姜臻禹，姜晨，劉嘉昊

（200093 上海市 上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院）

0 引言

隨著科技的快速進(jìn)步，精密、超精密光學(xué)元件在電子、光學(xué)、航空航天以及民用等眾多領(lǐng)域內(nèi)得到了廣泛的應(yīng)用，尤其是強(qiáng)激光技術(shù)的出現(xiàn)，對(duì)于加工精度和加工效率提出了愈加嚴(yán)苛的要求[1-2]，因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了許多新型的拋光加工技術(shù)，如磁流變拋光[3]、磨料水射流拋光[4]和計(jì)算機(jī)控制小工具拋光[5]等。

20 世紀(jì)90 年代，英國(guó)倫敦光學(xué)實(shí)驗(yàn)室與D.D.Walker等人開(kāi)發(fā)出了超精密氣囊拋光技術(shù)[6]，此技術(shù)采用充壓式柔性球冠形氣囊頭作為拋光工具，外部粘貼專(zhuān)用拋光膜，通過(guò)計(jì)算機(jī)的控制，氣囊拋光頭隨著電機(jī)旋轉(zhuǎn)并與工件表面充分接觸，在拋光液的作用下，達(dá)到拋光工件表面的目的；2000 年，Zeeko 公司開(kāi)發(fā)出首臺(tái)IRP200 氣囊拋光機(jī)床，通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該機(jī)床能夠加工直徑為200 mm 的熔融硅非球面光學(xué)玻璃，拋光后表面粗糙度Ra 值達(dá)到1.8 nm[7]。隨后，Zeeko 公司又相繼研發(fā)出IRP600、IRP1200、IRP2400 等拋光機(jī)床，最高面形精度RMS 值可達(dá)1/80λ（λ=0.632 8μm），表面粗糙度Ra 值可達(dá)1 nm[8]。

在國(guó)內(nèi)，廈門(mén)大學(xué)潘日[9-10]等分別針對(duì)大口徑軸對(duì)稱(chēng)非球面及自由曲面進(jìn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的建模及控制進(jìn)行研究，分析了進(jìn)動(dòng)拋光工藝的特點(diǎn)，對(duì)進(jìn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)曲線進(jìn)行仿真；哈爾濱工業(yè)大學(xué)張偉、李洪玉[11-12]等通過(guò)仿真分析了幾個(gè)主要工藝參數(shù)對(duì)去除函數(shù)的影響，研究其去除特性并結(jié)合實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證準(zhǔn)確性；浙江工業(yè)大學(xué)計(jì)時(shí)鳴[13]等對(duì)不同曲率半徑的二維曲面模具進(jìn)行試驗(yàn)研究，針對(duì)不同曲率改變下壓量與內(nèi)部壓力，使得拋光效果顯著提高；吉林大學(xué)沙樹(shù)靜[14]等人將磁流變液與氣囊拋光技術(shù)相結(jié)合，針對(duì)非球面零件進(jìn)行拋光實(shí)驗(yàn)，通過(guò)研究各工藝參數(shù)對(duì)拋光接觸區(qū)特征的影響，驗(yàn)證該方法的有效性。

針對(duì)本文所采用的NBR70 丁腈橡膠氣囊拋光頭，利用ANSYS 有限元，分析氣囊拋光頭的充氣變形和壓力分布情況，開(kāi)展氣囊拋光頭結(jié)構(gòu)優(yōu)化,以進(jìn)一步提高拋光頭表面，為氣囊拋光頭的生產(chǎn)加工起到參考作用。

