李其宸，趙禮輝，付道琪

（200093 上海市 上海理工大學 機械工程學院）

0 引言

向心球軸承廣泛用于各類機械設備中，能夠承受徑向載荷和一定的軸向載荷，具有結構簡單、制造精度高和摩擦系數(shù)小等優(yōu)點[1]。在大多數(shù)應用場合中，可以僅考慮部分主要載荷，如徑向載荷、軸向載荷或軸向載荷與徑向載荷共同作用下聯(lián)合的負荷，而當有很重的載荷作用時，安裝在軸承上的軸就會發(fā)生彎曲，從而在軸承上產(chǎn)生一個不可忽視的彎矩載荷。在聯(lián)合載荷作用下，軸承中滾動體的載荷分布將發(fā)生顯著變化，它們將引起軸承位移、接觸應力和疲勞壽命的顯著改變。

作用在軸承上的負荷由滾動體通過一個套圈傳遞到另一個套圈，大多數(shù)情況下，軸承內(nèi)部各滾動體所受到的負荷是不同的，負荷的大小、滾動體與套圈之間的接觸應力和循環(huán)次數(shù)都會直接影響軸承的性能和壽命[2-3]。

針對軸承接觸載荷的計算求解主要有3 類方法，包括有限元、數(shù)值仿真以及試驗3 類方法。本文考慮軸承接觸角的變化，基于擬靜力法建立向心球軸承在承受徑向、軸向以及較小彎矩聯(lián)合載荷作用下的力學平衡方程，研究了不同載荷對載荷分布的影響，并以此為基礎結合軸承額定壽命理論研究了不同載荷疲勞壽命的影響。

1 建立數(shù)學模型

1.1 變形與負荷關系

球軸承的滾動體與套圈接觸處的變形量與負荷關系為

式中：v1，v2——軸承滾珠和套圈材料的泊松比；E1，E2——軸承滾珠和套圈材料的彈性模型；——系數(shù)，可通過計算主曲率函數(shù)Fρ查表得到。

軸承的主曲率函數(shù)定義為

鋼球在接觸點處的主曲率為

套圈在接觸點處的主曲率分別為

每一個主曲率有2 個數(shù)字下角標，第1 個下角標表示所指的物體，第2 個下角標表示物體所在的主平面。式（5）中的正號代表內(nèi)圈，負號代表外圈。

其中，γ為軸承結構參數(shù)

fn為滾道溝曲率半徑系數(shù)

式中：rn——滾道溝曲率半徑，其中n=i、e，分別代表軸承的內(nèi)圈、外圈；Db——軸承滾珠的直徑；Dm——軸承平均直徑。

1.2 接觸角變化的考慮

軸承實際工作時，滾珠與套圈之間的接觸角不是一個固定值，而是不斷變化的，且每個滾珠與套圈之間的接觸角是不同的。初始狀態(tài)時，軸承滾珠與內(nèi)外圈的接觸角相等。如圖1 所示，α0為初始接觸角，受軸向負荷后，內(nèi)外套圈沿軸向有相對趨近量δa，此時實際接觸角為α。

圖1 向心球軸承的接觸角Fig.1 Contact angle of centripetal ball bearing

由圖1 可得內(nèi)外溝曲率中心之間的距離為

式中：G=fe+fi-1。

由圖1 可得任意角位置ψ處

式中：δψ——軸承不同角位置處的實際接觸角。

1.3 受徑向、軸向和彎矩聯(lián)合負荷的軸承

軸承同時承受徑向負荷、軸向負荷和彎矩時，內(nèi)外圈會產(chǎn)生相對位移，包括軸向位移δa、徑向位移δr和相對傾角θ。如圖2 所示，假設外圈固定，軸承受負荷后，內(nèi)圈相對于外圈產(chǎn)生相對位移。

軸承受負荷后，內(nèi)圈滾道溝曲率中心所在的圓周半徑為

圖2 聯(lián)合負荷下的內(nèi)圈位移Fig.2 Inner ring displacement under combined load

外圈滾道溝曲率中心所在的圓周半徑為

在任意角位置ψ處，內(nèi)外套圈溝曲率中心間的距離為：

引入無量綱量

將式（17）、式（18）帶入式（13）得

角位置ψ處鋼球與內(nèi)外套圈接觸得到總的變形量為

根據(jù)式（1），軸承的接觸負荷為

此時，任意角位置處鋼球與套圈的接觸角為

根據(jù)平衡條件，若作用于軸承得徑向負荷、軸向負荷和彎矩分別Fr，F(xiàn)a和M，則有

2 軸承壽命計算模型

目前的工程應用中，軸承制造商普遍接受的是基于Lundberg-Palmgren 軸承壽命理論改進的ISO 標準，ISO 標準需要計算軸承的當量等效動載荷與額定靜載荷。根據(jù)軸承額定壽命理論，球軸承的額定壽命為

內(nèi)滾道的額定壽命為

外滾道的額定壽命為

式中：Qcμj，Qcvj——套圈的額定靜載荷。

式中：?——內(nèi)、外圈的額定動載荷。

旋轉內(nèi)滾道的當量動載荷Qμi為

非旋轉外滾道的當量動載荷Qvj為

式中：j——軸承滾珠的編號；Z——滾珠的總數(shù)量。

3 計算結果研究與分析

接觸載荷是軸承靜力分析的重要內(nèi)容，與軸承的疲勞壽命、功率損耗以及接觸應力有關，因此有必要對軸承的接觸載荷進行評估。本文以6007 型號向心球軸承為例進行分析驗證，軸承幾何參數(shù)見表1。

