經(jīng)來旺，趙 翔，經(jīng) 緯，郝朋偉，陳飛宇

(1.安徽理工大學(xué)力學(xué)與光電物理學(xué)院，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大學(xué)土木建筑學(xué)院，安徽 淮南 232001)

巷道圍巖彈塑性分析對巷道圍巖穩(wěn)定性評估和定量支護(hù)設(shè)計(jì)至關(guān)重要，長期以來，國內(nèi)外學(xué)者多采用Mohr-Coulomb準(zhǔn)則和Hoek-Brown準(zhǔn)則進(jìn)行彈塑、脆性分析[1-5]。近年來，考慮到中間主應(yīng)力對塑性區(qū)圍巖破壞產(chǎn)生的重要影響[6]，張小波、陳梁、駱開靜等[7-9]485采用Drucker-Prager準(zhǔn)則求得了圍巖彈塑性封閉解析解；曾開華、王鳳云等[10-12]結(jié)合統(tǒng)一強(qiáng)度理論求得了圍巖彈塑性應(yīng)力和位移解析解；朱建明、吳則祥、呂彩忠等[13-15]驗(yàn)證了SMP準(zhǔn)則的正確性并得到圍巖塑性區(qū)應(yīng)力和最優(yōu)支護(hù)力的SMP新解。然而，這些研究成果鮮有考慮巖體的蠕變特性，絕大多數(shù)以特定圍壓下巖石試件的瞬時(shí)極限抗壓強(qiáng)度作為力學(xué)模型中的峰值應(yīng)力，嚴(yán)重忽略了巖土類材料的時(shí)效變形特性。事實(shí)上，巷道圍巖變形穩(wěn)定后圍巖中存在的最大應(yīng)力為巖石的長期強(qiáng)度，它是衡量巖石是否會(huì)發(fā)生穩(wěn)定蠕變的分界值。在建立力學(xué)模型時(shí)，若忽視這一指標(biāo)，則會(huì)導(dǎo)致理論計(jì)算結(jié)果與工程實(shí)際相差甚大。

為了研究蠕變及蠕變作用下的原巖應(yīng)力和支護(hù)阻力對塑性區(qū)圍巖變形的影響，本文基于以巖石長期強(qiáng)度作為峰值應(yīng)力的3階段應(yīng)變軟化模型和SMP準(zhǔn)則，求得了圍巖變形分區(qū)彈塑性新解，并結(jié)合工程實(shí)例展開塑性區(qū)圍巖變形分析。

1 理論分析

1.1 基本假設(shè)

①巷道為深埋圓形無限長平巷；②圍巖為連續(xù)、均質(zhì)且各向同性的巖體；③巷道圍巖處于靜水壓力狀態(tài)。

1.2 巷道力學(xué)模型

根據(jù)文獻(xiàn)[16]，在巷道圍巖徑向上存在著一條“圍巖蠕變終止軌跡線”，它是巷道圍巖徑向上發(fā)生蠕變的質(zhì)點(diǎn)在達(dá)到穩(wěn)定后的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線(圖1中ab段)，依據(jù)這一性質(zhì)，穩(wěn)定后的巷道最多可以分為四個(gè)變形區(qū)域。oa段與ab段的斜率相差不大，即圍巖的本構(gòu)關(guān)系相差不大，因此可將二者近似合二為一形成理想彈性階段ob，于是圍巖中最多可存在3個(gè)變形區(qū)域：理想彈性區(qū)、塑性軟化區(qū)和破裂區(qū)，相應(yīng)的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如圖1中的ob、bc和cd三條線段。其中，理想彈性區(qū)的彈性模量就是線段ob的斜率，可按照式(1)計(jì)算。

E=σ/ε

(1)