1 優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

基于有限元分析的氣囊拋光頭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程如圖1 所示。首先通過(guò)理論模型分析影響壓力分布的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，然后建立氣囊拋光頭與工件的有限元模型，并通過(guò)仿真分析氣囊拋光頭與工件的接觸變形情況，確定一組有利于接觸區(qū)域壓力分布的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，進(jìn)而基于充氣變形數(shù)據(jù)對(duì)原始?xì)饽覓伖忸^進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，建立優(yōu)化后氣囊拋光頭模型，采用最小二乘法計(jì)算在相同充氣壓力下優(yōu)化前后氣囊拋光頭的圓度變形量，并利用相同實(shí)驗(yàn)參數(shù)仿真分析優(yōu)化前后氣囊拋光頭在接觸區(qū)域內(nèi)的接觸變形與壓力分布情況，最后利用MATLAB 擬合優(yōu)化后氣囊拋光頭曲線方程。

圖1 優(yōu)化流程圖Fig.1 Optimization flow chart

1.1 接觸壓力分布模型

在氣囊拋光過(guò)程中，拋光頭與工件緊密貼合，伴隨著拋光液的作用，拋光頭通過(guò)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)對(duì)接觸區(qū)域內(nèi)的材料進(jìn)行去除。由Preston 方程可知，加工過(guò)程中接觸區(qū)域內(nèi)A 點(diǎn)的材料去除量可表示為[15]

式中：MP——A 點(diǎn)的材料去除量；k——Preston方程系數(shù)；PA——A點(diǎn)的壓力；VA——A點(diǎn)的速度；tA——A 點(diǎn)的駐留時(shí)間。

由式（1）可知，影響材料去除量的因素有很多，其中接觸區(qū)域內(nèi)的壓力被認(rèn)為呈類(lèi)高斯分布，其示意圖如圖2 所示，其公式可表示為

式中：PA——A 點(diǎn)的壓力分布；Pm——A 點(diǎn)內(nèi)的壓力最大值；D——?dú)饽野霃脚c下壓量的差，D=R-H；α——?dú)饽翌^球心與接觸區(qū)域邊緣連線的傾斜角。

圖2 類(lèi)高斯型壓力分布Fig.2 Gaussian-like pressure distribution

λ與b 決定了壓力分布模型的形狀，具體數(shù)值由充氣壓力、拋光膜材料等因素決定。

通過(guò)式（2）可以看出，充氣壓力、氣囊拋光頭半徑、下壓量等參數(shù)會(huì)對(duì)接觸區(qū)域內(nèi)的壓力分布產(chǎn)生影響。

1.2 建立有限元模型

利用ANSYS 有限元對(duì)上述實(shí)驗(yàn)參數(shù)及氣囊拋光頭下壓接觸工件的過(guò)程進(jìn)行仿真分析。圖3所示為所建立球冠型氣囊拋光頭以及加工工件的三維模型。

圖3 氣囊拋光頭及工件模型Fig.3 Bonnet tool and workpiece model

仿真過(guò)程中，因?yàn)橄鹉z頭和加工工件只在局部發(fā)生接觸，所以，為提高接觸區(qū)域的計(jì)算準(zhǔn)確度并減少計(jì)算量，需要對(duì)自動(dòng)生成的網(wǎng)格做合理的調(diào)整。如圖3 所示，將加工工件進(jìn)行疏密分布的非均勻網(wǎng)格劃分，工件四周遠(yuǎn)離接觸區(qū)域的部分網(wǎng)格較為稀疏，中間接近接觸區(qū)域的網(wǎng)格更為密集。在氣囊頭外側(cè)靠近接觸區(qū)域的局部范圍內(nèi)添加新的獨(dú)立坐標(biāo)系，建立球形影響范圍做更精細(xì)的網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖4 所示。

圖4 網(wǎng)格劃分結(jié)果Fig.4 Meshing result

考慮到橡膠材料本身的超彈性以及不可壓縮性，選用Yeoh3 本構(gòu)模型來(lái)模擬其接觸變形時(shí)的狀態(tài)，并且在求解過(guò)程中打開(kāi)大變形。將求解過(guò)程分為2 步：第1 步保持氣囊拋光頭靜止，在其內(nèi)部施加壓力載荷；第2 步對(duì)其添加垂直于工件表面方向的位移，約束氣囊拋光頭上端圓筒形部分的全部自由度，在下方工件底面添加固定約束。各仿真參數(shù)如表1 所示。

