析電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涔?jié)點(diǎn)對可靠性的作用。根據(jù)計(jì)算結(jié)果對關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)安裝設(shè)備和加強(qiáng)保護(hù)，實(shí)現(xiàn)電網(wǎng)整體運(yùn)行的安全性提升，并節(jié)約了投資建設(shè)成本。
3 結(jié)語
本文提出了一種基于定位概率和收縮機(jī)制的的新型網(wǎng)絡(luò)建模方法，通過采用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)度量來評估和揭示電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)涞年P(guān)鍵統(tǒng)計(jì)學(xué)特性。所提出的動(dòng)態(tài)演化建模方法可從拓?fù)浣嵌葘﹄娏ο到y(tǒng)的演化特征和復(fù)雜動(dòng)態(tài)行為進(jìn)行分析。此外，所提出的網(wǎng)絡(luò)模型，也可以對電網(wǎng)的系統(tǒng)魯棒性和脆弱性進(jìn)行系統(tǒng)化的評價(jià)和分析。
著眼未來，電力系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渫蒲菽Ｐ涂芍貜囊韵聝蓚€(gè)方面進(jìn)行開展深入研究：一方面是基于真實(shí)的電力系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)對所提出的模型進(jìn)行驗(yàn)證和分析；另一方面，可將電網(wǎng)的可靠性分析和級聯(lián)故障傳播機(jī)制納入所提出的模型，從而有效提升電網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃的有效性和運(yùn)行的可靠性。
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