因此，隨著圍巖蠕變的發(fā)展，穩(wěn)定后的深埋軟巖巷道圍巖的受力與變形可用圖1所示的力學(xué)模型表示。

圖1 深埋軟巖巷道力學(xué)模型

圖1中：R0為巷道半徑，Rw和Rs分別為破裂區(qū)和塑性軟化區(qū)半徑，r為圍巖質(zhì)點(diǎn)到巷道中心的距離；P0為原巖應(yīng)力，Pi為支護(hù)阻力；σr,σθ和εr,εθ分別為圍巖徑向、切向應(yīng)力和應(yīng)變，σ和ε為巖石的長期強(qiáng)度和應(yīng)變，σe為穩(wěn)定蠕變下閾值，σw為殘余強(qiáng)度。下文分別用下標(biāo)e、s、w來表示理想彈性區(qū)、塑性軟化區(qū)和破裂區(qū)參數(shù)。

1.3 巖體特性模型

首先，深埋巷道圍巖在開挖后發(fā)生明顯的體積膨脹現(xiàn)象，故存在峰后巖體擴(kuò)容特性。

在塑性軟化區(qū)，擴(kuò)容法則[17]464為

(2)

式中：ηs為塑性軟化區(qū)擴(kuò)容系數(shù)，并有ηs=(1+sinφ)/(1-sinφ)，φ為內(nèi)摩擦角。

在圍巖破裂區(qū)，擴(kuò)容法則[17]464為

(3)

式中：ηw為破裂區(qū)擴(kuò)容系數(shù)，依據(jù)文獻(xiàn)[18]，ηw一般取值為1.3～1.5。

其次，深埋巷道圍巖存在峰后強(qiáng)度弱化特性。根據(jù)文獻(xiàn)[19]，塑性軟化區(qū)圍巖的內(nèi)摩擦角φ基本不變，而粘聚力C的變化規(guī)律如圖2所示。

由圖2可知，巷道圍巖塑性軟化區(qū)內(nèi)任意一點(diǎn)處的巖石粘聚力Cs滿足如下關(guān)系[9]333

Cs=C0-MC(εθs-εθ|r=Rs)

(4)

取r=Rs、r=Rw代入下文式(23)，將所得εθ|r=Rw和εθ|r=Rs代入MC化簡可得

MC=

(5)

將式(5)代入式(4)，可得圍巖塑性軟化區(qū)任一點(diǎn)處巖體粘聚力Cs為

Cs=d1-d2(Rs/r)ηs+1

(6)

圖2 粘聚力軟化模型

1.4 SMP準(zhǔn)則

1974年，H.Matsuoka和T.Nakai[20]基于空間滑動(dòng)面理論提出SMP準(zhǔn)則，考慮了3個(gè)主應(yīng)力或應(yīng)力張量不變量的影響，認(rèn)為當(dāng)剪應(yīng)力與正應(yīng)力的比值達(dá)到某一數(shù)值時(shí)材料破壞，該準(zhǔn)則應(yīng)力不變量的表達(dá)式為

(7)

式中：I1=σ1+σ2+σ3、I2=σ1σ2+σ2σ3+σ1σ3、I3=σ1σ2σ3分別為第一、第二、第三應(yīng)力不變量；K為材料常數(shù)；φ為內(nèi)摩擦角；σ1、σ2、σ3分別為最大主應(yīng)力、中間主應(yīng)力、最小主應(yīng)力。

1976年，M.Satake[21]根據(jù)關(guān)聯(lián)流動(dòng)法則和SMP準(zhǔn)則推導(dǎo)出了平面應(yīng)變條件下的應(yīng)力條件

(8)

然而，式(7)的SMP準(zhǔn)則只適用于無粘性材料，為了打破這一局限性，1990年，H.Matsuoka[22]等引入了粘結(jié)應(yīng)力，提出適用于粘性材料的SMP準(zhǔn)則，其表達(dá)式為

(9)

變換式(9)，可得平面應(yīng)變條件下的粘性材料的SMP準(zhǔn)則為

(10)

從而得到

σ1=Aσ3+(A-1)Ccotφ

(11)

2 巷道圍巖彈塑性分析

2.1 基本方程

微分方程：

dσr/dr+(σr-σθ)/r=0

(12)

幾何方程：

εr=du/dr；εθ=u/r

(13)

2.2 理想彈性區(qū)應(yīng)力及變形

1)理想彈性區(qū)應(yīng)力

根據(jù)圖1的力學(xué)模型，結(jié)合厚壁圓筒的拉梅解，可得理想彈性區(qū)的應(yīng)力為

(14)