表1 仿真參數(shù)Tab.1 Simulation parameters

1.3 結(jié)構(gòu)優(yōu)化與圓度變形量計(jì)算

利用上節(jié)中所建立有限元模型對(duì)表1 中各參數(shù)進(jìn)行仿真分析，獲得一組有利于氣囊拋光頭與工件接觸變形的實(shí)驗(yàn)參數(shù)后，基于氣囊拋光頭充氣變形數(shù)據(jù)，對(duì)原始?xì)饽覓伖忸^進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，其優(yōu)化過(guò)程如圖5 所示。

圖5 氣囊拋光頭優(yōu)化流程圖Fig.5 Optimization flow chart of bonnet tool

首先在ANSYS 中提取原始?xì)饽覓伖忸^輪廓數(shù)據(jù)X1，Y1，其次對(duì)原始?xì)饽覓伖忸^施加壓力載荷并提取輪廓變形量ΔX，ΔY 和變形后的輪廓數(shù)據(jù)X2，Y2。將X1，Y1 的各點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)減去變形量ΔX 和ΔY 獲得一組新的輪廓數(shù)據(jù)X3，Y3，將輪廓數(shù)據(jù)X3，Y3 導(dǎo)入U(xiǎn)G 中進(jìn)行樣條擬合，建立一個(gè)新的氣囊拋光頭模型，在優(yōu)化后的氣囊拋光頭內(nèi)部施加相同壓力載荷，并提取變形后的輪廓數(shù)據(jù)X4，Y4。為了驗(yàn)證優(yōu)化氣囊拋光頭，可以改善充氣后輪廓圓度變形，采用最小二乘法計(jì)算圓度變形量的方法判斷優(yōu)化有效性。

在利用最小二乘法計(jì)算圓度變形量的過(guò)程中，最小二乘圓的數(shù)學(xué)表達(dá)式可寫(xiě)為[13]

式中:a=-2A；b=-2B；c=A2+B2-R2,只需求出a，b，c 的值即可求得最小二乘圓。

將輪廓提取出的數(shù)據(jù)點(diǎn)（Xi，Yi），i∈（1，2，…，N）到最小二乘圓邊緣的距離的平方與最小二乘圓半徑的平方的差寫(xiě)為

定義Q(a,b,c)=∑(Qi)2，分別對(duì)a，b，c 求偏導(dǎo)并令偏導(dǎo)值等于0，即可得到極值點(diǎn)，根據(jù)偏導(dǎo)求得的結(jié)果，最后A、B、R 的擬合值為

設(shè)最小二乘圓圓心到各采樣點(diǎn)的距離為Ri（1，2，…，N），則圓度變形量的計(jì)算公式為

在MATLAB 中利用上述公式與所提取的氣囊拋光頭輪廓數(shù)據(jù)，計(jì)算優(yōu)化前后氣囊拋光頭在相同壓力下的圓度變形量，對(duì)比計(jì)算結(jié)果。

最后，仿真分析優(yōu)化前后氣囊拋光頭在相同實(shí)驗(yàn)參數(shù)下接觸區(qū)域內(nèi)的變形與壓力分布情況來(lái)驗(yàn)證優(yōu)化的有效性，并擬合優(yōu)化后氣囊拋光頭曲線方程。