表1 軸承參數(shù)Tab.1 Bearing parameters

3.1 載荷分布分析

如圖3 所示，計算了滾動體的最大接觸載荷，軸承工作條件為：徑向載荷Fr=2 000 N，軸向載荷Fa=3 000 N，彎矩M=20 N·m。橫坐標為軸承滾子的編號，縱坐標為滾子最大接觸載荷，在聯(lián)合負荷作用下，滾子最大接觸載荷達到了818 N。

圖3 聯(lián)合負荷作用下滾動體的最大接觸載荷Fig.3 Maximum contact load of rolling body under combined load

實際工作接觸角如圖4 所示，接觸載荷的增加導致接觸角變大，實際工作接觸角的變化趨勢與滾動體接觸載荷的變化趨勢保持一致，且與文獻[5-6]中的數(shù)值結果分布一致，表明了數(shù)值迭代結果的合理性。

圖4 實際工作接觸角Fig.4 Actual working contact angle

3.1.1 徑向載荷對載荷分布的影響

由圖5 可以看出：（1）隨著徑向載荷的增加，鋼球最大接觸載荷增大，若徑向載荷持續(xù)增加，則會出現(xiàn)僅有幾個滾動體承受負荷，導致軸承的載荷分布不均勻現(xiàn)象；（2）徑向載荷減小，鋼球的最大接觸載荷減小，載荷分布區(qū)域增加，但軸承內(nèi)部鋼球接觸載荷分布更加均勻。

圖5 徑向載荷對載荷分布的影響Fig.5 Effect of radial load on load distribution

3.1.2 軸向載荷對載荷分布的影響

由圖6 和圖7 可以看出：（1）軸向載荷增加，鋼球的最大接觸載荷顯著增大，載荷分布區(qū)域也變大，這是因為軸向載荷的增加導致接觸角的變大，軸承接觸角越大，使得載荷分布更加均勻，軸承的承載能力越高；（2）軸向載荷減小，鋼球最大接觸載荷減小，受載較小的鋼球位置接觸角顯著減小，部分滾子脫離滾道接觸，載荷分布區(qū)域也變小，容易導致應力集中現(xiàn)象。

圖7 軸向載荷對接觸角的影響Fig.7 Effect of axial load on contact angle

3.1.3 彎矩對載荷分布的影響

由圖8 和圖9 可以看出：

（1）彎矩增加，鋼球最大接觸載荷增大，接觸區(qū)域顯著，且逐步呈對稱分布。彎矩使得軸承的內(nèi)、外圈之間發(fā)生傾斜，產(chǎn)生相對傾斜角θ，導致軸承內(nèi)部載荷的分布的變化。

圖8 彎矩對載荷分布的影響Fig.8 Effect of bending moment on load distribution

圖9 彎矩對傾斜角的影響Fig.9 Effect of bending moment on tilt angle

（2）盡管彎矩的增加直接導致接觸載荷變大，但較小的彎矩載荷可以消除滾子歪斜導致的應力集中現(xiàn)象，使軸承內(nèi)部鋼球接觸載荷分布更加均勻。

3.2 載荷分布對軸承壽命的影響

3.2.1 徑向載荷對軸承疲勞壽命的影響

由圖10 可知，徑向載荷增加，鋼球的最大接觸載荷變大，載荷分布區(qū)域減小，軸承的疲勞壽命急劇減小。

圖10 徑向載荷對軸承疲勞壽命的影響Fig.10 Effect of radial load on bearing fatigue life

3.2.2 軸向載荷分布對軸承疲勞壽命的影響

根據(jù)圖11 可知，在較小的載荷范圍內(nèi)，軸向載荷增加，軸承的疲勞壽命減??；但隨著軸向載荷繼續(xù)變大，軸承的疲勞壽命變化幅度降低。

圖11 軸向載荷對軸承疲勞壽命的影響Fig.11 Effect of axial load on bearing fatigue life

3.2.3 彎矩對軸承疲勞壽命的影響

根據(jù)圖12 可以看出，軸承在彎矩載荷作用下，內(nèi)外圈之間產(chǎn)生相對傾斜，顯著降低軸承的疲勞壽命，這是滾動體的接觸載荷增加導致的；但較小的彎矩可以消除載荷不穩(wěn)定產(chǎn)生的其他附加彎矩，改善軸承的疲勞壽命。

圖12 彎矩對軸承疲勞壽命的影響Fig.12 Influence of bending moment on bearing fatigue life

4 結論

本文建立了向心球軸承的力學行為模型，同時考慮軸承實際工作接觸角的變化，根據(jù)軸承滾動體的變形與接觸載荷之間的變形協(xié)調(diào)關系模擬計算過程，得到軸承在聯(lián)合負荷下的軸承滾動體接觸載荷分布狀態(tài)，研究了不同的載荷參數(shù)對接觸載荷分布以及軸承疲勞壽命影響的規(guī)律。結果表明，徑向載荷、軸向載荷以及彎矩均能顯著影響軸承的疲勞壽命；軸向載荷增加時，接觸角變大，能夠提高軸承的承載能力，較小的彎矩載荷可以改善軸承的疲勞壽命。