式中：σr|r=Rs為彈性區(qū)內(nèi)邊界處的徑向應(yīng)力。

在彈塑性交界處(r=Rs)，由式(14)可得：σr+σθ=2P0。同時(shí)，圍巖應(yīng)力滿足SMP準(zhǔn)則，聯(lián)立式(11)、(14)得

σr|r=Rs=(2P0+M1C0)/(1+A)

(15)

式中：M1=(1-A)cotφ。

2)理想彈性區(qū)應(yīng)變及變形解析

理想彈性區(qū)圍巖位移與現(xiàn)有解答過程相同[17]465，易得理想彈性區(qū)位移為

(16)

聯(lián)立幾何方程式(13)得其應(yīng)變?yōu)?/p>

(17)

2.3 塑性軟化區(qū)應(yīng)力及變形

1)塑性軟化區(qū)應(yīng)力

塑性軟化區(qū)圍巖應(yīng)力同時(shí)滿足平衡條件和SMP準(zhǔn)則方程，將式(6)和式(11)代入式(12)整理可得

(18)

求解式(18)并結(jié)合邊界條件σre|r=Rs=σrs|r=Rs，可得塑性軟化區(qū)的應(yīng)力為

(19)

式中：M2=(1+A)cotφ。

2)塑性軟化區(qū)應(yīng)變及變形解析

考慮到理想彈性區(qū)內(nèi)邊界帶來的邊界應(yīng)變，塑性軟化區(qū)總應(yīng)變可以表示為

(20)

由式(20)結(jié)合幾何方程式(13)、擴(kuò)容法則式(2)和r=Rs處的彈性應(yīng)變，可得塑性軟化區(qū)的位移協(xié)調(diào)方程為

(21)

求解式(21)并結(jié)合邊界條件ue|r=Rs=us|r=Rs，可得塑性軟化區(qū)徑向位移為

(22)

其中：N1=(ηs-1)/(ηs+1);N1=2/(ηs+1)。

聯(lián)立幾何方程式(13)得其應(yīng)變?yōu)?/p>

(23)

2.4 破裂區(qū)應(yīng)力及變形

1)破裂區(qū)應(yīng)力

破裂區(qū)圍巖應(yīng)力同時(shí)滿足平衡條件和SMP準(zhǔn)則方程，將式(11)代入式(12)可得

(24)

式中：Cw為破裂區(qū)巖體粘聚力。

求解式(24)，并結(jié)合邊界條件σrw|r=R0=Pi，可得破裂區(qū)的應(yīng)力為

(25)

2)破裂區(qū)應(yīng)變及變形解析

假定破裂區(qū)總應(yīng)變僅由塑性應(yīng)變組成[8]486，結(jié)合擴(kuò)容法則式(3)和幾何方程式(13)，可得破裂區(qū)的位移協(xié)調(diào)方程為

(26)

求解式(26)，并結(jié)合位移連續(xù)條件us|r=Rw=uw|r=Rw，可得破裂區(qū)徑向位移為

(27)

聯(lián)立幾何方程式(13)得其應(yīng)變?yōu)?/p>

(28)

當(dāng)r=R0時(shí)，得巷道圍巖內(nèi)壁位移為

(29)

2.5 塑性軟化區(qū)與破裂區(qū)半徑的確定

根據(jù)文獻(xiàn)[1]985，在塑性軟化區(qū)與破裂區(qū)的交界處滿足εrs|r=Rw=εrw|r=Rw，將式(23)和式(28)代入，可得

(30)

塑性軟化區(qū)與破裂區(qū)交界處滿足邊界條件σrs|r=Rw=σrw|r=Rw，故將r=Rw分別代入式(19)和式(25)，得破裂區(qū)半徑為

Rw=

(31)

Rw代入式(30)即得塑性軟化區(qū)半徑RS。

3 算例分析

圓形巷道半徑R0=3m，原巖應(yīng)力P0=25MPa，支護(hù)阻力Pi=1MPa，泊松比μ=0.28，內(nèi)摩擦角φ=30°，擴(kuò)容系數(shù)ηw=1.4，殘余粘聚力Cw=0.5MPa。考慮圍巖蠕變特性時(shí)初始粘聚力由巖石長期強(qiáng)度確定，為C0=1MPa，彈性模量E=3.5GPa，否則，由巖石瞬時(shí)極限抗壓強(qiáng)度確定，為C0=2MPa，Ek=5GPa。