2 優(yōu)化仿真分析與討論

利用上文所建立的仿真模型，分別分析表1中氣囊拋光頭半徑、充氣壓力、下壓量等參數(shù)對(duì)接觸區(qū)域變形情況的影響。

2.1 氣囊拋光頭半徑

加工過(guò)程中，半徑80 mm 的氣囊拋光頭常被用于粗拋階段，半徑20 mm 的氣囊拋光頭常被用于精拋階段。本節(jié)在分析氣囊頭拋光頭半徑對(duì)壓力分布的影響時(shí)，選用下壓量為1 mm，充氣壓力為0.01 MPa，傾斜角為25°，氣囊拋光頭半徑分別為20 mm 和80 mm。圖6 為兩種尺寸氣囊拋光頭在接觸區(qū)域內(nèi)壓力分布的對(duì)比情況。從圖中可以看出，半徑20 mm 的氣囊拋光頭相較于半徑80 mm 的氣囊拋光頭，其壓力分布更接近類(lèi)高斯分布，并且壓力值遠(yuǎn)高于后者，這是由于氣囊拋光頭半徑越小，剛度越高，作用在工件上受到的反力越大。后文仿真分析將圍繞半徑80 mm 的氣囊拋光頭展開(kāi)。

圖6 不同半徑的氣囊拋光頭壓力分布對(duì)比Fig.6 Comparison of pressure distribution of different radius bonnet tool

2.2 充氣壓力

在分析充氣壓力對(duì)壓力分布影響的過(guò)程中，氣囊拋光頭半徑、下壓量以及傾斜角的參數(shù)保持固定不變，其數(shù)值分別為80°，1°，25°，充氣壓力依次為0，0.005，0.010，0.020，0.030 MPa，仿真結(jié)果如圖7 所示。從圖7 中可以看出，接觸區(qū)域的輪廓始終基本呈圓形，但是隨著壓力的提高，中心壓力值較高的區(qū)域從最初的圓形出現(xiàn)向X 軸正方向偏移的趨勢(shì)且輪廓面積逐漸擴(kuò)大，當(dāng)充氣壓力P≥0.010 MPa 時(shí)，中心壓力值偏移的趨勢(shì)越來(lái)越明顯，這樣的壓力分布情況顯然對(duì)于接觸區(qū)域內(nèi)材料去除量的預(yù)測(cè)無(wú)法起到積極作用，所以選用0.005 MPa 的充氣壓力開(kāi)展后續(xù)仿真實(shí)驗(yàn)。

圖7 不同充氣壓力下的接觸區(qū)域變形情況Fig.7 Deformation of contact area under different inflation pressure

2.3 下壓量

在分析下壓量對(duì)接觸區(qū)域的影響時(shí)，選擇半徑為80 mm 的氣囊拋光頭，充氣壓力維持0.005 MPa 不變，傾斜角為25°，下壓量依次選擇0.5，1.0，1.5，2.0 mm，接觸區(qū)域的變形情況如圖8 所示。從圖8 中可以看出，隨著下壓量的增大，接觸區(qū)域外部能夠基本保持圓形的輪廓，而中間壓力值較高的區(qū)域面積卻逐步變大并且開(kāi)始向右偏移，這說(shuō)明下壓量H≤1 mm 更符合實(shí)際加工。

圖8 不同下壓量下的接觸區(qū)域變形情況Fig.8 Deformation of contact area under different depressions

對(duì)于K9 光學(xué)玻璃，通過(guò)對(duì)比上述仿真結(jié)果得到一組有利于接觸區(qū)域壓力分布的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，其值如表2 所示。

表2 仿真結(jié)果Tab.2 Simulation results

2.4 結(jié)構(gòu)優(yōu)化與仿真對(duì)比

在原始?xì)饽覓伖忸^結(jié)構(gòu)優(yōu)化過(guò)程中首先提取原始?xì)饽覓伖忸^的輪廓數(shù)據(jù)X1，Y1、充氣變形后的輪廓數(shù)據(jù)X2，Y2 和輪廓變形量ΔX，ΔY，利用圖5 中的方法對(duì)其進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，獲得一組優(yōu)化后的輪廓數(shù)據(jù)X3，Y3，其三維建模結(jié)果如圖9 所示。在優(yōu)化后的氣囊拋光頭內(nèi)部充入相同壓力并提取充氣變形后的輪廓數(shù)據(jù)X4，Y4。

圖9 優(yōu)化前后拋光頭對(duì)比Fig.9 Comparison of bonnet tool before and after optimization

將最小二乘圓公式與輪廓數(shù)據(jù)X2，Y2 和X4，Y4 導(dǎo)入MATLAB 中，計(jì)算得到最小二乘圓圓心坐標(biāo)及最小二乘圓半徑，優(yōu)化前后氣囊頭在內(nèi)部充氣壓力作用下的圓度變形量計(jì)算結(jié)果如表3 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，在沒(méi)有改變氣囊拋光頭材料以及充氣壓力的前提下，優(yōu)化后的模型能夠更好地抵抗由充氣壓力所造成的圓度變形，圓度變形量下降約50.8%。

表3 最小二乘圓計(jì)算結(jié)果Tab.3 Least square circle calculation results

利用表2 中的仿真結(jié)果對(duì)優(yōu)化前后氣囊拋光頭進(jìn)行與工件的接觸仿真，觀察氣囊拋光頭在接觸區(qū)域內(nèi)的變形情況并提取壓力分布值，其結(jié)果如圖10 所示。從圖10（a）中可以看出，原始?xì)饽覓伖忸^在接觸區(qū)域的接觸變形輪廓基本呈圓形，但是在圖10（b）中，壓力值沒(méi)有從外向內(nèi)依次遞增，而是呈駝峰狀對(duì)稱(chēng)分布，中心位置的壓力分布值較低，兩邊壓力分布值較高，與圖2中的類(lèi)高斯分布相去較遠(yuǎn)。

圖11（a）中優(yōu)化后的氣囊拋光頭，其接觸區(qū)域外輪廓與內(nèi)部壓力較高區(qū)域的輪廓皆呈圓形；圖11（b）中壓力值由兩邊向中心逐漸遞增并且基本沒(méi)有出現(xiàn)應(yīng)力峰值點(diǎn)向X 軸負(fù)向偏移的情況，壓力值分布相較于圖9（b）更接近類(lèi)高斯分布。由此驗(yàn)證了優(yōu)化后的氣囊拋光頭不僅能更好地抵抗由充氣壓力導(dǎo)致的圓度變形，并且對(duì)于接觸區(qū)域的壓力分布情況也能夠起到積極的作用。

最后，將優(yōu)化后的氣囊拋光頭輪廓數(shù)據(jù)導(dǎo)入MATLAB 中進(jìn)行曲線擬合，得到其曲線方程為

圖10 原始?xì)饽覓伖忸^的接觸區(qū)域形貌及壓力分布情況Fig.10 Contact area morphology and pressure distribution of original bonnet tool

圖11 優(yōu)化后氣囊拋光頭的接觸區(qū)域形貌及壓力分布情況Fig.11 Contact area morphology and pressure distribution of optimized bonnet tool

3 結(jié)論

（1）通過(guò)Preston 理論模型分析獲得影響壓力分布的實(shí)驗(yàn)參數(shù)，建立ANSYS 有限元模型，對(duì)比氣囊拋光頭與工件的接觸變形情況，獲得一組有利于接觸變形的實(shí)驗(yàn)參數(shù)。

（2）提取原始?xì)饽覓伖忸^的初始輪廓與充氣后的變形數(shù)據(jù)對(duì)其進(jìn)行輪廓曲線優(yōu)化，利用最小二乘法計(jì)算出，優(yōu)化后氣囊拋光頭在相同壓力下圓度變形量下降約50.8%，證明優(yōu)化后的氣囊拋光頭具有更好的抵抗充氣變形的能力。

（3）仿真分析優(yōu)化前后氣囊拋光頭在相同實(shí)驗(yàn)參數(shù)條件下對(duì)接觸變形情況與壓力分布的影響，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后氣囊拋光頭接觸變形的輪廓相較于優(yōu)化前更為均勻，其壓力值更接近類(lèi)高斯分布。最后利用MATLAB 擬合獲得優(yōu)化后的氣囊拋光頭曲線方程。