3.1 初始粘聚力的影響

由圖3可知，當(dāng)Pi為1MPa、P0為25MPa時(shí)，Rw、Rs和uR0均隨著C0的增大而不同程度的減小，具體表現(xiàn)為C0每增加1MPa，Rw、Rs和uR0分別減小0.25m、0.28m和0.005m左右?？偟膩碚f，當(dāng)C0從1MPa增加至7MPa時(shí)，Rw由5.38m減少至3.40m，Rs由5.95m減少至3.76m， 兩者均降低36.8%， 而uR0由0.084m減少至0.039m， 降低53.6%。結(jié)合上文，在考慮圍巖存在蠕變特性時(shí)，Rw、Rs和uR0分別為5.38m、5.95m和0.084m，否則，相應(yīng)結(jié)果分別為5.13m、5.68m和0.056m，顯然，在考慮蠕變影響時(shí)的塑性區(qū)范圍以及巷道內(nèi)壁位移更大。

(a)C0與Rw、Rs的關(guān)系

3.2 原巖應(yīng)力的影響

由圖4可知，在C0和Pi均為1MPa時(shí)，隨著P0的增大，Rw、Rs與uR0均不同程度增大，并且Rw和Rs的增幅變小而uR0的增幅變大，具體表現(xiàn)為P0每增加5MPa，Rw、Rs和uR0分別增大0.55m、 0.6m和0.023m左右。當(dāng)P0從10MPa增加至35MPa時(shí)，Rw由3.71m增加至6.15m，Rs由4.11m增加至6.81m，兩者均增加65.8%，而uR0由0.015m增加至0.158m，增加近10倍。因此，在圍巖巖性一致的情況下，不同的原巖應(yīng)力條件下產(chǎn)生的圍巖變形差別較大。

(a)P0與Rw、Rs的關(guān)系

3.3 支護(hù)阻力的影響

由圖5可知，當(dāng)C0為1MPa，P0為25MPa時(shí)，隨著Pi的增大，Rw、Rs與uR0均不同程度減小，并且三者降幅全都變小。當(dāng)Pi從0MPa增加至3MPa時(shí)，Rw由7.72m降低至4.04m，Rs由8.05m降低至4.47m，兩者均降低44.5%，而uR0由0.172m降低至0.052m，降低70%。當(dāng)Pi取1MPa時(shí)，Rw和Rs分別為5.38m和5.95m，兩者均降低26%，而uR0為0.084m，降低51.2%，由此可見，選取一定范圍內(nèi)的支護(hù)阻力可以更加高效地控制塑性區(qū)圍巖的變形。

(a)Pi與Rw、Rs的關(guān)系

4 結(jié)論

(1)本文考慮軟巖的蠕變特性，以巖石的長期強(qiáng)度作為穩(wěn)定深埋巷道圍巖中的峰值應(yīng)力，建立了巷道圍巖理想彈性區(qū)-塑性軟化區(qū)-破裂區(qū)三分區(qū)模型，該模型能夠有效反映出巖體蠕變對巷道圍巖塑性分區(qū)和變形的影響。

(2)巷道圍巖的塑性軟化區(qū)和破裂區(qū)范圍以及巷道的內(nèi)壁位移均會(huì)隨著初始粘聚力的增大而減小;忽略軟巖的蠕變特性，會(huì)造成理論計(jì)算所得出的塑性區(qū)圍巖變形比實(shí)際情況嚴(yán)重偏小，從而變形控制問題長期得不到有效的解決。

(3)原巖應(yīng)力和支護(hù)阻力對巷道圍巖塑性區(qū)的擴(kuò)展和巷道變形的控制影響較大，塑性軟化區(qū)和破裂區(qū)范圍均與原巖應(yīng)力呈正相關(guān)，與支護(hù)阻力呈負(fù)相關(guān)；合理選擇支護(hù)阻力可以更加高效地控制巷道的變形和塑性區(qū)的擴(kuò)展。